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2013-2014学年高中数学(人教A版)选修2-2能力提升 1.5.2 汽车行驶的路程 Word版含解析


1.在等分区间的情况下,f(x)= 极限形式正确的是(
n

1 (x∈[0,2])及 x 轴所围成的曲边梯形的面积和式的 1+x2

) 1

2 ? ·? i A.li m 2 n? ? ? n→∞i=1 1+? ? n ? ? 2? ? 1 · 2 i B.li m 2 n? ? ? n→∞i=1 1+? ? n ? ?
n n 1? ? 1 2· C.li m ? n→∞i=1 ?1+i n?

? 1 · n? i 2 ? D.li m ? ? n→∞i=1 1+? ? n ? ?
n

2?i-1? 2i? 2 解析: 选 B.将区间 n 等分后, 每个小区间的长度为 Δx= , 第 i 个小区间为? n ? n ,n? (i=1,2,3, ?, n), 则由求曲边梯形的面积的步骤可得曲边梯形的面积和式的极限形式为 li m →∞
n

1 2 n ? ·? 2 i 2 n?. ? ? i=1 ?1+? n ? ? 2.设函数 f(x)的图象与直线 x=a,x=b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f(x)在[a,b] π? 2 * ? 2π? 上的面积.已知函数 y=sin nx 在? ?0,n?(n∈N )上的面积为n,则 y=sin 3x 在?0, 3 ?上的面 积为________. π π 2 2 0, ?(n∈N*)上的面积为 ,则 y=sin 3x 在?0, ?上的面积为 . 解析:由于 y=sin nx 在? n 3 ? ? ? ? n 3 2π 2π 2 4 ? 而 y=sin 3x 周期为 ,所以 y=sin 3x 在? ?0, 3 ?上的面积为3×2=3. 3 4 答案: 3 6 3.一辆汽车做变速直线运动,设汽车在时刻 t 的速度 v(t)= 2,求汽车在 t=1 到 t=2 t 这段时间内运动的路程 s. 解:(1)分割 n+i-1 n+i 把区间[1,2]等分成 n 个小区间[ , ](i=1,2,?,n), n n 1 每个区间的长度 Δt= ,每个时间段行驶的路程记为 n Δsi(i=1,2,?,n). 故路程和 sn= ?Δsi.
i=1 n

(2)近似代替 n+i-1 n+i 1 当 n 很大时,即 Δx 很小时,在区间[ , ]上,可以认为 f(x)= 2的值变化很小, n n x n+i-1 n+i 近似的等于一个常数,不妨认为等于 f( · ),局部小范围内“以直代曲”,则 n n

有 n+i-1 n+i · )Δx n n 2 6n 1 = · ?n+i-1??n+i? n 6n = (i=1,2,?,n). ?n+i-1??n+i? (3)求和 Δsi≈f( sn≈ ?
n i=1

6n ?n+i-1??n+i?

1 1 1 1 1 1 =6n( - + - +?+ - ) n n+1 n+1 n+2 2n-1 2n 1 1 =6n( - ). n 2n (4)取极限 1 1 s=li m sn=li m 6n( - )=3. n 2n n→∞ n→∞ 3 4.求 y=x 与 x=0,y=± 2 围成的图形的面积. 解:所求面积如图阴影部分,由对称性知 S1=S2,故所求面积为 2S1.先求 y=x3 与 y=0, x=0,x=2 围成的面积 S1′如下:

2?i-1? 2i? 2 ? n , n ?(i=1,2,3,?,n),每个小区间距离为 Δx=n. 2i?3 (2)近似代替:ΔSi=f(ξi)Δx=? ? n ? Δ x. (1)分割:将[0,2]分成 n 等份?
n n n 2i?3 1 ?2i?32. (3)求和: S= ?ΔSi≈ ? ? Δ x = ? n ? ? ?n? n 2 i=1 i=1 i=1

1 (4)求极限: S 2 2n?3? 2??2?3 ?4?3 =li m +?n? +?+? ?n? ? n→∞ n??n? 24[13+23+?+n3] =li m n4 n→∞ 1 24·n2?n+1?2 4 =li m n4 n→∞ 2 4?n +2n+1? =li m =4. n2 n→∞ 3 所以由 y=x ,x=0,x=2,y=0 围成的图形的面积 S1′=4,∴S1=2×8-4=12. 故所求面积为 S=2S1=24.


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