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吉林省吉林大学附属中学2016届高三数学上学期第五次摸底考试试题 理


吉林省吉林大学附属中学 2016 届高三数学上学期第五次摸底考试试题 理
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟 注意事项: 1.请考生将姓名、班级、考号与座位号填写在答题纸指定的位置上; 2.客观题的作答:将正确答案填涂在答题纸指定的位置 上; 3.主观题的作答:必须在答题纸上对应题目的答题区域内作答,在此区域外书写的答案无效;在草稿纸、 试卷上答题无效。 第Ⅰ卷(客观题 60 分) 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1,2 , 3, 4} ,N ? {1, 3, 5, 7} , P ? M ? N ,则集合 P 的子集个数为 (1)若已知 M ? {0 , (A)2 (B)3 (2)下列函数中能用二分法求零点的是 (C)4 (D)5

(A)

(B)

(C)

(D)

(3)下列函数中,既是偶函数,又在区间 (0 ,? ?) 上单调递减 的是 1 (A) y ? (B) y ? e? x (C) y ? ? x2 ? 1 (D) y ? lg | x | x (4)圆 x2 ? 2x ? y 2 ? 4 y ? 3 ? 0 与直线 x ? y ? b ? 0 相切,则正实数 b 的值为 1 (A) (B) 1 (C) 2 2 ? 1 (D) 3 2 2? (5)已知 e1 , e2 是夹角为 的两个单位向量, a ? e1 ? 2e2 , b ? ke1 ? e2 ,若 a ? b ? 0 ,则实数 k 的值为 3 1 3 5 (A) (B) (C) 1 (D) 2 4 4 (6)已知数列 {an } 满足 log3 an ? 1 ? log3 an?1 ( n ? N*) ,且 a2 ? a4 ? a6 ? 9 ,则 log 1 ( a5 ? a7 ? a9 ) =
3

1 (A) ? (B)5 5 (7)以下四个命题中,正确的是

(C)-5

1 (D) 5

(A)命题“若 f ( x) 是周期函数,则 f ( x) 是三角函数”的否命题是“若 f ( x) 是周期函数,则 f ( x) 不是 三角函数” (B)命题“ ?x0 ? R ,使得不等式 x 2 ? 1 ? 0 成立”的否定是“ ?x ? R , 使得不等式 x2 ? 1≥0 成立” (C)在 △ABC 中, “ sin A ? sin B ”是“ A ? B ”的充要条件 (D)以上 皆不对
b, c 分 别 是 角 A ,B , C 所 对 的 边 长 , a ? 2 3 , tan ( 8 ) 在 △ABC 中 , a ,

A? B C ? tan ? 4 , 2 2

1

sin B sin C ? cos2

A . 则b ? 2

(B) 2 (C) 2 2 (D) 2 3 2 2 x y b ? 0 )的两个焦点, A 和 B 是以 O ( O 是平面直角坐 (9)已知 F1 ,F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , a b 标系的原点)为圆心,以 | OF1 | 为半径的圆与该双曲线的左支的两个交点,且 △F2 AB 是等边三角形, 则双曲线的离心率为 (A) 3 (B) 5 (C)
5 2

(A) 3

(D) 1 ? 3

x ( 10 ) 设 f ( x) ? e , 曲 线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处 的 切 线 与 x 轴 平 行 , 且 对 ? ? ?[0 , ] , (a 2 x ? x? 1) 2

?

| f (cos ? ) ? f (sin ? ) | ≤b 恒成立,则 b 的最小值为

(A) e ? 1 (B) e (C)1 (D) 2 (11)如右图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm) ,图中粗线画出 的是某零件的三视图,则该零件的表面积为(单位:cm 2 ) (B) 27 2 ? 18 5 (D) 36 ? 9 5 ? 18 2 ? (12)已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 ) ,倾斜角为 的直线 AB 过抛物线的焦 4 点 F 且与抛物线交于 A ,B 两点( | AF |?| BF | ).过 A 点作抛物线的切 线 与 抛 物 线 的 准 线 交 于 C 点 , 直 线 CF 交 抛 物 线 于 D ,E 两 点 S ( | DF |?| FE | ). 直线 AD ,BE 相交于 G .则 △ABC ? S△ABG (A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 4 (A) 27 2 ? 9 5 ? 9 (C) 9 2 ? 9 5 ? 27

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二.填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分. 1 (13)函数 y ? ln(1 ? ) ? 1 ? x2 的定义域为_ _________. x ( 1 4 ) 已 知 直 线 l1 : 3mx ? (m ? 2) y ? 1 ? 0 , 直 线 l2 : (m? 2 )x? (m? 2 ) y? 2 ?, 0且 l1∥l2 , 则 m 的 值 为 .
? x≥1 ? (15) 设不等式组 ? x-2 y ? 3≥0 所表示的平面区域是 ?1 , 平面区域 ?2 与 ?1 关于直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 对称. 对 ? y≥x ?

于 ?1 中的任意点 A 与 ?2 中的任意点 B , | AB | 的最小值为________ (16)已知三次函数 f ( x) 满足 f ( x) ? ? f (a ? x) 其中 a 为实数, f ( x) 的导函数为 y ? f ?( x) ,以下 5 种说法 ①函数 y ? f ( x) 是中心对称图形;
16 , 64} ②对于任意的非零实数 m, n ,p ,关于 x 的方程 m[ f ?( x)]2 ? nf ?( x) ? p ? 0 的解集都不可能是 {1 ,4 ,

2

③对于任意的非零实数 m, n ,p ,关于 x 的方程 m[ f ?( x)]2 ? nf ?( x) ? p ? 0 的解集有可能是 {1,4}
3, 5} ④对于任意的非零实数 m, n ,p ,关于 x 的方 程 m | f ( x) |2 ?n | f ( x) | ? p ? 0 的解集都不可能是 {1,2 ,

⑤ 对 于 任 意 的 非 零 实 数 m, n ,p , 关 于 x 的 方 程 m | f ( x) |2 ?n | f ( x) | ? p ? 0 的 解 集 有 可 能 是
{1,2 ,4 , 8, 16 , 32 }

正 确的是________________.(写出所有正确的代号) 三.解答题:本大题共 6 个小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分)
1) ,且 f ( x) 的最大值是 2 ,最小值为 ?2 ,其 设函数 f ( x) ? a sin 2x ? b sin 2 x ? c( x ? R) 的图象过点 P (0 ,

中a ? 0. (Ⅰ)求 f ( x) 表达式; (Ⅱ)若射线 y ? 2( x ≥ 0) 与 f ( x) 图象交点的横坐标,由小到大依次为
x1 ,x2 ,x3 , ?,xn , ? , 求 | xn? 2 ? x2 | 的值,并求 S ? x1 ? x2 ? ? ? ? ? x10 的值.

(18) (本小题满分 12 分)

3 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? n ? an . 2 (Ⅰ)求证数列 {an ? 1} 是等比数列,并求 a n 的通项公式;
(Ⅱ)设数列 {bn } 满足 bn ? an ? ? ? (?2)n ,且数列 {bn } 是递增数列,求 ? 的取值范围. (19) (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是等腰梯形, AD ∥ BC,AC ? BD .

(Ⅰ)证明: BD ? PC ; (Ⅱ)若 AD ? 4,BC ? 2 ,直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30 ? ,求四棱锥 P-ABCD 的体积. (20) (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:
Q (0 , 2) 的距离的最大值为 3.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? a 2 b2

2 ,且椭圆 C 上的点到点 3

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)在椭圆 C 上,是否存在点 M (m , n) ,使得直线 l : mx ? ny ? 1 与圆 O: x2 ? y 2 ? 1 相交于不同的两 点 A, B , 且 △OAB 的面积最大?若存在, 求出点 M 的坐标及对应的 △OAB 的面积; 若不存在, 请说明理由.

3

(21) (本小题满分 12 分)

1 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax2 ? 2x ( a ? 0 ). 2 (Ⅰ)若函数 f ( x) 在定义域内单调递增,求实数 a 的取值范围; 1 1 (Ⅱ)若 a ? ? ,且关于 x 的方程 f ( x) ? ? x ? b 在 [1 ,4] 上恰 有两个不等的实根,求实数 b 的取值范 2 2 围;
(Ⅲ)设各项为正数的数列 ?a n ?满足 a1 ? 1 , an ?1 ? ln an ? an ? 2 ( n ? N? ) ,求证: an ? 2n ? 1 . 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时 写清题号. (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲 如图,PA 是圆 O 的切线,PE 过圆心 O ,PE 与圆 O 相交于 D , E 两 点, AC 为圆 O 的直径, PC 与圆 O 相交于 B , C 两点,连结 AB , CD . (Ⅰ)求证: ?PAD ? ?CDE ; E PA2 BD (Ⅱ)求证: . ? PC ? PE AD (23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:极坐标和参数方程
? x ? 1 ? cos? , (? 为参数,? ? R ) 已知在平面直角坐标系 xOy 内, 点 P( x , y) 在曲线 C :? 上运动. 以 Ox ? y ? sin ? ,
C B P O D

A

为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? 0 . 4 (Ⅰ)写出曲线 C 的标准方程和直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,点 M 在曲线 C 上移动,试求 △ABM 面积的最大值. (24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知 a ? 0 , b ? 0 , 且 a2 ? b2 ?

?

9 ,若 a ? b ? m 恒成立, 2

(Ⅰ)求 m 的最小值; (Ⅱ)若 2 | x ? 1| ? | x | …a ? b 对任意的 a , b 恒成立,求实数 x 的取值范围

吉大附中高中部 2015-2016 学年上学期

高三年级第五次摸底考试 数学(理科)试 卷
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟 注意事项: 1.请考生将姓名、班级、考号与座位号填写在答题纸指定的位置上; 2.客观题的作答:将正确答案填涂在答题纸指定的位置上;
4

3.主观题的作答:必须在答题纸上对应题目的答题区域内作答,在此区域外书写的答案无效;在草稿纸、 试卷上答题无效。 第Ⅰ卷(客观题 60 分) 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1,2 , 3, 4} ,N ? {1 , 3, 5, 7} , P ? M ? N ,则集合 P 的子集个数为 (1)若已知 M ? {0 , (A)2 (C)4 解析:C (2)下列函数中能用二分法求零点的是 (B)3 (D)5

(A)

(B)

(C)

(D)

解析: (C) (3)下列函数中,既是偶函数,又在区间 (0 ,? ?) 上单调递减的是 1 (A) y ? (B) y ? e? x (C) y ? ? x2 ? 1 (D) y ? lg | x | x 解析:C (4)圆 x2 ? 2x ? y 2 ? 4 y ? 3 ? 0 与直线 x ? y ? b ? 0 相切,则正实数 b 的值为(B) 1 (A) (B) 1 (C) 2 2 ? 1 (D) 3 2 2? (5)已知 e1 , e2 是夹角为 的两个单位向量, a ? e1 ? 2e2 , b ? ke1 ? e2 ,若 a ? b ? 0 ,则实数 k 的值为 3 (D) (A)

1 2

(B)

3 4

(C) 1

(D)

5 4
3

(6)已知数列 {an } 满足 log3 an ? 1 ? log3 an?1 (n ? N*) ,且 a2 ? a4 ? a6 ? 9 ,则 log 1 (a5 ? a7 ? a9 ) =(C)

1 1 (B)5 (C)-5 (D) 5 5 (7)以下四个命题中,正确的是 (A)命题“若 f ( x) 是周期函数,则 f ( x) 是三角函数”的否命题是“若 f ( x) 是周期函数,则 f ( x) 不是
(A ) ? 三角函数” (B)命题“ ?x0 ? R ,使得不等式 x 2 ? 1 ? 0 成立”的否定是“ ?x ? R , 使得不等式 x2 ? 1≥0 成立”
is n i A s? (C)在 △ABC , “n B ”是“ A ? B ”的充要条件

(D)以上皆不对 解析:C

5

b, c 分别是角 A ,B ,C 所对的边长, a ? 2 3 , tan (8) (理科)在 △ABC 中, a ,

A? B C ? tan ? 4 , 2 2

sin B sin C ? cos2
(A) 3

A . 则b ? B 2
(B) 2 (C) 2 2 (D) 2 3

b, c 分别是角 A ,B , C 所对的边长,a ? 2 3 ,C ? 30? ,sin B sin C ? cos2 (8) (文科) 在 △ABC 中,a ,

A . 2

则b ? B (A) 3 (B) 2 (C) 2 2 (D) 2 3

(9)已知 F1 ,F2 分别是双曲线

x2 y 2 b ? 0 )的两个焦点, A 和 B 是以 O ( O 是平面直角坐 ? ?1( a ? 0, a 2 b2

标系的原点)为圆心,以 | OF1 | 为半径的圆与该双曲线的左支的两个交点,且 △F2 AB 是等边三角形, 则双曲线的离心率为 D (A) 3 (B) 5 (C)
5 2

(D) 1 ? 3

(10) (理科)设 f ( x) ? e x (ax2 ? x ? 1) ,且曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线与 x 轴平行,且对 ? ? ?[0 , ] , 2 b | f (cos? ) ? f (sin ? ) | ≤b 恒成立,则 的最小值为 A (A) e ? 1 (B) e (C)1 (D) 2 2 x 解析: f ?( x) ? (ax ? x ? 1 ? 2ax ? 1)e 因为曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线与 x 轴平行, ∴ f ?(1) ? 0 ,即 a ? 1 ? 1 ? 2a ? 1 ? 0 ,解得 a ? ?1 当 a ? ?1 时,有 f ?( x) ? ?( x ? 2)( x ? 1)e x
? 2) 和 (1,? ?) 上, f ?( x) ? 0 , 2, 1 ) 上, f ?( x) ? 0 , ∴当 (?? , 在 (? 所以 f ( x) 在 (?? ,? 2) 和 (1,? ?) 上 1) 单调递增. 单调递减,在 (?2 , 1] 上是增函数. 所以, f ( x) 在 [0 ,
1] 时, f max ? f (1) ? e , f min ? f (0) ? 1 所以当 x ? [0 ,

?

1] ,有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |≤ e ? 1 恒成立, 对于任意的 x1 ,x2 ?[0 ,
sin ? ? 0 ,所以当 a≥ e ? 1 sin ? ?[0 , 1] ,且 ? ? 0 时 cos ? ? 1, 因为 ? ?[0 , ] ,所以 cos? , 2

?

(10) (文科)设 f ( x) ? e x (? x2 ? x ? 1) ,且对 ? ? ?[0 , ] , | f (cos? ) ? f (sin ? ) | ≤b 恒成立,则 b 的最小值 2 为 A (A) e ? 1 (B) e (C)1 (D) 2 (11)如图,网格纸上正方形小 格的边长为 1(表示 1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,则该零件 的表面积为(单位:cm 2 ) A
6

?

(A) 27 2 ? 9 5 ? 9

(B) 27 2 ? 18 5

(C) 9 2 ? 9 5 ? 27 (D) 36 ? 9 5 ? 18 2 A ? BCD 解析:如图所示,三棱锥 即为所求 所以 S表 =

1 (6 ? 3 5 ? 6 ? 6 2 ? 3 ? 6 ? 3 ? 6 2) ? 27 2 ? 9 5 ? 9 2

A

C

D

B
(12) (理科)已知抛物线 y 2 ? 2 px ,倾斜角为

? 的直线 AB 过抛物线的焦点 F 且与抛物线交于 A ,B 两点 4

( | AF |?| BF | ) . 过 A 点作抛物线的切线与抛物线的准线交于 C 点,直线 CF 交抛物线于 D ,E 两点 S ( | DF |?| FE | ). 直线 AD ,BE 相交于 G .则 △ABC ? C S△GAB (A) 2
y A

(B) 3

(C) 2

(D) 4

C G

D O F B x

E

易知 A(

(3 ? 2 2) p p ,( 2 ? 1) p) , C (? ,p) 2 2

p 而 lCF : y ? ?( x ? ) , 2
7

易知直线 CF 与 AB 关于 x 轴对称 所以 AD 与 BE 关于 x 轴对称,所以 xD ? xB ,且 G 点在 x 轴上 所以 xD ?
(3 ? 2 2) p , yD ? ( 2 ? 1) p 2

所以 l AD : y ? ( 2 ? 1) p ? 与 y ? 0 联立解得 x ? ?

1 2

(x ?

(3 ? 2 2) p ) 2

p 2

所以点 G 到直线直线 AB 的距离 d1 ?

p 2

点 C 到直线 AB 的距离 d2 ?| CF |? 2 p 所以

S△ABC 2p ? ?2 p S△GAB 2

(12) (文科)已知抛物线 y 2 ? 2 px ,倾斜角为

? 的直线 AB 过抛物线的焦点 F 且与抛物线交于 A ,B 两点 4

( | AF |?| BF | ) . 过 A 点作抛物线的切线与抛物线的准线交于 C 点,直线 CF 交抛物线于 D ,E 两点 ( | DF |?| FE | ). 直线 AD ,BE 相交于 G .则 G 点的横坐标为 B (A) ?
2p 4

(B) ?

p 2

(C) ?

3p 2

(D) ? p

y

A

C G

D O F B x

E
易知 A(
(3 ? 2 2) p p ,( 2 ? 1) p) , C (? ,p) 2 2

p 而 lCF : y ? ?( x ? ) , 2 易知直线 CF 与 AB 关于 x 轴对称
所以 AD 与 BE 关于 x 轴对称,所以 xD ? xB ,且 G 点在 x 轴上

8

所以 xD ?

(3 ? 2 2) p , yD ? ( 2 ? 1) p 2

所以 l AD : y ? ( 2 ? 1) p ? 与 y ? 0 联立解得 x ? ?

1 2

(x ?

(3 ? 2 2) p ) 2

p . 2

事实上圆锥曲线的过同一焦点的不同的焦点弦的交点必在准线上. 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二.填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分. 1 (13)函 数 y ? ln(1 ? ) ? 1 ? x2 的定义域为__________. (0,1] x ? (m ? 2 )y ? 1 ? , 0 直 线 l2 : (m? 2 )x? ( m? 2 ) y? ( 14 ) 已 知 直 线 l1 : 3m x 为 .-1 或-2

2 ?, 0且 l1∥l2 , 则 m 的 值

? x≥1 ? (15) (理科)设不等式组 ? x-2 y ? 3≥0 所表示的平面区域是 ?1 ,平面区域 ?2 与 ?1 关于直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 ? y≥x ?

对称.对于 ?1 中的任意点 A 与 ?2 中的任意点 B , | AB | 的最小值为____________4 (15) (文科)已不等式 | x | ? | y |≤ 2 表示的平面区域的面积为 .4

(16) (理科)已知三次函数 f ( x) 满足 f ( x) ? ? f ( x ? a) 其中 a 为实数, f ( x) 的导函数为 y ? f ?( x) ,以下 6 种说法 ①函数 y ? f ( x) 是中心对称图形;
16 , 64} ②对于任意的非零实数 m, n ,p ,关于 x 的方程 m[ f ?( x)]2 ? nf ?( x) ? p ? 0 的解集都不可能是 {1 ,4 ,

③对于任意的非零实数 m, n ,p ,关于 x 的方程 m[ f ?( x)]2 ? nf ?( x) ? p ? 0 的解集有可能是 {1,4}
3, 5} ④对于任意的非零实数 m, 关于 x 的方程 m[| f ( x) |]2 ? n | f ( x) | ? p ? 0 的解集都不可能是 {1,2 , n ,p ,

⑤ 对 于 任 意 的 非 零 实 数 m, ] n |f x (? ) |? p 的解 0 集有可能是 n ,p , 关 于 x 的 方 程 m[ | f ( x )2 |?
{1 ,2 , , 4 , 8 , 16 32 }

正确的是________________.(写出所有正确的代号) ①函数 y ? f ( x) 是中心对称图形;
16 , 64} ②对于任意的非零实数 m, n ,p ,关于 x 的方程 m[ f ?( x)]2 ? nf ?( x) ? p ? 0 的解集都不可能是 {1 ,4 ,

③对于任意的非零实数 m, n ,p ,关于 x 的方程 m[ f ?( x)]2 ? nf ?( x) ? p ? 0 的解集有可能是 {1,4}
3, 5} ④对于任意的非零实数 m, 关于 x 的方程 m[| f ( x) |]2 ? n | f ( x) | ? p ? 0 的解集都不可能是 {1,2 , n ,p ,

9

⑤ 对 于 任 意 的 非 零 实 数 m, ] n |f x (? ) |? p 的解 0 集有可能是 n ,p , 关 于 x 的 方 程 m[ | f ( x )2 |?
{1 ,2 , , 4 , 8 , 16 32 }

正确的是________________.(写出所有正确的代号) 解析:①②③④ ①显然对 对于②,由于 f ?( x) 有对称轴,所以解集应关于对称轴对称,所以②③ 同理,④⑤中由于 f ( x) 有对称中心,且在对称中心处的函数值为 0,所以④⑤方程的解集也应对称出现, 所以④对⑤错

(16) (文科)已知函数 f ( x) 是二次函数,以下 4 种说法 ①对于任意的非零实数 m, n ,p ,关于 x 的方程 m[ f ( x)]2 ? nf ( x) ? p ? 0 的解集都不可能是 {1,2} ②对于任意的非零实数 m, n ,p ,关于 x 的方程 m[ f ( x)]2 ? nf ( x) ? p ? 0 的解集都不可能是 {1,4}
3 ,4} ③对于任意的非零实数 m, n ,p ,关于 x 的方程 m | f ( x) |2 ?n | f ( x) | ? p ? 0 的解集都不可能是 {1,2 ,

④ 对 于 任 意 的 非 零 实 数 m, n ,p , 关 于 x 的 方 程 m | f ( x) |2 ?n | f ( x) | ? p ? 0 的 解 集 都 不 可 能 是
{1,4 , 16 , 64 }

正确的是________________.(写出所有正确的代号)



三.解答题:本大题共 6 个小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分)
1) ,且 f ( x) 的最大值是 2 ,最小值为 ?2 ,其 设函数 f ( x) ? a sin 2x ? b sin 2 x ? c( x ? R) 的图象过点 P (0 ,

中a ? 0. (Ⅰ)求 f ( x) 表达式; (Ⅱ)若射线 y ? 2( x ≥ 0) 与 f ( x) 图象交点的横坐标,由小到大依次为
x1 ,x2 ,x3 , ?,xn , ? , 求 | xn? 2 ? x2 | 的值,并求 S ? x1 ? x2 ? ? ? ? ? x10 的值.

解析: (Ⅰ) f (0) ? 1, 所以 c ? 1 ,
b 1 b 所以 f ( x) ? a sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? 1 ? a 2 ? b 2 sin(2 x ? ? ) ? 1 ? , 2 4 2 1 2 b 1 2 b 2 2 所以 a ? b ? 1 ? ? 2 ,且 ? a ? b ? 1 ? ? ?2 ,而 a ? 0 . 4 2 4 2
10

所以 a ? 3 , b ? 2 ,所以 f ( x) ? 3sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) . 6 (Ⅱ)由题意,知 f ( xn ) ? 2(n ? N? ) ,即 2xn ? 所以 xn ? k? ?

?

?
6

? 2k? ?

?
2

(k ≥ 0 , k ? Z) ,

?
6

(k ? 0 , 1, 2?) ,所以 x2 ? ? ?

?
6

, xn? 2 ? (n ? 1)? ? 5? 140? ? 3 3

?
6

,于是 | xn? 2 ? x2 |? n? ,

6 (18) (本小题满分 12 分)

S ? x1 ? x2 ? ??? ? x10 ? 10 ?

?

? (1 ? 2 ? 3 ? ?9)? ? 45? ?

3 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? n ? an . 2 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;
(Ⅱ)设数列 {bn } 满足 bn ? an ? ? ? (?2)n ,且数列 {bn } 是递增数列,求 ? 的取值范围. 3 3 解析: (Ⅰ) Sn ? n ? an , Sn?1 ? (n ? 1) ? an?1 (n ≥ 2) , 2 2 3 3 作差得 an ? 1 ? an ? an ?1 ,即 an ? 3an ?1 ? 2 ,????????????2 分 2 2 an ? 1 ? 3(an ?1 ? 1) ,??????????????3 分 3 又 S1 ? 1 ? a1 , a1 ? 2 ,????????????4 分 2 an ? 1 ? (a1 ? 1)3n?1 ? 3 n ,
an ? 3n ? 1.??????????????????5 分

(Ⅱ) bn ? 3n ? 1 ? ? (?2)n , bn?1 ? 3n?1 ? 1 ? ? (?2)n?1 , 数列 {bn } 是递增数列, bn ?1 ? bn ? 0 ,
2 ? 3n ? 3? ? (?2)n .????????????????6 分 3 3 k ? N* 时, ? ? (? )n 恒成立, ①当 n ? 2k ? 1, 2 2 3 3 ? ? ? , ? ? ?1 .????????????????7 分 2 2 3 9 ②当 n ? 2k ,k ? N* 时, ? ? ( )k 恒成立, 2 4 3 9 3 ? ? , ? ? .??? ?????????????8 分 2 4 2 3 综上, ? 的取值范围 ?1 ? ? ? .????????????????9 分 2 (19) (本小题满分 12 分) (文科) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (1)证明:PB∥平面 AEC; 3 (2)设 AP=1,AD= 3,三棱锥 P-ABD 的体积 V= ,求 A 到平面 PBC 的距离. 4

11

解:(1)证明:设 BD 与 AC 的交点为 O,连接 EO.

因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点. 又 E 为 PD 的中点,所以 EO∥PB. EO? 平面 AEC,PB?平面 AEC, 所以 PB∥平面 AEC. 1 1 3 3 3 (2)V= × ×PA×AB×AD= AB,由 V= ,可得 AB= . 3 2 6 4 2 作 AH⊥PB 交 PB 于点 H. 由题设知 BC⊥平面 PAB,所以 BC⊥AH, 因为 PB∩BC=B,所以 AH⊥平面 PBC. PA·AB 3 13 又 AH= = , PB 13 3 13 所以点 A 到平面 PBC 的距离为 . 13 (19) (本小题满分 12 分) (理科) P - ABCD 如图,在四棱锥 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是等腰梯形, AD ∥ BC,AC ? BD .

(Ⅰ)证明: BD ? PC ; (Ⅱ)若 AD ? 4,BC ? 2 ,直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30 ? ,求四棱锥 P-ABCD 的体积. 解: (Ⅰ)证明:因为 PA ? 平面 ABCD,BD ? 平面 ABCD , 所以 PA ? BD .又 AC ? BD,PA,AC 是平面 PAC 内的两条相交直线,所以 BD ? 平面 PAC , 而 PC ? 平面 PAC ,所以 BD ? PC . (Ⅱ)设 AC 和 BD 相交于点 O ,连结 PO ,由(Ⅰ)知, BD ? 平面 PAC , 所以∠ DPO 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角,从而 ?DPO=30? . 由 BD ? 平面 PAC , PO ? 平面 PAC 知, BD ? PO . 在 Rt△ POD 中,由∠ DPO=30? 得 PD=2OD . 因为四边形 ABCD 为等腰梯形,AC⊥BD, 所以△AOD,△BOC 均为等腰直角三角形, 1 1 1 从而梯形 ABCD 的高为 AD+ BC= ? (4 ? 2) ? 3 , 2 2 2 1 于是梯形 ABCD 的面积 S= ? (4 ? 2) ? 3=9 . 2 在等腰直角三角形 AOD 中, OD ? 2 2, AD ? 4 ,
PA ? PD2 ? AD2 ? 4 . 所以 PD ? 2OD=4 2,
12

1 1 故四棱锥 P-ABCD 的体积为 V= ? S ? PA= ? 9 ? 4= 12. 3 3
(20) (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:
Q(0, 2) 的距离的最大值为 3.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? a 2 b2

2 ,且椭圆 C 上的点到点 3

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 在椭圆 C 上, 是否存在点 M (m, n) , 使得直线 l : mx ? ny ? 1 与圆 O:x2 ? y 2 ? 1 相交于不同的两点 A, B , 且 △OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及对应的 △OAB 的面积;若不存在,请说明理由.

(Ⅰ)由 e=

2 c a 2 ? b2 = = , 3 a a

x2 y2 ? =1 . 3b2 b2 设 P( x, y ) 为椭圆 C 上任意给定的一点,
∴ a2 ? 3b2 ,即椭圆 C 的方程可写为
| PQ |2 ? x2 ? ( y ? 2)2 ? ?2( y ? 1)2 ? 6 ? 3b2 ≤ 6 ? 3b2 , y ?[?b, b]

|? 3 |,则 9 ?| PQ 由题设存在点 P1 满足 | PQ |2 ≤ 6 ? 3b2 ,?b ≥1 . 1 1
当 b ≥ 1 时,由于 y ? ?1? [?b, b] ,此时 | PQ | 取得最大值 6 ? 3b2 . ∴ 6 ? 3b2 ? 9 ? b2 ? 1, a2 ? 3 . x2 故所求椭圆 C 的方程为 +y 2 =1 . 3 (2)存在点 M 满足要求,使△OAB 的面积最大. 2 2 假设直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x +y =1 相交于不同的两点 A、B,则圆心 O 到 l 的距离

d=

1 m2 ? n2

<1 .
m2 ? n2 ? 1 ? m2 ? n2 ,于是 0 ? m2 ≤ 3 . 3
m2 ? n2 ? 1 , m2 ? n2
2 2 |m| 1 3 = . 2 2 2 1 ? m2 3

因为点 M(m,n)∈C,所以 ∵|AB|= |AB|=2 1 ? d 2 =2

|m| 1 m2 ? n 2 ? 1 3 ∴S△OAB= ·|AB|·d= = ≤ 2 2 2 m2 ? n 2 1? m 3

2 2 2 3 m ? m = ? (0, 3] , 3 2 6 2 因此当 m= ? , n= ? 时等号成立. 2 2
上式等号成立当且仅当 1= 所以满足要求的点恰有四个,其坐标分别为( 对应的诸三角形的面积均达到最大值 (21) (本小题满分 12 分) (文科)
13

6 2 6 2 6 2 6 2 ,? ,? , , ),( ),( ? )和 ( ? ),此时 2 2 2 2 2 2 2 2

1 . 2

已知函数 f ( x) ? ex ? ax ? 1(a ? 0 ,e 为自然对数的底数 ) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小值; (Ⅱ)若 f ( x) ≥ 0 对任意的 x ? R 恒成立,求实数 a 的值; 解析: (Ⅰ) f ?( x) ? e x ? a 令 f ?( x) ? 0 ,有 x ? ln a ,即 f ( x) 在 (ln a ,? ?) 上单调递增; 令 f ?( x) ? 0 ,有 x ? ln a ,即 f ( x) 在 (?? ,ln a) 上单调递减. 所以函数 f ( x) 的最小值为 f (ln a) ? a ? a ln a ? 1 . (Ⅱ)由(Ⅰ)有 f (ln a) ? a ? a ln a ? 1 ≥ 0 即可. 令 h(a) ? a ? a ln a ? 1 , h?(a) ? ? ln a , 当 a ? 1 时, h?(a) ? 0 ;当 0 ? a ? 1 时, h?(a) ? 0 ,
1) 上增,在 (1,? ?) 上减,∴ h(a) 在 (0 ,? ?) 上的最大值为 h(1) ? 0 , ∴ h(a) 在 (0 ,

若 h(a) ≥ 0 ,只能是 h(a) ? 0 ,注意到 h(1) ? 0 ,∴只能是 a ? 1 . (21) (本小题满分 12 分) (理科) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax2 ? 2x ( a ? 0 ).

1 2 (Ⅰ)若函数 f ( x) 在定义域内单调递增,求实数 a 的取值范围;
(Ⅱ)若 a ? ? ,且关于 x 的方程 f ( x) ? ?

1 2

1 x ? b 在 [1 ,4] 上恰有两个不等的实根,求实数 b 的取值范 2

围; (Ⅲ)设各项为正数的数列 ?a n ?满足 a1 ? 1 , an ?1 ? ln an ? an ? 2 ( n ? N? ) ,求证: an ? 2n ? 1 . 解: (Ⅰ)函数的定义域为 (0 ,? ?) ,

f ?( x) ? ?

ax2 ? 2 x ? 1 ( x ? 0) ,依题意 f ?( x) …0 在 x ? 0 时恒成立, x

2x 1 1 则 a ? 1? 2 ? ( ? 1)2 ? 1 在 x ? 0 时恒成立,即 a ? [( ? 1)2 ? 1]min ( x ? 0) , x x x

1 ?????? 4 分 x 1 1 1 2 3 (Ⅱ) a ? ? ,由 f ( x ) ? ? x ? b 得 x ? x ? ln x ? b ? 0 在 [1 ,4] 上有两个不同的实根, 2 2 4 2
2 当 x ? 1 时, ( ? 1) ? 1 取最小值-1,所以 a 的取值范围是 (?? ,? 1]

设 g ( x) ?

1 2 3 x ? x ? ln x ,x ?[1, 4] 4 2

g ?( x) ?

( x ? 2)( x ? 1) , x ? [1 ,2) 时, g ?( x) ? 0 , x ? (2 ,4] 时, g ?( x) ? 0 2x 5 g ( x)min ? g (2) ? ln 2 ? 2 , g (1) ? ? , g (4) ? 2 ln 2 ? 2 , 4 3 1 g (1) ? g (4) ? ? 2 ln 2 ? (3 ? 4 ln 4) ? 0 ,得 g (1) ? g (4) 4 4

5 则 b ? (ln 2 ? 2 , ? ] ??????8 分 4
14

(Ⅲ)易证当 x ? 0 且 x ? 1 时, ln x ? x ? 1 . 由已知条件 an ? 0 , an?1 ? ln an ? an ? 2 ? an ? 1 ? an ? 2 ? 2an ? 1 ,
a ?1 a ?1 a ?1 故 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) , 所 以 当 n …2 时 , 0 ? n ? 2 , 0 ? n ?1 ? 2 , ??? , 0 ? 2 ? 2, 相乘 得 an ?1 ? 1 an ? 2 ? 1 a1 ? 1

0?

an ? 1 n n ? 2n ?1 , 又 a1 ? 1 , 故 an ? 1 ? 2 ,即 an ? 2 ? 1 ? ? ? ? ? ? 12 分 a1 ? 1

(22) (本小题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲 C 如图,PA 是圆 O 的切线,PE 过圆心 O ,PE 与圆 O 相交于 D , E B AC 为圆 O 的直径, PC 与圆 O 相交于 B , C 两点, 两点, 连结 AB , CD . P (Ⅰ)求证: ?PAD ? ?CDE ; E D O 2 PA BD (Ⅱ)求证: . ? PC ? PE AD 解析: (Ⅰ)由 PA 是圆 O 的切线,因此 ?PAD ? ?ACD ,在 △ OCD 中, A OD ? OC ,可得 ?ACD ? ?CDE ,所以 ?PAD ? ?CDE . PB BD PA2 (Ⅱ)由切割线定理可知, PA2 ? PB ? PC ,得 ,又由 ?ACD ? ?CDE 得 ? ? PB ,故只需证 PE AD PC PB BD ? ?? EC AD ,则 EC ? AD ,故只需证 C, E 四点共圆可得 ?PBD ? ?PEC , . 而由 A ,D , ? PE CE PB BD PA2 BD ?PDB ? ?PCE ,故 △ PBD 与 △ PEC 相似,于是 ,因此 . ? ? PE CE PC ? PE AD (23)选修 4—4:极坐标和参数方程
? x ? 1 ? cos? , ? ?R ) (? 为参数, 已知在平面直角坐标系 xOy 内, 点 P( x , y ) 在曲线 C :? 上运动. 以 Ox ? y ? sin ? ,

? 为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? 0 . 4 C l (Ⅰ)写出曲线 的标准方程和直线 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,点 M 在曲线 C 上移动,试求 △ABM 面积的最大值.
解: (Ⅰ) 消去参数 ? , 得曲线 C 的标准方程:( x ? 1)2 ? y 2 ?1. 由 ? cos(? ? ) ? 0 得:? cos ? ? ? sin ? ? 0 , 4 即直线 l 的直角坐标方程 为: x ? y ? 0 . ( Ⅱ ) 圆 心 (1 , 0) 到 直 线 l 的 距 离 为 d ?
1 1?1 ? 2 ,则圆上的点 M 到直线的最大距离为 2

?

d ?r ?

2 2 ? 1 (其中 r 为曲线 C 的半径) , | AB |? 2 12 ? ( )2 ? 2 .设 M 点的坐标为 ( x , y ) ,则过 M 且与 2 2

? ? 2 2 ?1 ? 1 ?x ? ? x ?? ?( x ? 1)2 ? y 2 ?1 ? ? 2 2 直线 l 垂直的直线 l ? 方程为: x ? y ? 1 ? 0 ,则联立方程 ? ,解得 ? ,或 ? , 2 2 ?x ? y ? 1 ? 0 ? ? y?? y? ? ? ? 2 ? 2

15

? 2 1 ? ?x ? ? 2 2 ? 2 ?1, ? ) 时 , △ABM 面 积 的 最 大 值 为 经 检 验 ? 舍 去 . 故 当 点 M 为 ( 2 2 2 ? y? ? ? 2
(S?ABM )max ?
1 2 ? 2 ?( ? 1) ? 2 2 2 ?1 . 2

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲 已知 a ? 0 , b ? 0 , 且 a2 ? b2 ?

9 ,若 a ? b ? m 恒成立, 2

(Ⅰ)求 m 的最小值; (Ⅱ)若 2 | x ? 1| ? | x | …a ? b 对任意的 a , b 恒成立,求实数 x 的取值范围. 解: (Ⅰ)因为 a ? 0 , b ? 0 , 且 a2 ? b2 ?

9 ,若 a ? b ? m 恒成立,只要求解 a ? b 的最大值即可,因为 2

3 ? a? ? ? 2 a b (当且仅当 ? ,即 ? 时取等号) .又 a ? b ? m 恒成立,所 (a2 ? b2 )(12 ? 12 ) …(a ? b)2 ,所以 a ? b ? 3 . ?b ? 3 1 1 ? ? 2

以 m …3 .故 m 的最小值为 3.
?x ? 0 | … | a ? b恒 成 立 , 须 且 只 须 2 | x ? 1| ? | x | …3 , 所 以 ? ( Ⅱ ) 由 于 要 使 2 | x ? 1 |? x 或 ??2 x ? 2? x … 3 ?0 ? x ? 1 ?x ? 1 1 5 或? .所 x ? ? 或 x … . ? 3 3 ??2 x ? 2 ? x …3 ?2 x ? 2 ? x …3

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