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初高中衔接教材(数学稿调整好)






阅读材料: 1)高中数学与初中数学的联系 2)如何学好高中数学 3)熟知高中数学特点是高一数学学习关键 4)高中数学学习方法和特点 5)怎样培养好对学习的良好的习惯?
第 01 课:绝对值 第 02 课:乘法公式 第 03 课:二次根式(1) 第 04 课:二次根式(2) 第 05 课:分式 第 06 课:分解因式(1

) 第 07 课:分解因式(2) 第 08 课:根的判别式 第 09 课:根与系数的关系(韦达定理) (1) 第 10 课:根与系数的关系(韦达定理) (2) 第 11 课:二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质 第 12 课:二次函数的三种表示方式 第 13 课:二次函数的简单应用 第 14 课:分段函数 第 15 课:二元二次方程组解法 第 16 课:一元二次不等式解法(1) 第 17 课:一元二次不等式解法(2) 第 18 课:国际数学大师陈省身 第 19 课:中华民族是一个具有灿烂文化和悠久历史的民族 第 20 课:方差在实际生活中的应用 第 21 课:平行线分线段成比例定理 第 22 课:相似形 第 23 课:三角形的四心 第 24 课:几种特殊的三角形 第 25 课:圆 第 26 课:点的轨迹

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1.高中数学与初中数学的联系
同学们, 首先祝贺你们进入高中数学殿堂继续学习。 在经历了三年的初中数学学习后, 大家对数学有了一定的了解,对数学思维有了一定的雏形,在对问题的分析方法和解决能 力上得到了一定的训练。这也是我们继续高中数学学习的基础。 良好的开端是成功的一 半,高中数学课即将开始与初中知识有联系,但比初中数学知识系统。高一数学中我们将 学习函数,函数是高中数学的重点,它在高中数学中是起着提纲的作用,它融汇在整个高 中数学知识中,其中有数学中重要的数学思想方法;如:函数与方程思想、数形结合思想、 分类讨论思想、等价转化思想等,它也是高考的重点,近年来,高考压轴题都以函数题为 考察方法的。高考题中与函数思想方法有关的习题占整个试题的 60%以上。 1、有良好的学习兴趣 两千多年前孔子说过: “知之者不如好之者,好之者不如乐之者。 ”意思说,干一件事, 知道它,了解它不如爱好它,爱好它不如乐在其中。 “好”和“乐”就是愿意学,喜欢学, 这就是兴趣。兴趣是最好的老师,有兴趣才能产生爱好,爱好它就要去实践它,达到乐在 其中,有兴趣才会形成学习的主动性和积极性。在数学学习中,我们把这种从自发的感性 的乐趣出发上升为自觉的理性的“认识”过程,这自然会变为立志学好数学,成为数学学 习的成功者。那么如何才能建立好的学习数学兴趣呢? (1)课前预习,对所学知识产生疑问,产生好奇心。 (2)听课中要配合老师讲课,满足感官的兴奋性。听课中重点解决预习中疑问,把 老师课堂的提问、停顿、教具和模型的演示都视为欣赏音乐,及时回答老师课堂提问,培 养思考与老师同步性,提高精神,把老师对你的提问的评价,变为鞭策学习的动力。 (3)思考问题注意归纳,挖掘你学习的潜力。 (4)听课中注意老师讲解时的数学思想,多问为什么要这样思考,这样的方法怎样 是产生的? (5)把概念回归自然。所有学科都是从实际问题中产生归纳的,数学概念也回归于 现实生活,如角的概念、直角坐标系的产生都是从实际生活中抽象出来的。只有回归现实 才能使对概念的理解切实可靠,在应用概念判断、推理时会准确。 2、建立良好的学习数学习惯。 习惯是经过重复练习而巩固下来的稳重持久的条件反射和自然需要。建立良好的学习 数学习惯,会使自己学习感到有序而轻松。高中数学的良好习惯应是:多质疑、勤思考、 好动手、重归纳、注意应用。学生在学习数学的过程中,要把教师所传授的知识翻译成为 自己的特殊语言,并永久记忆在自己的脑海中。另外还要保证每天有一定的自学时间,以 便加宽知识面和培养自己再学习能力。 3、有意识培养自己的各方面能力 数学能力包括:逻辑推理能力、抽象思维能力、计算能力、空间想象能力和分析解决 问题能力共五大能力。这些能力是在不同的数学学习环境中得到培养的。在平时学习中要 注意开发不同的学习场所,参与一切有益的学习实践活动,如数学第二课堂、数学竞赛、 智力竞赛等活动。平时注意观察,比如,空间想象能力是通过实例净化思维,把空间中的 实体高度抽象在大脑中,并在大脑中进行分析推理。其它能力的培养都必须学习、理解、
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训练、应用中得到发展。特别是,教师为了培养这些能力,会精心设计“智力课”和“智 力问题”比如对习题的解答时的一题多解、举一反三的训练归类,应用模型、电脑等多媒 体教学等,都是为数学能力的培养开设的好课型,在这些课型中,学生务必要用全身心投 入、全方位智力参与,最终达到自己各方面能力的全面发展。

2.如何学好高中数学
有许多初中阶段数学成绩很好的学生,升入高中后,感觉数学学习困难,他们在做习 题或课外练习时,常常感到茫然,不知从何下手,因而,一个阶段后,数学成绩出现了严 重的滑坡现象。出现这种现象的主要原因是什么呢?根据我多年的教学实践,主要是以下 几个方面的原因: 教材的原因:初中数学教材,多数知识点与学生日常生活实际贴近,且初中教材遵循 从感性认识上升到理性认识的规律,叙述方法比较简单,语言通俗易懂,直观性、趣味性 强,结论容易记忆,应试效果也比较理想。 因而,学生一般容易接受、理解和掌握。相 对而言,高中数学概念抽象,逻辑性强,教材叙述比较严谨、规范,知识难度加大,抽象 思维和空间想象能力明显提高,且习题类型多,解题技巧灵活多变,计算相对复杂,体现 了“起点高、难度大、容量多”的特点。这一变化,不可避免地造成了部分学生不适应高 中数学学习,进而影响成绩的提高。 教法的原因:初中数学内容少,知识难度不大,教学要求较低,因而教学进度较慢, 对于某些重点、难点,教师可以有充裕的时间反复讲解、多次演练,来弥补不足。但是进 入高中后,数学教材内涵丰富,教学要求不断提高,教学进度相应加快,知识的重点和难 点也不可能象初中那样通过反复强调来排难释疑, 且高中教学往往通过设导、 设问、 设陷、 设变,启发引导,开拓思路,然后由学生自己思考、去解答,比较注意知识的发生过程, 倾重对学生思想方法的渗透和思维品质的培养。这使得刚入高中的部分学生不适应教学方 法,听课时存在思维障碍,跟不上教师的思维,从而产生学习障碍,影响数学的学习。 学法的原因:在初中,部分学生习惯于围着教师转,独立思考和对规律进行归纳总结 的能力较差,满足于知识的接受,缺乏学习的主动性。而到了高中,数学学习要求学生勤 于思考,善于归纳总结规律,掌握数学思维方法,做到举一反三,触类旁通。但是,刚入 学的高一新生, 往往沿用初中时的学法, 致使学习出现困难, 甚至完成当天作业都有困难, 更谈不上复习、总结等自我消化、自我调整了。 其它原因:学生学习数学的情感、兴趣、性格、意志品质的优劣、学习目的和学习态 度如何,在某种意义上也能影响高一学生数学学习。 针对以上影响数学学习的原因, 同学们应当怎样弥补这些不足呢?下面从高中学生数 学学习的几个常规步骤方面谈一谈: 透彻领悟所学知识:高中数学的理论性、抽象性强,这就需要学生在知识的理解上下 大功夫,不仅要弄清数学概念的实质,还要弄清概念的背景及其与其它概念的联系。例如 初三学生都会解一元二次方程,我曾在高一新生中做过这种调查:为什么一元二次方程在 △≥0 时有根?答对率不到 15%, 说明了什么?学生对一元二次方程这个概念理解不透彻, 相关知识缺乏联系。 科学地对待预习:对于一部分数学基础不太理想的同学,我主张课前预习。正确的方
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法是先不打开书,设想这节课的内容、结构,然后打开书;看到要对某个概念进行定义, 马上盖上书,自己试着定义一下;看到一个定理的第一句叙述,再盖上书自己猜想他的结 论;看到一个公式时,也是这样。看到例题时,先不要看解法,自己先在纸上把它做一遍, 再与书上的解法进行比较、 思考??这样的预习, 无论对知识的掌握, 还是对思维的训练, 都是有益的。 对于数学基础较好,思维反应敏锐的同学,我不主张课前预习。因为通过预习已经知 道了课上要讲的内容、结论、推导过程、例题解法等,那么,课堂上还谈何“超前思维、 真正做课堂的主人、在思维运动中训练思维呢?”这白白浪费了课堂上发展自己智力素质 的机会。 提高听课效率: 高中学习期间, 学生在课堂的时间占了一大部分。 因此听课效率如何, 决定着学习的效果。我认为,提高听课效率应注意以下几个方面: 首先应做好课前的物质准备和精神准备,上课时不至于出现书、本等物丢三落四的现 象;上课前也不应做过于激烈的体育运动,以免上课后还气喘嘘嘘,不能平静下来。 其次就是听课。听课,重要的不是“听” ,而是“想” 。听是前提,随之是积极地思维。 要全身心地投入课堂学习,做到耳到、眼到、心到、口到、手到。 耳到:就是专心听讲,听老师如何讲课,如何分析,如何归纳总结,另外,还要听同 学们的答问,看是否对自己有所启发。 眼到: 就是在听讲的同时看课本和板书, 看老师讲课的表情, 手势和演示实验的动作, 生动而深刻的接受老师所要表达的思想。 心到:就是用心思考,跟上老师的教学思路,分析老师是如何抓住重点,解决疑难的。 口到:就是在老师的指导下,主动回答问题或参加讨论。 手到:就是在听、看、想、说的基础上划出教材的重点,记下讲课的要点以及自己的 感受或有创新思维的见解。 将听课中的要点、 思维方法等作出简单扼要的记录, 以便复习, 消化,思考。 总之, “自己动手”的课堂听讲,是最科学的。 重视复习和总结: 1、及时做好复习。听完课的当天,必须做好当天的复习。 复习的有效方法不是一遍遍地看书或笔记,而是采取回忆式的复习:先把书、笔记合 起来,回忆上课时老师讲的内容,分析问题的思路、方法等(也可边想边在草稿本上写一 写) ,尽量想得完整些。然后打开笔记与书本,对照一下还有哪些没记清的,把它补起来, 就能使当天上课内容巩固下来,同时也检查了当天课堂听课的效果如何,也为改进听课方 法及提高听课效果提出必要的改进措施。 2、做好单元复习。学习一个单元后应进行阶段复习,复习方法同及时复习一样,采 取回忆式复习,而后与书、笔记相对照,使其内容完善,而后应做好单元小节。 3、做好单元小结。单元小结内容应包括以下部分: (1)本单元(章)的知识网络; (2)本章的基本思想与方法(应以典型例题形式将其表达出来) ; (3)自我体会:对本章内,自己做错的典型问题应有记载,分析其原因及正确答案, 应记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题,以及你还存在的未解决的问题,以便
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今后将其补上。 做适量的练习题:有不少同学把提高数学成绩的希望寄托在大量做题上,这是不妥当 的。事实上,要提高数学成绩,重要的不在做题多,而在于做题的效益要高。做题的目的 在于检查你学的知识,方法是否掌握得很好。如果你掌握得不准,甚至有偏差,那么多做 题的结果,反而加深了你的缺欠,因此,在准确地把握住基本知识和方法的基础上,做一 定量的练习是必要的。而对于中档题,尢其要讲究做题的效益,即做题后有多大收获,这 就需要在做题后进行一定的“反思” ,思考一下本题所用的基础知识,数学思想方法是什 么,为什么要这样想,是否还有别的想法和解法,本题的分析方法与解法,在解其它问题 时,是否也用到过,把它们联系起来,你就会得到更多的经验和教训,更重要的是养成善 于思考的好习惯,这将大大有利于你今后的学习。当然没有一定量(老师布置的作业量) 的练习是不能形成技能的。 另外,无论是作业还是测验,都应把准确性放在第一位,通法放在第一位,而不是一 味地去追求速度或技巧,这也是学好数学的重要方面。 课外要自学、研究:课外自学与研究的目的是扩大知识面,开阔眼界,进一步提高应 用所学知识解决问题的能力。课外自学的范围不宜过大,应该围绕所学的教材进度看一些 课外参考书及数学杂志,作一些较新鲜或难度较大的习题。课外自学应该是有计划地有节 制地进行,不要因小失大,更不要影响其它学科的学习。在课外自学的过程中,发现一些 新颖而有价值的习题、一些好的思维方法与解题方法 ,应该记下来,以便进一步学习掌 握。基础较好,分析能力较强的学生,可以选一、二个专题,深入进行探讨和研究,把研 究结果写成论文,用以培养和锻炼自己的思维能力。基础不太好、分析能力一般的学生, 应该经常和基础好、分析能力强的同学在一起研究、探讨一些数学问题,从中学习他们好 的数学思维方法。 方法是学好数学的必要条件。另外,还要记住两句话;“对一切来说,只有热爱才是最 好的老师” 、 “书山有路勤为径,学海无涯苦做舟” 。有了兴趣,有了方法,再有勤奋的精 神,我相信,每一个有志同学一定能学好高中数学。

3.熟知高中数学特点是高一数学学习关键
一、高中数学与初中数学特点的变化。 1、数学语言在抽象程度上突变。 不少学生反映,集合、映射等概念难以理解,觉得离生活很远,似乎很“玄” 。确实, 初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表 达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语 言、空间立体几何等。 2、思维方法向理性层次跃迁。 高一学生产生数学学习障碍的另一个原因是高中数学思维方法与初中阶段大不相同。 初中阶段,很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式,如解分式方程分几步,因式 分解先看什么,再看什么,即使是思维非常灵活的平面几何问题,也对线段相等、角相 等??分别确定了各自的思维套路。因此,初中学习中习惯于这种机械的,便于操作的定 势方式,而高中数学在思维形式上产生了很大的变化,正如上节所述,数学语言的抽象化
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对思维能力提出了高要求。当然,能力的发展是渐进的,不是一朝一夕的事,这种能力要 求的突变使很多高一新生感到不适应,故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽 象思维向理论型抽象思维过渡,最后还需初步形成辩证形思维。 3、知识内容剧增 初中数学知识少、浅、难度容易、知识面笮。高中数学知识广泛,将对初中的数学知 识推广和引伸,也是对初中数学知识的完善。如:初中学习的角的概念只是“0—180°” 范围内的,但实际当中也有 720°和“—360°等角,为此,高中将把角的概念推广到任意 角,可表示包括正、负在内的所有大小角。又如:高中要学习《立体几何》 ,将在三维空 间中求一些几何实体的体积和表面积;还将学习“排列组合”知识,以便解决排队方法种 数等问题。如:①三个人排成一行,有几种排队方法, (答:=6 种) ;②四人进行乒乓球双 打比赛,有几种比赛场次?(答:=3 种)高中将学习统计这些排列的数学方法。初中中对 一个负数开平方无意义,但在高中规定了 i=-1,就使-1 的平方根为±i.即可把数的概念进行 推广,使数的概念扩大到复数范围等。这些知识同学们在以后的学习中将逐渐学习到。 二、不良的学习状态。 1、学习习惯因依赖心理而滞后。 初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一,为提高分数,初中数学教学中教师将 各种题型都一一罗列,学生依赖于教师为其提供套用的“模子” ;第二,家长望子成龙心 切,回家后辅导也是常事。升入高中后,教师的教学方法变了,套用的“模子”没有了, 家长辅导的能力也跟不上了,由“参与学习”转入“督促学习” 。许多同学进入高中后, 还象初中那样,有很强的依赖心理,跟随老师惯性运转,没有掌握学习的主动权。表现在 不定计划,坐等上课,课前没有预习,对老师要上课的内容不了解,上课忙于记笔记,没 听到“门道” ,不会巩固所学的知识。 2、学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉,剖析概念的内涵,分析重点 难点,突出思想方法。而一部分同学上课没能专心听课,对要点没听到或听不全,笔记记 了一大本,问题也有一大堆,课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系,只是赶做 作业,乱套题型,对概念、法则、公式、定理一知半解,机械模仿,死记硬背,还有些同 学晚上加班加点,白天无精打采,或是上课根本不听,自己另搞一套,结果是事倍功半, 收效甚微。 3、进一步学习条件不具备。高中数学与初中数学相比,知识的深度、广度,能力要 求都是一次飞跃。这就要求必须掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备。高中数学很 多地方难度大、方法新、分析能力要求高。如二次函数值的求法,实根分布与参变量的讨 论,三角公式的变形与灵活运用,空间概念的形成,排列组合应用题及实际应用问题等。 有的内容还是初中教材都不讲的脱节内容,如不采取补救措施,查缺补漏,就必然会跟不 上高中学习的要求。 三、学习数学的几种方法 1、记数学笔记,特别是对概念理解的不同侧面和数学规律,教师为备战高考而加的 课外知识。 2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。争取 做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把
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错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 3、记忆数学规律和数学小结论。 4、与同学建立好关系,争做“小老师” ,形成数学学习“互助组” 。 5、争做数学课外题,加大自学力度。 6、反复巩固,消灭前学后忘。 7、学会总结归类:①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类

4.高中数学学习方法和特点
回忆初中阶段所学的全部平面几何的内容及代数中的有理数、多项式、二次根式、方 程、不等式和函数等,不仅在知识上而且在数学能力上已经作好了高中继续学习的准备。 只要认清高中数学的特点,并促使自己适应这些特点,那么学好高中数学是完全可能的。 高中数学的特点概括地说,有以下三点。 1、知识的抽象性大 在初中学习的“函数”的基础上,高一又要学习“集合” 、 “对应” 、 “映射”等更为抽象的知 识。 高一的立体几何也削弱了直观性而突出了抽象性和空间的想象能力。 这就是说思维要从直观, 经验型向抽象,理论型过渡。 2、知识的密度增大 由于年龄的增长,接受能力、理解能力也在提高。同时高中数学教材的内容多而杂,这就决 定了高中数学每节课的内容较初中时要多,即密度加大了。教师在教法上也随之有所变化。初中 时教师常常把知识掰开揉碎地细讲,同时还选相当数量的习题去巩固这一知识;而在高中却常常 是在新知识的开始阶段,例题即有一定的坡度。尤其强调知识的“以旧带新”和“横向,纵向的 沟通、联系” 。一节课下来,似乎是听懂了,但一遇到作业常常感到知识的运用不熟练,思路不通 畅。似乎总感到新知识没有完全掌握,更新的知识又接踵而来。 3、知识的独立性大 初中知识的系统性是较严谨的,平面几何尤其如此,这个系统给我们学习带来了很大 的方便。因为它便于记忆,又适合于知识的提取和使用。因此,平面几何的知识使人长久 不忘,记得清,用得上。但高中的数学却不同了,除了立体几何、解析几何有个相对明确 的系统(与平面几何相比也不成体统) ,代数、三角的内容具有相对的独立性。因此,注 意它们内部的小系统和各系统之间的联系成了学习时必须花力气的着力点,否则,综合运 用知识的能力必然会欠缺。

高一数学成绩下降的原因分析及对策
初中毕业生以较高的数学成绩升入高中后,不适应高中数学教学,相当多的高一学生 数学不及格,出现了严重的两极分化,少数学生甚至对学习失去了信心。前几年,不少学 校受高考指挥棒的影响,只注重升学率而忽视了合格率。现在高中搞会考制,上述问题引 起了各校足够的重视。本文对高一数学成绩大面积下降谈谈造成的原因及应采取的对策。 一、高一数学成绩大面积下降的原因 1.初、高中教材间梯度过大。 初中教材偏重于实数集内的运算,缺少对概念的严格定义或对概念的定义不全,如函
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数的定义,三角函数的定义就是如此;对不少数学定理没有严格论证,或用公理形式给出 而回避了证明,比如不等式的许多性质就是这样处理的;教材坡度较缓,直观性强,对每 一个概念都配备了足够的例题和习题。 而高一教材第一章就是集合、 映射等近世代数知识, 紧接着就是幂函数的分类问题(在幂函数中,由于指数不同,具有不同的性质和图象) 。 函数单调性的证明又是一个难点,立体几何对空间想象能力的要求又很高。教材概念多、 符号多、定义严格,论证要求又高,高一新生学起来相当困难。此外,内容也多,每节课 容量远大于初中数学。这些都是高一数学成绩大面积下降的客观原因。 2.高一新生普遍不适应高中数学教师的教学方法。 高一学生普遍反映数学课能听懂但作业不会做。不少学生说,平时自认为学得不错, 考试成绩就是上不去,追究其原因是初中教师重视直观、形象教学,老师每讲完一道例题 后,都要布置相应的练习,学生到黑板表演的机会相当多。为了提高合格率,不少初中教 师把题型分类,让学生死记解题方法和步骤。在初三,重点题目反复做过多次。而高中教 师在授课时强调数学思想和方法,注重举一反三,在严格的论证和推理上下功夫。又由于 高中搞小循环,接高一课程的教师刚带完高三,他们往往用高三复习时应达到的难度来对 待高一教学。因此造成初、高中教师教学方法上的巨大差距,中间又缺乏过渡过程,至使 高中新生普遍适应不了高中教师的教学方法。 3.高一学生的学习方法不适应高中数学学习。 高一学生在初中三年已形成了固定的学习方法和学习习惯。他们上课注意听讲,尽力 完成老师布置的作业。但课堂上满足于听,没有做笔记的习惯,缺乏积极思维;遇到难题 不是动脑子思考,而是希望老师讲解整个解题过程;不会科学地安排时间,缺乏自学、看 书的能力,还有些学生考上了高中后,认为可以松口气了,放松了对自己的要求。上述的 学习方法,不适应高中阶段的正常学习。 二、搞好高一数学教学的对策及方法 针对上述问题,笔者认为要想大面积提高高一数学成绩,应采取如下措施。 1.高一教师要钻研初中大纲和教材。 高中教师应听初中数学课,了解初中教师的授课特点。开学初,要通过摸底测验和开 学生座谈会, 了解学生掌握知识的程度和学生的学习习惯。 在摸清三个底 (初中知识体系, 初中教师授课特点,学生状况)的前提下,根据高一教材和大纲,制订出相当的教学计划, 确定应采取的教学方法,做到有的放矢。 2.新高一要放慢进度,降低难度,注意教学内容和方法的衔接。 根据实践,新高一第一章课时数要增加。要加强基本概念、基础知识的教学。教学时 注意形象、直观。如讲映射时可举“某班50名学生安排到50张单人桌上的分配方法” 等直观例子,为引人映射概念创造阶梯。由于新高一学生缺乏严格的论证能力,所以证明 函数单调性时可进行系列训练,开始时可搞模仿性的证明。要增加学生到黑板上演练的次 数,从而及时发现问题,解决问题,章节考试难度不能大。通过上述方法,降低教材难度, 提高学生的可接受性,增强学生学习信心,让学生逐步适应高中数学的正常教学。 3.严格要求,打好基础。 开学第一节课,教师就应对学习的五大环节提出具体、可行要求。如:作业的规范化, 独立完成,订正错题等等。对学生在学习上存在的弊病,应限期改正。严格要求贵在持之
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以恒,贯穿在学生学习的全过程,成为学生的习惯。考试的密度要增加,如第一章可分为 三块进行教学,每讲完一块都要复习、测验及格率不到70%应重新复习、测验,课前5 分钟小题测验,应经常化,用以督促、检查、巩固所学知识。实践表明,教好课与严要求, 是提高教学质量的主要环节。 4.指导学生改进学习方法。 良好的学习方法和习惯,不但是高中阶段学习上的需要,还会使学生受益终生。但好 的学习方法和习惯,一方面需教师的指导,另一方面也靠老师的强求。教师应向学生介绍 高中数学特点,进行学习方法的专题讲座,帮助学生制订学习计划。这里,重点是会听课 和合理安排时间。听课时要动脑、动笔、动口,参与知识的形成过程,而不是只记结论。 教师应有针对性地向学生推荐课外辅导书,以扩大知识面。提倡学生进行章节总结,把知 识串成线,做到书由厚读薄,又由薄变厚。期中、期末都要召开学习方法交流会,让好的 学习方法成为全体学生的共同财富。

5.怎样培养好对学习的良好习惯?
不要再被动的因为要学习而学习,而是要主动的需求学习的方法,怎么培养对学习的 兴趣?以下几点可供参考: (一)培养良好的学习习惯 现代教育倡导自主性学习和研究性学习,坚信能力是练出来的,因此我们在课程安排 和教学常规中,设置有课前三分钟准备、晚修分段学习、教学三清(即堂堂清、周周清、 月月清)等,这样设置的目的,就是为了培养同学们良好的修习养身习惯。我希望同学们 领会意图,配合学校的安排。在课前三分钟,提前回到自己的座位,把课本和学习用品准 备好,把自己的思想从课间活动拉回来,在科任老师和科代表的指导下,或朗读课文、定 理、定律,或背诵名句、单词、公式,或做小测练??课堂上,聚精会神听老师讲课,深 入思考和积极回答问题,善于做笔记,做到眼晴看、耳朵听、嘴巴说、脑筋想、手头记, 充分调动和发挥各器官功能??晚修分时段学习,合理安排各科学习时间,做到复习、作 业、预习三不误,照顾到当天学习及第二天学习的全部学科,做到均衡发展,要主动到走 廊上请教下班辅导的老师,维护课室里面安静的晚修秩序,提高晚修的效率。 (二)抓好预习环节 预习,即课前的自学。指在教师讲课之前,自己先独立地阅读新课内容。初步理解内 容,是上课做好接受新知识的准备过程。有些学生由于没有预习习惯,对老师一堂课要讲 的内容一无所知,坐等教师讲课,老师讲什么就听什么,老师叫干什么就干什么,学习就 很辛苦。有些学生虽能预习,但看起书来似走马观花,不动脑、不分析,这种预习一点也 达不到效果。老师建议:预习时要读、思、问、记同步进行,对课本内容能看懂多少就算 多少,不必求全理解,疑难也不必钻深,只需顺手用笔作出不同符号的标记,把没有读懂 的问题记下来, 作为听课的重点。 但对牵涉到已学过的知识以及估计老师讲不到的小问题, 自己一定要搞懂,以消灭“拦路虎” 。预习应在当天作业做完之后再进行。时间多,就多 预习几门,钻得深一点;反之,就少预习几门,钻得浅一点。切不可以每天学习任务还未 完成就忙着预习,打乱了正常的学习秩序。若你以前没有预习的习惯,现在可以先选一两 门自己学起来感到吃力的学科进行预习尝试, 等尝到甜头, 取得经验后, 再逐渐增加学科,
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直到全面铺开。 (三)注重听课环节 学生的大部分时间是在课堂中度过的。因此,听课是学生接受教师指导,掌握知识, 发展智力的中心环节,是获取知识的重要途径,是保证高效率学习的关键。听课时,有的 学生全神贯注,专心听讲;有的分心走神,萎靡不振,打瞌睡;有的像录音机,全听全录; 有的边听边记,基本上能把教师讲的内容都记下来;有的以听为主,边听边思考,有了问 题记下来;有的干脆不记,只顾听讲;有的边听边划边思考。思考时,有的思考当堂内容, 有的思考与本课相关的知识体系,有的思考教师的思路,有的拿自己的思路与教师的思路 比较。那么,怎样才能达到听好课的目的呢?总的要求是:要抓住各学科的不同特点,带 着问题听,听清内容,记住要点,抓住关键,着重听老师的讲课方法与思路,释疑的过程 与结论。 (四)紧抓复习环节 复习是对前面已学过的知识进行系统再加工,并根据学习情况对学习进行适当调整, 为下一阶段的学习做好准备。因此,每上完一节课,每学完一篇课文,一个单元,一册书 都要及时复习。若复习适时恰当,知识遗忘就少。早在 1885 年,德国的心理学家艾滨浩 斯,通过实验发现刚记住的材料,一小时后只能保持 44%;一天后能记住 33%;两天后留 下的只有 28%;六天后为 25%。所有的人,学习的知识都会发生先快后慢的遗忘过程。一 些记性好的学生是因为能经常从不同的角度、 不同的层次上进行复习, 做到 “每天有复习, 每周有小结,每章有总结” ,从而形成了惊人的记忆力。很多学生对所学知识记不住,并 不是脑子笨,而是不善于复习,或复习功夫不深。最好的做法是: (1)当天学的知识,要 当天复习清, 。否则,内容生疏了,知识结构散了,重新学习花费的时间就会更多。 (2 ) 要紧紧围绕概念、公式、法则、定理、定律复习。通过追根溯源,思考它们是怎么形成与 推导出来的?能应用到哪些方面?(3)要反复复习。学完一课复习一次,学完一章或一 个单元,又复习一次,学习一阶段再系统总结一遍,期末还要专门复习。通过这种步步为 营的复习,形成的知识联系就不会消退。学校为此采取了教学“三清”措施,希望老师和 同学们认真做好教学三清工作。 (五)独立完成作业环节 独立完成作业是深化知识,巩固知识,检查学习效果的重要手段,也是复习与应用相结合的 主要形式。然而,有些学生没有真正利用好这个环节。他们一下课就抢着做作业,作业一完,万 事大吉。更有些学生课上根本没听懂,下课后也不问,作业抄袭后向老师交差完事。其实,做好 作业有以下意义:1.可以检查自己的学习效果。2、做作业可以发现问题,增强解决问题的能力。 3、做作业可以加深对知识的理解,把易混淆的概念搞清楚,把公式的变换搞熟练,有利于把书本 上的知识转化成自己的知识。希望同学们能按时、独立完成作业。 (六)认真记好课堂笔记 记笔记是为了学,为了懂,为了用。记笔记的原则是以听为主,以记为辅。简练明白, 提纲挈领,详略得当,书上有的不必多记。难点不放过,疑点有标记。不乱,不混,条理 明。对联想、发现的问题,要及时记。笔记要留有空白处,便于复习时补缺。

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(一)绝对值
绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝 对值仍是零.即

?a ? a ? 0 ? ? | a |? ?0 ? a ? 0 ? ??a ? a ? 0 ? ?

绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义: a ? b 表示在数轴上,数 a 和数 b 之间的距离. 例 1、解不等式| x | ? 1 和不等式 | x ? 1|? 2 。你自己能总结出一般性的结论吗? 例 2、解不等式: x ?1 ? x ? 3 >4. 解法一:由 x ? 1 ? 0 ,得 x ? 1 ;由 x ? 3 ? 0 ,得 x ? 3 ; ①若 x ? 1 ,不等式可变为 ?( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 4 ,即 ?2 x ? 4 >4,解得 x<0, 又 x<1,∴x<0; ②若 1 ? x ? 2 , 不等式可变为 ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 4 , 即 1>4, ∴不存在满足条件的 x; ③若 x ? 3 ,不等式可变为 ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 4 ,即 2 x ? 4 >4, 解得 x>4. 又 x≥3,∴x>4. 综上所述,原不等式的解为 x<0,或 x>4. 解法二:如图 1.1-1, |x-3| P x C 0 |x-1| 图 1.1-1 即| P | x ? 1| 表示 x 轴上坐标为 x 的点 P 到坐标为 1 的点 A 之间的距离 | PA | , A || ? x1 |? ; |x-3|表示 x 轴上点 P 到坐标为 2 的点 B 之间的距离|PB|,即|PB|=|x-3|. 所以,不等式 x ?1 ? x ? 3 >4 的几何意义即为|PA|+|PB|>4. 由|AB|=2 知点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧或点 P 在点 D(坐标为 4)的右侧.即: x<0,或 x>4. 练习 1.填空题: (1)若 x ? 5 ,则 x=_________;若 x ? ? 4 ,则 x=_________. (2)若 a ? b ? 5 且 a ? ?1 ,则 b=_____;若 1 ? c ? 2 ,则 c=________ 2.选择题:下列叙述正确的是( (A)若 a ? b ,则 a ? b (C)若 a ? b ,则 a ? b ) (B)若 a ? b ,则 a ? b (D)若 a ? b ,则 a ? ?b
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A 1

B

D 4 x

3.化简:|x-5|-|2x-13|(x>5) . 4.解下列不等式: (1) x ? 3 ? 2x ? 3 ? 3(2) x ? 1 ? x ? 3 ? ?4

(二)乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 (2)完全平方公式 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: (1)立方和公式 (2)立方差公式 (3)三数和平方公式 (4)两数和立方公式

(a ? b)(a ? b) ? a2 ? b2 ; (a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 . (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 ; (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 ; (a ? b ? c)2 ? a2 ? b2 ? c2 ? 2(ab ? bc ? ac) ; (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 ; (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 .

(5)两数差立方公式 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 例 1 计算: ( x ? 1)( x ?1)( x2 ? x ? 1)( x2 ? x ? 1) .

2 2 2 2 6 2 4 2 解法一:原式= ( x ? 1) ? ?( x ? 1) ? x ? ? = ( x ?1)( x ? x ? 1) = x ? 1 .

解法二:原式= ( x ? 1)( x2 ? x ? 1)( x ?1)( x2 ? x ? 1) = ( x3 ? 1)( x3 ? 1) = x ? 1 .
6

例 2 已知 a ? b ? c ? 4 , ab ? bc ? ac ? 4 ,求 a ? b ? c 的值.
2 2 2

解: a2 ? b2 ? c2 ? (a ? b ? c)2 ? 2(ab ? bc ? ac) ? 8 . 练习 1.填空题:

1 2 1 2 1 1 a ? b ? ( b ? a) ( 9 4 2 3 2 (2) (4m ? ) ? 16m2 ? 4m ? (
(1) (3 ) (a ? 2b ? c) ? a ? 4b ? c ? ( 2.选择题:
2 2 2 2

) ;

); ).
) (D)

1 mx ? k 是一个完全平方式,则 k 等于( 2 1 2 1 2 2 (A) m (B) m (C) m 4 3 2 2 (2)不论 a , b 为何实数, a ? b ? 2a ? 4b ? 8 的值(
(1)若 x ?
2

1 2 m 16

) (A)总是正数 (B)总是负数 (C)可以是零 (D)可以是正数也可以是负数

(三)二次根式(1)
一般地,形如 a (a ? 0) 的代数式叫做二次根式.根号下含有字母且开不尽方的式子 称为无理式 . 例如 3a ? a2 ? b ? 2b ,

a 2 ? b2 等是无理式,而 2 x 2 ?

2 x ?1 , 2

x2 ? 2xy ? y2 , a2 等是有理式.
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1.分母(子)有理化 把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化, 需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次 根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式,例如 2 与 2 , 3 a 与 a 、 3 ? 6 与 3 ? 6 、 2 3 ? 3 2 与 2 3 ? 3 2 等等.一般地, a x 与

x , a x ?b y 与

a x ? b y , a x ? b 与 a x ? b 互为有理化因式.
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过 程;而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中,二次根式的乘法可参照多项式乘法进行,运算中要 运用公式 a b ? ab (a ? 0, b ? 0) ;而对于二次根式的除法,通常先写成分式的形式, 然后通过分母有理化进行运算;二次根式的加减法与多项式的加减法类似,应在化简的基 础上去括号与合并同类二次根式. ?a, a ? 0, a2 ? a ? ? 2.二次根式 a2 的意义 ??a, a ? 0. 例1
6 将下列式子化为最简二次根式: (1) 12b ; (2) a2b (a ? 0) ; (3) 4 x y ( x ? 0) .

解: (1) 12b ? 2 3b ; (2) a b ? a
2

b ? a b (a ? 0) ;
3

(3) 4 x y ? 2 x
6

y ? ?2 x3 y ( x ? 0) .

例 2 计算: 3 ? (3 ? 3) . 解法一:原式=

3 3? 3 3 3? 3



3 ?1 3 3 ? 3 3( 3 ? 1) 3 ? (3 ? 3) = = = . 2 9?3 6 (3 ? 3)(3 ? 3)
1 3 ?1 3 3 ?1 = = = . 2 3 ? 1 ( 3 ? 1)( 3 ? 1) 3( 3 ?1)
(2)

解法二:原式=



例 3 试比较下列各组数的大小: (1) 12 ? 11 和 11 ? 10 ; 解: (1)∵ 12 ? 11 ?

2 和 2 2- 6 . 6?4

12 ? 11 ( 12 ? 11)( 12 ? 11) 1 , ? ? 1 12 ? 11 12 ? 11

11 ? 10 ( 11 ? 10)( 11 ? 10) 1 , ? ? 1 11 ? 10 11 ? 10 又 12 ? 11 ? 11 ? 10 , ∴ 12 ? 11 < 11 ? 10 . 11 ? 10 ?
(2)∵ 2 2- 6 ?

2 2- 6 (2 2- 6)(2 2 + 6) 2 ? ? , 1 2 2+ 6 2 2+ 6 2 又 4>2 2,∴ 6+4> 6+2 2,∴ < 2 2- 6 . 6?4
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练习: 1. 将下列式子化为最简二次根式: (1) 18b2 2. 计算: (2) 27a2b4

2 2? 2

3. 比较下大小: 5 ? 7 和 11 ? 13

(四)二次根式(2)
例 4 化简: ( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2)2005 . 解: ( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2)2005 = ( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2) = ?( 3 ? 2) ? ( 3 ? 2) ?
2004

?

?

? ( 3 ? 2) = 12004 ? ( 3 ? 2) = 3 ? 2 .
(2) x ?
2

例 5 化简: (1) 9 ? 4 5 ; 解: (1)原式 ?

1 ? 2(0 ? x ? 1) . x2

5 ? 4 5 ? 4 ? ( 5)2 ? 2 ? 2 ? 5 ? 22 ? (2 ? 5) 2 ? 2 ? 5 ? 5 ? 2

(2) 原式= ( x ? ) ? x ?
2

1 x

1 1 1 , ∵ 0 ? x ? 1, ∴ ?1? x, 所以, 原式= ? x . x x x

例 6 已知 x ?

3? 2 3? 2 ,求 3x2 ? 5xy ? 3 y 2 的值 . ,y? 3? 2 3? 2 3? 2 3? 2 解: ∵ x ? y ? ? ? ( 3 ? 2)2 ? ( 3 ? 2)2 ? 10 , 3? 2 3? 2 3? 2 3? 2 ? ?1, 3? 2 3? 2 2 2 2 2 ∴ 3x ? 5xy ? 3 y ? 3( x ? y) ?11xy ? 3?10 ?11 ? 289 . xy ?
练习

1.填空题: (1)

1? 3 =__ 1? 3

___; ___;

2 (2)若 (5 ? x)( x ? 3) ? ( x ? 3) 5 ? x ,则 x 的取值范围是_ _

(3) 4 24 ? 6 54 ? 3 96 ? 2 150 ? __ (4)若 x ? (5)等式

___; __.

5 x ? 1 ? x ?1 x ? 1 ? x ?1 ,则 ? ? ______ 2 x ? 1 ? x ?1 x ? 1 ? x ?1

x ? x?2

x 成立的条件是 x?2



(6)比较大小:2- 3 2.若 b ?

5- 4(填“>”,或“<”) .

a2 ?1 ? 1 ? a2 ,求 a ? b 的值. a ?1
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(五)分式
1.分式的意义

A A 的式子,若 B 中含有字母,且 B ? 0 ,则称 为分式. B B A A A?M A A? M ? 当 M≠0 时,分式 具有下列性质: ? ; . B B B?M B B?M
形如 上述性质被称为分式的基本性质.

a m?n? p 2.繁分式:像 b , 这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式. 2m c?d n? p 5x ? 4 A B 例 1.若 ,求常数 A, B 的值. ? ? x( x ? 2) x x ? 2 A B A( x ? 2) ? Bx ( A ? B) x ? 2 A 5 x ? 4 ?A ? B ? 5 ?A ? 2 ? ? ? 解: ∵ ? , ∴? ?? x x?2 x( x ? 2) x( x ? 2) x( x ? 2) ?2 A ? 4 ?B ? 3 1 1 1 ? ? 例 2. (1)试证: (其中 n 是正整数) ; n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 ? ?? ? (2)计算: ; 1? 2 2 ? 3 9 ?10 1 1 1 1 ? ?? ? ? . (3)证明:对任意大于 1 的正整数 n, 有 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) 2 (n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? ? ? 解: (1)∵右式 ? ,∴ (其中 n 是正整数) . n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 ? ? L ? ? ?1 ( ?) (? ?) ? ? L ( ?) ?1 ? (2) 由 (1) 知 1? 2 23 ? 91 0 ? 2 2 3 9 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )= ? ? ?? ? (3)∵ = ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? , 2 n ?1 2 3 3 4 n n ?1 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? ?? ? 又正整数 n≥2,∴ 一定为正数,∴ < . n+1 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) 2 c 2 2 例3 设 e ? ,且 e>1,2c -5ac+2a =0,求 e 的值. a
解:在 2c -5ac+2a =0 两边同除以 a ,得 2e -5e+2=0,∴(2e-1)(e-2)=0, 1 ∴e= <1,舍去;或 e=2. ∴e=2. 2 练习
2 2 2 2

1 ? n(n ? 2) 2x ? y 2 x ? ,则 = 2.若 x? y 3 y
1.对任意的正整数 n,

(

1 1 ? ); n n?2


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x? y 的值. x? y 1 1 1 1 ? ? ? ... ? 4.计算 . 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 99 ?100
3.正数 x, y 满足 x2 ? y 2 ? 2 xy ,求 习题 A 组 1.填空题: (1) (2 ? 3)18 (2 ? 3)19 =________;
2 2 (2)若 (1 ? a ) ? (1 ? a ) ? 2 ,则 a 的取值范围是________;

(3)

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ________. 1? 2 2? 3 3? 4 4? 5 5? 6

2.解不等式: (1) x ? 1 ? 3 ; (2) x ? 3 ? x ? 2 ? 7 ; (3) x ?1 ? x ?1 ? 6 . 3.已知 x ? y ? 1 ,求 x3 ? y3 ? 3xy 的值. B 1.填空题: 组

1 1 3a 2 ? ab ? (1) a ? , b ? ,则 2 2 3 3a ? 5ab ? 2b 2 x 2 ? 3xy ? y 2 2 2 (2)若 x ? xy ? 2 y ? 0 ,则 ? x2 ? y 2
2.已知: x ?

; ;

y y 1 1 , y ? ,求 的值. ? 2 3 x? y x? y 1 1 2 3.解方程 2( x ? 2 ) ? 3( x ? ) ? 1 ? 0 . x x 1 1 1 1 ? ??? 4.试证:对任意的正整数 n,有 < . 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 n( n ?1)( n ? 2) 4

(六)

分解因式

因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还 应了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法 例 1 分解因式: (1)x2-3x+2; (2)x2+4x-12; (3) x ? (a ? b) xy ? aby ; (4) xy ? 1 ? x ? y .
2 2

解: (1)如图 1.2-1,将二次项 x2 分解成图中的两个 x 的积,再将常数项 2 分解成 -1 与-2 的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为-3x,就是 x2-3x+2 中的一次 项,所以有 x2-3x+2=(x-1)(x-2).
-16-

x x

-1 -2

1 1

-1 -2

1 1

-2 6

x x

-ay -by

图 1.2-1

图 1.2-2

图 1.2-3

图 1.2-4

说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图 1.2-1 中的两个 x 用 1 来表示(如图 1.2-2 所示) . x -1 2 (2)由图 1.2-3,得 x +4x-12=(x-2)(x+6). (3)由图 1.2-4,得 x2 ? (a ? b) xy ? aby 2 = ( x ? ay)( x ? by) (4) xy ? 1 ? x ? y =xy+(x-y)-1=(x-1) (y+1) (如图 1.2-5 所示) . 练习: 把下列各式分解因式: (1) x ? 5 x ? 6 ? __________________。 (2) x ? 5 x ? 6 ? ___________________。
2 2 2

y 图 1.2-5

1

(3) x ? 5 x ? 6 ? _________________。 (4) x ? 5 x ? 6 ? _________________。
2

(5) x 2 ? ?a ? 1?x ? a ? _____ (7) 6 x ? 7 x ? 2 ?
2

_____(6) 2 x ? 7 x ? 3 ?
2

。 。

。 (8) 2 x ? 7 x ? 3 ?
2

(七)分解因式(二)
2.提取公因式法与分组分解法
2 2 例 2 分解因式: (1) x ? 9 ? 3x ? 3x ; (2) 2 x ? xy ? y ? 4 x ? 5 y ? 6 .
3 2

解: (1) x ? 9 ? 3x ? 3x = ( x ? 3x ) ? (3x ? 9) = x ( x ? 3) ? 3( x ? 3) = ( x ? 3)( x ? 3)
3 2

3

2

2

2

3 2 3 3 3 或 x ? 9 ? 3x ? 3x = ( x ? 3x ? 3x ? 1) ? 8 = ( x ? 1) ? 8 = ( x ? 1) ? 2
3 2

= [( x ? 1) ? 2][( x ? 1)2 ? ( x ? 1) ? 2 ? 22 ] = ( x ? 3)( x ? 3) .
2

(2) 2 x2 ? xy ? y 2 ? 4 x ? 5 y ? 6 = 2x2 ? ( y ? 4) x ? y 2 ? 5 y ? 6 = 2x2 ? ( y ? 4) x ? ( y ? 2)( y ? 3) = (2 x ? y ? 2)( x ? y ? 3) . 或 2 x2 ? xy ? y 2 ? 4 x ? 5 y ? 6 = (2 x2 ? xy ? y 2 ) ? (4 x ? 5 y) ? 6 = (2 x ? y)( x ? y) ? (4 x ? 5 y) ? 6 = (2 x ? y ? 2)( x ? y ? 3) . 2 3.关于 x 的二次三项式 ax +bx+c(a≠0)的因式分解. 若关于 x 的方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两个实数根是 x1 、 x2 ,则二次三项式
2

ax2 ? bx ? c(a ? 0) 就可分解为 a( x ? x1 )( x ? x2 ) .
2 2 例 3 把下列关于 x 的二次多项式分解因式: (1)x ? 2 x ? 1 ; (2)x ? 4 xy ? 4 y .
2

解: (1)令 x ? 2 x ? 1 =0,则解得 x1 ? ?1 ? 2 , x2 ? ?1 ? 2 ,
2

∴ x ? 2 x ? 1 = ? x ? (?1 ? 2) ? ? x ? (?1 ? 2) ? = ( x ? 1 ? 2)( x ? 1 ? 2) .
2

?

??

?

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(2)令 x2 ? 4 xy ? 4 y 2 =0,则解得 x1 ? (?2 ? 2 2) y , x1 ? (?2 ? 2 2) y , ∴ x2 ? 4 xy ? 4 y 2 = [ x ? 2(1 ? 2) y][ x ? 2(1 ? 2) y] . 练习 2 3 3 1.分解因式: (1)x +6x+8 (2)8a -b 2 (3)x -2x-1 (4) 4( x ? y ? 1) ? y( y ? 2 x)

? ?x ? 3??x ? 3、若 x ? ax ? b ? ?x ? 2??x ? 4? 则 a ?
2、 x 2 ? 4 x ?
2

(5) 12 x2 ? xy ? 6 y 2

(6) 6?2 p ? q? ?11?q ? 2 p? ? 3
2

?

,b ? 习题 (2) 4 x ? 13x ? 9
4 2



1.分解因式: (1) a ? 1
3

(3) b ? c ? 2ab ? 2ac ? 2bc (4) 3x2 ? 5xy ? 2 y 2 ? x ? 9 y ? 4
2 2

2.在实数范围内因式分解: (1) x ? 5 x ? 3
2

(2) x ? 2 2 x ? 3
2

(3) 3x ? 4 xy ? y
2
2 2 2

2

(4) ( x2 ? 2x)2 ? 7( x2 ? 2x) ? 12

3. ?ABC 三边 a , b , c 满足 a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ,试判定 ?ABC 的形状. 2 2 4.分解因式:x +x-(a -a).

(八)根的判别式
我们知道,对于一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0) ,用配方法可以将其变形为
2

(x ?

b 2 b 2 ? 4ac ) ? . 2a 4a 2
2



因为 a≠0,所以,4a >0.于是 2 (1)当 b -4ac>0 时,方程①的右端是一个正数, 因此,原方程有两个不相等的实数根 x1,2= (2)当 b -4ac=0 时,方程①的右端为零, 因此,原方程有两个等的实数根 x1=x2=-
2 2

?b ? b2 ? 4ac ; 2a
b ; 2a

(3)当 b -4ac<0 时,方程①的右端是一个负数,而方程①的左边 ( x ?

b 2 ) 一定大 2a

于或等于零,因此,原方程没有实数根. 2 2 由此可知,一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由 b -4ac 来判定, 2 2 我们把 b -4ac 叫做一元二次方程 ax +bx+c=0 (a≠0) 的根的判别式, 通常用符号“Δ ” 来表示. 2 综上所述,对于一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0) ,有

?b ? b2 ? 4ac ; 2a b (2)当 Δ =0 时,方程有两个相等的实数根 x1=x2=- ; 2a
(1) 当 Δ >0 时,方程有两个不相等的实数根 x1,2= (3)当 Δ <0 时,方程没有实数根.
-18-

例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况(其中 a 为常数) ,如果方程有实数根,写出 方程的实数根. 2 2 (1)x -3x+3=0; (2)x -ax-1=0; 2 2 (3) x -ax+(a-1)=0; (4)x -2x+a=0. 2 解: (1)∵Δ =3 -4?1?3=-3<0,∴方程没有实数根. 2 2 (2)该方程的根的判别式 Δ =a -4?1?(-1)=a +4>0,所以方程一定有两个不 等的实数根 x1 ?

a ? a2 ? 4 , 2

x2 ?

a ? a2 ? 4 . 2
2 2 2

(3) 由于该方程的根的判别式为 Δ =a -4?1?(a-1)=a -4a+4=(a-2) , 所以, ①当 a=2 时,Δ =0,所以方程有两个相等的实数根 x1=x2=1; ②当 a≠2 时,Δ >0, 所以方程有两个不相等的实数根 x1=1,x2=a-1. 2 (3)由于该方程的根的判别式为 Δ =2 -4?1?a=4-4a=4(1-a),所以 ①当 Δ >0,即 4(1-a) >0,即 a<1 时,方程有两个不相等的实数根

x1 ? 1 ? 1 ? a ,

x2 ? 1 ? 1 ? a ;

②当 Δ =0,即 a=1 时,方程有两个相等的实数根 x1=x2=1; ③当 Δ <0,即 a>1 时,方程没有实数根. 说明:在第 3,4 小题中,方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而变化,于 是,在解题过程中,需要对 a 的取值情况进行讨论,这一方法叫做分类讨论.分类讨论这 一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法,在今后的解题中会经常地运用这一方法来 解决问题. 练习: 1.解下列方程: (1) 2 x ? 13x ? 6 ? 0 (2) 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 (3) 3x ? 5 x ? 7 ? 0
2 2 2

2.解关于 x 的方程: mx ? 2 x ? 1 ? 0
2

(九)根与系数的关系(韦达定理) (1)
若一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有两个实数根
2

则有

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2 ? , 2a 2a ?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac ?2b b x1 ? x2 ? ? ? ?? ; 2a 2a 2a a 2 2 2 2 ?b ? b ? 4ac ?b ? b ? 4ac b ? (b ? 4ac) 4ac c x1 x2 ? ? ? ? 2? . 2a 2a 4a 2 4a a x1 ?
2

所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系: 如果 ax +bx+c=0(a≠0)的两根分别是 x1,x2,那么 x1+x2= ?

b c ,x1?x2= . a a

这一关系也被称为韦达定理. 2 特别地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x +px+q=0,若 x1,x2 是其两根,由
-19-

韦达定理可知 x1+x2=-p,x1?x2=q, 即 p=-(x1+x2),q=x1?x2,所以,方程 x + px+q=0 可化为 x2-(x1+x2)x+x1?x2=0,由于 x1,x2 是一元二次方程 x2+px+q=0 的 2 两根,所以,x1,x2 也是一元二次方程 x -(x1+x2)x+x1?x2=0.因此有 2 以两个数 x1,x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x -(x1+x2)x+x1?x2=0. 例 2 已知方程 5 x ? kx ? 6 ? 0 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值. 分析:由于已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出 k 的值,再由方程解 出另一个根.但由于我们学习了韦达定理,又可以利用韦达定理来解题,即由于已知了方 程的一个根及方程的二次项系数和常数项,于是可以利用两根之积求出方程的另一个根, 再由两根之和求出 k 的值. 2 解法一:∵2 是方程的一个根,∴5?2 +k?2-6=0,∴k=-7.
2

2

∴方程就为 5x -7x-6=0,解得 x1=2,x2=-

3 3 .∴方程的另一个根为- . 5 5 6 3 解法二:设方程的另一个根为 x1,则 2x1=- ,∴x1=- . 5 5 3 k 3 由 (- )+2=- ,得 k=-7.所以,方程的另一个根为- ,k 的值为-7. 5 5 5
2 2 2

例 3 已知关于 x 的方程 x +2(m-2)x+m +4=0 有两个实数根,并且这两个实数 根的平方和比两个根的积大 21,求 m 的值. 分析:本题可以利用韦达定理,由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到关于 m 的 方程,从而解得 m 的值.但在解题中需要特别注意的是,由于所给的方程有两个实数根, 因此,其根的判别式应大于零. 2 解:设 x1,x2 是方程的两根,由韦达定理,得 x1+x2=-2(m-2),x1x2=m +4. 2 2 2 2 2 ∵x1 +x2 -x1x2=21,∴(x1+x2) -3x1x2=21,即[-2(m-2)] -3(m +4)=21 2 化简得 m -16m-17=0, 解得 m=-1,或 m=17. 2 当 m=-1 时,方程为 x +6x+5=0,Δ >0,满足题意; 2 2 当 m=17 时,方程为 x +30x+293=0,Δ =30 -4?1?293<0,不合题意,舍去. 综上,m=17. 说明: (1)在本题的解题过程中,也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的 m 的 范围,然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值,取满足条件的 m 的值即可。 (2)在今后的解题过程中,如果仅仅由韦达定理解题时,还要考虑到根的判别 式 Δ 是否大于或大于零.因为,韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根。 练习: 1. m 为何值时, x ? m ? 1 x ? 2m ? 3 ? 0 的两根均为正?
2

?

?

?

?

2.已知 x1, x2 是方程 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 两个实数根,求: ① x1 ? x2 ; ② x1 ? x2 ; ③
2

1 1 1 2 2 3 3 ④ x1 ? x2 ; ⑤ x1 ? x2 ; ⑥ 2 ; ⑦ ? x1 ? 1?? x2 ? 1? 。 ? ; 2 x1 x2 x1 ? x2
2

3.已知 ? , ? 是方程 x ? 7mx ? 4m ? 0 的两根,且
2

?? ? 1?? ? ? 1? ? 3 ,求 m 的值.

4.已知方程 5x ? kx ? 6 ? 0 的一个根是 2 ,求它的另一根及 k 的值。 5.求作一个方程,使它的根是方程 x ? 7 x ? 8 ? 0 的两根的平方的负倒数.
2

-20-

(十)根与系数的关系(韦达定理) (2)
例 4 已知两个数的和为 4,积为-12,求这两个数. 分析:我们可以设出这两个数分别为 x,y,利用二元方程求解出这两个数.也可以利 用韦达定理转化出一元二次方程来求解. 解法一:设这两个数分别是 x,y,则 x+y=4, ① xy=-12. ② 2 由①得 y=4-x,代入②得 x(4-x)=-12,即 x -4x-12=0,∴x1=-2,x2=6. ∴?

? x1 ? ?2, ? x2 ? 6, 或? 因此,这两个数是-2 和 6. ? y1 ? 6, ? y2 ? ?2.
2

解法二:由韦达定理可知,这两个数是方程 x -4x-12=0 的两个根. 解这个方程,得 x1=-2,x2=6.所以,这两个数是-2 和 6. 说明:从上面的两种解法我们不难发现,解法二(直接利用韦达定理来解题)要比解 法一简捷. 2 例 5 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x +5x-3=0 的两根. (1)求| x1-x2|的值; (2)求

1 1 3 3 (3)x1 +x2 . ? 2 的值; 2 x1 x2
2

5 3 x1 x2 ? ? , 2 2 7 49 2 2 2 2 (1)∵ | x1 ? x2 | ? x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ∴| x1-x2|= . 2 4 5 3 25 (? ) 2 ? 2 ? (? ) ?3 x12 ? x2 2 ( x1 ? x2 )2 ? 2 x1 x2 1 1 37 2 2 ? 4 (2) 2 ? 2 ? 2 . ? ? ? 2 2 3 2 9 x1 x2 x1 ? x2 ( x1 x2 ) 9 (? ) 2 4
解: ∵x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x +5x-3=0 的两根, ∴ x1 ? x2 ? ? (3)x1 +x2 =(x1+x2)( x1 -x1x2+x2 )=(x1+x2)[ ( x1+x2) -3x1x2] =(-
3 3 2 2 2

5 5 2 3 215 )?[(- ) -3?( ? )]=- . 2 2 2 8

说明:一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量,今后我们经常会遇到求这 一个量的问题,为了解题简便,我们可以探讨出其一般规律: 2 设 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0) ,则

x1 ?

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2 ? , 2a 2a
?b ? b2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac 2 b 2 ? 4ac b2 ? 4ac ? ? ? ? ? 2a 2a 2a |a| |a|
2

∴| x1-x2|=

于是有下面的结论: 若 x1 、 x2 分 别 是 一 元 二 次 方 程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? , 则 | x1 ? x2 |?

? (其中 |a|

? ? b2 ? 4ac ) .
今后,在求一元二次方程的两根之差的绝对值时,可以直接利用上面的结论. 2 例 6 若关于 x 的一元二次方程 x -x+a-4=0 的一根大于零、另一根小于零,求实 数 a 的取值范围.
-21-

解:设 x1,x2 是方程的两根,则 x1x2=a-4<0, ① 且 Δ =(-1) -4(a-4)>0. ② 17 由①得 a<4,由②得 a< .∴a 的取值范围是 a<4. 4 练习 1.填空题: (1)方程 x ? 2 3kx ? 3k ? 0 的根的情况是 。 2 (2) 若关于 x 的方程 mx + (2m+1)x+m=0 有两个不等实根, 则实数 m 的取值范围是 。
2 2

2

(3)若方程 x -3x-1=0 的两根分别是 x1 和 x2,则 (4)以-3 和 1 为根的一元二次方程是

2

1 1 ? = x1 x2
2

. .

2.已知 a 2 ? 8a ? 16 ? | b ? 1|? 0 ,当 k 取何值时方程 kx +ax+b=0 有两个不相等的实 数根? 2 3.已知方程 x -3x-1=0 的两根为 x1 和 x2,求(x1-3)( x2-3)的值. 习题 A 组 1.填空题: 2 (1)已知关于 x 的方程 x +kx-2=0 的一个根是 1,则它的另一个根是 。 2 2 (2)关于 x 的一元二次方程 ax -5x+a +a=0 的一个根是 0,则 a 的值是 。 2 (3)方程 kx +4x-1=0 的两根之和为-2,则 k= . 2 2 2 (4)方程 2x -x-4=0 的两根为 α ,β ,则 α +β = . 2 (5) 已知关于 x 的方程 x -ax-3a=0 的一个根是-2, 则它的另一个根是 . 2 (6)方程 2x +2x-1=0 的两根为 x1 和 x2,则| x1-x2|= . 2 2 3.试判定当 m 取何值时,关于 x 的一元二次方程 m x -(2m+1) x+1=0 有两个不相等的 实数根?有两个相等的实数根?没有实数根? 2 4.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程 x -7x-1=0 各根的相反数. 2 5.若关于 x 的方程 x +x+a=0 的一个根大于 1、另一根小于 1,求实数 a 的取值范围. B 组 1.填空题: 2 2 2 (1)若 m,n 是方程 x +2010x-1=0 的两个实数根,则 m n+mn -mn 的值等于 . 3 2 2 3 (2) 若 a, b 是方程 x2+x-1=0 的两个实数根, 则代数式 a +a b+ab +b 的值是 . 2 (3)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x -8x+7=0 的两根,则这个直 角三角形的斜边长等于 。 (4)若 x1,x2 是方程 2x -4x+1=0 的两个根,则
2 2

x1 x2 ? 的值为 x2 x1



2.已知关于 x 的方程 x -kx-2=0. (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)设方程的两根为 x1 和 x2,如果 2(x1+x2)>x1x2,求实数 k 的取值范围. 2 3.一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的两根为 x1 和 x2.求下列各式的值: (1)| x1-x2|和
2

x1 ? x2 3 3 ; (2)x1 +x2 . 2

4.关于 x 的方程 x +4x+m=0 的两根为 x1,x2 满足| x1-x2|=2,求实数 m 的值. 2 5. 已知 x1,x2 是关于 x 的一元二次方程 4kx -4kx+k+1=0 的两个实数根.
-22-

(1)是否存在实数 k,使(2x1-x2)( x1-2 x2)=- 不存在,说明理由;

3 成立?若存在,求出 k 的值;若 2

x1 x2 ? -2 的值为整数的实数 k 的整数值; x2 x1 x (3)若 k=-2, ? ? 1 ,试求 ? 的值. x2
(2)求使

(十一)二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质
问题 1 函数 y=ax 与 y=x 的图象之间存在怎样的关系?
2 2

y? 为了研究这一问题,我们可以先画出 y ? 2 x 、
2
2

1 2 x 、 y ? ?2 x 2 的图象,通过这些 2
2 2

函数图象与函数 y=x 的图象之间的关系,推导出函数 y=ax 与 y=x 的图象之间所存在 的关系. 2 2 先画出函数 y=x ,y=2x 的图象.列表如下: x ? -3 -2 -1 0 1 2 3 ? 2 x ? 9 4 1 0 1 4 9 ? 2 2x ? 18 8 2 0 2 8 18 ? 2 2 从表中不难看出,要得到 2x 的值,只要把相应的 x 的值扩大两倍就可以了.再描点、 连线,就分别得到了函数 y ? x2 、 ,从图 2-1 我们可以 y ? 2x2 的图象(如图 2-1 所示) 2 2 得到这两个函数图象之间的关系:函数 y=2x 的图象可以由函数 y=x 的图象各点的纵坐 标变为原来的两倍得到.同学们也可以用类似于上面的方法画出函数 y= 的图象,并研究这两个函数图象与函数 y=x 的图象之间的关系.
y
2

1 2 x ,y=-2x2 2

y=2(x+1)2+1 y=2(x+1)2 y=2x
2

y

y=x

2

y=2x2

O

x

-1

O

x

图 2.2-2 图 2.2-1 通过上面的研究,我们可以得到以下结论: 2 2 二次函数 y=ax (a≠0)的图象可以由 y=x 的图象各点的纵坐标变为原来的 a 倍得 2 到.在二次函数 y=ax (a≠0)中,二次项系数 a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系 中的开口的大小. 2 2 问题 2 函数 y=a(x+h) +k 与 y=ax 的图象之间存在怎样的关系?
-23-

同样地,我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系. 2 2 同学们可以作出函数 y=2(x+1) +1 与 y=2x 的图象(如图 2-2 所示) ,从函数的 2 同学我们不难发现,只要把函数 y=2x 的图象向左平移一个单位再向上平移一个单位,就 2 可以得到函数 y=2(x+1) +1 的图象.这两个函数图象之间具有“形状相同, 位置不同”
2 y ? ?3 ? x ? 1? ? 1 的图象,研究它们图象 的特点.类似地,还可以通过画函数 y ? ?3 x 、 2

之间的相互关系. 通过上面的研究,我们可以得到以下结论: 2 二次函数 y=a(x+h) +k(a≠0)中,a 决定了二次函数图象的开口大小及方向;h 决 定了二次函数图象的左右平移,而且“h 正左移,h 负右移”;k 决定了二次函数图象的 上下平移,而且“k 正上移,k 负下移”. 2 由上面的结论,我们可以得到研究二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象的方法:

b 2 b2 ? 4ac b b b2 b2 2 x x ? a( x ? ) ? 由于 y=ax +bx+c=a(x + )+c=a(x + + 2 )+c- a a 4a 4a 2a 4a
2 2

所以,y=ax +bx+c(a≠0)的图象可以看作是将函数 y=ax 的图象作左右平移、上 2 下平移得到的,于是,二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)具有下列性质:

2

2

b 4ac ? b 2 , ), (1)当 a>0 时,函数 y=ax +bx+c 图象开口向上;顶点坐标为 ( ? 2a 4a b b b 对称轴为直线 x=- ;当 x< ? 时,y 随着 x 的增大而减小;当 x> ? 时,y 随 2a 2a 2a b 4ac ? b 2 着 x 的增大而增大;当 x= ? 时,函数取最小值 y= . 2a 4a b 4ac ? b 2 2 , ), (2)当 a<0 时,函数 y=ax +bx+c 图象开口向下;顶点坐标为 ( ? 2a 4a b b b 对称轴为直线 x=- ;当 x< ? 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x> ? 时,y 随 2a 2a 2a b 4ac ? b 2 着 x 的增大而减小;当 x= ? 时,函数取最大值 y= . 2a 4a
2

y

b x=- 2a

y

b 4ac ? b 2 , ) A (? 2a 4a

O A (?

x

O x=- 图 2.2-4

x

b 4ac ? b 2 , ) 2a 4a

b 2a

图 2.2-3

上述二次函数的性质可以分别通过图 2.2-3 和图 2.2-4 直观地表示出来.因此, 在今后解决二次函数问题时, 可以借助于函数图像、 利用数形结合的思想方法来解决问题.
-24-

【例 1】求二次函数 y=-3x -6x+1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、 A(-1,4) y 最大值(或最小值) ,并指出当 x 取何值时 y 随 x 的增大而增大 (或减小)?并画出该函数的图象. 2 2 解:∵y=-3x -6x+1=-3(x+1) +4, ∴函数图象的开口向下;对称轴是直线 x=-1; 顶点坐标为(-1,4); D(0,1) 当 x=-1 时,函数 y 取最大值 y=4; 当 x<-1 时,y 随着 x 的增大而增大; 当 x>-1 时,y 随着 x 的增大而减小; O B x C 采用描点法画图,选顶点 A(-1,4)), x=-1 图 2.2-5 与 y 轴的交点为 D(0,1),过这五点画出图象(如图 2-5 所示) . 说明:从这个例题可以看出,根据配方后得到的性质画函数的图象,可以直接选出 关键点,减少了选点的盲目性,使画图更简便、图象更精确. 【例 2】某种产品的成本是 120 元/件,试销阶段每件产品的售价 x(元)与产品的日销售 量 y(件)之间关系如下表所示:若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数,那么,要使每天 所获得最大的利润,每件产品的销售价应定为多少元?此时每天的销售利润是多少? X/元 130 150 165 Y/件 70 50 35 分析:由于每天的利润=日销售量 y?(销售价 x-120),日销售量 y 又是销售价 x 的 一次函数,所以,欲求每天所获得的利润最大值,首先需要求出每天的利润与销售价 x 之 间的函数关系,然后,再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值. 解:由于 y 是 x 的一次函数,于是,设 y=kx+(B) 与 x 轴交于点 B ( 将?

2

2 3 ?3 2 3 ?3 , 0) 和 C (? , 0) , 3 3

? x ? 130 ? x ? 150 ?70 ? 130k ? b ?k ? ?1 分别代入方程得 ? ∴y=-x+200 、 ?? ? ? y ? 70 ? y ? 50 ?50 ? 150k ? b ?b ? 200

设每天的利润为 z(元) ,则 z=(-x+200)(x-120)=-x2+320x-24000 =-(x-160)2+1600, ∴当 x=160 时,z 取最大值 1600. 答:当售价为 160 元/件时,每天的利润最大,为 1600 元. 2 【例 3】把二次函数 y=x +bx+c 的图像向上平移 2 个单位,再向左平移 4 个单位, 2 得到函数 y=x 的图像,求 b,c 的值.

b 2 b2 ) ?c ? ,把它的图像向上平移 2 个单位,再向左平 2 4 2 b b 2 移 4 个单位,得到 y ? ( x ? ? 4) 2 ? c ? ? 2 的图像,也就是函数 y=x 的图像, 2 4 ? b ? ? 4 ? 0, ? ? 2 所以, ? 解得 b=-8,c=14. 2 ?c ? b ? 2 ? 0, ? 4 ? 2 解法二:把二次函数 y=x +bx+c 的图像向上平移 2 个单位,再向左平移 4 个单位, 2 2 得到函数 y=x 的图像,等价于把二次函数 y=x 的图像向下平移 2 个单位,再向右平移 4 2 个单位,得到函数 y=x +bx+c 的图像.
解法一:y=x +bx+c=(x+
2

-25-

由于把二次函数 y=x 的图像向下平移 2 个单位,再向右平移 4 个单位,得到函数 y 2 2 2 2 =(x-4) +2 的图像,即为 y=x -8x+14 的图像,∴函数 y=x -8x+14 与函数 y=x +bx+c 表示同一个函数,∴b=-8,c=14. 说明:本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题,所以,同学们 要牢固掌握二次函数图像的变换规律. 这两种解法反映了两种不同的思维方法:解法一,是直接利用条件进行正向的思维来 解决的,其运算量相对较大;而解法二,则是利用逆向思维,将原来的问题等价转化成与 之等价的问题来解,具有计算量小的优点.今后,我们在解题时,可以根据题目的具体情 况,选择恰当的方法来解决问题. 2 【例 4】已知函数 y=x ,-2≤x≤a,其中 a≥-2,求该函数的最大值与最小值,并 求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量 x 的值. 分析:本例中函数自变量的范围是一个变化的范围,需要对 a 的取值进行讨论. 2 解: (1)当 a=-2 时,函数 y=x 的图象仅仅对应着一个点(-2,4),所以,函数的 最大值和最小值都是 4,此时 x=-2; (2)当-2<a<0 时,由图 2.2-6①可知, 2 当 x=-2 时,函数取最大值 y=4;当 x=a 时,函数取最小值 y=a ; (3)当 0≤a<2 时,由图 2.2-6②可知, 当 x=-2 时,函数取最大值 y=4;当 x=0 时,函数取最小值 y=0; (4)当 a≥2 时,由图 2.2-6③可知, 2 当 x=a 时,函数取最大值 y=a ;当 x=0 时,函数取最小值 y=0. y
4 4 y y

2

a2
4

a
-2 a

2

a2
x -2 O ② a 2 x -2

O ①

O ③

a x

图 2.2-6 说明:在本例中,利用了分类讨论的方法,对 a 的所有可能情形进行讨论.此外,本 例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数,而是取部分实数来研究,在解 决这一类问题时,通常需要借助于函数图象来直观地解决问题. 练习 1.填空题 2 (1) 二次函数 y=2x -mx+n 图象的顶点坐标为(1, -2), 则 m= , n= . 2 (2)已知二次函数 y=x +(m-2)x-2m,当 m= 时,函数图象的顶点在 y 轴上; 当 m= 时,函数图象的顶点在 x 轴上;当 m= 时,函数图象经过原点. 2 (3)函数 y=-3(x+2) +5 的图象的开口向 ,对称轴为 ,顶点坐标 为 ; 当 x= 时, 函数取最 值 y= ; 当 x 满足 时, y 随着 x 的增大而减小.
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2.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及 y 随 x 的变化情况, 2 2 并画出其图象. (1)y=x -2x-3; (2)y=1+6 x-x . 2 4.已知函数 y=-x -2x+3,当自变量 x 在下列取值范围内时,分别求函数的最大值或 最小值,并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量 x 的值: (1)x≤-2; (2)x≤2; (3)-2≤x≤1; (4)0≤x≤3.

(十二)二次函数的三种表示方式
通过上一小节的学习,我们知道,二次函数可以表示成以下两种形式: 1.一般式:y=ax +bx+c(a≠0); 2.顶点式:y=a(x+h) +k (a≠0),其中顶点坐标是(-h,k). 除了上述两种表示方法外, 它还可以用另一种形式来表示. 为了研究另一种表示方式, 我们先来研究二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交点个数. 当抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴相交时,其函数值为零,于是有 ax +bx+c=0 ①, 并且方程①的解就是抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴交点的横坐标 (纵坐标为零) , 于是,不难发现,抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴交点个数与方程①的解的个数有关, 而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式 Δ =b -4ac 有关,由此可知,抛物线 y=
2 2 2 2 2 2 2 2

ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点个数与根的判别式 Δ =b2-4ac 存在下列关系:
(1)当 Δ >0 时,抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点;反过来,若抛物 2 线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点,则 Δ >0 也成立. 2 (2)当 Δ =0 时,抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点(抛物线的顶点) ; 2 反过来,若抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点,则 Δ =0 也成立. 2 (3)当 Δ <0 时,抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴没有交点;反过来,若抛物线 2 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴没有交点,则 Δ <0 也成立. 2 于是,若抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点 A(x1,0),B(x2,0),则 x1,
2

x2 是方程 ax2+bx+c=0 的两根,∴x1+x2= ?
2 所以,y=ax +bx+c=a( x ?

b c b c ,x1x2= ,即 =-(x1+x2), =x1x2 a a a a

2

b c x ? )= a[x2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1) (x-x2). a a

由上面的推导过程可以得到下面结论: 2 若抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴交于 A(x1,0),B(x2,0)两点,则其函数关系 式可以表示为 y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0). 这样,也就得到了表示二次函数的第三种方法: 3.交点式:y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0),其中 x1,x2 是二次函数图象与 x 轴交点的 横坐标. 今后,在求二次函数的表达式时,我们可以根据题目所提供的条件,选用一般式、顶 点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题. 例 1 已知某二次函数的最大值为 2,图像的顶点在直线 y=x+1 上,并且图象经过 点(3,-1) ,求二次函数的解析式. 分析:在解本例时,要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置,从而可
-27-

以将二次函数设成顶点式,再由函数图象过定点来求解出系数 a. 解:∵二次函数的最大值为 2,而最大值一定是其顶点的纵坐标,∴顶点的纵标为 2 又顶点在直线 y=x+1 上,所以,2=x+1,∴x=1.∴顶点坐标是(1,2) . 2 设该二次函数的解析式为 y ? a( x ? 2) ? 1(a ? 0) , ∵二次函数的图像经过点(3,-1) ,∴ ?1 ? a(3 ? 2)2 ? 1 ,解得 a=-2. ∴二次函数的解析式为 y ? ?2( x ? 2)2 ? 1 ,即 y=-2x +8x-7. 说明:在解题时,由最大值确定出顶点的纵坐标,再利用顶点的位置求出顶点坐标, 然后设出二次函数的顶点式,最终解决了问题.因此,在解题时,要充分挖掘题目所给的 条件,并巧妙地利用条件简捷地解决问题. 例 2 已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到 x 轴的距离等于 2,求 此二次函数的表达式. 分析一:由于题目所给的条件中,二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的 图象与 x 轴的交点坐标,于是可以将函数的表达式设成交点式. 解法一: ∵二次函数的图象过点(-3, 0), (1, 0), ∴可设 y=a(x+3) (x-1) (a≠0),
2

?12a 2 ? 4a 2 ? ?4a , 4a 1 由于二次函数图象的顶点到 x 轴的距离 2,∴|-4a|=2,即 a= ? . 2 1 2 3 1 2 3 所以,二次函数的表达式为 y= x ? x ? ,或 y=- x ? x ? . 2 2 2 2
展开,得 y=ax +2ax-3a,顶点的纵坐标为
2

分析二:由于二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),所以,对称轴为直线 x=-1, 又由顶点到 x 轴的距离为 2,可知顶点的纵坐标为 2,或-2,于是,又可以将二次函数的 表达式设成顶点式来解, 然后再利用图象过点(-3, 0)或(1, 0)就可以求得函数的表达式. 解法二:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),∴对称轴为直线 x=-1. 又顶点到 x 轴的距离为 2,∴顶点的纵坐标为 2,或-2. 2 2 于是可设二次函数为 y=a(x+1) +2 或 y=a(x+1) -2, ∵函数图象过点(1,0),∴0=a(1+1) +2 或 0=a(1+1) -2.∴a=- 所以,所求的二次函数为 y=-
2 2

1 1 或 a= 2 2

1 1 2 2 (x+1) +2,或 y= (x+1) -2. 2 2

说明:上述两种解法分别从与 x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度,利用交 点式和顶点式来解题, 在今后的解题过程中, 要善于利用条件, 选择恰当的方法解决问题. 【例 3】 若二次函数的图象经过点 ? ?1, 求此二次函数的表达式. ?22?、 ?8?、 8? , ? 0, ? 2,

??22 ? a ? b ? c, ? a ? ?2 ? ? 解:设该二次函数为 y=ax +bx+c(a≠0).由 ??8 ? c, 得 ?b ? 12 . ?8 ? 4a ? 2b ? c, ? c ? ?8 ? ?
2

所以,所求的二次函数为 y=-2x +12x-8. 通过上面的几道例题,同学们能否归纳出:在什么情况下,分别利用函数的一般式、 顶点式、交点式来求二次函数的表达式? 练习
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2

1.填空: (1)函数 y=-x +x-1 图象与 x 轴的交点个数是 1 2 (2)函数 y=- (x+1) +2 的顶点坐标是 2 (3)已知二次函数的图象经过与 x 轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数的 解析式可设为 y=a (a≠0) . 2 (4)二次函数 y=-x +2 3x+1 的函数图象与 x 轴两交点之间的距离为 . 2.根据下列条件,求二次函数的解析式. (1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6); (2)当 x=3 时,函数有最小值 5 且经过点(1,11); (3)函数图象与 x 轴交于两点(1- 2,0)和(1+ 2,0)并与 y 轴交于(0,-2) (4)函数图象关于 x ? 1 对称,且与 x 轴的两个交点分别为(-1,0) , (3,0)

2

(十三)二次函数的简单应用
一、函数图象的平移变换与对称变换 1.平移变换 问题 1 在把二次函数的图象进行平移时,有什么特点?依据这一特点,可以怎样来 研究二次函数的图象平移? 我们不难发现:在对二次函数的图象进行平移时,具有这样的特点——只改变函数图 象的位置、不改变其形状,因此,在研究二次函数的图象平移问题时,只需利用二次函数 图象的顶点式研究其顶点的位置即可. 2 例 1 求把二次函数 y=x -4x+3 的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函 数解析式: (1)向右平移 2 个单位,向下平移 1 个单位; (2)向上平移 3 个单位,向左平移 2 个单位. 分析:由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状(即不改变二次项系数) , 所以只改变二次函数图象的顶点位置(即只改变一次项和常数项) ,所以,首先将二次函 数的解析式变形为顶点式,然后,再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移 后函数图像所对应的解析式. 2 2 解:二次函数 y=2x -4x-3 的解析式可变为 y=2(x-1) -1,顶点坐标为(1,-1). 2 (1)把函数 y=2(x-1) -1 的图象向右平移 2 个单位再向下平移 1 个单位后,其函 2 数图象的顶点坐标是(3,-2),∴平移后函数图象对应的函数表达式为 y=2(x-3) -2 2 (2)把函数 y=2(x-1) -1 的图象向上平移 3 个单位,向左平移 2 个单位后,其函 2 数图象的顶点坐标是(-1, 2),∴平移后函数图象对应的函数表达式为 y=2(x+1) +2. 2.对称变换 问题 2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时,有什么特点?依据 这一特点,可以怎样来研究二次函数的图象平移? 我们不难发现:在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时,具有 这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状,因此,在研究二次函 数图象的对称变换问题时,关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题. 2 例 2 求把二次函数 y=2x -4x+1 的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函 数解析式: (1)直线 x=-1; (2)直线 y=1. 2 解: (1)如图 2.2-7,把二次函数 y=2x -4x+1 的图象关于直线 x=-1 作对称变 换后,只改变图象的顶点位置,不改变其形状.
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由于 y=2x -4x+1=2(x-1) -1,可知,函数 y=2x -4x+1 图象的顶点为 A(1,- 2 1),所以,对称后所得到图象的顶点为 A1(-3,1),∴二次函数 y=2x -4x+1 的图象关 2 2 于直线 x=-1 对称后所得到图象的函数解析式为 y=2(x+3) -1,即 y=2x +12x+17. x=-1 y y B(1,3) y=1 O A(1,-1) 图 2.2-7
2

2

2

2

x

O A(1,-1) 图 2.2-8

x

(2)如图 2.2-8,把二次函数 y=2x -4x+1 的图象关于直线 x=-1 作对称变换 后,只改变图象的顶点位置和开口方向,不改变其形状. 2 2 2 由于 y=2x -4x+1=2(x-1) -1, 可知函数 y=2x -4x+1 图象的顶点为 A(1,-1), 2 ∴对称后所得到图象的顶点为 B(1,3)且开口向下,∴二次函数 y=2x -4x+1 的图象关 2 2 于直线 y=1 对称后所得到图象的函数解析式为 y=-2(x-1) +3,即 y=-2x +4x+1. 练习:1.把函数 y=-(x-1)2+4 的图象向左平移 2 个单位,向下平移 3 个单位,所得图 象对应的解析式为 。 2.函数 y ? 2 x ? 3x ? 1 的图象关于直线 x ? 3 对称的图象所对应的函数解析式是
2 2



3.函数 y ? 2 x ? 3x ? 1 的图象关于点(1,0)对称的图象所对应的函数解析式是 。 4. 如图①,在平面直角坐标系中,AB、CD 都垂直于 x 轴,垂足分别为 B、D 且 AD 与 BC 相交于 E 点.已知:A(-2,-6),C(1,-3) (1) 求证:E 点在 y 轴上; (2) 如果有一抛物线经过 A,E,C 三点,求此抛物线方程. (3) 如果 AB 位置不变,再将 DC 水平向右移动 k(k>0)个单位,此时 AD 与 BC 相交于 E′点, 如图②,求△AE′C 的面积 S 关于 k 的函数解析式. y B O E C(1,-3) D x B y y y y O y y 3

D x E′ C ( 1+k , -3)

A (-2, -6) (第 4 题图①)

A (-2, -6) (第 4 题图②)
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5.求函数 y ? x 2 ? 4 x ? 1在 a ? x ? a ? 2 上的最小值。

(十四)分段函数
一般地,如果自变量在不同取值范围内时,函数由不同的解析式给出,这种函数叫作 分段函数. 例 1 在国内投递外埠平信,每封信不超过 20g 付邮资 80 分,超过 20g 不超过 40g 付邮资 160 分,超过 40g 不超过 60g 付邮资 240 分,依此类推,每封 xg(0<x≤100)的信 应付多少邮资(单位:分)?写出函数表达式,作出函数图象. 分析:由于当自变量 x 在各个不同的范围内时,应付邮资的数量是不同的.所以,可 以用分段函数给出其对应的函数解析式.在解题时,需要注意的是,当 x 在各个小范围内 (如 20<x≤40)变化时,它所对应的函数值(邮资)并不变化(都是 160 分) . 解:设每封信的邮资为 y(单位:分) ,则 y 是 x 的函数.这个函数的解析式为

?80, ?160 ? ? y ? ?240, ?320 ? ? ?400,

x ? (0, 20] x ? (20, 40] x ? 940,80] x ? (60,80] x ? (80,100]
y(分) 400 320 240 160 80 O
20 40 60 80 100

由上述的函数解析式,可以得到其图象如图 2.2-9 所示.

x(克)

图 2.2-9 【例 2】如图 9-2 所示,在边长为 2 的正方形 ABCD 的边上有一个动点 P,从点 A 出发沿折线 ABCD 移动一周后,回到 A 点.设点 A 移动的路程为 x,Δ PAC 的面积为 y. (1)求函数 y 的解析式; D C (2)画出函数 y 的图像; (3)求函数 y 的取值范围. 分析:要对点 P 所在的位置进行分类讨论. P 解: (1)①当点 P 在线段 AB 上移动(如图 2.2-10①) , 即 0<x≤2 时,y=

1 AP ? BC =x; 2

A 图 2.2-10

②当点 P 在线段 BC 上移动(如图 2.2-10②) , 即 2<x<4 时,y=

B

1 1 PC ? AB = (4 ? x) ? 2 =4-x; 2 2

③当点 P 在线段 CD 上移动(如图 2.2-10③) ,
-31-

即 4<x≤6 时,y= PC ? AD = ( x ? 4) ? 2 =x-4; ④当点 P 在线段 DA 上移动(如图 2.2-10④) ,即 6<x<8 时, 练习: 1.(1)作函数 y ? x ?1 ? x ? 2 的图象。 (2)作函数 y ? x ?1 ? x ? 2 的图象。 补:已知 a ? x ?1 ? x ? 2 恒成立,求 a 的范围。 2. 矩形 ABCD 中 AB ? 4, CD ? 2 , 有一个动点 P 在矩形的边上运动, 从点 A 出发沿折线 ABCD 移动一周后,回到 A 点.设点 A 移动的路程为 x,Δ PAC 的面积为 y. (1)求函数 y 的解析式; (2)画出函数 y 的图像; (3)求函数 y 的取值范围.

1 2

1 2

(十五) 二元二次方程组解法
方程 x2 ? 2 xy ? y 2 ? x ? y ? 6 ? 0 是一个含有两个未知数 ,并且含有未知数的项的 最高次数是 2 的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程. 其中 x , 2 xy , y 叫做这个方程 的二次项, x , y 叫做一次项,6 叫做常数项. 我们看下面的两个方程组:
2

2

? x 2 ? 4 y 2 ? x ? 3 y ? 1 ? 0, ? ?2 x ? y ? 1 ? 0;

2 2 ? ? x ? y ? 20, ? 2 2 ? ? x ? 5 xy ? 6 y ? 0.

第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的,第二个方程组是由 两个二元二次方程组成的,像这样的方程组叫做二元二次方程组. 下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法. 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解.

? x 2 ? 4 y 2 ? 4 ? 0, 例 1 解方程组 ? ? x ? 2 y ? 2 ? 0.

① ②

分析:二元二次方程组对我们来说较为生疏,在解此方程组时,可以将其转化为我们 熟悉的形式.注意到方程②是一个一元一次方程,于是,可以利用该方程消去一个元,再 代入到方程①,得到一个一元二次方程,从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉 的问题. 解:由②,得 x=2y+2, ③ 2 把③代入①,整理,得 8y +8y=0,即 y(y+1)=0. 解得 y1=0,y2=-1. 把 y1=0 代入③,得 x1=2; 把 y2=-1 代入③,得 x2=0. 所以原方程组的解是 ?

? x1 ? 2, ? x2 ? 0, 或? ? y1 ? 0, ? y2 ? ?1.
① ②

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说明: 在解类似于本例的二元二次方程组时, 通常采用本例所介绍的代入消元法求解.

? x ? y ? 7, ? xy ? 12. 解法一:由①,得 x ? 7 ? y.
例2 解方程组 ?

把③代入②,整理,得 y 2 ? 7 y ? 12 ? 0 解这个方程,得 y1 ? 3, y2 ? 4 . 把 y1 ? 3 代入③,得 x1 ? 4 ;把 y2 ? 4 代入③,得 x2 ? 3 . 所以原方程的解是 ?

? x1 ? 4, ? x2 ? 3, 或? ? y1 ? 3, ? y2 ? 4.

解法二:对这个方程组,也可以根据一元二次方程的根与系数的关系,把 x, y 看作一 个一元二次方程的两个根,通过解这个一元二次方程来求 x, y .
2 这个方程组的 x, y 是一元二次方程 z ? 7 z ? 12 ? 0 的两个根,解这个方程得 z ? 3 ,

或 z ? 4 .所以原方程组的解是 ?

? x1 ? 4, ? y1 ? 3;

? x2 ? 3, ? ? y2 ? 4.
练 习:

? x2 y 2 ? y 2 ? 2x , ? y ? x ? 5, ? x ? y ? 3, ? 1, ? ? ? 解方程组:(1) ? 2 (2) ? (3) ? 5 (4) ? 2 4 2 2 ? ? xy ? ?10; ? x ? y ? 625; ? x ? y ? 8. ? y ? x ? 3; ?

(十六) 一元二次不等式解法(1)
二次函数 y=x -x-6 的对应值表与图象如下:
2

6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 由对应值表及函数图象(如图 2.3-1)可知 y>0 y>0 2 当 x=-2,或 x=3 时,y=0,即 x -x=6=0; 2 当 x<-2,或 x>3 时,y>0,即 x -x-6>0; 2 当-2<x<3 时,y<0,即 x -x-6<0. -2 O 2 x 3 这就是说,如果抛物线 y= x -x-6 与 x 轴的交点 2 是(-2,0)与(3,0),那么一元二次方程 x -x-6=0 y<0 的解就是 x1=-2,x2=3; 同样,结合抛物线与 x 轴的相关位置,可以得到 2 一元二次不等式 x -x-6>0 的解是 x<-2 或 x>3; 2 一元二次不等式 x -x-6<0 的解是-2<x<3. 上例表明:由抛物线与 x 轴的交点可以确定对应的 图 2.3-1 一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集. 2 那么,怎样解一元二次不等式 ax +bx+c>0(a≠0)呢?我们可以用类似于上面例子 2 2 的方法,借助于二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象来解一元二次不等式 ax +bx+c> 0(a≠0).为了方便起见,我们先来研究二次项系数 a>0 时的一元二次不等式的解. 2 2 我们知道,对于一元二次方程 ax +bx+c=0(a>0),设△=b -4ac,它的解的情形 按照△>0,△=0,△<0 分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的 2 实数解和没有实数解,相应地,抛物线 y=ax +bx+c(a>0)与 x 轴分别有两个公共点、 一个公共点和没有公共点(如图 2.3-2 所示),因此,我们可以分下列三种情况讨论对应 2 2 的一元二次不等式 ax +bx+c>0(a>0)与 ax +bx+c<0(a>0)的解.
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x y

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

y

y=x2-x-6

y

y

y

x1

O x2

x O x1= x2 x

O ③

x


2

② 图 2.3-2

(1)当 Δ >0 时,抛物线 y=ax +bx+c(a>0)与 x 轴有两个公共点(x1,0)和(x2, 2 0),方程 ax +bx+c=0 有两个不相等的实数根 x1 和 x2(x1<x2),由图 2.3-2①可知 2 2 不等式 ax +bx+c>0 的解为 x<x1,或 x>x2;不等式 ax +bx+c<0 的解为 x1<x<x2. (2)当 Δ=0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴有且仅有一个公共点,方程 b ax2+bx+c=0 有两个相等的实数根 x1=x2=- ,由图 2.3-2②可知不等式 ax2+bx+c 2a b 2 >0 的解为 x≠- ;不等式 ax +bx+c<0 无解. 2a 2 2 (3)如果△<0,抛物线 y=ax +bx+c(a>0)与 x 轴没有公共点,方程 ax +bx+ 2 c=0 没有实数根,由图 2.3-2③可知不等式 ax +bx+c>0 的解为一切实数;不等式 ax2 +bx+c<0 无解. 今后,我们在解一元二次不等式时,如果二次项系数大于零,可以利用上面的结论直 接求解;如果二次项系数小于零,则可以先在不等式两边同乘以-1,将不等式变成二次 项系数大于零的形式,再利用上面的结论去解不等式. 2 2 【例】解不等式: (1)x +2x-3≤0; (2)x-x +6<0; 2 2 (3)4x +4x+1≥0; (4)x -6x+9≤0; 2 (5)-4+x-x <0. 2 解: (1) ∵Δ >0, 方程 x +2x-3=0 的解是 x1=-3, x2=1. ∴不等式的解为-3≤x≤1. 2 2 (2)整理,得 x -x-6>0.∵Δ >0,方程 x -x-6=0 的解为 x1=-2,x2=3. ∴所以,原不等式的解为 x<-2 或 x>3. 2 (3)整理得(2x+1) ≥0.∵上式对任意实数 x 都成立,∴原不等式的解为一切实数 2 2 2 (4)整理得(x-3) ≤0.∵当 x=3 时,(x-3) =0 成立;而对任意的实数 x,(x-3) <0 都不成立,∴原不等式的解为 x=3. 2 (5)整理得 x -x+4>0.Δ <0,∴原不等式的解为一切实数. 练习:解下列不等式:1. 2 x ? 7 x ? 3 ? 0 ;
2

2. ?3x ? 5x ? 2 ? 0
2

3. 9x2 ? 6x ? 1 ? 0 5. 2 x ? x ? 5 ? 0
2

4. 4 x ? 4 x ? 1 ? 0
2

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(十七) 一元二次不等式解法(2)
【例 1】已知不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解是 x ? 2 或 x ? 3 ,求不等式

bx2 ? ax ? c ? 0 的解 解:∵不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解为 x ? 2 或 x ? 3 , 2 ∴ a ? 0 且方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根分别为 2 和 3, b c b c ? 6 ,即 ? ?5 , ?6. ∴? ? 5, a a a a b 2 c 2 ∵ a ? 0 ,∴不等式 bx ? ax ? c ? 0 可变为 x ? x ? ? 0 ,即- 5x2 ? x ? 6 ? 0 a a
6 2 ∴不等式 bx ? ax ? c ? 0 的解是 x<-1,或 x> . 5 说明:本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题. 整理得 5x2 ? x ? 6 ? 0 , 例 2 解关于 x 的一元二次不等式 x ? ax ? 1 ? 0(a 为实数). 分析 对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本 题已满足这一要求,欲求一元二次不等式的解,要讨论根的判别式 ? 的符号,而这里的 ? 是 关于未知系数的代数式, ? 的符号取决于未知系数的取值范围,因此,再根据解题的需要, 对 ? 的符号进行分类讨论.
2

解: ? ? a ? 4 , ①当 ? ? 0,即a ? ?2或a ? 2时,方程x2 ? ax ? 1 ? 0 的解是
2

x1 ?

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 , x2 ? . 2 2
?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 或 ; , x? 2 2
a
2 ;

∴原不等式的解集为 x ?

②当 Δ =0,即 a=±2 时,原不等式的解为 x≠-

③当 ? ? 0,即? 2 ? a ? 2时, 原不等式的解 为一切实数 .

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 综上,当 a≤-2 或 a≥2 时,原不等式的解是 x ? 或x? ; 2 2 当 ?2 ? a ? 2时, 原不等式的解 为一切实数.
例 3 已知函数 y=x -2ax+1(a 为常数)在-2≤x≤1 上的最小值为 n,试将 n 用 a 表 示出来. 分析:由该函数的图象可知,该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关,于是需 要对对称轴的位置进行分类讨论. 2 2 2 解:∵y=(x-a) +1-a ,∴抛物线 y=x -2ax+1 的对称轴方程是 x=a. 2 (1)若-2≤a≤1,由图 2.3-3①可知,当 x=a 时,该函数取最小值 n=1-a ; (2)若 a<-2 时, 由图 2.3-3②可知, 当 x=-2 时,该函数取最小值 n=4a+5; (2)若 a>1 时, 由图 2.3-3③可知, 当 x=1 时,该函数取最小值 n=-2a+2.
2

-35-

?4a ? 5, a ? ?2, ? 2 综上,函数的最小值为 n ? ?1 ? a , ? 2 ? a ? 1, ??2a ? 2, a ? 1. ?
x=a y x=a y y x=a

-2

O 1

x

-2

O1

x -2

O

1

x



② 图 2.3-3



练习 2 1.解下列不等式:(1)3x -x-4>0;(2)x -x-12≤0;
2

(3)x2+3x-4>0;
2 2

(4)16-8x+x2≤0.

2.解关于 x 的不等式 x +2x+1-a ≤0(a 为常数) . 3.解关于 x 的不等式 mx ? 2 x ? 1 ? 0 2 4. 已知函数 y=x -2ax+1(a 为常数)在-2≤x≤1 上的最小值为 1,求实数 a 的值。
2

习题 A 组

? x2 2 2 ? ?( x ? 3)2 ? y 2 ? 9, ? x ? y ? 4, ? ? y 2 ? 1, 1.解下列方程组: (1) ? 4 (2) ? (3) ? 2 2 ? ? x ? 2 y ? 0; ? x ? y ? 2. ? x ? y ? 2 ? 0; ?
2.解下列不等式: (1)3x -2x+1<0; (2)3x -4<0; 2 2 (3)2x-x ≥-1; (4)4-x ≤0. B 组 1. m 取什么值时,方程组 ?
2 2

? y 2 ? 4 x, ? y ? 2x ? m
2

有一个实数解?并求出这时方程组的解.
2

2.解关于 x 的不等式: (1)x -(1+a)x+a<0(a 为常数) ; (2) x ? 2 x ? m ? 0 3.已知关于 x 不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解为 x<-1,或 x>3.试解关于 x 的不等式
2

cx2 ? bx ? a ? 0
4.试求关于 x 的函数 y=-x +mx+2 在 0≤x≤2 上的最大值 k.
2

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(十八)国际数学大师陈省身
2004 年 12 月 3 日,国际数学大师、中科院外籍院士陈省身,在天津病逝.享年 93 岁.陈省身,1911 年 10 月 26 日生于浙江嘉兴.少年时就喜爱数学,觉得数学既有趣又较 容易,并且喜欢独立思考,自主发展,常常“自己主动去看书,不是老师指定什么参考书 才去看”.陈省身 1927 年进入南开大学数学系,该系的姜立夫教授对陈省身影响很大.在 南开大学学习期间,他还为姜立夫当助教.1930 年毕业于南开大学,1931 年考入清华大 学研究院,成为中国国内最早的数学研究生之一.在孙光远博士指导下,发表了第—篇研 究论文,内容是关于射影微分几何的.1932 年 4 月应邀来华讲学的汉堡大学教授布拉希克 对陈省身影响也不小,使他确定了以微分几何为以后的研究方向.1934 年,他毕业于清华 大学研究院,同年,得到汉堡大学的奖学金,赴布拉希克所在的汉堡大学数学系留学.在 布拉希克研究室他完成了博士论文,研究的是嘉当方法在微分几何中的应用.1936 年获得 博土学位. 从汉堡大学毕业之后, 他来到巴黎. 1936 年至 1937 年间在法国几何学大师 E· 嘉 当那里从事研究.E· 嘉当每两个星期约陈省身去他家里谈一次,每次一小时. “听君一席 话,胜读十年书.”大师面对面的指导,使陈省身学到了老师的数学语言及思维方式,终 身受益.陈省身数十年后回忆这段紧张而愉快的时光时说, “年轻人做学问应该去找这方 面最好的人”. 陈省身先后担任我国西南联大教授,美国普林斯顿高等研究所研究员,芝加哥大学、 伯克利加州大学终身教授等, 是美国国家数学研究所、 南开大学数学研究所的创始所长. 陈 省身的数学工作范围极广,包括微分几何、拓扑学、微分方程、代数、几何、李群和几何 学等多方面.他是创立现代微分几何学的大师.早在 40 年代,他结合微分几何与拓扑学 的方法,完成了黎曼流形的高斯—博内一般形式和埃尔米特流形的示性类论.他首次应用 纤维丛概念于微分几何的研究,引进了后来通称的陈氏示性类.为大范围微分几何提供了 不可缺少的工具. 他引近的一些概念、 方法和工具, 已远远超过微分几何与拓扑学的范围, 成为整个现代数学中的重要组成部分.陈省身还是一位杰出的教育家,他培养了大批优秀 的博士生.他本人也获得了许多荣誉和奖励,例如 1975 年获美国总统颁发的美国国家科 学奖, 1983 年获美国数学会“全体成就”靳蒂尔奖, 1984 年获沃尔夫奖. 中国数学会在 1985 年通过决议.设立陈省身数学奖.他是有史以来惟一获得数学界最高荣誉“沃尔夫奖”的华 人,被称为“当代最伟大的数学家”.被国际数学界尊为“微分几何之父”.韦伊曾说,“我相 信未来的微分几何学史一定会认为他是嘉当的继承人 ”. 菲尔兹奖得主、华人数学家丘 成桐这样评价他的老师:“陈省身是世界上领先的数学家……没有什么障碍可以阻止一个 中国人成为世界级的数学家.” 2004 年 11 月 2 日,经国际天文学联合会下属的小天体命名委员会讨论通过,国际小 行星中心正式发布第 52733 号《小行星公报》通知国际社会,将一颗永久编号为 1998CS2 号的小行星命名为“陈省身星”,以表彰他对全人类的贡献。

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(十九)中华民族是一个具有灿烂文化和悠久历史的民族
中华民族是一个具有灿烂文化和悠久历史的民族,在灿烂的文化瑰宝中数学在世界也 同样具有许多耀眼的光环,我国古代算术的许多研究成果里面就早已孕育了后来西方数学 才涉及的思想方法,这不仅反映了中华民族文化的博大精深,也说明了我们的民族是一个 聪明智慧的民族,有不少数学人才和在世界领先的数学研究成果,我们应该引以为荣,更 应该发扬和光大数学前辈的治学精神,爱好数学,学好数学,用好数学。我们希望能看到 更多的华人数学家诞生!希望有更多的以华人数学家命名的研究成果载入世界数学史册, 扬我中华民族之威! 以华人数学家命名的研究成果统计 下面就是收集到的以华人数学家命名的研究成果。 「李氏恒等式」 数学家李善兰在级数求和方面的研究成果,在国际上被命名为“李氏恒等式”。 「华氏定理」 数学家华罗庚关于完整三角和的研究成果被国际数学界称为“华氏定理”;另外他与数 学家王元提出多重积分近似计算的方法被国际上誉为“华—王方法”。 「苏氏锥面」 数学家苏步青在仿射微分几何学方面的研究成果在国际上被命名为“苏氏锥面”。 「熊氏无穷级」 数学家熊庆来关于整函数与无穷级的亚纯函数的研究成果被国际数学界誉为 “熊氏无 穷级”。 「陈示性类」 数学家陈省身关于示性类的研究成果被国际上称为“陈示性类”。 「周氏坐标」 数学家周炜良在代数几何学方面的研究成果被国际数学界称为 “周氏坐标;另外还有 以他命名的”周氏定理“和”周氏环“。 「吴氏方法」 数学家吴文俊关于几何定理机器证明的方法被国际上誉为“吴氏方法”;另外还有以他 命名的“吴氏公式”。 「王氏悖论」 数学家王浩关于数理逻辑的一个命题被国际上定为“王氏悖论”。 「柯氏定理」 数学家柯召关于卡特兰问题的研究成果被国际数学界称为“柯氏定理”;另外他与数学 家孙琦在数论方面的研究成果被国际上称为“柯—孙猜测”。 「陈氏定理」 数学家陈景润在哥德巴赫猜想研究中提出的命题被国际数学界誉为“陈氏定理”。 「杨—张定理」 数学家杨乐和张广厚在函数论方面的研究成果被国际上称为“杨—张定理”。 「陆氏猜想」
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数学家陆启铿关于常曲率流形的研究成果被国际上称为“陆氏猜想”。 「夏氏不等式」 数学家夏道行在泛函积分和不变测度论方面的研究成果被国际数学界称为 “夏氏不等 式”。 「姜氏空间」 数学家姜伯驹关于尼尔森数计算的研究成果被国际上命名为“姜氏空间”;另外还有以 他命名的“姜氏子群”。 「侯氏定理」 数学家侯振挺关于马尔可夫过程的研究成果被国际上命名为“侯氏定理”。 「周氏猜测」 数学家周海中关于梅森素数分布的研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。 「王氏定理」 数学家王戌堂关于点集拓扑学的研究成果被国际数学界誉为“王氏定理”。 「袁氏引理」 数学家袁亚湘在非线性规划方面的研究成果被国际上命名为“袁氏引理”。 「景氏算子」 数学家景乃桓在对称函数方面的研究成果被国际上命名为“景氏算子”。 「陈氏文法」 数学家陈永川在组合数学方面的研究成果被国际上命名为“陈氏文法”。

(二十)
甲 乙 7 9 8 5 6 7 8 8 6 7 5 6 9 8

方差在实际生活中的应用
10 6 7 7 4 7 5 9 6 6 5 5 6 8 7 6 8 9 7 6 9 8 9 7 9 7

看一个问题:甲乙两个射击运动员在选拔赛中各射击 20 次,成绩如下:

问:派谁参加比赛合适? 一、方差和标准差计算公式: 样本方差:s =
2

1 2 2 2 〔 (x1— x ) +(x2— x ) +?+(xn— x ) 〕 n
? ? ? 1 [(x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] n

样本标准差:s=

方差和标准差的意义:描述一个样本和总体的波动大小的特征数。标准差大说明波动大。 一般的计算器都有这个键。 例一、要从甲乙两名跳远运动员中选拔一名去参加运动会,选拔的标准是:先看他们的 平均成绩,如果两人的平均成绩相差无几,就要再看他们成绩的稳定程度。为此对两人进 行了 15 次比赛,得到如下数据: (单位:cm) : 甲 乙 755 729 752 767 757 744 744 750 743 745 729 753 721 745 731 752 778 769 768 743 761 760 773 755 764 748 736 752 741 747

如何通过对上述数据的处理,来作出选人的决定呢?
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说明:总体平均数描述一总体的平均水平,方差和标准差描述数据的波动情况或者叫稳 定程度。 练习: 1. 根据以下数据,说明哪个波动小? 甲 乙 甲 乙 900 890 6 8 920 960 5 7 8 6 900 950 4 5 850 850 9 8 6 2 910 860 920 890

2.从甲乙两个总体中各抽取了一个样本:

根据上述样本估计,哪个总体的波动较小? 3.甲乙两人在相同条件下个射击 20 次,命中的环数如下,谁射击的情况比较稳定? 甲 乙 7 9 8 5 6 7 8 8 6 7 5 6 9 8 10 6 7 7 4 7 5 9 6 6 6 5 7 8 8 6 7 9 9 6 10 8 9 7 6 7

4.为了考察甲乙两种小麦的长势,分别从中抽取 10 株苗,测得苗高如下,哪种小麦长得 比较整齐? 甲 乙 12 11 13 16 14 17 15 14 10 13 16 19 13 6 11 8 15 10 11 16

(二十一)平行线分线段成比例定理 在解决几何问题时,我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题. 在数学学习与研究中,我们发现平行线常能产生一些重要的长度比. 在一张方格纸上,我们作平行线 l1 , l2 , l3 (如图) , 直线 a 交 l1 , l2 , l3 于点 A, B, C , AB ? 2, BC ? 3 , 另作直线 b 交 l1 , l2 , l3 于点 A ', B ', C ' ,不难发现

A ' B ' AB 2 ? ? . 我们将这个结论一般化,归纳出 B ' C ' BC 3
平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.

AB DE = . BC EF AB DE ? 当然,也可以得出 . AC DF
如图, l1 // l2 // l3 ,有 在运用该定理解决问题的过程中,我们一定要注意线段之间的对应关系,是“对应” 线段成比例.
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例1 解

如图, l1 // l2 // l3 ,且 AB = 2, BC = 3, DF = 4, 求 DE, EF .

Q l1 // l2 // l3 , \

AB DE = = BC EF 2 8 DE ? DF ? , EF ? 2?3 5

2 , 3 3 12 DF ? . 2?3 5

例 2 在 ? ABC 中, D, E 为边 AB, AC 上的点, DE // BC , 求证:

AD AE DE ? ? . AB AC BC

证法(一) :? DE // BC,??ADE ? ?ABC, ?AED ? ?ACB,

?? ADE ∽ ? ABC ,?

AD AE DE ? ? . AB AC BC AD AE ? . AB AC

证法(二) : 如图 3.1-3,过 A 作直线 l // BC ,? l // DE // BC, ? 作 EF // AB 交 AB 于 D ,得 ? BDEF ,∴ DE ? BF .

? EF // AB,?

AD AE DE AE BF DE ? ? . ? ? . ? AB AC BC AC BC BC

从上例可以得出如下结论: 平行于三角形的一边的直线截其它两边(或两边的延长线) ,所得的对应线段成比例. 平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角 形的三边对应成比例. 例 3 已知 ? ABC , D 在 AC 上, AD : DC ? 2 :1 ,能否在 AB 上 找到一点 E ,使得线段 EC 的中点在 BD 上. 解 假设能找到,如图,设 EC 交 BD 于 F ,则 F 为 EC 的中点, 作 EG // AC 交 BD 于 G .

? EG // AC, EF ? FC ,? ? EGF ?? CDF ,且 EG ? DC ,
? EG //
BE EG 1 1 ? ? , ? E 为 AB 的中点. AD,? BEG ?? BAD ,且 BA AD 2 2 可见,当 E 为 AB 的中点时, EC 的中点在 BD 上.
我们在探索一些存在性问题时,常常先假设其存在,再解之,有解则存在,无解或矛 盾则不存在. 例4 在 V ABC 中, AD 为 ?BAC 的平分线,求证:

AB BD = . AC DC

证明 过 C 作 CE//AD,交 BA 延长线于 E,

Q AD // CE , \

BA BD = . AE DC
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Q AD 平分 衆 BAC, ? BAD
由 AD // CE 知 ? BAD

? DAC,

行 E, DAC = ? ACE,

\ ?E

? ACE,即AE

AC, \

AB BD = . AC DC

例 4 的结论也称为角平分线性质定理, 可叙述为角平分线分对边成比例 (等于该角的 两边之比). 练习 1.如图, l1 // l2 // l3 ,下列比例式正确的是( A. )

AD CE AD BC CE AD AF BE = = = = B. C. D. DF BC BE AF DF BC DF CE 2.如图, DE // BC, EF // AB, AD = 5cm, DB = 3cm, FC = 2cm, 求 BF . 3.如图,在 V ABC 中,AD 是角 BAC 的平分线,AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求 BD 的长.

第 1 题图

第 2 题图

第 3 题图

V ABC 中, ?BAC 的外角平分线 AD 交 BC 的延长线于点 D , 4. 如图, 求证:

AB BD = . AC DC

5.如图,在 V ABC 的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点,使 BD=CE,DE 延长线交 BC 的延长 线于 F.求证:

DF AC = . EF AB

第 4 题图

第 5 题图

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(二十二)相似形 我们学过三角形相似的判定方法,想一想,有哪些方法可以判定两个三角形相似?有 哪些方法可以判定两个直角三角形相似? 例 5 如图,四边形 ABCD 的对角线交于点 O, ? BAC ? CDB , 求证: ? DAC ? CBD . 证明 在 VOAB 与 VODC 中,

? AOB

行 DOC, OAB = ? ODC,

OA OB OA OD = = ,即 . OD OC OB OC 又 VOAD 与 VOBC 中 ? AOD ? BOC ,\ VOAD ∽ VOBC ,\ ? DAC ? CBD 例 6 如图,在直角三角形 ABC 中, ?BAC 为直角, AD ^ BC于D . 2 2 2 求证: (1) AB = BD ?BC , AC = CD ?CB ; (2) AD = BD ?CD 证明 (1)在 RtVBAC 与 RtVBDA 中, ? B ? B , \ VBAC ∽ V BDA , BA BC \ = , 即AB 2 = BD ?BC. BD BA 2 同理可证得 AC = CD ?CB . o (2)在 RtVABD 与 RtVCAD 中, ? C 90 - ? CAD ? BAD , AD DC \ RtV ABD ∽ RtVCAD , \ = , 即AD 2 = BD ?DC. BD AD

\ VOAB ∽ VODC , \

我们把这个例题的结论称为射影定理,该定理对直角三角形的运算很有用. 【例 7】在 V ABC 中, AD ^ BC于D, DE ^ AB于E, DF ^ AC于F , 求证: AE ?AB AF ?AC . Q AD ^ BC , \ V ADB 为直角三角形, 证明 2 又 DE ^ AB ,由射影定理,知 AD = AE ?AB . 2 同理可得 AD = AF ?AC . \ AE ?AB AF ?AC . 【例 8】如图,在 V ABC 中, D 为边 BC 的中点, E 为边 AC 上的任意一点, BE 交 AD 于点 O .某学生在研究这一问题时,发现了如下的事实: AE 1 1 AO 2 2 = = = = (1) 当 时,有 .(如图 a) AC 2 1 + 1 AD 3 2 + 1 AE 1 1 AO 2 2 = = = = (2) 当 时,有 .(如图 b) AC 3 1 + 2 AD 4 2 + 2 AE 1 1 AO 2 2 = = = = (3) 当 时,有 .(如图 c) AC 4 1 + 3 AD 5 2 + 3 在图中, 当

AO AE 1 = 时, 参照上述研究结论, 请你猜想用 n 表示 的一般结论, AD AC 1 + n
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并给出证明(其中 n 为正整数).

AE 1 AO 2 = = 时,有 成立. AC 1 + n AD 2 + n 证明 过点 D 作 DF//BE 交 AC 于点 F, Q D 是 BC 的中点, \ F 是 EC 的中点, AE 1 AE 1 AE 2 AE 2 AO AE 2 = ,\ = = , = .\ = = . 由 可知 EC n AC 1 + n AD AF 2 + n EF n AF 2 + n AO 1 AE = ,则 =? 想一想,若 AD n AC
解:依题意可以猜想:当 本题中采用了从特殊到一般的思维方法.我们常从一些具体的问题中发现一些规律, 进而作出一般性的猜想,然后加以证明或否定 .数学的发展史就是不断探索的历史. 练习: 1.如图,D 是 V ABC 的边 AB 上的一点,过 D 点作 DE//BC 交 AC 于 E. 已知 AD:DB=2:3,则 SV ADE : S四边形BCDE 等于( ) A. 2 : 3 B. 4 : 9 C. 4 : 5 D. 4 : 21 2.若一个梯形的中位线长为 15,一条对角线把中位线分成两条线段. 这两条线段的比是 3 : 2 ,则梯形的上、下底长分别是__________. 3.已知 V ABC 的三边长分别是 3,4,5,与其相似的 V A ' B ' C ' 的最大边长是 15,求 ? A ' B ' C ' 的面积 SV A ' B 'C ' . 4.已知:在四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点. (1)请判断四边形 EFGH 是什么四边形,试说明理由; (2)若四边形 ABCD 是平行四边形,对角线 AC、BD 满足什么条件时 EFGH 是菱形?是 正方形? 5.如图,点 C、D 在线段 AB 上, V PCD 是等边三角形, (1)当 AC、CD、DB 满足怎样的关系时, V ACP ∽ V PDB ? (2)当 V ACP ∽ V PDB 时,求 ?APB 的度数. 习题 A组

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1、如图 1, V ABC 中,AD=DF=FB,AE=EG=GC,FG=4,则( ) A.DE=1,BC=7 B.DE=2,BC=6 C.DE=3,BC=5 D.DE=2,BC=8 2、如图 2,BD、CE 是 V ABC 的中线,P、Q 分别是 BD、CE 的中点,则 PQ : BC 等于( ) A.1:3 B.1:4 C.1:5 D.1:6 Y ABCD 中, 3、 如图 3, E 是 AB 延长线上一点, DE 交 BC 于点 F, 若 BE: AB=2: 3, SVBEF = 4 , 求 SVCDF . 4、如图 4,在矩形 ABCD 中,E 是 CD 的中点, BE ^ AC 交 AC 于 F,过 F 作 FG//AB 交 AE 于 G,求证: AG = AF ?FC . B组
2

1、如图,已知 V ABC 中,AE:EB=1:3,BD:DC=2:1,AD 与 CE 相交于 F,则 的值为( ) A.

EF AF + FC FD

1 2

B.1

C.

3 2

D.2

2、如图,已知 V ABC 周长为 1,连结 V ABC 三边的中点构成第二个三角形,再连结第二 个对角线三边中点构成第三个三角形,依此类推,第 2003 个三角形周长为( )

1 1 1 C. 2002 D. 2003 2003 2 2 3、如图,已知 M 为 Y ABCD 的边 AB 的中点,CM 交 BD 于点 E,则图中阴影部分的面积与 1 1 1 5 Y ABCD 面积的比是( )A. B. C. D. 3 6 4 12
A. B. 4、如图,梯形 ABCD 中,AD//BC,EF 经过梯形对角线的交点 O,且 EF//AD. (1)求证:OE=OF;

1 2002

OE OE + 的值; AD BC 1 1 2 + = (3)求证: . AD BC EF
(2)求 C组

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1、如图, V ABC 中,P 是边 AB 上一点,连结 CP. (1)要使 V ACP ∽ V ABC ,还要补充的一个条件是____________. (2)若 V ACP ∽ V ABC ,且 AP : PB = 2 :1 ,则 BC : PC =_____. 2、如图,点 E 是四边形 ABCD 的对角线 BD 上一点,且 ? BAC ? BDC ? DAE . (1)求证: BE ?AD CD ?AE ; (2)根据图形的特点,猜想

BC 可能等于那两条线段的比并证明你的猜想.(只须写出 DE
o

图中已有线段的一组比即可)? 3、如图,在 RtV ABC 中,AB=AC, ? A 90 ,点 D 为 BC 上任一点, DF ^ AB 于 F, DE ^ AC 于 E, M 为 BC 的中点, 试判断 V MEF 是什么形状的三角形并证明你的结论. 4、如图 a, AB ^ BD, CD ^ BD, 垂足分别为 B、D,AD 和 BC 相交于 E, EF ^ BD 于 F, 我们可以证明

1 1 1 + = 成立. 若将图 a 中的垂直改为斜交,如图 3.1-29 b, AB CD EF AB // CD, AD、BC 相交于 E,EF//AB 交 BD 于 F,则:

1 1 1 + = 还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由; AB CD EF (2)请找出 SV ABD , SVBCD 和 SV EBD 之间的关系并给出证明.
(1)

(二十三) 三角形的“四心”
三角形是最重要的基本平面图形,很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.

图1

图2

A, B, ? C ,三个顶 如图 1 ,在三角形 V ABC 中,有三条边 AB, BC , CA ,三个角 行
点 A, B, C ,在三角形中,角平分线、中线、高(如图 2)是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点,这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形 的内部,恰好是每条中线的三等分点. 【例 1】求证三角形的三条中线交于一点,且被该交点分成的两段长度之比为 2:1.
-46-

已知:D、E、F 分别为 V ABC 三边 BC、CA、AB 的中点, 求证:AD、BE、CF 交于一点且都被该点分成 2:1. 证明:连结 DE,设 AD、BE 交于点 G,

Q D、E 分别为 BC、AE 的中点,则 DE//AB 且 DE =

1 AB , 2

\ VGDE ∽ VGAB 且相似比为 1:2, \ AG = 2GD, BG = 2GE . 设 AD、CF 交于点 G ' ,同理可得 AG ' = 2G ' D, CG ' = 2G ' F . 则 G 与 G ' 重合, \ AD、BE、CF 交于一点,且都被该点分成 2 :1 .
三角形的三条角平分线相交于一点,是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部,它到三角形的三边的距离相等. 【例 2】已知 V ABC 的三边长分别为 BC = a, AC = b, AB = c , I 为 V ABC 的内心且 I 在 V ABC 的边 BC、AC、AB 上的射影 分别为 D、E、F ,求证: AE = AF =

b+ c- a . 2

证明 作 V ABC 的内切圆, 则 D、E、F 分别为内切圆在三边上的切点, Q AE, AF 为圆的从同一点作的两条切线,

\ AE = AF ,同理,BD=BF,CD=CE. \ b + c - a = AF + BF + AE + CE - BD - CD = AF + AE = 2 AF = 2 AE b+ c- a 即 AE = AF = . 2
【例 3】若三角形的内心与重心为同一点,求证:这个三角形为正三角形. 已知:O 为三角形 ABC 的重心和内心.求证:三角形 ABC 为等边三角形. 证明:如图,连 AO 并延长交 BC 于 D. Q O 为三角形的内心,故 AD 平分 ?BAC ,

\

AB BD = (角平分线性质定理) AC DC

Q O 为三角形的重心,D 为 BC 的中点,即 BD=DC. AB \ = 1 ,即 AB = AC .同理可得 AB=BC. AC
\ V ABC 为等边三角形.

-47-

三角形的三条高所在直线相交于一点,该点称为三角形的垂心 .锐角三角形的垂心一 定在三角形的内部,直角三角形的垂心为他的直角顶点,钝角三角形的垂心在三角形的外 部.(如图) 【例 4】求证:三角形的三条高交于一点. 已知: V ABC 中, AD ^ BC于D, BE ^ AC于E, AD 与 BE 交于 H 点. 求证: CH ^ AB . 证明:以 CH 为直径作圆,

Q AD ^ BC, BE ^ AC, \ ? HDC ? HEC 90o , \ D、E 在以 CH 为直径的圆上, \ ? FCB ? DEH .
同理,E、D 在以 AB 为直径的圆上, 可得 ? BED ? BAD . \ ? BCH ? BAD , 又 V ABD 与 VCBF 有公共角 ?B , \ ? CFB ? ADB 90 ,即 CH ^ AB . 过不共线的三点 A、B、C 有且只有一个圆,该圆是三角形 ABC 的外接圆,圆心 O 为三 角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等,是各边的垂直平分线的交点. 练习 1.求证:若三角形的垂心和重心重合,求证:该三角形为正三角形. 2. (1)若三角形 ABC 的面积为 S 且三边长分别为 a、b、c ,则三角形的内切圆半径是 ; (2)若直角三角形的三边长分别为 a、b、c (其中 c 为斜边长) ,则三角形的内切圆的 半径是___________. 并请说明理由.
o

(二十四)几种特殊的三角形
等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一.因而在等腰三角形 ABC 中, 三角形的内心 I、重心 G、垂心 H 必然在一条直线上. 例 5 在 ? ABC 中, AB ? AC ? 3, BC ? 2. 求 (1) ? ABC 的面积 S? ABC 及 AC 边上的高 BE ; (2) ? ABC 的内切圆的半径 r ; (3) ? ABC 的外接圆的半径 R . 解: (1)如图,作 AD ? BC 于 D . Q AB ? AC , ? D 为 BC 的中点,

? AD ? AB 2 ? BD2 ? 2 2, 1 ? S? ABC ? ? 2 ? 2 2 ? 2 2. 2 1 4 2 又 S? ABC ? AC ? BE , 解得 BE ? . 2 3 (2)如图, I 为内心,则 I 到三边的距离均为 r ,连 IA, IB, IC , S? ABC ? S? IAB ? S? IBC ? S? IAC ,
即2 2 ?

1 1 1 2 AB ? r ? BC ? r ? CA ? r ,解得 r ? . 2 2 2 2
-48-

(3)?? ABC 是等腰三角形,? 外心 O 在 AD 上,连 BO , 则 Rt ? OBD 中, OD ? AD ? R, OB2 ? BD2 ? OD2 ,

? R2 ? (2 2 ? R)2 ? 12 , 解得 R ?

9 2 . 8

在直角三角形 ABC 中, ?A 为直角,垂心为直角顶点 A, 外心 O 为斜边 BC 的中点,内心 I 在三角形的内部且内切圆的

b+ c- a (其中 a , b, c 分别为三角形的三边长) ,为什么? 2 2 2 2 该直角三角形的三边长满足勾股定理: AC + AB = BC . 【例 6】如图,在 V ABC 中,AB=AC,P 为 BC 上任意一点. 2 2 求证: AP = AB - PB ?PC . 证明:过 A 作 AD ^ BC 于 D. 2 2 2 在 RtV ABD 中, AD = AB - BD . 2 2 2 在 RtV APD 中, AP = AD - DP . \ AP 2 = AB 2 - BD 2 + DP 2
半径为

= AB 2 - ( BD + DP)( BD - DP). Q AB = AC, AD ^ BC, \ BD = DC .
\ BD - DP = CD - DP = PC . \ AP2 = AB2 - PB ?PC .
正三角形三条边长相等,三个角相等,四心(内心、重心、垂心、外心)合一,该点 称为正三角形的中心. 【例 7】已知等边三角形 ABC 和点 P,设点 P 到三边 AB,AC,BC 的距离分别为 h1 , h2 , h3 , 三角形 ABC 的高为 h , “若点 P 在一边 BC 上, 此时 h3 = 0 , 可得结论: h1 + h2 + h3 = h .”

请直接应用以上信息解决下列问题: 当(1)点 P 在 V ABC 内(如图 b) , (2)点在 V ABC 外(如图 c),这两种情况时,上 述结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立, h1 , h2 , h3 与 h 之间有什么样的关系, 请给出你的猜想(不必证明). 解: (1)当点 P 在 V ABC 内时, 法一:如图,过 P 作 B ' C ' 分别交 AB, AM , AC 于 B ', M ', C ' , 由题设知 AM ' = PD + PE ,而 AM ' = AM - PF , 故 PD + PE + PF = AM ,即 h1 + h2 + h3 = h .
-49-

法二 如图,连结,

Q SV ABC = SVPAB + SVPAC + SVPBC , 1 1 1 1 \ BC ?AM AB ?PD AC ?PE BC ?PF , 2 2 2 2 又 AB = BC = AC , \ AM = PD + PE + PF ,即 h1 + h2 + h3 = h .

(2) 当点 P 在 V ABC 外如图位置时, 猜想 h1 + h2 - h3 = h . h1 + h2 + h3 = h 不成立, 注意: 当点 P 在 V ABC 外的其它位置时, 还有可能得到其它的结论, h1 - h2 + h3 = h ,

h1 - h2 - h3 = h (如图 3.2-18,想一想为什么?)等.
在解决上述问题时,“法一”中运用了化归的数学思想方法,“法二”中灵活地运用 了面积的方法. 练习: 1、 直角三角形的三边长为 3,4, x ,则 x = ________. 2、等腰三角形有两个内角的和是 100° ,则它的顶角的大小是_________. 3、已知直角三角形的周长为 3 ? 3 ,斜边上的中线的长为 1,求这个三角形的面积. 4、证明:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量. 习题 A组 1、 三角形三边长分别是 6、8、10,那么它最短边上的高为 。 2、如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半,那么这个等腰三角形的顶角等于____. 3、已知 a , b, c 是 ? ABC 的三条边, a ? 7, b ? 10 ,那么 c 的取值范围是_________。

8 ,且 a 是整数,则 a 的值是_________。 4、若三角形的三边长分别为 1、a、

5.如图, 等边 ? ABC 的周长为 12, CD 是边 AB 上的中线, E 是 CB 延长线上一点, 且 BD=BE, 则 ? CDE 的周长为() A. 6 ? 4 3 B. 18 ? 12 3 C. 6 ? 2 3 D. 18 ? 4 3 6.如图,在 ? ABC 中, ?C ? ?ABC ? 2?A ,BD 是边 AC 上的高,求 ?DBC 的度数。 7.如图, Rt? ABC, ?C ? 90 , M 是 AB 的中点,AM=AN,MN//AC,求证:MN=AC。
o

-50-

B组

1、如图,在 ? ABC 中,AD 平分 ?BAC ,AB+BD=AC.求 ?B : ?C 的值。 2、如图,在正方形 ABCD 中,F 为 DC 的中点,E 为 BC 上一点,且 EC =

1 BC ,求证: 4

90o . 3、如图,把 ? ABC 纸片沿 DE 折叠,当点 A 落在四边形 BCDE 内部时, ?A 与 ?1 ? ? 2 之 ? EFA
间有一种数量关系始终保持不变,请试着找一找这个规律,你发现的规律是( A. ?A ? ?1 ? ? 2 B. 2?A ? ?1 ? ?2 C. 3?A ? ?1 ? ?2 D. 3?A ? 2(?1 ? ?2) 4、如图,在等腰 Rt ? ABC 中 ?C ? 90 ,D 是斜边 AB 上任一点, AE ? CD 于 E, BF ? CD 交 CD 延长线于 F, CH ? AB 于 H, 交 AE 于 G.求证:BD=CG.
o



(二十五)圆
设有直线 l 和圆心为 O 且半径为 r 的圆,怎样判断直线 l 和圆 O 的位置关系?

观察图 1,不难发现直线与圆的位置关系为: 当圆心到直线的距离 d > r 时,直线和圆相离,如圆 O 与直线 l1 ; 当圆心到直线的距离 d = r 时,直线和圆相切,如圆 O 与直线 l2 ; 当圆心到直线的距离 d < r 时,直线和圆相交,如圆 O 与直线 l3 .

-51-

图3

图4

在直线与圆相交时,设两个交点分别为 A、B.若直线经过圆心,则 AB 为直径;若直线 不经过圆心,如图 2,连结圆心 O 和弦 AB 的中点 M 的线段 OM 垂直于这条弦 AB .且在 RtVOMA 中, OA 为圆的半径 r , OM 为圆心到直线的距离 d , MA 为弦长 AB 的一半, 根据勾股定理,有 r - d = (

AB 2 ) . 2 当直线与圆相切时,如图 3, PA, PB 为圆 O 的切线,可得 PA ? PB , OA ? PA. ,
2 2

且在 Rt ? POA 中, PO ? PA ? OA . 如图 4, PT 为圆 O 的切线, PAB 为圆 O 的割线,我们可以证得 ? PAT ?? PTB ,因
2 2 2

而 PT ? PA ? PB .
2

AB 的中点,求弦 BD 的长度。 【例 1】如图 5,已知⊙O 的半径 OB=5cm,弦 AB=6cm,D 是 ?

? ?? 解:连结 OD,交 AB 于点 E。? BD AD, O 是圆心,
? OD ? B, BE ? AE ? 1 AB ? 3cm. 2

? OD ? 5cm,? DE ? 1cm.

在 Rt ? BOE 中,OB=5cm,BE=3cm,?OE ? OB2 ? BE 2 ? 4cm. 在 Rt ? BDE 中,BE=3cm,DE=1cm,? BD ? 10cm. 图5

【例 2】已知圆的两条平行弦的长度分别为 6 和 2 6 , 若这两条线的距离为 3.求这个圆的半径. 解 设圆的半径为 r ,分两种情况(如图 6) : (1)若 O 在两条平行线的外侧, 如图(1) ,AB=6,CD= 2 6 , 则由 OM - ON = 3 得 r 2 - 9 -

r 2 - 24 = 3 , r = 5 . (2)若 O 在两条平行线的内侧(含线上) ,AB=6,CD= 2 6 , 图 6
则由 OM + ON = 3 得 r 2 - 9 + 综合得,圆的半径为 5

r 2 - 24 = 3 ,无解.

-52-

设圆 O1 与圆 O2 半径分别为 R, r ( R ? r ) ,它们可能有哪几种位置关系?

观察图 7,两圆的圆心距为 O1O2 ,不难发现: 图7 当 O1O2 ? R ? r 时,两圆相内切,如图 7(1) ; 当 O1O2 ? R ? r 时,两圆相外切,如图 7(2) ; 当 O1O2 ? R ? r 时,两圆相内含,如图 7(3) ; 当 R ? r ? O1O2 ? R ? r 时,两圆相交,如图 7(4) ; 当 O1O2 ? R ? r 时,两圆相外切,如图 7(5). 【例 3】设圆 O1 与圆 O2 的半径分别为 3 和 2, O1O2 ? 4 ,

A, B 为两圆的交点,试求两圆的公共弦 AB 的长度. 解:连 AB 交 O1O2 于 C ,则 O1O2 ? AB 且 C 为 AB 的中点,
设 AC ? x ,则 O1C ?

9 ? x 2 , O2C ? 4 ? x 2 ,

2 2 ∴ O1O2 ? 9 ? x ? 4 ? x ? 4 ,解得 x ?

3 15 . 8

3 15 ∴弦 AB 的长为 2 x ? . 4

图8

练习 : 1.如图 9,⊙O 的半径为 17cm,弦 AB=30cm,AB 所对的劣弧和优弧的中点 分别为 D、C,求弦 AC 和 BD 的长。 2.已知四边形 ABCD 是⊙O 的内接梯形,AB//CD,AB=8cm,CD=6cm, ⊙O 的半径等于 5cm,求梯形 ABCD 的面积。 3.如图 10,⊙O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E, AE ? 1cm, EB ? 5cm,

?DEB ? 60o , 求 CD 的长。
4.若两圆的半径分别为 3 和 8,圆心距为 13,试求两圆的公切线的长度.

图9

-53-

图 10

(二十六)点的轨迹
在几何中,点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形,它是符合某个条件的所有 点组成的.例如, 把长度为 r 的线段的一个端点固定, 另一个端点绕这个定点旋转一周就得 到一个圆,这个圆上的每一个点到定点的距离都等于 r ;同时,到定点的距离等于 r 的所 有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长 r 的点的轨迹. 我们把符合某一条件的所有的点组成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含 有两层意思: (1)图形是由符合条件的那些点组成的,就是说,图形上的任何一点都满足 条件; (2)图形包含了符合条件的所有的点,就是说,符合条件的任何一点都在图形上. 下面,我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹. 从上面对圆的讨论,可以得出: (1)到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心,定长为半径的圆. 我们学过,线段垂直平分线上的每一点,和线段两个端点的距离相等;反过来,和线 段两个端点的距离相等的点,都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹: (2)和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线. 由角平分线性质定理和它的逆定理,同样可以得到另一个轨迹: (3)到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线. 【例 3】⊙O 过两个已知点 A 、 B ,圆心 O 的轨迹是什么?画出它的图形. 分析:如图 11,若以点 O 为圆心的圆经过点 A 、 B ,则 OA = OB ; 反之,若一个点 O 到 A 、 B 两点距离相等,即 OA = OB , 则以 O 为圆心,OA 为半径的圆一定经过 A 、 B 两点. 这就是说,过 A 、 B 点的圆的圆心的轨迹,就是到 A 、 B 两点 距离相等的点的轨迹,即和线段 AB 两个端点距离相等的点的轨迹. 答:经过 A 、 B 两点的圆的圆心 O 的轨迹是线段 AB 的垂直平分线. 图 11 练习: 1.画图说明满足下列条件的点的轨迹: (1)到定点 A 的距离等于 3cm 的点的轨迹; (2)到直线 l 的距离等于 2cm 的点的轨迹; (3)已知直线 AB // CD ,到 AB 、 CD 的距离相等的点的轨迹. 2.画图说明,到直线 l 的距离等于定长 d 的点的轨迹. 习题 A组 1、已知弓形弦长为 4,弓形高为 1,则弓形所在圆的半径为 。 2、在半径等于 4 的圆中,垂直平分半径的弦长为 。 3、AB 为⊙O 的直径,弦 CD ? AB ,E 为垂足,若 BE=6,AE=4, 则 CD 等于 。 4、如图 12,在⊙O 中,E 是弦 AB 延长线上的一点,OB=10cm,OE=12cm,

?OEB ? 30o , 求 AB。

图 12

-54-

A1(-3,-1)

B组

图 13 图 14 图 15 1、如图 13,已知在 Rt ? ABC 中, ?C ? 90o , AC ? 5cm, BC ? 12cm, 以 C 为圆心,CA 为 半径的圆交斜边于 D,求 AD。 2、在直径为 100mm 的半圆铁片上切去一块高为 20mm 的弓形铁片,求弓形的弦 AB 的长。

? 的中点, AE ? BC 于 E。求证:AD 平分 ?OAE 。 3、如图 14,? ABC 内接于⊙O,D 为 BC
AB 的三等分点,AB 分别交 OC、OD 于点 E、F,求证: 4、如图 15, ?AOB ? 90 ,C、D 是 ? AE=BF=CD。 5、已知线段 AB = 4cm .画出到点 A 的距离等于 3cm 的点的轨迹,再画出到点 B 的距离 等于 2cm 的点的轨迹,指出到点 A 的距离等于 3cm ,且到点 B 的距离等于 2cm 的点, 这样的点有几个?
o

-55-


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