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辽宁省沈阳市铁路实验中学2015届高三上学期期初数学试卷(文科)


辽宁省沈阳市铁路实验中学 2015 届高三上学期期初数学试卷 (文 科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1. (5 分)设集合 A=[x||x﹣1|<2},B={y|y =2x,x∈[0,2]},则 A∩B=() A.[0,2] B.(1,3) C.(﹣1,2] D.(1,4) 2. (5 分)若复数 z=(a +2a﹣3)+(a﹣l

)i 为纯虚数(i 为虚数单位) ,则实数 a 的值为() A.﹣3 B . ﹣3 或 1 C.3 或﹣1 D.1
2 2

3. (5 分)已知 a= A.a>b>c

,b=log2 ,c=log B.a>c>b

,则() C.c>a>b D.c>b>a

4. (5 分)“x<0”是“ln(x+1)<0”的() A.充分不必要条件 C. 充分必要条件

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5. (5 分)200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示,时速在[50,60) 的汽车大约有()

A.30 辆

B.40 辆

C.60 辆

D.80 辆

6. (5 分)函数 A. B.

的零点 x0 属于区间() C. D.

[来源:学科网] 7. (5 分)一次实验:向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子,经查数,落在正方形中的豆 子的总数为 N 粒,其中 m(m<N)粒豆子落在该正方形的内切圆内,以此估计圆周率 π 为()

A.

B.

C.

D.

8. (5 分)若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是()

A.

B.

C.

D. 9. (5 分)设函数 f(x) (x∈R)满足 f(x+π)=f(x)+sinx.当 0≤x<π 时,f(x)=0,则 f ( A. )=() B. C. 0 D.﹣

10. (5 分)已知函数 f(x)= A.f(x)是偶函数 C. f(x)是周期函数

,则下列结论正确的是() B. f(x)是增函数 D.f(x)的值域为[﹣1,+∞)

11. (5 分)已知函数 f(x)=丨 x﹣2 丨+1,g(x)=kx.若方程 f(x)=g(x)有两个不相等 的实根,则实数 k 的取值范围是()

A.(0, )

B.( ,1)

C.(1,2)

D.(2,+∞)

12. (5 分)函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,对?x∈R,都有 f′(x)>f(x)成立,若 f(ln2) x =2,则不等式 f(x)>e 的解是() A.x>1 B.0<x<1 C.x>ln2 D.0<x<ln2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分)若直线 y=kx﹣3 与曲线 y=2lnx 相切,则实数 k=. 1 4. (5 分)某程序框图如图所示,现输入四个函数(1)f(x)=x , (2)f(x)= , (3)f (x)=ln x+2x﹣6, (4)f(x)=sin x,则输出函数是.
2

15. (5 分)已知正数 x、y 满足

,则 z=4

﹣x

的最小值为.

16. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x∈[0,3)时,f(x)=|x ﹣2x+ |, 若函数 y=f(x)﹣a 在区间[﹣3,4]上有 10 个零点(互不相同) ,则实数 a 的取值范围是.

2

三、解答题:本大题共 70 分. 17.已知集合 A={x|a≤x≤a+3},B={x|x<﹣1 或 x>5},全集 U=R. (1)若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围. (2)若?UB?A,求实数 a 的取值范围. 18. (12 分)某志愿者到某山区小学支教,为了解留守儿童的幸福感,该志愿者对某班 40 名 学生进行了一次幸福指数的调查问卷,并用茎叶图表示如下(注:图中幸福指数低于 70,说 明孩子幸福感弱;幸福指数不低于 70,说明孩子幸福感强) . (Ⅰ)根据茎叶图中的数据完成 2×2 列联表,并判断能否有 95%的把握认为孩子的幸福感强 与是否是留守儿童有关?

幸福感强

幸福感弱

合 计

留守儿童 非留守儿童 合 计 (Ⅱ)从 15 个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样,共抽取 5 人,又在这 5 人中随机抽取 2 人进行家访,求这 2 个学生中恰有一人幸福感强的概率. 参考公式: P(x ≥k) k
2

; 附表: 0.050 3.841 0.010 6.635

19.已知



(1)求 z=x+2y 的最大和最小值. (2)求 z= 的取值范围. (3)求 z=x +y 的最大和最小值. 20. (12 分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相 应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据:[来源:学科网 ZXXK] x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程; (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归 方程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
2 2

(参考公式: =

, = ﹣b ;参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)

21.已知函数 f(x)=

, (其中常数 a>0)

(Ⅰ)当 a=1 时,求曲线在(0,f(0) )处的切线方程; 2 (Ⅱ)若存在实数 x∈(a,2]使得不等式 f(x)≤e 成立,求 a 的取值范围.

请在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. (共 1 小题,满 分 10 分) 【选修 4-1:几何证明选讲】

22. (10 分) (A)如图,△ ABC 内接圆 O,AD 平分∠BAC 交圆于点 D,过点 B 作圆 O 的切 线交直线 AD 于点 E. (Ⅰ)求证: ∠EBD=∠CBD (Ⅱ)求证:AB?BE=AE?DC.

【选修 4-4:极坐标与参数方程】 (共 1 小题,满分 0 分) 23.在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知直 线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,圆 C 的极坐标方程为 ρ+2cosθ=0.

(Ⅰ)将直线 l 的参数方程化为普通方程,圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求圆 C 上的点到直线 l 的距离的最小值.

【选修 4-5:不等式选讲】 (共 1 小题,满分 0 分) 24. (C)已知函数 f(x)=|2x+3|+|2x﹣1|. (Ⅰ)求不等式 f(x)≤6 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f(x)<|m﹣1|的解集非空,求实数 m 的取值范围.[来源:学*科*网]

辽宁省沈阳市铁路实验中学 2015 届高三上学期期初数学 试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1. (5 分)设集合 A=[x||x﹣1|<2},B={y|y =2x,x∈[0,2]},则 A∩B=() A.[0,2] B.(1,3) C.(﹣1,2] D. (1,4) 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 先求出集合 A,B,从而便可求出 A∩B. 2 2 解答: 解:A=(﹣1,3) ,y =2x,x∈[0,2],∴0≤2x≤4,∴0≤y ≤4,∴﹣2≤y≤2,∴B=[﹣2, 2]; ∴A∩B=(﹣1,3)∩[﹣2,2]=(﹣1,2];
2

故选 C. 点评: 考查绝对值不等式的解法,交集的运算. 2. (5 分)若复数 z=(a +2a﹣3)+(a﹣l)i 为纯虚数(i 为虚数单位) ,则实数 a 的值为() A.﹣3 B . ﹣3 或 1 C.3 或﹣1 D.1 考点: 专题: 分析: 解答: 则 复数的基本概念. 数系的扩充和复数. 直接由复数 z 的实部等于 0 且虚部不等于 0 列式求解实数 a 的值. 2 解:∵复数 z=(a +2a﹣3)+(a﹣l)i 为纯虚数, ,解得 a=﹣3.
2

∴实数 a 的值为﹣3. 故选:A.[来源:学科网] 点评: 本题考查了复数的基本概念,考查了复数是纯虚数的条件,是基础题.

3. (5 分)已知 a=

,b=log2 ,c=log

,则()

A. a>b>c B.a>c>b C. c>a>b D. c>b >a [来源:Zxxk.Com] 考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题;综合题. 分析: 利用指数式的运算性质得到 0<a<1,由对数的运算性质得到 b<0,c>1,则答案可 求. 解答: 解:∵0<a= b=log2 <log21=0, c=log =log23>log22=1, <2 =1,
0

∴c>a>b. 故选:C. 点评: 本题考查指数的运算性质和对数的运算性质,在涉及比较两个数的大小关系时,有 时借助于 0、1 这样的特殊值能起到事半功倍的效果,是基础题. 4. (5 分)“x<0”是“ln(x+1)<0”的() A.充分不必要条件 C. 充分必要条件 考点: 充要条件.

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

专题: 计算题;简易逻辑. 分析: 根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 解答: 解:∵x<0,∴x+1<1,当 x+1>0 时,ln(x+1)<0; ∵ln(x+1)<0,∴0<x+1<1,∴﹣1<x<0,∴x<0, ∴“x<0”是 ln(x+1)<0 的必要不充分条件. 故选:B. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本题的关键, 比较基础. 5. (5 分)200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示,时速在[50,60) 的汽车大约有()

A.30 辆

B.40 辆

C.60 辆

D.80 辆

考点: 频率分布直方图. 专题: 计算题. 分析: 首先要做出事件发生的频率,在频率分步直方图中小长方形的面积为频率,用长乘 以宽,得到频率,用频率乘以总体个数,得到这个范围中的个体数. 解答: 解:在频率分步直方图中小长方形的面积为频率, 在[50,60)的频率为 0.03×10=0.3, ∴大约有 200×0.3=60 辆. 故选 C[来源:Z&xx&k.Com] 点评: 本题考查频率分步直方图,考查频率分步直方图中小长方形的面积等于频率,本题 考查频率,频数和样本容量之间的关系,这三个量可以做到知二求一.

6. (5 分)函数 A. B.

的零点 x0 属于区间() C. D.

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数的解析式可得 f( )>0,f( )<0,可得 f(1)f(2)<0,根据函数零 点的判定定理可得函数零点所在的区间.

解答: 解:由于幂函数 函数, 则 f( )=

为(0,+∞)上的增函数,指数函数

为 R 上的减

>0,f( )=

<0,

故 f(1)f(2)<0, 根据函数零点的判定定理可得,函数零点所 在的区间为(1,2) , 故答案为:B 点评: 本题主要考查函数的零点的判定定理的应用,由函数的解析式求函数的值,属于基 础题. 7. (5 分)一次实验:向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子,经查数,落在正方形中的豆 子的总数为 N 粒,其中 m(m<N)粒豆子落在该正方形的内切圆内,以此估计圆周率 π 为()

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

几何概型. 概率与统计. 根据几何概型的概率公式,即可以进行估计,得到结论. 解:设圆的半径为 1.则正方形的边长为 2, ,

根据几何概型的概率公式可以得到 即 ,

故选:D. 点评: 本题主要考查几何概型的应用,根据几何概型的概率公式,进行估计是解决本题的 关键,比较基础. 8. (5 分)若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是()

A.

B.

C.

D. 考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得 a=3,由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可. 解答: 解:由题意可知图象过(3,1) , 故有 1=loga3,解得 a=3, 选项 A,y=a =3 =( ) 单调递减,故错误; 选项 B,y=x ,由幂函数的知识可知正确; 3 3 选项 C,y=(﹣x) =﹣x ,其图象应与 B 关于 x 轴对称,故错误; 选项 D,y=loga(﹣x)=log3(﹣x) ,当 x=﹣3 时,y=1, 但图象明显当 x=﹣3 时,y=﹣1,故错误. 故选:B. 点评: 本题考查对数函数的图象和性质,涉及幂函数的图象,属基础题. 9. (5 分)设函数 f(x) (x∈R)满足 f(x+π)=f(x)+sinx.当 0≤x<π 时,f(x)=0,则 f ( A. )=() B. C. 0 D.﹣
3
﹣x ﹣x

x

考点: 专题: 分析: 解答: ∴f( =f ( =f(

抽象函数及其应用;函数的值. 函数的性质及应用. 利用已知条件,逐步求解表达式的值即可. 解:∵函数 f(x) (x∈R)满足 f(x+π)=f(x)+sinx.当 0≤x<π 时,f(x)=0, )=f( )+sin )+sin +sin )

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

=f( =sin = = .

)+sin +sin

+sin +sin

+sin

故选:A. 点评: 本题考查抽象函数的应用,函数值的求法,考查计算能力.

10. (5 分)已知函数 f(x)= A.f(x)是偶函数 C. f(x)是周期函数

,则下列结论正确的是() B. f(x)是增函数 D.f(x)的值域为[﹣1,+∞)

考点: 余弦函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由三角函数和二次函数的性质,分别对各个选项判断即可. 解答: 解:由解析式可知当 x≤0 时,f(x)=cosx 为周期函数, 2 当 x>0 时,f(x)=x +1,为二次函数的一部分, 故 f(x)不是单调函数,不是周期函数,也不具备奇偶性, 故可排除 A、B、C, 对于 D,当 x≤0 时,函数的值域为[﹣1,1], 当 x>0 时,函数的值域为值域为(1,+∞) , 故函数 f(x)的值域为[﹣1,+∞) ,故正确. 故选:D 点评: 本题考查分段函数的性质,涉及三角函数的性质,属基础题. 11. (5 分)已知函数 f(x)=丨 x﹣2 丨+1,g(x)=kx.若方程 f(x)=g(x)有两个不相等 的实根,则实数 k 的取值范围是() A. +∞) 考点: 函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 画出函数 f(x) 、g(x)的图象,由题意可得函数 f(x)的图象(蓝线)和函数 g(x) 的图象(红线)有两个交点,数形结合求得 k 的范围. 解答: 解:由题意可得函数 f(x)的图象(蓝线) 和函数 g(x)的图象(红线)有两个交点,
[来源:学科网 ZXXK ]

(0, )

B.( ,1)

C. (1,2) D. (2,

如图所示:KOA= ,

数形结合可得 故选:B.

<k<1,

点评: 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系,体现了转化、数形结合的数学思想, 属于基础题. 12. (5 分)函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,对?x∈R,都有 f′(x)>f(x)成立,若 f(ln2) x =2,则不等式 f(x)>e 的解是() A.x>1 B.0<x<1 C.x>ln2 D.0<x<ln2 考点: 利用导数研究函数的单调性. 分析: 造函数 g(x)= ,利用导数可判断 g(x)的单调性,再根据 f(ln2)=2,求

得 g(ln2)=1,继而求出答案. 解答: 解:∵?x∈R,都有 f′(x)>f(x)成立, ∴f′(x)﹣f(x)>0,于是有( )′>0,

令 g(x)=

,则有 g(x)在 R 上单调递增,
x

∵不等式 f(x)>e , ∴g(x)>1, ∵f(ln2)=2, ∴g(ln2)=1, ∴x>ln2, 故选:C. 点评: 本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性,属中档题,解决本题的关键是 根据选项及已知条件合理构造函数,利用导数判断函数的单调性. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分)若直线 y=kx﹣3 与曲线 y=2lnx 相切,则实数 k=2



考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题 . 分析: 欲求 k 的值,只须求出切线的斜率的值即可,故先利用导数求出在切处的导函数值, 再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决. 解答: 解:∵y=2lnx, ∴y'= ,设切点为(m,2lnm) ,得切线的斜率为 , 所以曲线在点(m,2lnm)处的切线方程为: y﹣2lnm= ×(x﹣m) . 它过点(0,﹣3) ,∴﹣3﹣2lnm=﹣2, ∴m=e ∴k= =2 故答案为:2 . 点评: 本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程 等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题.
2



14. (5 分)某程序框图如图所示,现输入四个函数(1)f(x)=x , (2)f(x)= , (3)f(x) =ln x+2x﹣6, (4)f(x)=sin x,则输出函数是(4) .

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 本题的框图是一个选择结构,其算法是找出即是奇函数存在零点的函数,由此规则 对四个选项进行比对,即可得出正确选项. 解答: 由程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是输出满足条件①f(x)+f(﹣x)=0,即函数 f(x)为奇函数 ②f(x)存在零点,即函数图象与 x 轴有交点. 2 (1) .∵f(x)=x ,不是奇函数,故不满足条件① (2) .∵f(x)= 的函数图象与 x 轴没有交点,故不满足条件②

(3) .∵f(x)=lnx+2x﹣6 的定义域(0,+∞)不关于原点对称,故函数为非奇非偶函数,故 不满足条件① (4) .∵f(x)=sinx 既是奇函数,而且函数图象与 x 也有交点,故 D:f(x)=sinx 符合输出 的条件 故答案为: (4) . 点 评: 本题考查选择结构,解答本题的关键是根据框图得出函数所满足的性质,然后比对 四个选项中的函数,对四个函数的性质比较了解也是判断出正确答案的关键.

15. (5 分)已知正数 x、y 满足

,则 z=4

﹣x

的最小值为



考点: 简单线性规划的应用;有理数指数幂的运算性质. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 先将 z=4
﹣x

化成 z=2

﹣2x﹣y

,再根据约束条件画出 可行域,利用几何意义求

最值,只需求出直线 z1=﹣2x﹣y 过点 A(1,2)时,z1 最大值即可. 解答: 解:根据约束条件画出可行域 ∵z=4
﹣x

化成 z=2

﹣2x﹣y

直线 z1=﹣2x﹣y 过点 A(1,2)时,z1 最小值是﹣4, ∴z=2
﹣2x﹣y

的最小值是 2 = .

﹣4



故答案为

点评: 本题主要考查了简单的线性规划,以及 利用几何意义求最值,属于基础题.

16. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x∈[0,3)时,f(x)=|x ﹣2x+ |, 若函数 y=f(x)﹣a 在区间[﹣3,4]上有 10 个零点(互不相同) ,则实数 a 的取值范围是(0, ) .

2

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 在同一坐标系中画出函数的图象与直线 y=a 的图象, 利用数形结合判断 a 的范围即可. 解答: 解:f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x∈[0,3)时,f(x)=|x ﹣2x+ |, 若函数 y=f(x)﹣a 在区间[﹣3,4]上有 10 个零点(互不相同) ,在同一坐标系中画出函数 f (x)与 y=a 的图象如图:由图象可知 故答案为: (0, ) . .
2

点评: 本题考查函数的图象以函数的零点的求法,数形结合的应用. 三、解答题:本大题共 70 分. 17.已知集合 A={x|a≤x≤a+3},B={x|x<﹣1 或 x>5},全集 U=R. (1)若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围. (2)若?UB?A,求实数 a 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题;集合. 分析: (1)由 A∩B=?用数轴解 a, (2)A∩B=?等价于 A??UB;则由(1)可直接得到(2) 的解. 解答: 解: (1)∵A={x|a≤x≤a+3},B={x|x<﹣1 或 x>5}, 又∵A∩B=?, ∴ ,

解得,﹣1≤a≤2.

(2)∵若 A∩B=?,则 A??UB; 则这时﹣1≤a≤2. 则?UB?A 的解为 a<﹣1 或 a>2. 点评: 本题考查了集合间的相互关系,同时应用了否定,属于基础题. 18. (12 分)某志愿者到某山区小学支教,为了解留守儿童的幸福感,该志愿者对某班 40 名 学生进行了一次幸福指数的调查问卷,并用茎叶图表示如下(注:图中幸福指数低于 70,说 明孩子幸福感弱;幸福指数不低于 70,说明孩子幸福感强) . (Ⅰ)根据茎叶图中的数据完成 2×2 列联表,并判断能否有 95%的把握认为孩子的幸福感强 与是否是留守儿童有关? 幸福感强 幸福感弱 合 计 留守儿童 非留守儿童 [来源:学科网] 合 计 (Ⅱ)从 15 个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样,共抽取 5 人,又在这 5 人中随机抽取 2 人进行家访,求这 2 个学生中恰有一人幸福感强的概率. 参考公式: P(x ≥k) k
2

; 附表: 0.050 3.841 0.010 6.635

考点: 独立性检验的应用. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (Ⅰ)由调查数据能作出 2×2 列联表,根据观测值的计算公式代入数据做出观测值, 把所得的观测值同临界值进行比较,即可得出结论. (Ⅱ)确定基本事件的个数,即可求这 2 个学生中恰有一人幸福感强的概率. 解答: 解: (Ⅰ) 幸福感强 幸福感弱 合计 留守儿童 6 9 15 非留守儿童 18 7 25 合计 24 16 40 …(3 分)∴ …(5 分)

∴有 95%的把握认为孩子的幸福感强与是否是留守儿童有关.…(6 分) (Ⅱ)按分层抽样的方法可抽出幸福感强的孩子 2 人,记作:a1,a2;幸福感弱的孩子 3 人, 记作:b1,b2,b3.…7 事件 Ω:“抽取 2 人”包含的基本事件有: (a1,a2) , (a1,b1) , (a1,b2) , (a1,b3) , (a2,b1) , (a2,b2) , (a2,b3) , (b1,b2) , (b1,b3) , (b2,b3) ,共 10 个 …(9 分) 事件 A:“恰有一人幸福感强”包含的基本事件有: (a1,b1) , (a1,b2) , (a1,b3) , (a2,b1) , (a2,b2) , (a2,b3) ,共 6 个.…11 ∴ …12

点评: 本题考查概率知识的运用,考查独立性检验的应用和列联表的做法,本题解题的关 键是正确计算出这组数据的观测值,理解临界值对应的概率的意义.

19.已知



(1)求 z=x+2y 的最大和最小值. (2)求 z= 的取值范围. (3)求 z=x +y 的最大和最小值. 考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合. 分析: 由约束条件作出可行域. (1)化目标函数为直线方程的斜截式,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案; (2)化 z= 为
2 2 2 2

,由其几何意义即动点与定点连线的斜率得答案;
2 2

(3)由 z=x +y =( x﹣0) +(y﹣0) 表示可行域内的点(x,y)到(0,0)的距离的平方 得答案. 解答: 解:由约束条件作出可行域如图.

(1)由 z=x+2y 得

,作一组平行线 l:



解方程组 ∴zmin=3+2×1=5. 解

得最优解 A(3,1) ,

得最优解 B(7,9) ,

∴zmax=7+2×9=25; (2) 表示可行域内的点(x,y)与(0,0)的连线的斜率.

从图中可得,kOA≤z≤kOC, 又 ∴
2

, .
2 2 2

(3)z=x +y =(x﹣0) +(y﹣0) 表示可行域内的点(x,y)到(0,0)的距离的平方. 从图中易得, . 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 20. (12 分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相 应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据: x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程; (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归 方程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? , (O 到直线 AC 的距离的平方) ,

(参考公式: =

, = ﹣b ;参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)

考点: 线性回归方程;散点图. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据数据,作出散点图. (2)根据回归直线方程的求法求出线性回归方程. (3) 根据回归直线方程进行预测. 解答: 解: (1)由数据作出散点图:



(2) 序号 l 2 3 4 x 3 4 5 6 18 …(6 分) 所以: y 2.5 3 4 4.5 14 xy 7.5 12 20 27 66.5 x 9 16 25 36 86
2

所以线性同归方程为:y'=0.7x+0.35…(9 分) (3)x=100 时,y'=0.7×100+0.35=70.35,所以预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技术改造前 降低 19.65 吨标准煤…(12 分) 点评: 本题主要考查回归直线的基础知识,要求熟练掌握最小二乘法求出 y 关于 x 的线性 回归方程,并能运用回归直线进行预测.

21.已知函数 f(x)=

, (其中常数 a>0)

(Ⅰ)当 a=1 时,求曲线在(0,f(0) )处的切线方程; 2 (Ⅱ)若存在实数 x∈(a,2]使得不等式 f(x)≤e 成立,求 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数恒成立问题. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)把 a=1 代入函数解析式,求出 f(0) ,求出原函数的导函数,再求出 f′(1) , 则曲线在(0,f(0) )处的切线方程可求; (Ⅱ)求出原函数的导函数,得到导函数的零点,由导函数的零点对定义域分段,由导函数 在各区间段内的符号得到原函数的单调性,把存在实数 x∈(a,2]使不等式 f(x)≤e 成立转化为在(a,2]上
2 2

成立,然后由 a+1≤2 和 a+1>2 分类求出 f

(x)的最小值,由最小值小于等于 e 求解 a 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)当 a=1 时, , ,

∴f(0)=﹣1,f′(0)=﹣2, ∴曲线在(0,f(0) )处的切线方程为:2x+y+1=0; (Ⅱ)函数的定义域{x|x≠a}. 由 f(x)= ,得 ,

令 f'(x)=0,得 x=a+1,

当 x∈(﹣∞,a) , (a,a+1)时,f′(x)0. ∴f(x)在(﹣∞,a) , (a,a+1)递减,在(a+1,+∞)递增. 若存在实数 x∈(a,2]使不等式 f(x)≤e 成立, 只需在(a,2]上 ①若 a+1≤2,即 0<a≤1 时, ∴a+1≤2,即 a≤1, ∴0<a≤1; ②若 a+1>2,即 1<a<2, , 成立, ,
2

解得 a≤1, 又 1<a<2, ∴a∈?. 综上,a 的取值范围是(0,1]. 点评: 本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程,考查了利用导数研究函数的最值, 体现了数学转化思想方法,是中档题. 请在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. (共 1 小题,满 分 10 分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 22. (10 分) (A)如图,△ ABC 内接圆 O,AD 平分∠BAC 交圆于点 D,过点 B 作圆 O 的切 线交直线 AD 于点 E. (Ⅰ)求证:∠EBD=∠CBD (Ⅱ)求证:AB?BE=AE?DC.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 综合题;立体几何. 分析: (Ⅰ)根据 BE 为圆 O 的切线,证明∠EBD=∠BAD,AD 平分∠BAC,证明 ∠BAD=∠CAD,即可证明∠EBD=∠CBD (Ⅱ)证明△ EBD∽△EAB,可得 AB?BE=AE?BD,利用 AD 平分∠BAC,即可证明 AB?BE=AE?DC. 解答: 证明: (Ⅰ)∵BE 为圆 O 的切线, ∴∠EBD=∠BAD, ∵AD 平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD, ∴∠EBD=∠CAD,[来源:学科网] ∵∠CBD=∠CAD,

∴∠EBD=∠CBD; (Ⅱ)在△ EBD 和△ EAB 中,∠E=∠E,∠EBD=∠EAB, ∴△EBD∽△EAB, ∴ ,

∴AB?BE=AE?BD, ∵AD 平分∠BAC, ∴BD=DC, ∴AB?BE=AE?DC. 点评: 本题考查弦切角定理,考查三角形的相似,考查角平分线的性质,属于中档题. 【选修 4-4:极坐标与参数方程】 (共 1 小题,满分 0 分) 23.在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知直 线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,圆 C 的极坐标方程为 ρ+2cosθ=0.

(Ⅰ)将直线 l 的参数方程化为普通方程,圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求圆 C 上的点到直线 l 的距离的最小值. 考点: 直线的参数方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 选作题;坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ)将直线 l 的参数方程的参数 t 消去即可求出直线的普通方程,利用极坐标转化 成直角坐标的转换公式求出圆的直角坐标方程; (Ⅱ)求出圆心 C(0,﹣2)到直线 x+y﹣1=0 的距离,即可得到圆 C 上的点到直线的距离的 最小值. 解答: 解: (Ⅰ)直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,消去参数 t,

得直线 l 的普通方程为 x+y﹣3 =0, 2 2 2 ρ+2sinθ=0,两边同乘以 ρ 得 ρ +2ρcosθ=0,得⊙C 的直角坐标方程为(x+1) +y =1; (Ⅱ)因为圆心为 C(﹣1,0) , 所以点 C 到直线的距离为 d= =2 ,

所以圆上的点到直线距离的最小值为 2 ﹣1. 点评: 本题考查极坐标方程与直角坐标方程,参数方程与普通方程的互化,考查点线距离 公式的运用,属于基础题. 【选修 4-5:不等式选讲】 (共 1 小题,满分 0 分) 24. (C)已知函数 f(x)=|2x+3|+|2x﹣1|. (Ⅰ)求不等式 f(x)≤6 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f(x)<|m﹣1|的解集非空,求实数 m 的取值范围. 考点: 带绝对值的函数. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: (Ⅰ)利用绝对值的几何意义直接求不等式 f(x)≤6 的解集; (Ⅱ)求出函数的最小值,然后求解关于 x 的不等式 f(x)<|m﹣1|的解集非空,得到实数 m 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)不等式 f(x)≤6,即|2x+3|+|2x﹣1|≤6. 不等式的几何意义,是数轴是的点 2x,到﹣3 与 1 的距离之和不大于 6, ∴﹣4≤2x≤2,解得﹣2≤x≤1, 不等式的解集为{x|﹣2≤x≤1}; (Ⅱ)函数 f(x)=|2x+3|+|2x﹣1|. 由绝对值的几何意义可知:f(x)min≥4, 关于 x 的不等式 f(x)<|m﹣1|的解集非空, 只须:4<|m﹣1|,解得 m<﹣3 或 m>5.

点评: 本题考查带绝对值的函数的应用,绝对值不等式的解法,绝对值的几何意义是解题 的关键.


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