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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5第一章《解三角形》章末检测


章末检测
一、选择题 1.已知锐角△ABC 的面积为 3 3,BC=4,CA=3,则角 C 的大小为 A.75° B.60° C.45° D.30° → → 2.在△ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10,则BA· 等于 AC 3 2 A.- B.- 2 3 2 3 C. D. 3 2 ( ) ( ) ( )

3.根据下列情况,判断三角形解的情况,其中正确的是 A.a=8,b=16,A=30° ,有两解 B.b=18,c=20,B=60° ,有一解 C.a=5,c=2,A=90° ,无解 D.a=30,b=25,A=150° ,有一解 4.在△ABC 中,已知 a= 5,b= 15,A=30° ,则 c 等于 A.2 5 C.2 5或 5 B. 5 D.以上都不对

(

)

5. 在△ABC 中, A, C 所对的边分别为 a, c.若 acos A=bsin B, sin Acos A+cos2B 角 B, b, 则 等于 1 1 A.- B. 2 2 C.-1 D.1 ( )

6.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边.若 a=1,b= 3,A+C= 2B,则 sin C 等于 1 A. 2 B. 3 2 C. 6 D.1 6 ( )

7.已知△ABC 中,A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 a=c= 6+ 2,且 A=75° ,则 b 等 于 A.2 C.4-2 3 B. 6- 2 D.4+2 3 ( )

8.在△ABC 中,三个角 A,B,C 的对边边长分别为 a=3,b=4,c=6,则 bccos A+cacos B+abcos C 的值为 61 A.61 B. 2 61 C. D.122 4 A b+c = (a、b、 分别为角 A、B、C 的对边),则△ABC 的形状为( c 2 2c ) ( )

9.在△ABC 中,cos2

A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 10.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若 C=120° ,c= 2a,则( A.a>b B.a<b C.a=b D.a 与 b 的大小关系不能确定 11. 一船向正北方向航行, 看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上, 继续航行半个小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60° 方向,另一灯塔在船的南偏西 75° 方向,则这只船的速度是 A.15 海里/时 C.10 海里/时 B.5 海里/时 D.20 海里/时 ( ) )

12.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若(a2+c2-b2)tan B= 3ac,则角 B 的值为 π A. 6 π 5π C. 或 6 6 二、填空题 2a b c 13.在△ABC 中, - - =________. sin A sin B sin C 14. 如图, 在山腰测得山顶仰角∠CAB=45° 沿倾斜角为 30° , 的斜坡走 1 000 米至 S 点,又测得山顶仰角∠DSB=75° ,则山高 BC 为________米. 1 15.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若其面积 S= (b2 4 +c2-a2),则 A=______. b a 16.在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 + = a b tan C tan C 6cos C,则 + =________. tan A tan B 三、解答题 17.设锐角三角形 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,a=2bsin A. (1)求角 B 的大小;(2)若 a=3 3,c=5,求 b. π B. 3 π 2π D. 或 3 3 ( )

18.如图所示,我艇在 A 处发现一走私船在方位角 45° 且距离为 12 海 里的 B 处正以每小时 10 海里的速度向方位角 105° 的方向逃窜, 我 艇立即以 14 海里/小时的速度追击, 求我艇追上走私船所需要的时 间. 19.已知△ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m=(a,b),n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2). (1)若 m∥n,求证:△ABC 为等腰三角形; π (2)若 m⊥p,边长 c=2,角 C= ,求△ABC 的面积. 3 cos A-2cos C 2c-a 20.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 = . cos B b (1)求 sin C 的值; sin A

1 (2)若 cos B= ,△ABC 的周长为 5,求 b 的长. 4 21.如图所示,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方 向匀速直线航行.当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105° 方向 的 B1 处,此时两船相距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船 航行到甲船的北偏西 120° 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2海里.问乙船 每小时航行多少海里? cos B b 22.在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 =- . cos C 2a+c (1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积.

答案
1.B 2.A 3.D 13.0 14.1 000 π 15. 4 16.4 17.解 (1)由 a=2bsin A,根据正弦定理得 1 sin A=2sin Bsin A,所以 sin B= . 2 π 由△ABC 为锐角三角形,得 B= . 6 (2)根据余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B=27+25-45=7, 所以 b= 7. 18.解 设我艇追上走私船所需要的时间为 t 小时,则 BC=10t,AC=14t,在△ABC 中, 由∠ABC=180° -105° +45° =120° , 根据余弦定理知 (14t)2=(10t)2+122-2· 10t· 120° 12· cos , 3 ∴t=2 或 t=- (舍去). 4 答 我艇追上走私船所需要的时间为 2 小时. 4.C 5.D 6.D 7.A 8.B 9.A 10.A 11.C 12.D

19.(1)证明 ∵m∥n,∴asin A=bsin B, a b 即 a· =b· , 2R 2R 其中 R 是△ABC 外接圆的半径,∴a=b. ∴△ABC 为等腰三角形. (2)解 由题意知 m· p=0,

即 a(b-2)+b(a-2)=0. ∴a+b=ab. 由余弦定理可知, 4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab, 即(ab)2-3ab-4=0. ∴ab=4(舍去 ab=-1),

1 1 π ∴S△ABC= absin C= ×4×sin = 3. 2 2 3 20.解 (1)由正弦定理,可设 a b c = = =k, sin A sin B sin C 则 = 2c-a 2ksin C-ksin A = b ksin B 2sin C-sin A , sin B

cos A-2cos C 2sin C-sin A 所以 = , cos B sin B 即(cos A-2cos C)sin B =(2sin C-sin A)cos B, 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C). 又 A+B+C=π,所以 sin C=2sin A. sin C 因此 =2. sin A (2)由 sin C =2,得 c=2a. sin A

1 由余弦定理及 cos B= , 4 1 得 b2=a2+c2-2accos B=a2+4a2-4a2× =4a2. 4 所以 b=2a.又 a+b+c=5,所以 a=1,因此 b=2. 21.解 如图所示,连接 A1B2, 由已知 A2B2=10 2, A1A2=30 2× 20 = 60

10 2,∴A1A2=A2B2, 又∠A1A2B2=180° -120° =60° , ∴△A1A2B2 是等边三角形, ∴A1B2=A1A2=10 2. 由已知,A1B1=20,∠B1A1B2=105° -60° =45° , 在△A1B2B1 中,由余弦定理,得 B1B2=A1B2+A1B2-2A1B1· 1B2· 45° A cos 2 1 2 =202+(10 2)2-2×20×10 2× ∴B1B2=10 2. 2 =200. 2

10 2 因此,乙船速度的大小为 ×60=30 2(海里/小时). 20 答 乙船每小时航行 30 2海里.

22.解 (1)由正弦定理 a b c = = =2R, sin A sin B sin C 得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. 又 ∴ cos B b =- , cos C 2a+c cos B sin B =- , cos C 2sin A+sin C

∴2sin Acos B+sin Ccos B+cos Csin B=0, 即 2sin Acos B+sin(B+C)=0, ∵A+B+C=π, ∴2sin Acos B+sin A=0, 1 ∵sin A≠0,∴cos B=- , 2 2π ∵0<B<π,∴B= . 3 2π (2)将 b= 13,a+c=4,B= 代入 b2=a2+c2-2accos B, 3 即 b2=(a+c)2-2ac-2accos B, 1 ∴13=16-2ac(1- ),求得 ac=3. 2 1 3 于是,S△ABC= acsin B= 3. 2 4


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