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函数的单调性练习


函数的单调性练习
一、选择题: (每题 5 分) 1.在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是 A.y=2x+1 C.y= B.y=3x2+1 D.y=2x2+x+1 ( )

2 x

2.函数 f(x)=4x2-mx+5 在区间[-2,+∞]上是增函数,在区间(-∞,-2)上是减函数, 则 f(1)等于 A.-7 C.17 B

.1 D.25 ) ( )

3.函数 f(x)在区间(-2,3)上是增函数,则 y=f(x+5)的递增区间是 ( A.(3,8) C.(-2,3) 4.函数 f(x)= B.(-7,-2) D.(0,5)

ax ? 1 在区间(-2,+∞)上单调递增,则实数 a 的取值范围是 x?2 1 1 A.(0, ) B .( ,+∞) 2 2
C.(-2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)





5.已知函数 f(x)在区间[a,b]上单调,且 f(a)f(b)<0,则方程 f(x)=0 在区间[a,b]内( A.至少有一实根 C.没有实根 B.至多有一实根 D.必有唯一的实根 (



6.已知函数 f(x)=8+2x-x2,如果 g(x)=f( 2-x2 ),那么函数 g(x) A.在区间(-1,0)上是减函数 C.在区间(-2,0)上是增函数 B.在区间(0,1)上是减函数 D.在区间(0,2)上是增函数



7.已知函数 f(x)是 R 上的增函数,A(0,-1)、B(3,1)是其图象上的两点,那么不等式 |f(x+1)|<1 的解集的补集是 A.(-1,2) C.(-∞,-1)∪[4,+∞) B.(1,4) D.(-∞,-1)∪[2,+∞) ( )

8.已知定义域为 R 的函数 f(x)在区间(-∞,5)上单调递减,对任意实数 t,都有 f(5+t)=f(5 -t),那么下列式子一定成立的是 A.f(-1)<f(9)<f(13) B.f(13)<f(9)<f(-1) ( )

1

C.f(9)<f(-1)<f(13)

D.f(13)<f(-1)<f(9) ( )

9.函数 f ( x) ?| x | 和g ( x) ? x(2 ? x) 的递增区间依次是 A. (??,0], (??,1] C. [0,??), (??,1] B. (??,0],[1,??) D [0,??),[1,??)

10.已知函数 f ?x ? ?x 2 ? 2 ? ( a ? 1? x ? 2 在区间?? ?,4? 上是减函数,则实数a 的取值范围是 A.a≤3 B.a≥-3 C.a≤5 D.a≥3



11. 已知 f(x)在区间(-∞, +∞)上是增函数, a、 b∈R 且 a+b≤0, 则下列不等式中正确的是 ( A.f(a)+f(b)≤-f(a)+f(b)] C.f(a)+f(b)≥-f(a)+f(b)] B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) (



12.定义在 R 上的函数 y=f(x)在(-∞,2)上是增函数,且 y=f(x+2)图象的对称轴是 x=0,则 A.f(-1)<f(3) B.f (0)>f(3) C.f (-1)=f (-3) D.f(2)<f(3)



二、填空题: (每题 5 分) 13.函数 y=(x-1) 2 的减区间是___ 14.函数 y=x-2 1 ? x +2 的值域为__ 15、设 y ? f ? x
-

_. ___. . .

? 是 R 上的减函数,则 y ? f ? x ? 3 ? 的单调递减区间为

16、 函数 f(x) = ax2+4(a+1)x-3 在[2, +∞]上递减, 则 a 的取值范围是__ 三、解答题: 17.f(x)是定义在( 0,+∞)上的增函数,且 f( (1)求 f(1)的值. (2)若 f(6)= 1,解不等式 f( x+3 )-f(

x ) = f(x)-f(y) (8 分) y

1 ) <2 . x

2

18.函数 f(x)=-x3+1 在 R 上是否具有单调性?如果具有单调性,它在 R 上是增函数还是 减函数?试证明你的结论. (9 分)

19.讨论函数 f(x)=x2-2x+3 在区间(a,a+3)上的单调性。 (11 分)

20.设函数 f(x)= x 2 ? 1 -ax,(a>0),试确定:当 a 取什么值时,函数 f(x)在 0,+∞)上 为单调函数. (10)

3

21.已知 f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,并且 f(m-1)-f(1-2m)>0,求实数 m 的取值 范围. (10 分)

22.已知函数 f(x)= (1)当 a=

x2 ? 2x ? a ,x∈[1,+∞] (12 分) x

1 时,求函数 f(x)的最小值; 2

(2)若对任意 x∈[1,+∞ ) ,f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

4

参考答案
一、选择题: CDBBD ADCCA BA 二、填空题:13. (1,+∞), 14. (-∞,3),15. ?3, ?? ? , ? ? ?,? ? 2

? ?

1? ?

三、解答题:17.解析:①在等式中 令x ? y ? 0 ,则 f(1)=0. ②在等式中令 x=36,y=6 则 f (

36 ) ? f (36) ? f (6), ? f (36) ? 2 f (6) ? 2. 6

故原不等式为: f ( x ? 3) ? f ( ) ? f (36), 即 f[x(x+3)]<f(36), 又 f(x)在(0,+∞)上为增函数,

1 x

?x ? 3 ? 0 ?1 153 ? 3 ? 故不等式等价于: ? ? 0 ?0? x? . 2 ?x ? ?0 ? x( x ? 3) ? 36
18.解析: f(x)在 R 上具有单调性,且是单调减函数,证明如下: 设 x1、x2∈(-∞,+∞), x1<x2 ,则 f(x1)=-x13+1, f(x2)=-x23+1. f(x1)-f(x2)=x23-x13=(x2-x1)(x12+x1x2+x22)=(x2-x1)[(x1+ ∵x1<x2,∴x2-x1>0 而(x1+

x2 2 3 2 ) + x2 ] . 4 2

x2 2 3 2 ) + x2 >0,∴f(x1)>f(x2). 4 2

∴函数 f(x)=-x3+1 在(-∞,+∞)上是减函数.

19. 解:f(x)的开口方向向上,对称轴是 x=1, (1)当 a≥1 时,f(x)在(a,a+3)单调递增; (2)当 a<1<a+3 时,既-2<a<1 时,f(x)在(a,a+3)没有单调性, 但是 f(x)在(a,1)单调递减,在(1,a+3)单调递增; (3)当 a+3≤1 时,既 a≤-2,f(x)在(a,a+3)单调递减。
20.解析:任取 x1、x2∈0,+ ? ? 且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= x1 ? 1 - x 2 ? 1 -a(x1-x2)=
2 2

x1 ? x 2
2

2

2 2

x1 ? 1 ? x 2 ? 1

-a(x1-x2)

=(x1-x2)(

x1 ? x 2 x1 ? 1 ? x 2 ? 1
2 2

-a)

(1)当 a≥1 时,∵

x1 ? x 2 x1 ? 1 ? x 2 ? 1
2 2

<1,

又∵x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) ∴a≥1 时,函数 f(x)在区间[0,+∞)上为减函数.

5

(2)当 0<a<1 时,在区间[0,+∞]上存在 x1=0,x2= ∴0<a<1 时,f(x)在[0,+ ? ? 上不是单调函数 注: ①判断单调性常规思路为定义法; ②变形过程中

2a ,满足 f(x1)=f(x2)=1 1? a2

x1 ? x 2 x1 ? 1 ? x 2 ? 1
2 2

<1 利用了 x1 ? 1 >|x1|≥x1; x 2 ? 1 >x2;

2

2

③从 a 的范围看还须讨论 0<a<1 时 f(x)的单调性,这也是数学严谨性的体现. 21.解析: ∵f(x)在(-2,2)上是减函数 ∴由 f(m-1)-f(1-2m)>0,得 f(m-1)>f(1-2m)

? ?? 1 ? m ? 3 ?? 2 ? m ? 1 ? 2 ? 3 ? ? 1 ∴ ?? 2 ? 1 ? 2m ? 2,即?? ? m ? 2 ?m ? 1 ? 1 ? 2 m ? 2 ? 2 ? m? ? 3 ?
22.解析: (1)当 a=

解得 ?

1 2 1 2 ? m ? ,∴m 的取值范围是(- , ) 2 3 2 3

1 1 时,f(x)=x+ +2,x∈1,+∞) 2 2x
x ? x2 1 1 1 ? x1 ? =(x2-x1)+ 1 =(x2-x1)(1- ) 2 x2 2 x1 2 x1 x 2 2 x1 x 2 1 >0,则 f(x2)>f(x1) 2 x1 x 2

设 x2>x1≥1, 则 f(x2)-f(x1)=x2+

∵x2>x1≥1,?∴x2-x1>0,1-

可知 f(x)在[1,+∞)上是增函数.∴f(x)在区间[1,+∞ ) 上的最小值为 f(1)= (2)在区间[1,+∞ ) 上,f(x)=

7 . 2

x2 ? 2x ? a >0 恒成立 ? x2+2x+a>0 恒成立 x 设 y=x2+2x+a,x∈1,+∞),由 y=(x+1)2+a-1 可知其在[1,+∞)上是增函数, 当 x=1 时,ymin=3+a,于是当且仅当 ymin=3+a>0 时函数 f(x)>0 恒成立.故 a>-3.

6


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