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第9部分

屈曲和后屈曲分析

MAR120, Lecture 4, March 2001 PAT328, Section 3, March 2001

总论
大变形、小应变问题:
易发生屈曲的材料 大转动问题
梁的急速通过 稳定平板屈曲

平衡架构
平衡特征 应力、应变的角色 可用的分析程序

大变形、大应变问题:
涉及很大的塑性变形的制造过程
超塑性金属成形

大转动和跟随力
转动的表示和边界条件 由于大转动导致的刚度变化 不对称荷载刚度影响

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总论(续)
屈曲特征值分析
屈曲分叉 临界荷载和屈曲模态 静态荷载和实时荷载

缺陷敏感结构
屈曲模态和结构特征值很近 的相互影响 对临界荷载计算、收敛性和 准确性有影响 例:受轴向压力的薄壁圆筒

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大变形-小应变问题
大部分材料不能承受超过一个 不太大的应变,虽然仍是弹性 响应
大的非弹性变形常常导致普通结构 材料的失效 橡胶类材料是例外

因此,大部分结构组成的设计 仅涉及小应变
但是,位移和转动可能很大,尤其 对弹性梁和壳

例: 承受点荷载的圆筒 参考帮助E卷
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圆筒的急速通过算例

Mises Stress

e Tim

Bottom MAR120, Lecture 4, March 2001 PAT328, Section 3, March 2001

Top

大变形-大应变问题
未变形的

许多制造过程包括非常大 的应变和塑性(非弹性) 变形
崩塌和碰撞问题常包括大应变 典型例子:大位移、大转动、有 限应变的超塑性金属成形过程
未变形的网格 变形网格的等效蠕变应变

刚性面

变形后的

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平衡构型
分析的主要目的是预测结构在特 定荷载下的平衡架构 平衡可能是动态的,也可能是静 态的 通过应力描述平衡的特征 正确描述变形体的运动 应变的定义非常关键 静态非线性分析基于可靠的自动 荷载增量控制 包含梁、壳单元的模型,转动的 协调处理非常重要 在动态分析,尤其是涉及接触计 算的分析中,自动时间增量控制 也同样重要 结构的瞬态稳定性可以通过屈曲 特征值分析确定 结构的后屈曲行为可用弧长法分 析

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静态荷载与实时荷载
由于跟随力的存在,大转动会 导致刚度的变化。它们常常与 崩塌结构刚度高度相关。
考虑如右图所示承受均匀压力的环 如果环向内弯曲,变形后压缩力R不 再与压力P平衡
这会影响环的刚度 压力P所做的虚功发生变化,导致压 力载荷刚度升高
P R uA , v A A-B A1 - B 1 = 均布压力 = 压缩力 = A点的位移 = 初始位置 = 变形后位置

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静态荷载与实时荷载(续)
如果结构变形时,荷载刚度随 着变化,该荷载就称为“实时” (live)的
否则称为“静态”(dead)的

除非荷载是保守的,如果压力 作用在实体或壳单元的一个 面,荷载刚度项不对称
做功与路径无关的荷载是保守的 实时荷载要激活跟随力(Following Forces)选项

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静态荷载与实时荷载(续)
在静水压力问题和集中跟随 荷载问题中需要考虑荷载刚 度影响。
这会影响非线性问题的收敛性, 不管是静态的,还是瞬态的。 如果结构在非线性静态分析步中 预加载,这也会影响屈曲特征值 分析的结果。

左图的(壳)管开始时是一根 直管。 局部屈曲对压力荷载非常敏感。 对激活loads follow deformation选项也很敏感。

屈曲

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屈曲特征值分析
在MSC.Marc的非线性分 析中,采用NR算法求解 外力{p}和内力{l}的平衡
由于发生了屈曲,结构 可能无法提供足够的内 力平衡外力 在这种情况下NR算法不 能奏效: {F} = {P} - {l} = 0

屈曲特征分析可用于计算极限荷载
通常这类分析用于确定分叉 如果结构行为在分叉之前是线弹性 的,这个方法是最有效的

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屈曲特征值分析(续)
线性屈曲分析将静态荷载从实时 荷载中分离出来,假定荷载是保 守力,因此刚度矩阵是对称的。 临界荷载的计算依赖于这种假定 与真实行为的近似程度。
首先施加静态荷载P0,得到刚度矩阵 [K0] 然后增加实时荷载λ?P,刚度矩阵 λ[?K] [?K] = [K?σ] + [K?P] (实时荷载) [K0] = [Kσ0] (静态荷载) 当切线刚度奇异时,会发生不稳定,就造 成了特征值问题 ([K0] +λ[?K]){V} = {0} 相应的屈曲模态下方程(P0 + λcr×?P) 的非平凡解即临界荷载。 (这是标准化的 矢量,不表示实际变形大小) 临界失稳模态常用于崩塌分析中产生几何 扰动,这个扰动与结构厚度方向断面尺寸 相当

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屈曲特征值分析(续)
求解过程可简要概况如下: 荷载和应力可以用加载参数λ表示:
σ = λ?σ , P =λ?P

当结构允许达到预硬状态,可以得 到更加精确的结果
P = P0 + λ?P , σ 0 = σ 0 + λ?σ

初始应力和荷载刚度矩阵也和λ成比 例:
KσMN = λK?σMN , KPMN = λK?PMN

屈曲特征值预测的目的是计算在结 构刚度矩阵的线性扰动中的奇异
只有线性扰动是结构在屈曲前的真实 响应,计算结果才对设计工作有价值 屈曲特征值对刚性结构很有用(这些 结构在屈曲前只存在小的弹性变形)

由此我们可以求解出λcr最小值及相 应的矢量ucrN 临界屈曲荷载λcr?P 临界屈曲模态ucrN

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屈曲特征值分析(续)
对大部分刚性结构,即使非弹 性响应发生在崩塌之前,崩塌 模态的计算也是有用的 典型例子:欧拉柱
承受轴向压力,当达到临界荷载时, 突然发生弯曲,表现出非常小的刚度

只有在相当严格的情况(线弹 性,刚性响应,无缺陷敏感 性),这是唯一需要的得到结 构崩塌极限的分析
后屈曲分析必然是非线性分析

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缺陷敏感结构
在许多情况下,后屈曲响应 是不稳定的。结构的崩塌荷 载很大程度上取决于原始几 何结构中的缺陷。
具有此类行为的结构称为缺陷敏感 结构。 这种情况下,实际临界荷载可能比 屈曲特征值分析得到的临界荷载要 小得多。

通常,结构的特征值很接近 就意味着结构是缺陷敏感的。
缺陷会导致结构的屈曲模式在远 小于屈曲特征值分析所得结果的 条件下相互影响并引起崩塌。 在这种情况下,特征值算法的收 敛速度会非常慢。 网格细化或修改会对结构的特征 值计算产生明显影响。

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缺陷敏感结构(续)
典型例子:如右图 所示,为承受轴向 压力的薄壁圆筒 薄壁圆筒的屈曲通 常包含很多的轴向 和周向的波纹
要得到精确的结果, 需要划分很细的网格

轴向受压圆筒
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屈曲模态

缺陷敏感结构(续)
有缺陷圆筒承受轴向荷载的屈曲

Critical Mode
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缺陷敏感结构(续)
将一部分临界“实时”荷载作为 “静态”荷载使用,在屈曲特征 值分析之前,在小于屈曲荷 载时以非线性静态分析对结 构加载,可以有效改善收敛 性。
这可得到间隔较大的特征值 预加载分析的收敛性更好

如果拿不准,在结构中引入 最小屈曲模态的缺陷,采用 弧长法进行非线性静态分 析,获得完整的屈曲前和后 屈曲的变形历史
弧长法允许在达到最大荷载后, 减小荷载 弧长法同时解决了荷载和位移控 制

在发生屈曲前几何结构发生很大变化的情况下,非线性分析是必须的。
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