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北京大学自主招生数学试题及答案


北京大学自主招生数学试题及答案
5 ?1 2

1

求证:边长为 1 的正五边形对角线长为

B 1 x

1 2 x D 1-x 5 E 3

A

x

x

4 C

略解:三角形 ABE∽三角形 DAE,则:

x 1? x 5 ?1 5 ?1 ? ,x ? ,对角线AC=1+x= 1 x 2 2

2.已知六边形 AC1BA1CB1 中 AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1, 求证:△ABC 面积是六边形 AC1BA1CB1 的一半。
B1

C A

P

C1

A1

B

略解:如图得证 3 已知

a1 ? a2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3 a1a2 ? a2 a3 ? a3a1 ? b1b2 ? b2b3 ? b3b1 min(a1 , a2 , a3 ) ? min(b1 , b2 , b3 ) 求证: a1 , a2 , a3 ) ? max(b1 , b2 , b3 ) max(
4 排球单循坏赛 南方球队比北方球队多 9 支 南方球队总得分是北方球队的 9 倍 求证 冠军是 一支南方球队(胜得 1 分 败得 0 分) 解:设北方球队共有 x 支,则南方球队有 x+9 支
2 所有球队总得分为 C2 x ?9 ?

(2 x ? 9)(2 x ? 8) ? (2 x ? 9)( x ? 4) 2

南方球队总得分为

9 (2 x ? 9)(2 x ? 8) 9( x ? 9)( x ? 4) ? 10 2 10
(2 x ? 9)( x ? 4) 10
2

北方球队总得分为

南方球队内部比赛总得分 C x ? 9

北方球队内部比赛总得分 C x

2

(2 x ? 9)( x ? 4) x( x ? 1) ? ?0 10 2

解得:

11 ? 229 11 ? 229 11 ? 16 ?x? ? ?9 3 3 3

因为

(2 x ? 9)( x ? 4) 为整数 10

x=6 或 x=8 当 x=6 时
2 所有球队总得分为 C2 x ?9 ?

(2 x ? 9)(2 x ? 8) ? (2 x ? 9)( x ? 4) =210 2

南方球队总得分为

9 (2 x ? 9)(2 x ? 8) 9( x ? 9)( x ? 4) =189 ? 10 2 10

北方球队总得分为

(2 x ? 9)( x ? 4) =21 10
2

南方球队内部比赛总得分 C x ? 9 =105

北方球队内部比赛总得分 C x =15 北方胜南方得分=21-15=6 北方球队最高得分=5+6=11 因为 11×15=165<189 所以南方球队中至少有一支得分超过 11 分. 冠军在南方球队中 当 x=8 时
2 所有球队总得分为 C2 x ?9 ?

2

(2 x ? 9)(2 x ? 8) ? (2 x ? 9)( x ? 4) =300 2

南方球队总得分为

9 (2 x ? 9)(2 x ? 8) 9( x ? 9)( x ? 4) =270 ? 10 2 10
(2 x ? 9)( x ? 4) =30 10
2

北方球队总得分为

南方球队内部比赛总得分 C x ? 9 =136

北方球队内部比赛总得分 C x =28 北方胜南方得分=30-28=2 北方球队最高得分=7+2=9 因为 9×17=153<270 所以南方球队中至少有一支得分超过 9 分. 冠军在南方球队中

2

综上所述,冠军是一支南方球队 5 (理科)O-XYZ 坐标系内 xoy 平面系内 0 ? y ? 2 ? x 绕 y 轴旋转一周构成一个不透光立体 在
2

点(1,0,1)设置一光源 xoy 平面内有一以原点为圆心的圆 C 被光照到的长度为 2π ,求 C 上未被 照到的长度。


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