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全国高中数学联赛模拟试题(01)


全国高中数学联赛模拟试题(01)

冯惠愚 2009.05.21.

全国高中数学联赛模拟试题一
(一试) 一、填空题: 1、“若 f 是从集合 M 到 P 的一个映射,且 P 中任一元素都有原像,则称 f 为 M 到 P 的一个满射”.已 知集合 M={0,1,2,3,4,5},P={a,b,c,d},则从 M 到 P 的满射共

有 个. π 5π 2、已知 f(x)=sin( +α-x)+cos( -α-x)是偶函数,且-π2<α<π2,则满足条件的实数 α 有 2 2 个.

_ _ 3π 3、已知非零复数 z1 满足 argz1= ,且(1+z1)2+(1+i)2=1+kz1(k∈R),又|z2|≤1,则 arg(z1-z2)的取值 4 范围是 . 4、甲、乙、丙三人互相传球,先由甲开始作第一次传球,则 5 次传球后球仍回到甲手中的不同的传球 方式共有 . 5、已知点 M、N 分别在大小为 60° 的二面角 α-a-β 的 α、β 内,又点 P 到 α、β 的距离依次为 2 与 3, 则 ΔPMN 周长的最小值等于 . 6、已知(x0,y0)是直线 x+y=2k-1 与圆 x2+y2=k2+2k-3 的交点,则当 x0y0 取最小值时,实数 k 的值 等于 . 1 7、已知 sinα+sinβ= ,tan(α+β)=2,则 cosα+cosβ 的值等于_______________. 2 8、已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),且 f(10)=3,则 f(2002)=____________. 9、已知两个圆锥的母线长相等,且它们的轴截面的顶角的和是 π.现将它们的顶点和一条母线重合在 一起,则它们的底面所成二面角的大小等于________________. 10、对于自然数 p 和大于 2 的自然数 n,我们记 ak=p-3(k-1)(k∈N*,k≤n),s(p,n)=a1+a2+…+ an,请写出满足条件|s(p,n)|≤2 的三个数组(p,n):(1)______________________; (2)_________________________;(3)______________________. 11、已知非负实数 a、b、c 满足 a+b+c=1,则 a2+b2+c2+18abc 的最大值等于____________,最小 值等于___________________. an2+p2 an+p 12、数列{an}与{bn}中,a1=2p,an+1= ,bn= (p>0,n∈N*),则 2an an-p (1)数列{bn}的通项表达式 bn=______________________(用 n 表示); (2)an 与 an+1 的大小关系是___________________. 二、解答题 13、满足“周长等于 8、面积为正整数的直角三角形”是否存在?若存在,则说明存在多少个?三边长分 别为多少?若不存在,请说明理由.

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全国高中数学联赛模拟试题(01)

冯惠愚 2009.05.21.

14、 定义在实数集 R 上的单调函数 y=f(x), x<0 时 f(x)>1, f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数都成立. 当 且 又 数列{an}满足 a1=f(0),f(an+1)= ⑴ 求通项 an. 1 1 1 ⑵ 求使(1+ )(1+ )…(1+ )≥p 2n+1对任意正整数 n 都成立的实数 p 的最大值. a1 a2 an 1 (n∈N*). f(-2-an)

x2 y2 x2 y2 15、已知 l1、l2 是双曲线 2- 2=1 的两条渐近线,过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点 F 作直线 m,使 a b a b |PB| m⊥l1,m 与 l2 的交点为 P,m 与已知椭圆的交点记作 A 与 B(如图所示),求 的最大值及此时椭圆的离心 |PA| 率.

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全国高中数学联赛模拟试题(01)

冯惠愚 2009.05.21.

全国高中数学联赛模拟试题一
(二试)
1、设 P 为 ΔABC 的重心,AP,BP,CP 与 ΔABC 的外接圆交于 D,E,F, |AP| |BP| |CP| 证明: + + =3. |PD| |PE| |PF|

π π π π 2、设 a0,a1,…,an∈(0, ),使得 tan(a0- )+tan(a1- )+…+tan(an- )≥n-1, 2 4 4 4 求证:tana0· 1· tanan≥nn 1. tana …·


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全国高中数学联赛模拟试题(01)

冯惠愚 2009.05.21.

3、边长为 8 的正方体,若把它分成 8× 8 个单位立方体,则有多少条直线可以穿过 8 个单位正方体的 8× 中心?

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全国高中数学联赛模拟试题(01)

冯惠愚 2009.05.21.

全国高中数学联赛模拟试题一
(一试) 一、填空题 1、“若 f 是从集合 M 到 P 的一个映射,且 P 中任一元素都有原像,则称 f 为 M 到 P 的一个满射”.已 知集合 M={0,1,2,3,4,5},P={a,b,c,d},则从 M 到 P 的满射共有 . 填 1560 个.
3 1 2 2 4 解:(C6+ C6C4)A4=(20+45)?24=65?24=1560. 2

π 5π 2、 已知 f(x)=sin( +α-x)+cos( -α-x)是偶函数, 且-π2<α<π2, 则满足条件的实数 α 的个数是 2 2 填 6. 解:f(x) =f(-x),?cos(?-x)+sin(?+x) =cos(?+x)+sin(?-x), ?cos(?+x)-cos(?-x)=sin(?+x)-sin(?-x), ?-sin?sinx=cos?sinx,?tan?=-1,??=k?- (k∈Z), 4



?

-?2<?<?2,?k=-2,-1,0,1,2,3,共 6 个值. _ _ 3π 3、已知非零复数 z1 满足 argz1= ,且(1+z1)2+(1+i)2=1+kz1(k∈R),又|z2|≤1,则 arg(z1-z2)的取值 4 范围是 . 3π 填[π, ]. 2 解:令 z1=r(-1+i),由已知得,(1-r)2-r2-2r(1-r)i+2i=1-kr+kri,?k=2,r=1. _ 3? ∴ arg(z1-z2)∈[?, ]. 2 4、甲、乙、丙三人互相传球,先由甲开始作第一次传球,则 5 次传球后球仍回到甲手中的不同的传球 方式共有 . 填 10. 解:5 次任意传球,第 5 次给甲,有 24 种方法,其中第 4 次传到甲时,第 5 次不可能给甲,故应减去 3 2 种方法,再加上 22 种方法,减去 2 种方法,共有 24-23+22-2=10 种方法. 5、已知点 M、N 分别在大小为 60° 的二面角 α-a-β 的 α、β 内,又点 P 到 α、β 的距离依次为 2 与 3, 则 ΔPMN 周长的最小值等于 . 填 2 19. 解:作 P 关于?、?的对称点 Q、R,则 QR2=42+63-2?4?6?cos120?=76. 故最小值=2 19. 6、已知(x0,y0)是直线 x+y=2k-1 与圆 x2+y2=k2+2k-3 的交点,则当 x0y0 取最 小值时,实数 k 的值等于 . 填 4- 2 . 2
R 3 2 P 3 O 2 Q

解:以 y=2k-1-x 代入圆方程得 2x2-2(2k-1)x+3k2-6k+4=0. 4- 2 1 4+ 2 ?=-2k2+8k-7≥0,? ≤k≤ . 4 2 2 4- 2 2xy=(x+y)2-(x2+y2)=3k2-6k+4=3(k-1)2+1,在 k= 时取得最小值. 2

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冯惠愚 2009.05.21.

1 7、已知 sinα+sinβ= ,tan(α+β)=2,则 cosα+cosβ 的值等于_______________. 2 1 1 1 1 1 1 1 1 解:令 cos?+cos?=t,由 sin (?+?)cos (?-?)= ,cos (?+?)cos (?-?)= t.得 tan (?+?)= . 2 2 4 2 2 2 2 2t 1 2? 2t 1± 5 由 tan(?+?)= =2,解得 t= . 1 2 4 1-( ) 2t 8、已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),且 f(10)=3,则 f(2002)=____________. 1 解:f(x+4)=- ,f(x+8)=f(x).?f(2002)=f(10)=3. f(x)
A

V

9、已知两个圆锥的母线长相等,且它们的轴截面的顶角的和是 π.现将它们 的顶点和一条母线重合在一起,则它们的底面所成二面角的大小等于 B ________________. 解:作轴截面,顶点 V,母线 VB 重合,得一直角三角形,故底面所成二面角=∠ABC=90?. 10、对于自然数 p 和大于 2 的自然数 n,我们记 ak=p-3(k-1)(k∈N*,k≤n),s(p,n)=a1+a2+…+ an,请写出满足条件|s(p,n)|≤2 的三个数组(p,n):(1)______________________; (2)_________________________;(3)______________________. 3 3 解:an=-3n+(p+3),S(p,n)=- n2+(p+ )n. 2 2 n=3?-4≤-3?32+(2p+3)?3≤4,?p=3?(3,3) n=4?-4≤-3?42+(2p+3)?4≤4,?p=4,5?(4,4);(5,4). n=5?-4≤-3×52+(2p+3)×5≤4?p=6?(6,5); 11、已知非负实数 a、b、c 满足 a+b+c=1,则 a2+b2+c2+18abc 的最大值等于____________,最小 值等于___________________. 解:a2+b2+c2+18abc=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)+18abc. 但,ab+bc+ca=(ab+bc+ca)(a+b+c)≥3 a2b2c2· abc=9abc. 3 1 ∴ a2+b2+c2+18abc≤1-18abc+18abc=1(当且仅当 a=b=c= 时等号成立) 3 1 又由对称性,可设 a≥b≥c,从而 a≥ , 3 故 a2+b2+c2+18abc=a2+(1-a)2-2bc+18abc=2a2-2a+1+2bc(9a-1) 1 1 1 1 ≥2a2-2a+1=2(a- )2+ ≥ .(a=b= ,c=0 时等号成立) 2 2 2 2 an2+p2 an+p 12、数列{an}与{bn}中,a1=2p,an+1= ,bn= (p>0,n∈N*),则 2an an-p (1)数列{bn}的通项表达式 bn=______________________(用 n 表示); (2)an 与 an+1 的大小关系是___________________. an2+p2 +p n 1 2an an+1+p (an+p)2 2 2 解:⑴ bn+1= = 2 2 = . 2=bn .b1=3,bn=3 an+1-p an +p (a -p) -p n 2an


C

3

3

p2-an2 an2+p2 2anp ⑵ a1=2p>p(p>0),设 an>p,则 an+1= > =p>0.而 an+1-an= <0.即 an>an+1. 2an 2an 2an

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冯惠愚 2009.05.21.

三、解答题 13、满足“周长等于 8、面积为正整数的直角三角形”是否存在?若存在,则说明存在多少个?三边长分 别为多少?若不存在,请说明理由. 1 解:设直角三角形的三边为 a,b,c,其中 c2=a2+b2.a+b+c=8.S= ab,?ab=2S. 2 8 8 2sin(?+45?) 设一个锐角=?,则 a+b=c(sin?+cos?).c= ,a+b= ≤8 2( 2-1) 1+sin?+cos? 1+ 2sin(?+45?) a+b 2 由于 2S=ab≤( ) ≤32(3-2 2)<6.∴ ab=2 或 4. 2 9± 17 7 ∴ 当 ab=4 时,a+b= c2+8,?c= ,?a,b= ; 2 4 17± 161 15 当 ab=2 时,a+b= c2+4,?c= ,?a,b= ;即有两解. 4 8 14、 定义在实数集 R 上的单调函数 y=f(x), x<0 时 f(x)>1, f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数都成立. 当 且 又 数列{an}满足 a1=f(0),f(an+1)= (1)求通项 an. 1 1 1 (2)求使(1+ )(1+ )…(1+ )≥p 2n+1对任意正整数 n 都成立的实数 p 的最大值. a1 a2 an 解:⑴ 1? f(x)?0,否则 f(y)=f(x+y-x)=f(x)f(y-x)=0,矛盾. x x 2? f(x)=f( )f( )>0. 2 2 3? f(x)=f(x+0)=f(x)f(0),但 f(x)?0,?f(0)=1.a1=1. ∴ f(an+1)f(-2-an)=f(an+1-an-2)=1=f(0),由 f(x)单调,?an+1-an-2=0,?an+1=an+2. ∴ an=2n-1. 2 ⑵ 1+1≥p 3,?p≤ 3. 3 1 1 1 1 (1+ )(1+ )…(1+ ) (1+ ) 2n+1 a1 a2 an 2n+1 bn+1 2n+2 2 记 bn= .则 = = >1.于是 bn>bn-1>…>b1= 3. bn 3 2n+1 2n+3 2n+1 2n+3 2 2 即 bn+1≥ 3 2n+3对于一切 n 成立.故 pmax= 3. 3 3 x2 y2 x2 y2 15、已知 l1、l2 是双曲线 2- 2=1 的两条渐近线,过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点 F 作直线 m,使 a b a b |PB| m⊥l1,m 与 l2 的交点为 P,m 与已知椭圆的交点记作 A 与 B(如图所示),求 的最大值及此时椭圆的离心 |PA| 率. 解:l1:bx-ay=0,l2:bx+ay=0. c m:ax+by-ac=0.(c= a2-b2,e= ,0<e<1) a a2 ab ∴ P( , ),即 P 在椭圆的右准线上. c c 记 FA =?(?>0),则由定比分点公式得点 A 坐标: AP
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1 (n∈N*). f(-2-an)

y

B O FA P

x

全国高中数学联赛模拟试题(01)

冯惠愚 2009.05.21.

a2 ab c+?· ?· c c x= ;y= .此坐标满足椭圆方程,代入得: 1+? 1+? ∴ (c2+?a2)2+?2a4=a2c2(1+?)2.?c4+2?a2c2+2?2a4=a2c2+2?a2c2+?2a2c2. e2-e4 2 2 2 2 同除以 a4:e4+2?2=e2+?2e2.??2= )≤3-2 2(当 2-e2= 2时取等 2 =e +1- 2=3-(2-e + 2-e 2-e 2-e2 号).即 e= 2- 2时,?max= 2-1. |PB| 记 t= ,作椭圆的右准线,分别过 A、B 作此准线的垂线,交准线于 M、N.由 P 在此准线上, |PA| |PB| |NB| |FB| 知 t= = = .?|BF|=t|AF|,故|AB|=(1+t)|AF|, |PA| |MA| |FA| 又|AB|=(t-1)|PA|,故 t-1 t-1 |AF| t-1 |PB| = ,即?= ,从而 ≤ 2-1,?t≤ 2+1.当椭圆的离心率= 2- 2时, 取得最大值. |PA| t+1 t+1 t+1 |PA|

(二试)
1、设 P 为 ΔABC 的重心,AP,BP,CP 与 ΔABC 的外接圆交于 D,E,F, |AP| |BP| |CP| 证明: + + =3. |PD| |PE| |PF| 证明: (法一)如图,不失一般性,设 A,B,C 为复平面的单位圆上 的三个点,其对应复数依次为 z1,z2,z3,QR 为过 O、P 两点的直径. |AP| AP2 则|z1|=|z2|=|z3|=1,∵ =| |, |PD| AP· PD 且|AP· PD|=|BP· PE|=|CP· PF|=|PQ· PR|, |AP| |BP| |CP| |AP| +|BP| +|CP| ∴ + + = , |PD| |PE| |PF| |PQ· PR|
E D C P x F y

Q B

O

2

2

2

2 1 其中|AP| = |AM|2= [2|AB|2+2|AC|2-|BC|2], 3 9
2

A R

1 1 则有|AP|2 +|BP|2 +|CP|2 = [|AB|2 +|AC|2 +|BC|2]= [|z2 -z1|2 +|z3 -z2|2 3 3 +|z1-z3|2] 1 又|PQ· 2=(1-|PQ|)(1+|PQ|)=1-|PQ|2=1-| (z1+z2+z3)|2 PR| 3 _ _ _ 1 =1- (z1+z2+z3)(z1+z2+z3) 9 _ _ _ _ _ _ 1 = [9-3-z1z2-z1z3-z2z1-z2z3-z3z1-z3z2] 9 1 = (|z2-z1|2+|z3-z2|2+|z1-z3|2) 9 |AP| |BP| |CP| ∴ + + =3. |PD| |PE| |PF| 法二:设 AP 于对边的交点为 M,三角形的三边分别为 a,b,c. 1 a2 由圆幂定理知 AM· MD= a2,MD= , 4 4AM

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全国高中数学联赛模拟试题(01)

冯惠愚 2009.05.21.
2

3a +4AM a2 1 2 |AP| 8AM2 PD= + AM= ,AP= AM,则 = 2 , 4AM 3 12AM 3 |PD| 3a +4AM2 |AP| 3a2 而 4AM2=2b2+2c2-a2, =2- 2 |PD| a +b2+c2 |BP| 3b2 |CP| 3b2 以下同理可得, =2- 2 =2- 2 , 2 2, |PE| a +b +c |PF| a +b2+c2 |AP| |BP| |CP| 所以, + + =3. |PD| |PE| |PF| π π π π 2 、 设 a0 , a1 , … , an∈ , ) , 使 得 tan(a0 - ) + tan(a1 - ) + … + tan(an - )≥n - 1 , 求 证 : (0 2 4 4 4 tana0· 1· tanan≥nn+1. tana …· 证明:题设条件等价于 ∴
i=0

2

Σ1+tanα ≥n-1,即 n+1-Σ 1+tanα ≥n-1,
i
i=0

n

tanαi-1

n

2

i

i=0

Σ 1+tanα ≤1.
i

n

1

n 1 1 令 bi= ,i=0,1,2,…,n.则题设条件等价于 ∑ bi≤1,而 tanai= -1, bi i=0 1+tanai

所以 tana0· 1· tanan tana …·



П

n

i=0

1 ( -1)= bi

П

n

(1-bi)
n

i=0

Пb
i=0


i

П Σ b -b ) П Σb П n(П
(
k i i
i=0

n

n

n

n

1

bi)n ≥nn 1.


Пb
i=0

k=0 n



i=0 k≠i n

i

Пb
i=0



i=0

k≠i

i

Пb
i=0

n

i

3、边长为 8 的正方体,若把它分成 8× 8 个单位立方体,则有多少条直线可以穿过 8 个单位正方体的 8× 中心? 解: 与面垂直的直线: 可以从三个方向穿过: 即穿过上下两个面, 穿过左右两个面及穿过前后两个面. 共 有 8×8×3=192 根, 与底面成 45° 穿过:经过 6 组相对的棱:8×6=48 根, 相对顶点连线:4 根,合计 192+48+4=244 根. ∴ 共有 244 根.

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