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圆锥曲线的参数方程


●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●

圆锥曲线的参数方程

一、选择题(本大题共 4 小题,每小题 0 分,共 0 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个 选项是符合题目要求的) 1.若直线的参数方程为?
? ?x=1+2t, ?y=2-3t ?

(t为参数),则直线的斜率为

(

).

A.

2 2 3 3 B.- C. D.- 3 3 2 2

3 【答案解析】解析 参数方程中消去t,得3x+2y-7=0.所以k=- . 2 答案 D 2.下列点在曲线?
? ?x=sin 2θ , ?y=cos θ +sin θ ?

姓名:__________班级:__________考号:__________

(θ 为参数)上的是

(

).

?1 ? ? 3 1? A.? ,- 2? B.?- , ? ?2 ? ? 4 2?
C.(2, 3) D.(1, 3) 【答案解析】解析 转化为普通方程:y =1+x (|y|≤ 2),把选项A、B、C、D代入验证 得,选B. 答案 B
? ?x=4t , 3.若点P(3,m)在以点F为焦点的抛物线? (t为参数)上,则|PF|等于 ?y=4t ?
2 2

(

).

A.2 B.3 C.4 D.5 【答案解析】解析 抛物线为y =4x,准线为x=-1,|PF|为P(3,m)到准线x=-1的距 离,即为4. 答案 C 4.双曲线C:?
? ?x=3sec φ , ?y=4tan φ ?
2

(φ 为参数)的一个焦点为

(

).

A.(3,0) B.(4,0) C.(5,0) D.(0,5)

1

【 答 案 解 析 】 解析 由 ?

?x=3sec φ , ? ?y=4tan φ ?



x ? ?3=sec φ , ?y ? ?4=tan φ ,

于是 ? ? ?3?

?x?

2

- ? ? ?4?

?y?

2

=sec φ -tan φ =1, 即双曲线方程为 - =1, 9 16 焦点为(±5,0).故选C. 答案 C 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 0 分,共 0 分) 5.曲线?
? ?x=3t-2, ?y=t -1 ?
2

2

2

x2

y2

与x轴交点的坐标是______________.
2

【答案解析】 解析 将曲线的参数方程化为普通方程:(x+2) =9(y+1),令y=0,得x=1 或x=-5. 答案 (1,0),(-5,0)
?x=t , ? 6.点P(1,0)到曲线? (其中参数t∈R)上的点的最短距离为________. ?y=2t ?
2

【答案解析】解析 点P(1,0)到曲线上的点的距离设为d, 则d= (x-1) +(y-0) = (t -1) +(2t) = (t +1) =t +1≥1. 所以点P到曲线上的点的距离的最小值为1. 答案 1
? ?x=2pt , 7. (2012·天津高考)已知抛物线的参数方程为? ?y=2pt ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2

(t 为参数),其中 p>0,焦点为 F,

准线为 l.过抛物线上一点 M 作 l 的垂线,垂足为 E,若|EF|=|MF|,点 M 的横坐标是 3,则

p=________.
【答案解析】解析
2

? ?x=2pt , 将? ?y=2pt ?

2

消元得 y =2px,

2

将 x=3 代入 y =2px 得 y=± 6p.

? ? 令 M(3, 6p),∴E?- , 6p?. 2 ? ?
p
∵|EF|=|MF|,

2

∴ =

?p+p?2+ ?2 2? ? ? ?p-3?2+ ?2 ? ? ?
2

6p 6p

2

2



化简得 p +4p-12=0,∵p>0,∴p=2.

答案 2

8.已知曲?

?x=2pt , ? ? ?y=2pt

2

(t为参数,p为正常数)上的两点M,N对应的参数分别为t1和t2,且t1+t2=0,那么|MN|=_____ ___. 【答案解析】解析 显然线段MN垂直于抛物线的对称轴,即x轴, |MN|=2p|t1-t2|=2p|2t1|=4p|t1|. 答案 4p|t1| 9.在椭圆 + =1上找一点,使这一点到直线x-2y-12=0的距离最小. 16 12 【答案解析】解 设椭圆的参数方程为?

x2

y2

?x=4cos θ , ?y=2 3 sin θ ,

d=

|4cos θ -4 3sin θ -12| 4 5 = |cos θ - 3sin θ -3| 5 5



π? ? 4 5? ? ?2cos?θ + 3 ?-3? 5 ? ? ? ?

π? 4 5 ? 当cos?θ + ?=1时,dmin= ,此时所求点为(2,-3). 3? 5 ?

10.已知点P(x,y)是圆x +y =2y上的动点, (1)求2x+y的取值范围; (2)若x+y+a≥0恒成立,求实数a的取值范围.
3

2

2

【答案解析】解 解 (1)设圆的参数方程为?

?x=cos θ , ? ?y=1+sin θ , ?

2x+y=2cos θ +sin θ +1= 5sin(θ +φ )+1 ∴- 5+1≤2x+y≤ 5+1. (2)x+y+a=cos θ +sin θ +1+a≥0. π? ? ∴a≥-(cos θ +sin θ )-1=- 2sin?θ + ?-1, 4? ? ∴a≥ 2-1. 11. (椭圆参数方程的应用)设F1、F2分别为椭圆C: 2+ 2=1 (a>b>0)的左、右焦点.

x2 y2 a b

? 3? (1)若椭圆C上的点A?1, ?到F1、F2距离之和等于4,写出椭圆C的方程和 ? 2?
焦点坐标; (2)设P是(1)中椭圆上的动点,求线段F1P的中点的轨迹方程.

【答案解析】解 (1)由椭圆上点A到F1、F2的距离之和是4, 得2a=4,即a=2.

? 3? 又点A?1, ?在椭圆上, ? 2? ?3? ? ? 1 ?2?
2
2

因此 + 2 =1,得b =3, 4 b 于是c =a -b =1,所以椭圆C的方程为 + =1, 4 3 焦点坐标为F1(-1,0),F2(1,0). (2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cos θ , 3sin θ ), 线段F1P的中点坐标为(x,y), 2cos θ -1 3sin θ +0 则x= ,y= , 2 2 1 2y 所以x+ =cos θ , =sin θ . 2 3
2 2 2

x2 y2

? 1? 4y 消去 θ ,得?x+ ? + =1,这就是线段 F1P 的中点的轨迹方程. 3 ? 2?

2

2

4


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