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山西省运城市临猗县临晋中学2015届高三上学期11月月考数学试卷(文科)


山西省运城市临猗县临晋中学 2015 届高三上学期 11 月月 考数学试卷(文科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) x 1.已知集合 M={x|2 ≥1},N={x||x|≤2},则 M∩N=( ) A.B. C. D . (0,2) 考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:求出 M 与 N 中不等式的解集确定出两集合,求出两集合

的交集即可. x 0 解答: 解:由 M 中不等式变形得:2 ≥1=2 ,得到 x≥0,即 M=, 则 M∩N=. 故选:B. 点评:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.复数 z=i?(1+i) (i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 考点:复数的代数表示法及其几何意义. 专题:计算题. 分析:化简复数 z,根据复数与复平面内点的对应关系可得答案. 解答: 解:z=i?(1+i)=﹣1+i, 故复数 z 对应的点为(﹣1,1) , 在复平面的第二象限, 故选 B. 点评:本题考查复数的代数表示法及其几何意义,属基础题. 3.已知等差数列{an}的前 13 项之和为 39,则 a6+a7+a8 等于( A.6 B.9 C.12 ) D.18 ) D.第四象限

考点:等差数列的前 n 项和. 专题:计算题;整体思想. 分析:根据等差数列的前 n 项和的公式列得 s13=39,化简得到一个关系式,然后利用等差数列 的通项公式表示出所求的式子,整体代入可得值. 解答: 解:根据等差数列的求和公式可得:s13=13a1+ d=39,化简得:a1+6d=3,

所以 a6+a7+a8=a1+5d+a1+6d+ a1+7d=3a1+18d=3(a1+6d)=3×3=9. 故选 B 点评: 考查学生掌握等差数列的通项公式及前 n 项和的公式, 学生做题时应注意整体代入的思 想方法.

4.下列说法正确的是(
2

)
2

A.命题“?x0∈R,x0 +x0+1<0”的否定是:“?x∈R,x +x+1>0” 2 B.“x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 2 2 C.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题是:若 x =1,则 x≠1 D.命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为真命题 考点:四种命题间的逆否关系;命题的否定;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:A 中,写出该命题的否定命题,即可判断 A 是错误的; B 中,判断充分性和必要性是否成立即可; C 中,写出该命题的否命题,即可判断 C 是否正确; D 中,判断原命题的真假,由此得出它的逆否命题的真假. 2 解答: 解:对于 A,命题的否定是:“?x∈R,x +x+1≥0”,∴A 错误; 2 2 对于 B,x=﹣1 时,x ﹣5x﹣6=0,∴充分性成立,x ﹣5x﹣6=0 时,x=﹣1 或 x=6,必要性不 成立,是充分不必要条件,∴B 错误; 对于 C,该命题的否命题是:若 x ≠1,则 x≠1,∴C 错误; 对于 D,∵命题“若 x=y,则 sin x=sin y”是真命题,∴它的逆否命题也为真命题. 故选:D. 点评:本题通过命题真假的判断,考查了命题与命题的否定,四种命题之间的关系,充分与必 要条件等问题,是综合题. 5.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( A. B.y=2
x 2

) D.y=﹣x
3

C.y=x

考点:奇偶性与单调性的综合. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析:根据奇函数在 x=0 处函数值为 0,得 A 项不是奇函数,不符合题意;根据指数函数的 x 单调性,得 y=2 是 R 上的增函数,不符合题意;根据函数 y=x 是 R 上的增函数,得 C 项不符 合题意;由此可得只有 D 项符合题意,再利用单调性和奇偶性的定义加以证明即可. 解答: 解:对于 A,因为函数 所以 当 x=0 时,y=sin(﹣ ) ≠0

不是奇函数,故 A 项不符合题意;
x

对于 B,因为 2>1,所以指数函数 y=2 是 R 上的增函数, 不满足在其定义域内是减函数,故 B 项不符合题意; 对于 C,显然函数 y=x 是 R 上的增函数,故 C 项也不符合题意; 3 对于 D,设 f(x)=﹣x ,可得 3 3 3 f(﹣x)=﹣(﹣x) =x =﹣f(x) ,因此函数 y=﹣x 是奇函数, 2 3 又因为 f′(x)=﹣2x ≤0 恒成立,可得 y=﹣x 是其定义域内的减函数 3 ∴函数 y=﹣x 是其定义域内的奇函数且是减函数,故 D 项符合题意 故选:D

点评:本题给出定义在 R 上的几个函数,要我们找出其中的奇函数且是减函数的函数,着重 考查了基本初等函数的单调性与奇偶性及其判断方法的知识,属于基础题.

6.将函数 y=cos(x﹣ 平移

)的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向左 ) D.x=π

个单位,所得图象的一条对称轴方程为( B.x= C.x=

A.x=

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由条件根据函数 y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律,余弦函数的图象的对称性,可得结 论. 解答: 解: 将函数 y=cos (x﹣ 可得函数 y=cos( x﹣ 再向左平移 令 x﹣ ) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变) ,

)的图象; )图象,

个单位,可得函数 y=cos=cos( x﹣ , ,

=kπ,k∈z,求得 x=2kπ+

故所得函数的图象的一条对称轴方程为 x=

故选:C. 点评:本题主要考查函数 y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律,余弦函数的图象的对称性,属于 基础题. 7.函数 y=cos2x 在下列哪个区间上是减函数( A. B. C. 考点:余弦函数的单调性. 专题:计算题. 分析:将 2x 看做一个整体,令 kπ≤x≤ +kπ(k∈Z)解出 x 的范围后,对选项逐一验证即可. ) D.

解答: 解:∵y=cos2x∴2kπ≤2x≤π+2kπ(k∈Z) ∴kπ≤x≤ +kπ(k∈Z) 函数 y=cos2x 单调递减

当 k=0 时,0≤x≤

故选 C. 点评:本题主要考查余弦函数的单调问题,一般把 wx+ρ 看做一个整体,确定满足的不等式后 解 x 的范围.

8.已知函数 f(x)= A.1 B.2

则方程 f(x)=1 解的个数为( C.3 D.4

)

考点:函数的值. 专题:函数的性质及应用. 分析:利用分段函数的性质求解. 解答: 解:∵函数 f(x)= ,方程 f(x)=1,

∴当 x>0 时,log2x=1,解得 x=2; x 当 x≤0 时,3 =1,解得 x=0. ∴方程 f(x)=1 解的个数为 2 个. 故选:B. 点评:本题考查方程的解的个数的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意分段函数的性质 的合理运用. 9.函数 f(x)=2x﹣1+log2x 的零点所在区间是( A. ( ) B. ( ) C. ( ) ) D. (1,2)

考点:函数零点的判定定理. 专题:函数的性质及应用. 分析:由函数的解析式可得 f( )=﹣1,f(1)=1,故有 f( ) f(1)<0,故连续函数 f (x)的零点所在区间. 解答: 解:∵函数 ,∴f( )=﹣1,f(1)=1, ) ,

∴f( ) f(1)<0,故连续函数 f(x)的零点所在区间是(

故选 C. 点评:本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用,属于基础题. 10.已知函数 y=f(x)的周期为 2,当 x∈时 f(x)=x ,那么函数 y=f(x)的图象与函数 y=|lgx| 的图象的交点共有( ) A.10 个 B.9 个 C.8 个 D.1 个 考点:对数函数的图像与性质;函数的周期性. 专题:压轴题;数形结合. 分析:根据对数函数的性质与绝对值的非负性质,作出两个函数图象,再通过计算函数值估算 即可. 解答: 解:作出两个函数的图象如上
2

∵函数 y=f(x)的周期为 2,在上为减函数,在上为增函数 ∴函数 y=f(x)在区间上有 5 次周期 性变化, 在、 、 、 、上为增函数, 在、 、 、 、上为减函数, 且函数在每个单调区间的取值都为, 再看函数 y=|lgx|,在区间(0,1]上为减函数,在区间 考点:简单线性规划的应用;函数的单调性与导数的关系. 专题:压轴题;图表型. 分析:先根据导函数的图象判断原函数的单调性,从而确定 a、b 的范围得到答案. 解答: 解:由图可知,当 x>0 时,导函数 f'(x)>0,原函数单调递增 ∵两正数 a,b 满足 f(2a+b)<1, ∴0<2a+b<4,∴b<4﹣2a,0<a<2,画出可行域如图. k= 表示点 Q(﹣1,﹣1)与点 P(x,y)连线的斜率,

当 P 点在 A(2,0)时,k 最小,最小值为: ; 当 P 点在 B(0,4)时,k 最大,最大值为:5. 取值范围是 C. 故选 C.

点评: 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系, 即当导函数大于 0 时原函数 单调递增,当导函数小于 0 时原函数单调递减.

12.已知函数 f(x)= 则实数 t 的取值范围是( )

,若对于任意 x∈R,不等式 f(x)≤

﹣t+1 恒成立,

A. (﹣∞,1]∪∪ D. (﹣∞,2]∪递增,在(

]上递减,故此时 ymax=f( )= ;

当 x>1 时,y=log0.5x 是减函数,此时 y<log0.51=0, ;综上原函数的最大值为 , 故不等式 f(x)≤ ﹣t+1 恒成立,只需 ﹣t+1 即可,解得 t ≤1 或 t≥3.

故选 B. 点评:本题考查了不等式恒成立的问题、分段函数的最值的求法等问题,一般是把不等式恒成 立问题转化 为函数的最值问题来解. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分, )

13.若实数 x,y 满足

,则目标函数 z=x+y 的最大值是 3.

考点:简单线性规划. 专题:数形结合;不等式的解法及应用. 分析:由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,由图得到最优解,求出最优 解的坐标,代入目标函数得答案. 解答: 解:由约束条件作出可行域如图,

由 z=x+y,得 y=﹣x+z. 由图可知,当目标函数过 B(1,2)时,目标函数 z=x+y 有最大值. z=1+2=3. 故答案为:3. 点评:本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.

14.已知

是夹角为 120°的单位向量,向量

=t

+(1﹣t) ,若



,则实数 t= .

考点:数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题:平面向量及应用. 分析:由已知得 解答: 解:∵ 向量 =t +(1 ﹣t) = =0,由此能求出实数 t. 是夹角为 120°的单位向量, , ⊥ ,

∴ =t

= +(1﹣t) ,

=t?cos120°+1﹣t=1﹣ 解得 t= . 故答案为: .

点评:本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量垂直的性质的合理运 用. 15.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1+a11=3a6﹣4,则 S11=44. 考点:等差数列的前 n 项和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:利用等差数列的通项公式化简 a1+a11=3a6﹣4,可得 a1+5d=4,再利用等差数列的求和公 式,即可得出结论. 解答: 解:设等差数列的公差为 d,则 ∵等差数列{an},a1+a11=3a6﹣4, ∴2a1+10d=3a1+15d﹣4, ∴a1+5d=4, ∴S11=11a1+ d=11a1+55d=44.

故答案为:44. 点评:本题考查等差数列的通项公式、考查等差数列的求和,考查学生的计算能力,正确运用 等差数列的通项、求和公式是关键. 16.给出下列命题: ①存在实数 x,使 ;

②若 α、β 是第一象限角,且 α>β,则 cosα<cosβ; ③函数 是偶函数;

④A、B、C 为锐角△ ABC 的三个内角,则 sinA>cosB 其中正确命题的序号是③④. (把正确命题的序号都填上) 考点:两角和与差的正弦函数;复合命题的真假;全称量词;命题的真假判断与应用;诱导公 式的作用. 专题:计算题;三角函数的图像与性质. 分析:利用两角和与差的三角函数判断①的正误;利用函数的单调性与函数的区间判断②的 正误;

通过诱导公式以及函数的奇偶性判断③的正误;利用三角函数的单调性与诱导公式判断④的 正误. 解答: 解:①因为 ;不成立. ②若 α、β 是第一象限角,且 α>β,因为 y=cosx 在 x 时,函数是减函数,则 ,所以存在实数 x,使

cosα<cosβ,但是 α>β 不在一个单调区间时,可能 cosα>cosβ;所以②不正确; ③因为 ,所以函数 ,所以 A 是偶函数;正确. ,

④A、B、C 为锐角△ ABC 的三个内角,因为 A+B 所以 sinA>sin(

)=cosB,即 sinA>cosB,所以④正确.

正确命题是③④. 故答案为:③④. 点评:本题考查两角和与差的三角函数,函数的单调性与函数的奇偶性的应用,命题的真假的 判断,基本知识的应用. 三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分) 17.在△ ABC 中角,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向量 =(cos ,1) , =(﹣l,sin (A+B) ) ,且 ⊥ . (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 ? = ,且 a+b=4,求 c.

考点:平面向量数量积的运算;余弦定理的应用. 专题:平面向量及应用. 分析: (Ⅰ)由题意可得 ? =0,化简可得 cos (﹣1+2sin )=0,可得 ∈(0, ) ,有 cos

>0,必有﹣1+2sin =0,可得得 sin = ,可得 C; (Ⅱ)由已知结合数量积的定义可得 ab 的 值,由余弦定理可得 c =(a+b) ﹣3ab,代入计算可得 c ,可得 c 值. 解答: 解: (Ⅰ)由题意可得 ? =﹣cos +sin(A+B)=0, 化简可得﹣cos +sinC=﹣cos +2sin cos =cos (﹣1+2sin )=0, ∵C∈(0,π) ,
2 2 2

∴ ∈(0, ∴cos >0,

) ,

∴﹣1+2sin =0 解得 sin = , ∴ = ,∴C= ? =abcosC= ab= ,∴ab=3,
2 2 2

(Ⅱ)∵

由余弦定理可得 c =a +b ﹣2abcosC 2 2 2 =a +b ﹣ab=(a+b) ﹣3ab 2 =4 ﹣3×3=7 ∴c= 点评:本题考查平面向量数量积的运算,涉及三角函数的运算和余弦定理的应用,属中档 题. 18.已知等差数列{an}中,d>0,a3a7=﹣16,a2+a8=0,设 Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.求: (I){an}的通项公式 an; (II)求 Tn. 考点:数列的求和;等差数列的通项公式. 专题:计算题. 分析: (1)由等差数列的性质可得 a2+a8=a3+a7=0,结合 a3a7=﹣16,且 d>0 可求 a3,a7,进 而可求公差 d,等差数列的通项 (II) 结合 (I) 的通项, 可知需要对 n 分类讨论: 当 1≤n≤15 时 Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=﹣ (a1+a2+…an) 当 n≥6 时 Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=﹣(a1+a2+…a5)+a6+a7+…+an=﹣2(a1+a2+…+a5)+a1+a2+…+an, 从而可求 解答: 解: (1)由等差数列的性质可得 a2+a8=a3+a7=0, ∵a3a7=﹣16,且 d>0 ∴a3=﹣4,a7=4,4d=a7﹣a3=8 ∴d=2 ∴an=a3+(n﹣3)d=﹣4+2(n﹣3)=2n﹣10.… (II)当 1≤n≤5 时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=﹣(a1+a2+…an)=﹣ 当 n≥6 时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=﹣(a1+a2+…a5)+a6 +a7+…+an =﹣2(a1+a2+…+a5)+a1+a2+…+an = .…

综上:Tn=

.…

点评:本题主要考查了等差数列 的性质的应用,等差数列的通项公式 an=am+(n﹣m)d 及 、等差数列求和公式的应用,属于综合性试题

19.若函数 f(x)=ax ﹣bx+4,当 x=2 时,函数 f(x)有极值为 (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)若 f(x)=k 有 3 个解,求实数 k 的取值范围. 考点:利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题:计算题;综合题.

3



分析: (1)先对函数进行求导,然后根据 f(2)=﹣ .f'(2)=0 可求出 a,b 的值,进而确 定函数的解析式. (2)根据(1)中解析式然后求导,然后令导函数等于 0 求出 x 的值,然后根据函数的单调性 与其导函数的正负之间的关系确定单调性,进而确定函数的大致图象,最后找出 k 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)f′(x)=3ax ﹣b 由题意; ,解得 ,
2

∴所求的解析式为 (Ⅱ)由(1)可得 f′(x)=x ﹣4=(x﹣2) (x+2) 令 f′(x)=0,得 x=2 或 x=﹣2, ∴当 x<﹣2 时,f′(x)>0,当﹣2<x<2 时,f′(x)<0,当 x>2 时,f′(x)>0 因此,当 x=﹣2 时,f(x)有极大值 当 x=2 时,f(x)有极小值 ∴函数 由图可知: . , 的图象大致如图. ,
2

点评:本题主要考查函数的单调性、极值与其导函数之间的关系.导数是高等数学下放到高中 的内容,是 2015 届高考的热点问题,每年必考,要给予充分重视. 20.在公差不为零的等差数列{an}中,a2=3,a1,a3,a7 成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,记 bn= .求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

考点:数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)由等差数列及等比数列的定义,列出方程组求解; (2)利用裂项相消法求数列的和.

解答: 解: (1)设{an}的公差为 d,依题意得

,…

解得 a1=2,d=1… ∴an=2+(n﹣1)×1 即 an=n+1.… (2) … .

故 Tn=

.…

点评:本题主要考查等差数列、等比数列的性质的应用及裂项相消法求数列和的知识,考查学 生的运算能力及方程思想的运用能力,属中档题. 21.已知函数 f(x)=x+alnx. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 f (x)没有零点,求 a 的取值范围. 考点:利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析: (I)由已知得 x>0, ,由此利用导数性质能求出 f(x)的单调区间.

(II)由(I)导数性质能求出当﹣e<a≤0 时,f(x)没有零点. 解答: 解: (I)∵f(x)=x+alnx,∴x>0, ∴当 a≥0 时,在 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0, ∴f(x)的单调增区间是(0,+∞) ,没的减区间; 当 a<0 时,函数 f(x)与 f′(x)在定义域上的情况如下: x (0,﹣a) ﹣a (﹣a,+∞) f′(x) ﹣ 0 + f(x) ↘ 极小值 ↗ 函数的增区间是(﹣a,+∞) ,减区间是(0,a) . ,

(II)由(I)可知 当 a>0 时, (0,+∞)是函数 f(x)的单调增区间,且有 f(e )= ﹣1<1﹣1=0,f(1)

=1>0, 所以,此时函数有零点,不符合题意; 当 a=0 时,函数 f(x)在定义域(0,+∞)上没零点; 当 a<0 时,f(﹣a)是函数 f(x)的极小值,也是函数 f(x)的最小值, 所以,当 f(﹣a)=a>0,即 a>﹣e 时,函数 f(x)没有零点, 综上所述,当﹣e<a≤0 时,f(x)没有零点. 点评:本题考查函数的单调区间的求法,考查实数的取值范围的求法,解题时要认真审题,注 意导数性质和分类讨论思想的合理运用. 四、解答题(共 1 小题,满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 22.选修 4﹣5:不等式选讲 已知|x﹣4|+|3﹣x|<a (1)若不等式的解集为空集,求 a 的范围 (2)若不等式有解,求 a 的范围. 考点:绝对值不等式. 专题:计算题;压轴题. 分析: (1)欲使得不等式|x﹣4|+|3﹣ x|<a 的解集是空集,只须 a 小于等于函数|x﹣3|+|x﹣4|的 最小值即可,利用绝对值不等式的性质求出此函数的最小值即可. (2)若不 等式有解,则 a 的范围为(1)中 a 的范围的补集即可. 解答: 解: (1)不等式|x﹣4|+|3﹣x|<a 的解集为??|x﹣3|+|x﹣4|<a 的解集为?. 又∵|x﹣3|+|x﹣4|≥|x﹣3﹣(x﹣4) |=1, ∴|x﹣3|+|x﹣4|的最小值为 1, |x﹣3|+|x﹣4|<a 的解集为?. 只须 a 小于等于|x﹣3|+|x﹣4|的最小值即可, a≤1, 故 a 的范围为: (﹣∞,1]. (2)若不等式有解,则 a 的范围为(1)中 a 的范围的补集. 即 a 的范围为:a>1. 点评:本题主要考查了绝对值不等式的解法、空集的含义及恒成立问题,属于基础题.


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