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空间向量与立体几何.板块六.用空间向量解锥体问题(1).学生版


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板块六.用空间向量解锥体问 题

典例分析
SD ? 2a ,AD ? 2a , SD ? 平面 ABCD , 【例1】 如图, 四棱锥 S ? ABCD 的底面是正方形,

点 E 是 SD 上的点,且 DE ? ? a ? 0 ? ? ≤ 2 ? . ⑴求证:对任意的 ?

? ? 0 ,2 ? ,都有 AC ? BE ; ⑵设二面角 C ? AE ? D 的大小为 ? ,直线 BE 与平面 ABCD 所成的角为 ? ,若
tan? ? tan ?? 1 ,求 ? 的值.
S

E

D A

C B

【例2】 如图,平面 PAC ? 平面 ABC ,?ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形, E , F ,
O 分别为 PA , PB , AC 的中点, AC ? 16 , PA ? PC ? 10 .

⑴设 G 是 OC 的中点,证明: FG ∥ 平面 BOE ; ⑵证明:在 ?ABO 内存在一点 M ,使 FM ? 平面 BOE ,并求点 M 到 OA , OB 的 距离.

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P E F A O G C

B

【例3】 在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , PA ? AD ? 4 , 交 PC 于点 N . AB ? 2 . 以 AC 的中点 O 为球心、AC 为直径的球面交 PD 于点 M , ⑴求证:平面 ABM ? 平面 PCD ; ⑵求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的大小; ⑶求点 N 到平面 ACM 的距离.
P

M N A B O C D

【例4】 如图, 四棱锥 S ? ABCD 的底面是正方形, 每条侧棱的长都是底面边长的 2 倍,P 为侧棱 SD 上的点. ⑴求证: AC ? SD ; ⑵若 SD ? 平面 PAC ,求二面角 P ? AC ? D 的大小; ⑶在⑵的条件下,侧棱 SC 上是否存在一点 E ,使得 BE ∥ 平面 PAC .若存在,求
SE : EC 的值;若不存在,试说明理由.
S

P A B C D

?ABC ? 60? , 【例5】 如图, 已知四棱锥 P ? ABCD , 底面 ABCD 为菱形, PA ? 平面 ABCD ,

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E, PC 的中点. F 分别是 BC ,

⑴证明: AE ? PD ; ⑵若 H 为 PD 上的动点, EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为
E ? AF ? C 的余弦值.
P

6 ,求二面角 2

F A B E C D

【例6】 如图,已知三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , AN ? BC 于 N , D 是 AB 的中 点,且 PA ? 1 , AN ? BN ? CN ? 2 . ⑴求证: PB ? AC ; ⑵求异面直线 CD 与 PB 所成角的大小; ⑶求点 A 到平面 PBC 的距离.
P

D B N

A

C

【例7】 如图,直二面角 D ? AB ? E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, AE ? EB , F 为 CE 上的点,且 BF ? 平面 ACE . ⑴求证: AE ? 平面 BCE ; ⑵求二面角 B ? AC ? E 的大小; ⑶求点 D 到平面 ACE 的距离.
D C

F A E B

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【例8】 如图, 正三棱锥 O ? ABC 的三条侧棱 OA 、OB 、OC 两两垂直, 且长度均为 2 .E 、

F 分别是 AB 、 AC 的中点,H 是 EF 的中点,过 EF 作平面与侧棱 OA 、OB 、OC 3 或其延长线分别相交于 A1 、 B1 、 C1 ,已知 OA1 ? . 2
⑴求证: B1C1 ? 平面 OAH ; ⑵求二面角 O ? A1 B1 ? C1 的大小的余弦值.
O

A1 A E

F H B

C C1

B1

【例9】 如图,在 Rt?AOB 中, ?OAB ?

π ,斜边 AB ? 4 . Rt△ AOC 可以通过 Rt△ AOB 以 6 直线 AO 为轴旋转得到,且二面角 B ? AO ? C 是直二面角.动点 D 在斜边 AB 上.

⑴ 求证:平面 COD ? 平面 AOB ; ⑵ 当 D 为 AB 的中点时,求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小; ⑶ 求 CD 与平面 AOB 所成角的最大值.
A

D

O C

E B

【例10】 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AB ? BC , AB ? BC ? kPA ,点 O 、 D 分别是 AC 、
PC 的中点, OP ? 底面 ABC .

⑴求证: OD ∥ 平面 PAB ;

1 时,求直线 OD 与平面 PBC 所成角的正弦值. 2 ⑶当 k 取何值时, O 在平面 PBC 内的射影恰好为 △PBC 的重心?
⑵当 k ?

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P D

A

O B

C

?ABC ? 60? , 【例11】 如图, 已知四棱锥 P ? ABCD , 底面 ABCD 为菱形, PA ? 平面 ABCD ,

E, PC 的中点. F 分别是 BC ,

⑴证明: AE ? PD ; ⑵若 H 为 PD 上的动点, EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为
E ? AF ? C 的余弦值.
P

6 ,求二面角 2

F A B E C D

【例12】 如图,已知三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , AN ? BC 于 N , D 是 AB 的中 点,且 PA ? 1 , AN ? BN ? CN ? 2 . ⑴求证: PB ? AC ; ⑵求异面直线 CD 与 PB 所成角的大小; ⑶求点 A 到平面 PBC 的距离.
P

D B N

A

C


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