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准等差数列


若数列

满足:对于

,都有

(常数),则称数列 则

是公

差为 的准等差数列.如:若 准等差数列. (1)求上述准等差数列 (2)设数列 满足: 的前 项的和 ,对于 ; ,都有

是公差为 的

.求证:



准等差数列,并求其通项公式; (3)设(2)中的数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S63>2012,求 a 的取值范围. (4)设(2)中的数列 数列 理由. 的前 项和为 ,试研究:是否存在实数 ,使得

有连续的两项都等于

.若存在,请求出 的值;若不存在,请说明

解答:(1)c8=41,c9=35(2 分) T9=

? 3 ? 35? ? 5 + ?17 ? 41? ? 4 =211.
2
2

(2)∵an+an+1=2n ②-①得 an+2-an=2.



an+1+an+2=2(n+1)



所以,{an}为公差为 2 的准等差数列.
n ?1 -1)×2=n+a-1; 2 n 当 n 为偶数时,an=2-a+( -1)×2=n-a,(2 分) 2

当 n 为奇数时,an=a+(

∴an=

(3)解一:在 S63=a1+a2+…+a63 中,有 32 个奇数项,31 个偶数项, 所以,S63=32a+ ∵S63>2012, ∴a+1984>2012. ∴a>28. 解二:当 n 为偶数时,a1+a2=2×1,a3+a4=2×3,…an-1+an=2×(n-1) 将上面各式相加,得 Sn= ∵S63=S62+a63=
1 2 n. 2 32 ? 31 31? 30 ×2+31(2-a)+ ×2=a+1984. 2 2

1 ×622+63+a-1=a+1984 2

∵S63>2012, ∴a+1984>2012. ∴a>28.

n n n n ( ? 1) ( ? 1) n 2 2 n 2 2 1 (4)当 n 为偶数时, Sn ? a ? ? ? 2 ? ?2 ? a? ? ? ? 2 ? n2 2 2 2 2 2
当 n 为奇数时,

n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 ( ? 1) ( ? 1) n ?1 n ? 1 1 1 2 2 Sn ? a ? ? 2 ? 2 ? ?2 ? a? ? ? 2 ? 2 ? n2 ? a ? 2 2 2 2 2 2 1 2 当 k 为偶数时, Sk= k =50 ,得 k ? ?10 。 2 1 2 1 由题意,有 S9 ? ? 9 ? a ? ? 50 ?a=10; 2 2 1 1 或 S11 ? ?112 ? a ? ? 50 ?a=-10. 2 2
当 a=10 时,S9,S10 两项等于 50; 当 a=-10 时,S10,S11 两项等于 50; 所以,a=±10.


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