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广州高一暑假培训班


[广州新王牌]排列组合概率综合测试题
一、选择题(本大题共 15 小题,每小题 4 分,共 60 分) 1.若 m, n ? N 且m ? n ? 8, 则平面上的点( m, n)共有
*

( D.30



A.21

B.20

C.28

r />2.将数字 1,2,3,4 填入标号为 1,2,3,4 的四个方格里,每格填上一个数字,则所填数字与四个 方格的标号均不同的填法有 A.6 种 3. ( 3 x ? B.9 种 C.11 种 D.23 种 ( ) ( )

1 8 ) 的展开式中,x 的一次项的系数是 x
B.-28
*

A.28
n

C.56
n ?1

D.-56
n

4.若 n ? N ,则 2 ? C n 2 A. ?? 2 ?
n

1

n ?1

n ?1 2 n? 2 ? Cn 2 ? … ? ?? 1? C n ? 2 ? ?? 1? 的值是





B. 2 n

C.-1

D.1

5.某班团支部换届进行差额选举,从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、 副书记和组织委员,并且规定:上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职,则不同的任职结果有 ( A.15 种
83 83



B.11 种

C.14 种

D.23 种 ( )

6.8 +6 被 49 除所得的余数是 A.1 B.14 C.-14 D.35

7.用 0,1,2,3,4 五个数字可组成不允许数字重复的三位偶数的个数是 A.12 B.18 C.30 D.48





8.一条铁路原有 m 个车站,为适应客运需要新增加 n 个车站(n>1),则客运车票增加了 58 种(注:从 甲站到乙站和从乙站到甲站需要两种不同车票) ,那么原有车站 ( ) A.12 B.13 个 C.14 个 D.15 个 )

9.在连接正八边形的三个顶点构成的三角形中,与正八边形没有公共边的三角形有 ( A.24 个 B.48 个 C.16 个 D.8 个

10.3 位男生,3 位女生平均分成三组,恰好每组都有一位男生一位女生的概率是 ( A.



2 5
2 6

B.

1 6
2

C.
4

1 15
12

D.

1 30
( )

11.已知(2x +4x+3) =a0+a1(x+1) +a2(x+1) +…+a6(x+1) ,则 a0+a2+a4+a6 的值为 A.

36 ? 1 2

B.

36 ? 1 2

C.

36 ? 2 2

D.

36 ? 2 2
( )

12.某班 30 名同学,一年按 365 天计算,至少有两人生日在同一天的概率是 A. 1 ?
30 A365 365 30

B.

30 A365 365 30

C. 1 ?
3

1 365 30

D.

1 365 30

13.如果 ab<0,a+b=1,且二项式(a+b) 按 a 的降幂展开后,第二项不大于第三项,则 a 的取值范围 是 ( ) A.(-∞,-

1 ] 2

B.[

6 ,+∞ ) 5

C.(-∞,+

4 ] 5

D.(1,+∞)

14.奥运会足球预选赛亚洲区决赛(俗称九强赛) ,中国队和韩国队是其中的两支球队,现要将 9 支球 队随机平均分成 3 组进行比赛,则中国队与韩国队分在同一组的概率是 ( ) A.1/4 B.1/6 C.1/9 D.1/12 15.从一副 52 张扑克牌 (去掉正、 副王牌) 中取 5 张, 恰好 3 张同点, 另 2 张也是同点的概率是 A.
3 2 C13 C12 5 C 52

B.

1 5 C4 C13 5 C 52

C.

1 2 C13 C13 5 C 52

D.

2 2 3 A13 C4 C4 5 C 52





二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 16.有一个圆被两相交弦分成四块,现在用 5 种颜色给四块涂色,要求每块只涂一色,具有共边的两 块颜色互异,则不同的涂色方法有 . .

17.甲、乙、丙、丁、戊 5 人随机站成一排,则甲、乙相邻,甲、丙不相邻的概率是 18. (1+x)(2+x)(3+x)……(20+x)的展开式中 x 的系数是
18

. .

19.已知集合 A={1,2,3,4,……,n},则 A 的所有含有 3 个元素的子集的元素和为

三、解答题(本大题共 6 题,共 74 分。要求有必要的文字说明) 20、 (15 分)男生 3 人女生 3 人任意排列,求下列事件发生的概率: (1) 站成一排,至少两个女生相邻; (2)站成一排,甲在乙的左边(可以不相邻) ; (3) 站成前后两排,每排 3 人,甲不在前排,乙不在后排; (4) 站成前后两排,每排 3 人,后排每一个人都比他前面的人高; (5)站成一圈,甲乙之间恰好有一个人。

21. (12 分)对二项式(1-2x) ,(1)展开式的中间项是第几项?写出这一项; (2)求展开式中各项的二项式系数之和; (3)求展开式中除常数项外,其余各项的系数和; (4)写出展开式中系数最大的项.

10

22. (12 分)用 0,1,2,3 四个数字组成没有重复数字的自然数, (1) 把这些自然数从小到大排成一个数列,问 1230 是这个数列的第几项? (2) 其中的四位数中偶数有多少个?它们各个数位上的数字之和是多少?它们的和是多少?

23. (11 分)10 根签中有 3 根彩签,若甲先抽一签,然后由乙再抽一签,求下列事件的概率: (1)甲中彩; (2)甲、乙都中彩; (3)乙中彩

24. (11 分)某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,假设拨过了的号码不再重复, 试求下列事件的概率: (1)第 3 次拨号才接通电话; (2)拨号不超过 3 次而接通电话.

25.(本小题满分 13 分)规定 A x =x(x-1)…(x-m+1),其中 x∈R,m 为正整数,且 A x =1,这是排列数 A n (n,m 是正整数,且 m≤n)的一种推广. (1)求 A ?15 的值; (2)排列数的两个性质:①A n =nA n ?1 ,②A n +mA n
m m m ?1 m m ?1 3 m

m

0

=A n ?1 (其中 m,n 是正整数).是否都能推广到

m

A x (x∈R,m 是正整数)的情形?若能推广,写出推广的形式并给予证明;若不能,则说明理由; (3)确定函数 A x 的单调区间.
3

排列组合概率综合测试题答案
一、选择题 1.C 2.B 3.A 4.D 5.B 6.D 7.C 8.C 9.C 10.A 11.B 12.A 13.D 14.A 15.D 二、填空题 16.260 种 18.20615 17.

3 10
2 2 2 2

提示:2A=(1+2+3+……+20) -(1 +2 +……+20 )=41320

19.

n 4 ? 2 n 3 ? n 2 ? 2n 4

三、解答题 20.解:(1) P 1

? 1?

3 3 A3 A4 4 ? ; 6 5 A6

(2) P2

?

A64 1 ? ; 6 2 A6

(3)

P3 ?

1 1 4 A3 A3 A4 3 ? ; 6 10 A6

(4)

P4 ?

2 2 C 62 C 4 C2 1 ? ; 6 8 A6

(5)

P5 ?

2 1 3 A2 A4 A3 2 ? 5 5 A5

21.解: (1) (2) 1024;

5 T6 ? C10 (?2 x) 5 ? ?8064 x 5 ;

(3) 0;

(4)

T7 ? 13340 x 6

22、解: (1)分类讨论 1)1 位自然数有 4 个; 2)2 位自然数有 9 个,其中①含零 “XO” 型有 3 个,②不含零 “XX”型有 A32 ? 6个 ;
3 3)3 位自然数有 18 个,即 A4 ? A32 ? 3 A33 ? 18个;

4)4 位自然数中, “10xx”型有

2 A2 ? 2 个,1203,1230 共有 4 个

由分类计数原理知,1230 是此数列的第 4+9+18+4=35 项. (2)四位数中的偶数有
3 1 2 A3 ? A2 A2 ? 10 个;它们各个数位上的数字之和为

10╳(0+1+2+3)=60;它们的和为

?1 ? 4 ? 3 ? 4 ? 2 ? 2? ? 10 3 ? ?0 ? 2 ? 2 ? 2 ? 1 ? 3 ? 3 ? 3??10 2 ? 10? ? 2 ? 4 ? 21768
23、解:设 A={甲中彩} (1)P(A)= (2) P ( B ) B={乙中彩} C={甲、乙都中彩} 则 C=AB

3 3 2 1 ? ? ; (2)P(C)=P(AB)= 10 10 9 15 1 7 3 3 ? ? ? . 15 10 9 10
1 2 1 1 1 1 A1 A9 ? A9 A1 A8 ? A92 A1 3 A10

? P( AB ? AB) ? P( AB) ? P( AB) ?

24、解: (1) P

? A? ?
3

A92 1 ? ; 3 A10 10

(2)

P ?B ? ?



25、解:(1) A?15 =(-15)(-16)(-17)=4080;

(3 分)

(2)性质①、②均可推广,推广的形式分别是

① Ax ? xAx ?1 ,② Ax ? mAx

m

m ?1

m

m ?1

? Axm?1 (x∈R,m∈N+)
1 0

事实上,在①中,当 m=1 时,左边= Ax =x,右边=x Ax ?1 =x,等式成立;

(4 分)
m ?1

当 m≥2 时,左边=x(x-1)(x-2)…(x-m+1)=x{(x-1)(x-2)…[(x-1)-(m-1)+1]}=x Ax ?1 , 因此,① Ax ? xAx ?1 成立; 在②中,当 m=l 时,左边= Ax + Ax =x+l= Ax ?1 =右边,等式成立; 当 m≥2 时,左边=x(x-1)(x-2)…(x-m+1)+mx(x-1)(x-2)…(x-n+2) =x(x-1)(x-2)…(x-m+2)[(x-m+1)+m] =(x+1)x(x-1)(x-2)…[(x+1)-m+1]= Ax ?1 =右边, 因此② Ax ? mAx
m m ?1 m 1 0 1 m m ?1

(5 分)

(6 分) (8 分)

? Axm?1 (x∈R,m∈N+)成立.
3
/ 2 2

(3)先求导数,得( Ax ) =3x -6x+2.令 3x -6x+2>0,解得 x<

3? 3 3? 3 或 x> 3 3
(11

因此, 当 x∈(-∞, 分)

3? 3 3? 3 )时, 函数为增函数, 当 x∈( , +∞)时, 函数也为增函数. 3 3

2 令 3x -6x+2 ≤ 0, 解 得 3 ? 3 ≤ x ≤ 3 ? 3 , 因 此 , 当 x ∈ [ 3 ? 3 , 3 ? 3 ] 时 , 函 数 为 减 函 3 3 3 3 数. (12 分)

∴函数 Ax 的增区间为(-∞,

3

3? 3 3? 3 3? 3 3? 3 ),( ,+∞);减区间为[ , ]. 3 3 3 3


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