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更高更妙的物理:专题26 狭义相对论浅涉


专题 26 狭义相对论浅涉 一、狭义相对论的基本假设 1、伽利略的相对性原理 为描述物体的机械运动所取的参考系, 根据牛顿运动定律是否适用而分别称作惯性参考 系与非惯性参考系; 伽利略通过实验指出: 在任何一个惯性系内部所做的任何力学实验都无 法确定该参考系是静止的还是在做匀速直线运动, 一切彼此相对做匀速直线运动的惯性参考 系, 对于描写运动的力学规律是完全等价的, 并不存在某

一个比其他惯性系更为优越的惯性 系,任何力学实验都不可能确定某个惯性系是否“绝对静止” 。 伽利略运用相对性原理阐述:设两个沿同一方向相对速度为 u 的惯性系,在一段时间 t 内,质点 P 对其中一个惯性系运动的位移为 x ,对另一个惯性系运动的位移为 x? ,则

x ,对另一个惯性系运动的速度 t v ?v x? v? ? ? v ? u ;若在 t ~ t ? ?t 时间内质点 P 对其中一个惯性系运动的加速度 a ? t 0 , t ?t ? vt ? u ? v0 ? u v? ? v0 ? ? a ,这说明在不同的惯性系 则对另一个惯性系运动的加速度 a? ? t ?t ?t 中,质点的加速度是相同的,所以牛顿运动定律 F ? ma 在所有相互做匀速直线运动的惯性
x? ? x ? ut ; 对 其 中 一 个 惯 性 系 运 动 的 速 度 v ?
系内均成立。 伽利略相对性原理是基于这样的一种时空观: 在两个参考系里, 时间间隔与空间间隔的 量度是一样的,不会因参考系的运动而有所变更,并且时空也是相互独立的。这种把时间、 空间与运动完全脱离的绝对时空观将面临高速运动现实的挑战。 2、迈克尔逊的困难 在光本性的探究过程中,以太被认为是传播光的无处 不在的介质,人们对它除了名称以外一无所知,它被设想 成具有种种无法协调的力学性质及物态,并且认为它是绝 对静止的参考系,相对于以太的绝对运动会区别于相对于 其他参考系的运动。迈克尔逊实验就是期望找到在绝对静 止的参考系中发生的物理现象来证明以太的存在,并得到 绝对运动的。左图与左图是迈克尔逊实验装置与实验原理 示意图,仪器的中心部件是一块镀银的半透明玻璃片 B , 与入射光线成 45 角, 可以让入射光线一半透射一半反射, M 、 M ? 是与 B 等距离的两块平面镜, S 是光源,它射 出的光到达 B 时,分成互相垂直的两束;光束①透过玻璃 片向 M ,被 M 反射后到达 B ,部分被银膜反射;光束② 射向平面镜 M ? 再返回,部分透过 B 。根据光干涉原理, 两束光到达观察者眼中,将会出现明暗相间的条纹,若两 束光同时到达则中央亮纹位置居中,若两束光到达时间有 先后,就会发生亮纹的偏移,所以这种测量的设计是很精 巧的。迈克尔逊设想:以太存在且完全静止,那么地球相 对于以太做绝对运动,对于安装在地面的仪器而言,相当 于以太以地球运动的速率拂过地面,设“以太风”以 v 沿图中 MB 方向吹过,刚才说的两束 相干光到达观察者眼中的时间就有了先后:光束①先逆“风”而上后顺“风”而下,所用时
0

1 ,式中 c 是无“风”时的光速,即光在以太 v 2 1? ( ) c l 中的速度,l 是平面镜与镀银镜的距离;而光束②是“横渡”的,所用时间 t2 ? 2 , 2 c ? v2
间 t1 ?

l l ? ,是无“风”时的 c?v c?v

,可见,光束①将比光束②推迟到达 B 处。 “以太风”的速度(地 v 2 1? ( ) c 5 球运动速度)约 v ? 30km / s ,光速 3.0 ?10 km / s ,两束光因以太风而延迟的时间各为万 0 分之一与十万分之五。对应地,到达 B 的两束光有一相位差,若将仪器转过 90 ,两光束相 对于以太风的速度会改变,到达 B 的相位差就会引起改变,干涉条纹的中央亮纹位置应明 是无“风”时的 显偏移,观测者使用该装置应当容易观测到在绝对参考系下发生的这种干涉条纹移动的现 象。但是,迈克尔逊在各种条件下一次又一次地精心实验,却始终未能观察到干涉条纹有丝 毫的移动,在惊愕之余,事实不容置辩地指出,以太是不存在的,绝对静止的参考系也是不 存在的,真空中的光速对任何参考系都是一个恒量。 3、爱固斯坦的假设 “无论光在以太中怎样传播, 以太风对光速都没有影响” , 这是爱因斯坦在 1905 年依据 迈克尔逊光干涉实验中,预期的干涉条纹的移动始终未能出现这令人惊讶的事实而提出的, 爱因斯坦扬弃了宇宙中存在以太介质的假说及绝对参考系的想法, 大胆总结出解释迈克尔逊 实验的两条狭义相对论基本原理:⑴狭义相对论的相对性原理:在不同的惯性参考系中,一 切物理规律都是相同的。 ⑵光速不变原理: 在彼此相对做匀速直线运动的任一惯性参考系中, 所测得的光速都是相等的。第 1 条原理说明运动的描述只有相对的意义,绝对静止的参考系 是不存在的, 找不到任何一个参考系可以通过实验测出该参考系中物体的绝对运动。 第2 条 原理则使人类摆脱日常经验的束缚,导致了对时间与空间的全新的概念。 4、洛伦兹坐标变换 如图所示的两个对应轴互相平行的坐标系 K 和 K ? , K ? 相对于 K 的速度是 v ,方向沿 x 轴正方向, 从 O 与 O? 重 合的时刻作为计算时间的起点。设( x 、 y 、 z 、 t )表示 在 t 时刻发生在 K 系中( x 、 y 、 z )处的事件 P ,而同一 事件在 K ? 系中是在 t ? 时刻出现在( x? 、 y? 、 z ? )处。则表 示同一事件的两坐标系中的时、空坐标之间的关系为

1

x? ? v ?t ? ? x? ? v ? ? 1? ( 2 )? c ? ? ? ? y? ? y y ? y? ? ? 和 ? ? z? ? z z ? z? ? ? vx vx? t? 2 ? t? ? 2 ? ? c c ? t? ? t? ? v v ? 1 ? ( )2 ? 1? ( 2 )? c ? c ? v 2 2 这里,我们又遇见了 1 ? ( ) 这个因子,该因子也常被写作 1 ? ? (全文都适用) , c x? ? x ? vt v 1 ? ( )2 c
最初它出现在分析迈克耳逊实验时,在相对论里,它像一个精灵时隐时现。 洛伦兹变换式是爱因斯坦两条基本原理的直接结果, 相对论要求, 自然界中物体高速运 动的规律对洛伦兹变换应该是不变的。 麦克斯韦方程对于洛伦兹变换是不变的, 故适用于高 速运动问题, 而牛顿运动定律的方程对于洛伦兹变换是改变的, 所以只适用于研究低速运动 的物体。 二、狭义相对论的时空观 迈克耳逊实验结果导致爱因斯坦的狭义相对论, 为人们提出了不同于符合经验的古典力 学的全新的时空观。古典力学认为时空的量度是绝对的,不因参照系的选择而改变,牛顿所 代表的经典物理学认为“绝对的、真正的和数学的时间自己流逝着,并由于它的本性而均匀

地、与任一外界对象无关地流逝着” 、 “绝对空间,就其本质而言,与外界任何事物无关,而 永远是相同的和不动的” ,这种脱离物质与运动的绝对时空观是从日常的低速范围的实践经 验中总结出来的,很容易为我们接受与采纳;当我们接触到高速运动,就会发现传统的观念 与事实不符,就会遇到如迈克尔逊的困难,我们需要更新观念,才能正确认识自然现象,相 对论的时空观指出在不同运动的参考系中会有不同的时间与空间的测量, 视时空与运动物质 不可分割, 随物质运动形式和运动状态的改变而改变, 日常经验带给人们的绝对不变的时空 观随着人类实践领域日渐走进高速运动领域,已经被否定。 1、同时性问题—同时的相对性 相对论认为,在 K 系中不同地点同时发生的两个事件,在 K ? 系中的观察者却测得这两 个事件发生在不同的时刻:设在 K 系中两事件的时空坐标为( x1 、 y1 、 z1 、 t1 )和( x2 、 ,则利用洛伦兹变换式, K ? 系的观察者测得这两个事件的发生时刻为 y2 、 z2 、 t 2 ) vx vx t ? 21 t ? 22 c , c , t? ? t1? ? 2 2 1? ? 2 1? ? v ( x1 ? x2 ) 2 故在 K ? 系的观察者看来,两事件是相隔了 c 时间先后发生的。 “同时”的概念是 1? ? 2 相对的,是随着参考系的选择而改变的,不是绝对的。没有绝对的、 “与外界对象无关”的 时间, 这是爱因斯坦相对论两个假设的直接推论, 与日常经验带给人们的绝对不变的时空观 是大相径庭的。 2、长度缩短问题—长度的相对性 从对于物体有相对速度 v 的坐标系中所测得的沿速度方向的物体的长度 l ? , 总是比与物
2 体相对静止的坐标系中测得的长度 l 短: l ? ? l 1 ? ? 。至于垂直于相对速度 v 方向的长度

则不变。这里,长度的缩短纯粹是一种相对论效应,当 v 大到可与光速相比时,这种“尺缩 效应”是显著的、是普适的,诚如爱因斯坦所言,我们这里所碰到的是空间本身的收缩。一 切物体在以相同速度运动时都收缩同样的程度, 其原因完全在于它们都被限制在同一个收缩 的空间内。而在低速情况下,这种收缩微乎其微,所以“尺缩效应”常人是少有体验的。 3、时间延长问题—时间间隔的相对性 从对于发生事件的地点做相对运动的坐标系中所测得的时间要比从相对静止的坐标系 中所测得的时间长:若在 K 系中某处发生的事件经历的时间为 ?t ,则从相对 K 系匀速运动 的 K ? 系中测得该事件经历的时间 ?t ? ?

?t v 1 ? ( )2 c

?

?t 1? ? 2

? ?t ,这通常被称为“钟慢效

应” ,与“尺缩效应”一样,只有当运动速度接近光速时“钟慢效应”才变得较为明显。 三、狭义相对论下的动力学方程 1、速度变换法则 K 系的速度为 如果在 K ? 系中有质点沿 X ? 正方向以速度 u? x 匀速运动,则该质点对于

ux ?

u? x ?v Z ? 轴正方向的速度 u? 。 类似地, 若质点在 K ? 系中有沿 Y ? 正方向速度 u? z, y 和沿 u? xv 1? 2 c
2 2 u? u? y 1? ? z 1? ? , uz ? 。 uy ? u? v u? v 1 ? x2 1 ? x2 c c

则对 K 系的速度

2、质量

狭义相对论内, 物体的质量是随着速度而改变的, 两者的关系是 m ?

m0 1? ? 2

, 式中 m0

是物体在相对静止的惯性参照系中的质量,叫静止质量, m 则称为相对论质量。 没有物体能以光速或超光速运动,这是一条基本的自然规律,因为,当物体运动速度 v 越接近光速 c ,反抗自身进一步加速的惯性质量越大,

v ? 0.9 ,惯性质量 m 将无限增加, c

这时无论对物体施加多大的外力都不能征服最后一位小数, 使其速度正好等于光速, 光速是 宇宙中物体运动速度的上限! 3、动量 在狭义相对论中,动量的表达式是 p ?

m0 1? ? 2

v 。这样,牛顿运动方程应修正为

F?

m0 ?p 的形式,其中 p ? v 。当 v 比光速小得多时, ? 趋于 1 ,可见牛顿运动定 ?t 1? ? 2

律只适用于低速情况。 4、质能关系 动能 相对论中,物体的静止能量 E0 ? m0c2 ;运动时能量 E ? mc ;而动能的表达式为
2

Ek ? mc2 ? m0c2 。
5、动量与能量
2 4 相对论下物体的动量与能量的关系为 E 2 ? c2 p2 ? m0 c 。该式应用于光子,则有光子

能量与动量关系为 p ?

E 。 c

四、广义相对论简介 这里简单介绍广义相对论的等效原理和相对性原理以及广义相对论下的时间与空间。 1、等效原理 一个均匀的引力场与一个加速度不变的参考系,描述物体的运动是等效的。例如:在爱 因斯坦电梯里面,不论电梯静止(匀速)在均匀不变的地球引力场,或是电梯远离地球但以 加速度 g 向上运动,观察者看到的都是所有物体以 g 落向电梯地板。又比如,不论电梯是 在引力场中或是远离引力场而匀加速运动,对于电梯中的观察者总看到光束是弯曲的。 2、广义相对性原理 任何参考系中(惯性系与非惯性系)物理规律都是相同的。 广义相对论把狭义相对论作了推广, 使我们用一切参考系来描述观察到的物理现象具有 相同形式的规律,物理现象在惯性系(处于均匀恒定引力场)的描述与在非惯性系(不受引 力场影响但以恒定加速度运动)的描述是完全相同的。这种推广是基于引入惯性力,而惯性 力等效于引力。 3、广义相对论的验证 从广义相对论出发,可推知光在引力场中是弯曲的;引力场中不同 位置的时间进程是不均匀的;由于物质的存在,引力场分布不均匀,实 际空间是弯曲的。这些理论已经有了重要的实验验证,可了解下述三大 验证: ⑴爱因斯坦预言,恒星发出的光束从太阳旁通过时要发生偏离,角 度偏移约 1.75?? 。这个预言被证实了:1919 年日全食时刻拍摄了星空的 照片,与没有太阳时同一部分星空照片比较,发现星的位置移动了,测 得恒星的角偏移量为 1.61?? 左右,这是由于太阳引力作用,使星光在经 过太阳附近时弯曲所致。图夸张地表示了这一效应。 ⑵根据广义相对论,时间进程快慢与它所在位置的引力场场强(等 效的非惯性系的加速度大小)有关,引力场场强越大或引力势越低,时

间进程越慢。同种原子发光产生的光子,在引力场强度不同位置时频率应该不同,离地球很 远引力场比地球引力场更强或引力势更低的星体上原子发光产生的光子频率会比地球上的 小,谱线向红光区域偏移,即产生引力红移。引力红移效应在天文学的尺度内已被观测到, 与理论值非常接近。 ⑶根据广义相对论,空间不均匀,由 于物质存在,使空间发生弯曲,空间两点间的直 线距离缩短。 对水星轨道的进动—水星轨道最接近太阳的点位置变化—观察值是相对于恒星 每百年改变 1 33?20?? ,而经典理论把已知的其他星体对水星的影响考虑进去后,预言为
0

1032?37?? ,比实际观测少了 43?? 。广义相对论解释了每世纪 43?? 的差值—要考虑太阳的巨大
质量使周围空间发生弯曲。 【问题 l】已知:质量为 M 的物体在距其 R 处的引力势为 力势能

GM ,处在该处的质量 m 具有引 R

GMm 。当光子从太阳飞到地球时,它的频率相对改变了多少? R
2

【分析与解】光子能量 E ? h? ? mc ,光子在太阳引力场时的引力势能为 在地球引力场的势能为

GM日E ,光子 c 2 R日

GM 地 E GM E GM E E ,则 h? ? h? ? ? 2 日 ? 2 地 ,而 h ? ,则有 2 ? c R地 c R日 c R地

? ?? ? GM日 GM 地 G M日 M 地 ? 2 ? 2 ? ( ? ), ? c R日 c R地 c 2 R日 R地
代入数据即可得到光子频率相对变化量的理论值

??

6.67 ?10?11 2 ?1030 6 ?1024 ? ( ? ) ? 2.12 ?10?6 。 16 9 6 ? 9 ?10 0.7 ?10 6.4 ?10
2

【问题 2】试解释光子从建筑物顶上射向地面时它的颜色向蓝色方向偏移. 【分析与解】光子能量 E ? h? ? mc ,在离地面较高处 H 位置,重力势较高,到达地面时, 光子重力势能减少,能量 h? ? ?

h? gH ? h? ,可见? ? ? ? ,即光的颜色朝光谱中蓝色区域 c2

移动。 五、例析相对论效应 【例 1】一辆车轮半径为 R 的“汽车”以接近光速的恒定速度 v 相对于地面沿直线运动。一 个相对于地面静止的观察者所看到的“汽车”车轮形状是什么样的?并加以证明。 【分析与解】根据相对论效应,车轮沿 v 方向的水平直径将缩短而竖直直径不变,故在地面 观察者看来,车轮形状为椭圆。现证明如下: 取汽车为 K ? 坐标系,在该参照系下车轮圆周的方程为 x?2 ? y?2 ? R2 ,取地面为 K 坐
2 标 系 , 在 地 面 观 察 者 看 来 , x ? x ? 1 ? ? , y ? y? , 则

x2 ? y 2 ? R2 , 即 1? ? 2

y2 ? 2 ? 1 ,这是一个椭圆标准方程,短半轴小于 R ,长半轴等于 R 。 (R 1 ? ? 2 ) R
本题向我们描绘了一幅相对论下“尺缩效应”的景象。曾经有人作诗趣说“长度缩短” : 斐克小伙剑术精, 出剑迅捷如流星, 由于空间收缩性, 长剑变成小铁钉。 当然,要出现这种景象,这位小伙出剑必须有闪电的速度才行。 【例 2】爱因斯坦在他 1905 年创立狭义相对论的论文中说: “一个在地球赤道上的钟,比起 放在两极的一个性能上完全相同的钟来,在别的条件相同的情况下,它要走得慢些” 。地球 从形成到现在约 50 亿年,假定地球形成时就有爱因斯坦说的那样两个钟,两钟记录下的两 极与赤道的年龄之差是多少?地球半径只取 6378km 。

x2

【分析与解】相对于两极,赤道以每日 2? R 的速度匀速运动,如果赤道那个钟测得时间过 了 ?t ? 50 亿年,则两极上的钟指示的岁月流逝 ?t ? ? 的不同参考系中测量地球年龄的结果就会存在差异:

?t 1? ? 2

,那么,在两个有相对运动

? 1 ? ?T ? ?t ? ? 1? 。 2 ? ? ? 1? ? ? 2? ? 6378000 m / s ,代入后可算得两处测量地球年龄的差异 式中地球赤道自转速度 v ? 86400 ?T ? 2.18 天。
爱因斯坦说地球赤道钟比极地钟走得慢些,是站在极地参考系来说的:相对于赤道,极 地是运动的,极地“时间膨胀” ;从极地看,赤道是运动的,赤道“时钟变慢” 。 【例 3】 一艘宇宙飞船以 0.8c 的速度于中午飞经地球, 此时飞船上和地球上的观察者都把自 己的时钟调到 12 : 00 。⑴按飞船上的时钟于午后 12 : 30 飞经一星际宇航站,该站相对于地 球固定, 其时钟指示的是地球时间。 试问按宇航站的时钟飞船何时到达该站?⑵试问按地球 上的坐标测量,宇航站离地球多远?⑶于飞船时间午后 12 : 30 从飞船向地球发送无线电信 号,试问地球上的观测者何时(按地球时间)接到信号?⑷若地球上的观测者在接收到信号 后立即发出回答信号,试问飞船何时(按飞船时间)接收到回答信号? 【分析与解】 首先我们来约定两个参照系: 地球参照系 K , 飞船参照系 K ? , 两参照系有 0.8c 的相对速度,两参照系均以 12 : 00 为初始时刻。此后,不论在哪个参照系里观察,总会发 现对方参照系里的时间与“本地时间”是不一样的。 ⑴由题给条件,相对于 K ? 系静止的时钟即飞船上的时钟指示时间间隔 ?t ? ? 30 min , 则 K 系中时钟是相对于 K ? 系以 0.8c 速度运动的,其时间“膨胀” ,即

min ? 50 min 。 1 ? 0.82 故宇航站时钟指示飞船到达该站的时刻是 12 : 50 。 ⑵在 K 系观察,飞船速度 0.8c ,飞行时间 ?t ? 50 min ,则飞行距离为 s ? v ? ?t ? 0.8c ? 50 ? 60 ? 7.2 ?108 km 。 ⑶对地球参照系 K ,信号速度不变为 c ,信号从飞船到达地球历时 s 0.8c ? 50 ?t1 ? ? ? 40 min 。 c c 则从初始时刻 12 : 00 起共经过 (50 ? 40) min ,故地球上观测者收到信号时,地球钟指示下 午 1: 30 。 1? ?
2

?t ?

?t ?

?

30

⑷解答本小题时,要理清思路。首先,注意到在信号从飞船向地球传送期间,飞船又远 离地球 s1 ,在 K 系中,这个距离为 s1 ? v ? ?t1 ;信号立即从地球返回,相对于飞船,返回速 度 为 c ? 0 .c 8 , 要 到 达 飞 船 需 完 成 的 距 离 是 s ? s1 , 故 历 时

?t2 ?

s ? s1 0.8c(50 ? 40) ? min ? 360 min ; 从初始时刻 12 : 00 起事件共经历了地球时 c ? 0.8c 0.2c

? ? ?t0 1 ? ? 2 ? 270 min ,那么,飞 间 ?t0 ? 450min ,而对飞船所在 K ? 系,则经历了 ?t0
船接到地球返回的信号时,其时钟钟面指示下午 4 : 30 。 本题所涉时间延长的效应,有 ? 子衰变的事实依据。 ? 子可带正电也可带负电,质量 比电子大 207 倍,半衰期约 1.5 ?10 s ,在宇宙射线作用下,在离地球表面 10 km 的高空大 气层形成,设 ? 子形成后以 c 运动,按相对论以前的观点,一个半衰期, ? 子的平均路程 为 45m , 则能够抵达地球表面的 ? 子数只有
?6

1 2
104 45

, 然而实际在地表观察到的 ? 子数远远超

过了按半衰期 1.5 ?10 s 计算的数目。事实上,我们地球观测者看来, ? 子从形成到衰变 之间的时间间隔要长得多。 狭义相对论的时间延长的-结论还引发出一个著名的“孪生子佯谬” :一对双胞胎,同时 出生于地球上,如果一个乘高速宇宙飞船出去旅行而另一个则留在地球,几十年过去了,旅 行者回来时,在地球上的兄弟看来,他比自己年轻得多,因为地球上的几十年,相当于飞船 上的几年—高速运动的飞船上时钟变慢、细胞分裂变慢、人的成长也变慢了;不过在游子看 来,却是留在地球上的兄弟更年轻,因为在他看来,飞船静止而地球是高速运动的,地球上 的时间比飞船上慢, 他兄弟的生长过程慢。 同样运用狭义相对论推理却得出了互相矛盾的结 果,问题出在哪里呢?这个悖论是因为忽略了飞船并不是一个完整的惯性参照系:飞船与地 球相互做匀速运动时,他们是等价的,但是为了返回地球,飞船必须经历减速、反向加速的 过程,这时它已不再是惯性参照系了,地球与飞船不是等价的惯性系,则两兄弟计算时间的 方法应当不同。按广义相对论来看,在飞船加速和减速过程中,飞船中出现的惯性力使得时 钟变慢,因此飞船上的那位会年轻些。
?6

【例 4】设有一 ? 介子,在静止下来后,衰变成 ? ? 子和中微子? ,三者的静止质量分别为
?

m? , m? 和 0 。求 ? ? 子和中微子的动能。
【分析与解】静止的 ? 介子衰变成 ? ? 子和中微子? 的过程,动量和能量均守恒,这里,动 量与能量均为相对论意义的量,且
?

2 4 E 2 ? c2 p2 ? m0 c ,
2 2 4 ? m? c ? c 2 p?2 ? 0 。 0 ? p? ? p? , m? c 2 ? c 2 p?

由上述两守恒式解得 p? ? p? ?
4

2 2 (m? ? m? )c

2m?

。则 ? ? 子运动时能量为

2 2 2 2 2 ? (m? ? (m? ? m? ) ? m? )c 2 2 , E? ? c ? ? m? ? ? 2 2m? ? 4m? ? ? ?

? ? 子的动能
E?k ? E? ? m? c2 ?
同理,中微子? 的动能
2 2 2 (m? ? m? )c2 ? 2m? m? c2

2m?
2

?

(m? ? m? )2 c2 2m?




2m? 【例 5】如图所示,有一均匀带正电的正方形绝缘线框 ABCD ,
每边边长为 L ,线框上串有许多带电小球(看成质点) ,每个小 球的带电量为 q ,每边的总带电量为零(即线框的带电量和各 小球的带电量互相抵消) 。现使各小球相对线框以速率 u 沿绝缘 线做匀速运动,在线框参考系中测得相邻两小球的间距为 a L) (a ,线框又沿 AB 边以速率 v 在自身平面内相对 S 系做 匀速运动。在线框范围内存在一均匀电场 E ,其方向与线框平 面的倾角为 ? 。考虑相对论效应,试在 S 系中计算以下各量。 ⑴线框各边上相邻两小球的间距 a AB 、 aBC 、 aCD 、 aDA ; ⑵线框各边的净电量 QAB 、 QBC 、 QCD 、 QDA ;

E? k ? E? ? c p? ?

2 2 (m? ? m? )c2

⑶线框和小球系统所受的电力矩大小; ⑷线框和小球系统的电势能。 【分析与解】 这里, 先建立参考系: 地面参考系 S , 这是进行观测的参考系; 线框参考系 S ? , 线框静止在 S ? ,以及小球静止的参考系 S ?? 。

⑴先计算 a AB 。在 S ? 系中观察 AB 边上两球间距离为 a ,设在 S ?? 中相邻两球间距离为

a0 ,由于 S ?? 相对 S ? 运动速度为 u ,由“尺缩公式”可得
u a ? a0 1 ? ( ) 2 。 c 又由速度变换法则,将小球对 S ? (线框)的速度 u 变换为对 S 系的速度 u AB ,为 u?v 。 u AB ? uv 1? 2 c 那么,在 S 系中观察相邻两球间距离为
a AB 1? ? 2 u AB 2 ? a0 1 ? ( ) ? ?a 。 uv c 1? 2 c 1? ? 2 ? a ;至于 BC 边与 uv 1? 2 c

CD 边两小球间距只须考虑到 u 与 v 方向相反,则 aCD ??
DA 边由于与 v 方向垂直,不产生收缩,故 aBC ? aDA ? a 。

⑵计算各边净电量时注意每个小球带电量不因坐标而改变, 但边长及小球间距与坐标有 关。在 S ? 系中,各边小球个数有 n? ? 电量为 ?

L 个,由于每边总带电量为零,每边线框上带负电, a

L 1? ? 2 L q ,这个电量不变。在 S 系中, AB 边小球个数为 n ? , AB 边净电 a AB a uvL q。 量为小球带正电量与线框边带负电量之和 QAB ? (n ? n?)q ? ac 2 uvL 同理可得 CD 边净电量为 QCD ? ? 2 q ,而另两边净电量均为零。 ac ⑶线框的 AB 边与 CD 边净电荷受电场力而形成力矩。如图所示为线框的右视图,由图
可知两边所受电力矩为

M ? QAB ? E ? sin ? ? L ?
⑷设 CD 边为零电势面,则有

uvL2 q E sin ? 。 ac 2

uvL2 q E cos ? 。 ac 2 【例 6】太空火箭(包括燃料)的初始质量为 M 0 ,从静止起飞,向后喷出的气体相对火箭 E p ? QAB ? L ? E cos ? ?
的速度 u 为常量。任意时刻火箭速度(相对地球)为 v 时火箭的静止质量为 m0 。忽略引力 影响,试求比值

m0 与速度 v 之间的关系。 M0

【分析与解】本题以地球为参照系,取火箭喷气的元过程,得到火箭静质量的变化与速度变

m0 与速度 v 之间的关系。 M0 设某时刻火箭的对地速度为 vi ,质量 mi ,静质量 m0i ,在 ?t ? 0 的瞬时喷出气体质量 为 ?mi ,静质量相应记作 ?m0i ,火箭速度增加 ?vi 。由动量守恒关系得
化的关系式,然后运用微元法求得

mi vi ? (mi ? ?mi )(vi ? ?vi ) ? ?mi ?

(vi ? ?vi ) ? u 。 ① (vi ? ?vi ) ? u 1? c2

上式中气体对地速度由速度变换法则确定。整理①式并忽略高阶无穷小量后得

m0i ? ?vi

? ? ? (vi ? ?vi ) ? u ? (1 ? ?i2 ) ? u ? ?mi ?vi ? ? ?mi ? 。 ② ? (vi ? ?vi ) ? u ?vi ? u 2 u 1 ? ?i2 ? ? 1? 1 ? ?i ? ? 2 c2 vi c ? ?

而喷出的气体质量 ?mi 为

?mi ?
③式中因子

m0i ? ?m0i 1? ?
2 i

?

m0i (v ? ?v ) 2 1? i 2 i c
? 1 2





? (vi ? ?vi )2 ? ?1 ? ? c2 ? ?

?

1 2

? vi2 ? 2vi ? ?vi ? ? ?1 ? ? c2 ? ? ? 1

? ? 2v ? ?vi ? ? ? ? ? ?(1 ? ?i2 ) ?1 ? 2 i 2 ?? ? ? c (1 ? ?i ) ? ? ? ?

?

1 2

? v ? ?vi ? 1? 2 i ? 2 ? 1 ? ?i2 ? c (1 ? ?i ) ?
?m0i 1? ? ? m0i ?
2 i



?mi ?

m0i 1? ?
2 i

?

?

m0i 1 ? ?i2

?

m0i ?

vi ? ?vi c2 (1 ? ?i2 )3

??
将其代入②式有

?m0i 1 ? ?i2

vi ? ?vi c2 (1 ? ?i2 )3

m0i ? ?vi

vi ? ? m0i ? 2 ? ?vi ? ? ?m0i (1 ? ? i2 ) ? u c ? ?? ? ? 。 ④ ? 1 ? ? i2 ? 1 ? ? i2 (1 ? ? i2 )3 ? 1 ? ? 2 ? u ? ?vi ? u i vi c2 ? ?

④式等号两边消去因子 1 ? ?i2 ,并舍去高阶无穷小量,整理可得

m0i ? ?vi ? ?m0i ? u(?i2 ?1) ,


m0i ?vi c ? ??i , ? ? 2 ?m0i u ( ?i ? 1) u ( ?i2 ? 1)
将此式等价变形为

c ? ? ?i ? 1 1 ? c ? (?i ?1 ? 1) ? ( ?i ? 1) ( ?i ?1 ? 1) ? ( ?i ? 1) ? ? ? i ?1 ? ? ? ? ? ?? ? m0i u 2 ?i ? 1 ?i ? 1 ? ?i ? 1 ?i ? 1? 2u ? ? m0(i ?1) ? m0i A B D 现令 ? ? ? , N ? ? ,则有 m0i N N N

m0(i ?1) ? m0i

? m0(i ?1) ? A N ? ? ? (1 ? ) , N ? m0i ? ? m0(i ?1) ? m0 A N 当 N ? ? 时, (1 ? ) A ? e , ? ,故有 ? ? m M N 0 ? 0i ?
N

N

m0 ? M 0 ? e A , A ? ln
(

m0 ; M0
cN 2 uB ? 2 uB c

注意到初时 ? ? 0 ,则有

?i ?1 ? 1 N 2uB N 2uB ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ?i ? 1 cN cN
1? ? ? e
2uB c



,B ?

c ln(1 ? ? ) ; 2u

同理可得

? ? 1 ? (1 ?

cN 2u ? ? D 2uD ? 2uD ) c 2uD ? e c , cN c D ? ? ln(1 ? ? ) 。 2u

由所设得 ln

m0 c ? ? ? ln(1 ? ? ) ? ln(1 ? ? )? ,于是本题要求的物理规律为 M 0 2u
v m0 1 ? ? 2cu ?( ) ,? ? 。 c M0 1? ?

本题应用相对论的动力学规律求解,在数学处理上,作者设计了将高等数学中求导与 解微分方程“降解”的方法,如,对无限小量作适当处理,对喷出气体的质量这样一个原本 属于复合函数求导的问题赋予物理意义,最后利用常用极限 lim(1 ? x) x ? e ,仅在初等数学
x ?0 1

范围解决解为指数函数的微分方程问题,有创意。笔者认为,全国中学生物理竞赛不要求用 微积分,是一件好事,它可以使参赛选手有机会自己闯进微积分的天地,而不只是现成地接 受那些已有的结论。 1、按例 3 中同样道理,一个在地球上的钟,要比一个性能完全相同、所处条件也完全相同 的设想放在太阳上的钟略为快些还是慢些?设太阳年龄为 50 亿年,地球公转的平均速率为 29.76km / s ,则地球年龄与太阳相差多少年?

2、一个“光钟”由一个处于 S 平面的点光源 A 和与 S 面平行、相距为 l0 的平面镜 M 组成。 与这个光钟相对静止的参考系中,一个“滴答”的时间—即闪光从 A 到达 M 再反射回 A 的

2l0 。假如这光钟安装在一个以 v 快速运动的车上,地面观察者看到闪光从 A 沿 c 垂直于 v 方向到达 M 再反射回 A , 如图甲所示, 车上观测者则看到闪光从 A 沿斜线到达 M 再反射到 S 平面上的 B ,如图乙所示,求车上观察者测出闪光一个“滴答”的时间 ? ;若 0 方向改变 90 安装光钟,如图丙所示,这时地面观测者测得 A 与平面镜 M 的距离是多少?
时间是 ? 0 ? 一个“滴答”的时间是多少?

3、某人测得一静止棒长 l0 ,质量为 m0 ,求得棒的线密度为 ? 0 ?

m0 。假定此棒以速度 v 沿 l0

棒长方向上运动, 此人测出棒的线密度是多少?若棒沿垂直于棒长方向运动, 则此棒线密度 的测量值又是多少?

4、 ? 介子是一不稳定粒子,平均寿命是 2.6 ?10 s (在它自己的参考系中测得) 。求:⑴
?
?8

如果此粒子相对于实验室以 0.8c 的速度运动,则 ? 介子寿命的实验室测得值是多长?⑵
?

? ? 介子在衰变前运动了多长距离?

5、假设一个火箭飞船的静质量为 8000kg ,从地球飞向金星的速度为 30km / s ,如果不考 虑相对论效应,则对它动能的计算少了多少?

6、 已知隧道 A1B1 的长度为 L1 , 火车 A2 B2 的静长为 L2 ,L2 ? L1 。 ⑴如图所示, 设火车 A2 B2 以匀速率 v 驶进隧道,使得地面 S1 系中的观测者发现 A2 与 A 1 相遇时, B2 与 B 1 也相遇。试 求 v 值;⑵引入随火车一起运动的惯性系 S2 ,在 S2 系中的观测者必定认为 A2 与 A 1 先相遇, 而后 B2 与 B1 相遇。试求其间的时间间隔 ?t2 。

7、一矩形平行板电容器充电后与电源断开,沿矩形的一边相对于地面以恒定速度 v (接近 光速)运动。确定相对于地面静止的观测者而言,电容器两极板间的电场是多少?已知电容 器在地面上静止时两极板间的电场为 E0 。

8、如图所示,在其恒星参照系 S 中,飞船 A 和飞船 B 以相同速率 ? c ( c 为真空中光速) 做匀速直线运动。 飞船 A 的运动方向与 ? x 方向一致, 而飞船 B 的运动方向与 ?x 方向一致, 两飞船轨迹之间的垂直距离为 d 。当 A 和 B 靠得最近时,从 A 向 B 发出一细束无线电联络 信号。试问: ⑴为使 B 能接收到信号, A 中的宇航员认为发射信号的方向应与自己的运动方向成什 么角? ⑵飞船 B 接收信号时, B 中宇航员认为自己与飞船 A 相距多少?

9、如图所示,平面反射镜 M 固定在 S ? 系的 x?y? ,平面内,其法线方向与 x? 轴一致,反射 镜相对 S 系以速度 v 沿法线做平移运动。试求光在反射镜上反射时,入射角与反射角所遵从 的关系。

10、波长为 ? 的 X 射线与静止的自由电子碰撞后,在与入射光束成 ? 角的方向上,可以探 测到波长为 ? ? 的散射光的现象叫做康普顿效应,亦称康普顿散射。康普顿散射与光电效应 现象均表明电磁波的粒子性。康普顿散射中, X 光光子与电子在碰撞前后,总动量与总能 量均守恒,散射光与入射光的波长差 ? ? 与康普顿波长 ?c 的关系是 ?? ? ?c (1 ? cos ? ) 。 ⑴试证明,在康普顿散射中,光子的散射角 ? 与电子的散射角 ? 之间的关系是

?c ) tan ? 。 2 ? h 式中 ? 是入射光的波长, ?c 是康普顿波长, ?c ? 。 m0 c
cot

?

? (1 ?

⑵ 在 某 康 普 顿 散 射 实 验 中 , 散 射 光 线 与 入 射 光 线 的 夹 角 为 60 , 散 射 光 波 长 为 0.0254nm 。试求反冲电子的动能和动量。

0

11、原长(即在相对静止的坐标系测得的长度) 600m 的火箭,垂直从地球表面起飞。一光 脉冲由火箭的发射点发出, 并在火箭的尾部和头部的镜上反射。 如果第一个回波光脉冲在发 射后 200 s 由基地收到,第二个回波光脉冲延迟了 17.4 ? s 才收到。试计算:⑴火箭接收到 光脉冲时离基地的距离; ⑵火箭相对地球的速度; ⑶火箭上的观测者测量火箭头尾两镜收到 光脉冲的时间差是多少?

12、 光子火箭从地球起程时初始静止质量 (包括燃料) 为 M0 , 向相距为 R ? 1.8 ?106 l y(光 年)的远方仙女座星云飞行。要求火箭在 25 年(火箭时间)后到达目的地,引力影响不计。 ⑴忽略火箭加速和减速所需时间, 试问火箭的速度应为多大?⑵设到达目的地时火箭静止质

? ,试问 量为 M 0

M0 的最小值是多少? ? M0

13、不确定原理预言,原子核的库仑力将动能如此高的电子束缚在这么小的空间里,以致于 电子可以在任何情况下逃离原子核。 设有一种超铀元素, 把一个电子限制在核周围并维持相 当长的时间,若元素自身足够稳定,需要多大的原子序数?


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