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2016届高三上学期七校第二次联考理科数学试题及答案


七校联合体 2016 届高三第二次联考试卷 理科数学 命题学校:潮阳第一中学 命题人:陈颖卓
第Ⅰ卷 一、选择题: 01.设复数 z 满足 z ? 3i ? 3 ? zi ,则 z ? ( ) A.3 B.-3 C.3i D.-3i ? cos20 02.求值 ) ?( cos35? 1 ? sin 20? A. 2 B.- 2 2 2 C. 2 D.- 2 03.“a≤-3”是“f(x)=-|x+a|在[3,+∞)上为减函数”的什么条件( ) A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.不充分不必要 04.将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动, 每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有( ) A.6 种 B.10 种 C.12 种 D.24 种 05.设F 1 、F 2 是双曲线C的左、右焦点.若双曲线上存在点A,使得∠F 1 AF 2 =90° ,且 |AF 1 |=3|AF 2 |,则其离心率为( ) A. 5 B. 10 2 2 15 C. D. 5 2 06.如图一个水平放置的透明无盖的正方体容器,高 12cm,将一个球放在容器口, 再向容器内注水, 当球面恰好接触水面时测得水深为 8cm, 如果不计容器的厚度, 则球的体积为( ) 3 C A. 169? cm 6 B. 676? cm 3 3 E C. 8788? cm 3 3 A D B 2197 ? cm 3 D. 6 ??? ? ? ??? ? ? 07.如图△ABC 中,D、E 分别是 AB 和 BC 的三等分点,若 AB ? a , AC ? b ,则 ??? ? DE ? ( ) ???? ???? ? ? ? ? 1 A. DE ? a ? 1 b B. DE ? 2 a ? 1 b 3 3 3 3 ???? ???? ? ? ? ? C. DE ? 1 a ? 2 b D. DE ? 1 a ? 1 b 3 3 2 2
B B B B B B B B B B B B P P P P P P P P

审题人:谢静芳

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08.已知函数 f(x)=

1 ,则 y=f(x)的图像大致为( ln( x ? 1)- x

)

09.执行右边的程序框图,输入正整数 N(N≥2) 和实数a 1 ,a 2 ,…,a N ,输出A,B,则( ) A.A+B为a 1 ,a 2 ,…,a N 的和 B. A ? B 为a 1 ,a 2 ,…,a N 的算术平均数 2 C.A和B分别是a 1 ,a 2 ,…,a N 中最大的数和最小的数 D.A和B分别是a 1 ,a 2 ,…,a N 中最小的数和最大的数 10. ( x ? a )(2 x ? 1 )5 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中含 x 2 项为( x x A.0 B. ? 80x 2 C. 80x 2 D. 160x 2 11.如图一个圆柱被一个平面截去一部分后与半 球(半径 r =3)组成一个几何体,该几何图体 三视中的正视图和俯视图如图所示,则该几 何体的表面积为( ) A. 63? B. 80? C. 36 ? 27? D. 36 ? 45? 12.设函数 f ( x) ? ( x ? 2)ln x ? ax ? 1 ,若存在唯一的整数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 , 则 a 的取值范围是( ) A. (0, 1 ? ln 3) B. ( 1 , 1 ? ln 3) 3 2 3 C. (1 ? ln 3 ,1) D. [1 ? ln 3 ,1) 3 3
B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B

)

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第Ⅱ卷 二、填空题: 13.若函数 f ( x ) ?
4 ? x 2 为奇函数,则 a ? ____________ x?a ?2

2 y2 ? 1 的左顶点, 14.经过双曲线 x ? 9 16 虚轴上端点,右焦点的圆的方程是_____________ ?x ? y ? 4 ? ?y ? x ? 2 x? y 15.若 x, y 满足约束条件 ? ,则 的最小值为_____________ x ?1 ?x ? 1 ? ?y ? 0 16.已知 a, b, c 分别为 △ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, a =2, 且 (2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,则 △ABC 周长的最大值为__________ 三、解答题 17.(本小题满分 12 分) 已知 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an ? 2 (n ? 2) , a1 ? 2 2 3 4 n 1 ⑴求 ?an ? 的通项公式;⑵设 bn ? ,求数列 ?bn? 的前 n 项和 Bn ? 3an ? 5?? 3an?1 ? 5? 18.(本小题满分 12 分) 人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意 程度的指标, 常用区间[0, 10]内的一个数来表示, 该数越接近 10 表示满意度越高. 为 了解某地区居民的幸福感情况,随机对该地区的男、女居民各 500 人进行了调查,调 查数据如表所示:

幸福感指数 男居民人数 女居民人数

[0,2) 10 10

[2,4) 20 10

[4,6) 220 180

[6,8) 125 175

[8,10] 125 125

根据表格,解答下面的问题: (Ⅰ)在右图中绘出频率分布直方图,并估算该地区居民幸福感指数的平均值; (Ⅱ)如果居民幸福感指数不小于 6,则认为其幸福.为了进一步了解居民的幸福满意 度,调查组又在该地区随机抽取 4 对夫妻进行调查,用 X 表示他们之中幸福夫妻(夫 妻二人都感到幸福)的对数,求 X 的分布列及期望(以样本的频率作为总体的概率). G M 19.(本小题满分 12 分) H 如图是某直四棱柱被平面 α 所截得的部分, N E 底面 ABCD 是矩形,侧棱 GC、ED、FB 都垂 直于底面 ABCD,GC=3,AB= 2 2 ,BC= 5 , 四边形 AEFG 为菱形,经过 C 且垂直于 AG 的 D C 平面与 EG、AG、FG 分别交于点 M、H、N; F ⑴求证:CN⊥BH; ⑵求面 AFGE 与底面 ABCD 所成二面角的余弦值。
A B
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20.(本小题满分 12 分) 2 y2 椭圆 C : x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点为 A,P( 4 , b ) 是 C 上的一点,以 AP 为直径 3 3 a b 的圆经过椭圆 C 的右焦点 F. ⑴求椭圆 C 的方程; ⑵设过点 M (2 , 0) 的动直线 l 与椭圆 C 相交于 D、E 两点,求 △ODE 面积的最大值

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (2 ? a)x ? 2ln x ? a ? 2 , g( x) ? xe1? x ⑴若函数 f ( x) 在区间 (0, 1 ) 无零点,求实数 a 的最小值; 2 ⑵若对任意给定的 x0 ?(0, e] , 方程 f ( x) ? g( x0 ) 在 (0, e] 上总存在两个不等的实根, 求实数 a 的取值范围.

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答。注意:只能做所选定的题目。 如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选 题号后的方框涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A,经过点 O 的割线 PBC 交圆 O 于点 B、C, ∠APC 的平分线分别交 AB、AC 于点 D、E, A ⑴证明:∠ADE=∠AED; E ⑵若 AC=AP,求 PC 的值. D P PA C B O

23.(本题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系. x ? 4cos ? x ? 3 ? cos t 已知曲线 C 1 : (t 为参数), C 2 : ( ? 为参数). y ? 3sin ? y ? 2 ? sin t ⑴化 C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; ⑵若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t ? ? ,Q 为 C 2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C3 : ? ? cos? ? 2sin ? ? ? 7 距离的最大值.

?

?

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? a . ⑴若 f ? x ? ? m ? m ? 0? 的解集为 x ? ? ??,1? ? ? 7, ??? ,求实数 a, m 的值; ⑵当 a ? ?1 时,当 x ? ?2 时,不等式 f ? x ? ? t ? f ? x ? 2? 恒成立,求 t 的取值范围.
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七校联合体 2016 届高三第二次联考试卷 理科数学(答案)
一、选择题:CCDCBD、ABCADB 二、填空题: 4 -2 6 x 2 ? y 2 ? 2x ? 1 y ? 15 ? 0 4 3 三、解答题 17.解:⑴当 n≥2 时, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an ? 2 ……① 2 3 4 n ∴ a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? an?1 ? 2 ……②【1 分】 2 3 4 n ?1 a ∴②-①得 an ? an?1 ? an ,即 n ?1 ? n ? 2 (n ? 2 ) ……【3 分】 an n ?1 n ?1 由 a1 ? a2 ? 2 ,得 a2 ? 3 ……【4 分】 2 a a a ∴ an ? a2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? 3 ? 4 ? 5 ??? n ? 1 ? n ? 1 (n ? 3 ) ……【6 分】 a 2 a3 an ?1 3 4 n ∵ a1 ? 2 、 a2 ? 3 都满足上式 ∴ an ? n ? 1 ……【7 分】 1 1 ? 1 ( 1 ? 1 ) ……【9 分】 ⑵ bn ? ? ? 3an ? 5?? 3an?1 ? 5? ? 3n ? 2 ?? 3n ? 1? 3 3n ? 2 3n ? 1 ∴ Bn ? 1 ? (1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? ? ? ( 1 ? 1 ) ? 3? 4 4 7 3n ? 2 3n ? 1 ? 频率 n 1 1 组距 ? (1 ? )? ……【12 分】 3 3n ? 1 3n ? 1
0.25

0.2 0.20 18.解:(1)频率分布直方图如右……【3 分】 0 0.15 所求的平均值为: 0.15 0.125 0.01× 2× 1+0.015× 2× 3+0.2× 2× 5 0.10 +0.15×2×7+0.125×2×9=6.46……【5 分】 0.05 (2) 男居民幸福的概率为 250 ? 0.5 0.01 0.015 500 O 2 4 6 8 10 女居民幸福的概率为 300 ? 0.6 500 故一对夫妻都幸福的概率为 0.5×0.6=0.3……【7 分】 因此 X 的可能取值为 0,1,2,3,4,且 X~B(4,0.3) ……【8 分】 0 1 ∴ P( X ? 0) ? C4 ? (1 ? 0.3)4 ? 0.2401 , P( X ? 1) ? C4 ? 0.31(1 ? 0.3)3 ? 0.4116 2 3 P( X ? 2) ? C4 ? 0.32(1 ? 0.3)2 ? 0.2646 , P( X ? 3) ? C4 ? 0.33(1 ? 0.3) ? 0.0756 4 P( X ? 4) ? C4 ? (1 ? 0.3)4 ? 0.0081 , ∴X 的分布列为 X p 0 0.2401 1 0.4116 2 0.2646 3 0.0756 4 0.0081

幸福感指数

…… 【11 分】

∴ E( X ) ? np ? 4 ? 0.3 ? 1.2

……【12 分】
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19.⑴证:连结 BH,由题知 AB⊥面 BCGF 又∵CN ? 面 BCGF,∴AB⊥CN ……【1 分】 ∵AG⊥面 CMN,∴AG⊥CN ……【2 分】 又∵AG∩AB=A,AG、AB ? 面 BAH,∴CN⊥面 BAH……【4 分】 又∵BH ? 面 BAH,∴CN⊥BH ……【5 分】 ⑵解:以 DA、DC、DE 为 x、y、z 轴,建立空间直角坐标系……【6 分】 ∵四边形 AEFG 为菱形,可设 AE=EG=a,DE=b 由 AE 2 ? AD 2 ? DE 2 ,得 a 2 ? 5 ? b2 由 EG2 ? (GC ? DE)2 ? DC 2 ,得 a 2 ? (3 ? b)2 ? 8 以上面两式解得:a=3,b=2 ……【8 分】 ∴ E(0,0, 2) 、 A( 5,0,0) 、 G(0,2 2,3) ??? ? ???? ∴ AE ? (? 5,0,2) 、 AG ? (? 5,2 2,3) ? ? ??? ? n ? AE ? 0 ? 由 ? ? ???? ,解得 n ? (8, ? 10,4 5) 为面 AFGE 的一个法向量……【10 分】 ? n ? AG ? 0 ? 由题知 m ? (0,0,1) 为面 ABCD 的一个法向量 ? ? ? ? ∴ cos ? n, m ?? n ??m ? ? 2 770 ,∴所求二面角的余弦值为 2 770 ……【12 分】 77 77 n m ??? ? 20.解:⑴由题知: A ? 0, b? , F ? c,0? ,∴ AF ? ? c, ?b? , FP ? 4 ? c, b 3 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ∵ AF ? FP ,? AF ? FP ? 0 ,即 4 c ? c2 ? b ? 0 ……【1 分】 3 3 2 2 b 4 3 又 2 ? 32 ? 1 且 a 2 ? b 2 ? c 2 , ……【2 分】 a b 2 ∴ b ? c ? 1, a ? 2 ,∴椭圆 C 的方程为: x ? y 2 ? 1 ……【4 分】 2 ⑵依题意可设动直线 l 的方程为: y ? k ? x ? 2? ? k ? 0 ? 设 D ? x1, y1 ? , E ? x2, y2 ?

?

?

? ? ? ?

2 ? ?x ? y ?1 由? 2 可得 ? y ? k ? x ? 2? ?

2

k 2 ? x2 ? 8k 2 x? 8 k2 ? 2 ?…… 0 【5 分】 ?1 ? 2

则 ? ? 64k 4 ? 4 ?1 ? 2k 2 ??8k 2 ? 2? ? 0 ,解得 0 ? k 2 ? 1 ……【6 分】 2 2 2 由韦达定理可得 x1 ? x2 ? 8k 2 , x1x2 ? 8k ? 2 ……【7 分】 1 ? 2k 1 ? 2k 2 2 ∴ DE ? 1 ? k 2 ? x1 ? x2 ? ? 4x1x2

2 1 ? k 2 1 ? 2k 2 ……【8 分】 1 ? 2k 2 2k 设点 O 到直线 l 的距离为 d , 则 d ? 1? k2 2 4 ∴ S?ODE ? 1 DE d ? 2 2 k ? 2k 2 2 2 ?1 ? 2k ?
? 1? k2 8k 2 1 ? 2k 2
2 2

?

8k ? 2 ? 2 ? ?41 ? 2k
2

第 6 页 共 8 页

1 ? 3 ? 1 ……【10 分】 1 ?3 1 2 ?1 ?2 2 ? 2 2 2 16 2 2 2 k ?1 4 1 ? 2 k 1 ? 2 k ? ? 1 ?1 ? 0 ? k 2 ? 1 ?1 ? 2k 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 2 2 2k ? 1 1 ? 3 即 k ? ? 6 时, S△ODE 取得最大值,最大值为 2 2 ? 1 ? 2 ∴当 2 6 4 2 2k ? 1 4 21.解:⑴记 l( x) ? (2 ? a)( x ? 1) , s( x) ? 2ln x ,则 f ( x) ? l( x) ? s( x) ∵ f ( x) 在 (0, 1 ) 上无零点,∴直线 l( x) 与曲线 s( x) 在 (0, 1 ) 上无交点 2 2 1 1 1 1 只需 l( ) ? s( ) ,即 (2 ? a)( ? 1) ? 2ln 2 2 2 2 解得 a ? 2 ? 4 ln 2 ,∴a 的最小值是 2 ? 4 ln 2 ……【4 分】 ⑵ g?( x) ? (1 ? x)e1? x , 在 (0,1) 上, g?( x) ? 0 , g( x) 单调增;在 (1 , e) 上, g?( x) ? 0 , g( x) 单调减

?2 2 ?

?

?

2

g(0) ? 0 , g(1) ? 1 , g(e) ? e2?e ? 0 ∴ g( x) 在 (0, e] 上的值域为 (0,1] ……【6 分】 f ?( x) ? (2 ? a)x ? 2 x ①当 a ? 2 时,在 (0, e] 上, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调减,不合题意……【7 分】 ②当 a ? 2 时,令 f ?( x) ? 0 得 x ? 2 ? 0 2?a (i)当 2 ? e 时,即 2 ? 2 ? a ? 2 时, 2?a e 在 (0, e] 上, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调减,不合题意……【8 分】 (ii)当 2 ? e 时,即 a ? 2 ? 2 时, e 2?a 2 ) 上, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调减;在 ( 2 , e) 上, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调增 在 (0, 2?a 2?a a ?3 a ?3 ∵ ?x1 ?(0, 2 ) ? (0, e 2 ) ,使得 f ( x1) ? (2 ? a) ? 0 ? 2 ln e 2 ? a ? 2 ? 1 ……【9 分】 2?a ∴要使方程 f ( x) ? g( x0 ) 在 (0, e] 上总存在两个不等的实根 a ? 2ln(2 ? a) ? 2ln 2 ? 0 2 )? 0 ? ? ? f( ? 只需 ? 2 ? a ,即 ? ……(*) ……【10 分】 3 a ? 2 ? ? ? ? f (e) ? 1 ? e ?1 h?( x) ? x ,令 h?( x) ? 0 得 x=0 令 h( x) ? x ? 2ln(2 ? x) ? 2ln 2 , x ? 2 ? 2 e x?2 2 在 (??,0) 上, h?( x) ? 0 , h( x) 单调增;在 (0, 2 ? ) 上, h?( x) ? 0 , h( x) 单调减 e ∴ h( x)max ? h(0) ? 0 , ?a ? 2 ? 2 ? e ∴(*)式的解为 ? ……【11 分】 3 ? ?a ? 2 ? e ? 1 ∴ a ? 2 ? 3 ,∴实数 a 的取值范围是 (??,2 ? 3 ] ……【12 分】 e ?1 e ?1
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22.解:(1)∵PA 是切线,AB 是弦,∴∠BAP=∠C 又∵∠APD=∠CPE,∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE ∵∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE ∴∠ADE=∠AED

…………【5 分】 (2)由(1)知∠BAP=∠C,又∠APC=∠BPA,∴?APC∽?BPA, PC = AC , PA AB ∵AC=AP, ∠BAP=∠C=∠APC, 由三角形的内角和定理知:∠C+∠APC+∠PAC=180? , ∵BC 是圆 O 的直径,∴∠BAC=90? ∴∠C+∠APC+∠BAP=90? ,∴∠C=∠APC=∠BAP=30? , 在 Rt?ABC 中, AC = 3 ,∴ PC = 3 …………【10 分】 PA AB 23.解:⑴由 C 1 :
x ? 3 ? cos t 2 2 (t 为参数)可得 ? x ? 3? ? ? y ? 2? ? 1 y ? 2 ? sin t 2 x ? 4cos ? y2 ?1 由 C2 : ( ? 为参数)可得 x ? 16 9 y ? 3sin ?

?

?

…………【4 分】 ⑵由已知可得点 P ? 2, 2 ? ,Q ? 4cos? ,3sin ? ? ,则 M 1 ? 2cos? ,1 ? 3 sin ? 2 又直线 C3 : ? ? cos? ? 2sin ? ? ? 7 可化为: x ? 2 y ? 7 ? 0 设 M 到直线 C3 的距离为 d , 则 d ? 1 ? 2cos? ? 2 ? 3sin ? ? 7 ? 2cos? ? 3sin ? ? 8 5 5 13 sin ?? ? ? ? ? 8 ? (其中 tan ? ? 2 ) 3 5 ?? ? R ?sin ?? ? ? ? ? ? ?1,1? ∴ d 的最大值为 65 ? 8 5 …………【10 分】 5 24.解:⑴由题意可得 1 和 7 是方程 x ? a ? m 的两根 1? a ? m ∴ 解得 a ? 4, m ? 3 …………【4 分】 7?a ? m ⑵当 a ? ?1 时,不等式 f ? x ? ? t ? f ? x ? 2? 可化为 x ? 1 ? x ? 3 ? ?t ?2, x ? ?3 ? 令 g ? x ? ? x ? 1 ? x ? 3 ? ??2x ? 4, ?3 ? x ? ?1 ? ??2, x ? ?1

曲线 C 1 是以 C1 ? 3,2? 为圆心,以 1 为半径的圆; 曲线 C 2 是焦点在 x 轴上的椭圆;

?

?

?

当 x ? ?2 时, g ? x ? ? 0 ∴当 x ? ?2 时,不等式 f ? x ? ? t ? f ? x ? 2? 恒成立 只需满足 0 ? ?t 即可 ∴ t ? 0 ,∴ t 的取值范围为 ?0, ??? .

…………【10 分】

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