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高三数学试卷高补数学周测四(理科)


廉江市实验学校 2018 届高补数学周测四(理科)
一、选择题: 1.已知集合 A ? ? x | x 2 ? x ? 2 ? 0? , B ? ? x | x ? 0? ,则 A ? B ? ( A. ?1, 2 ? B. ? 0, 2 ? C. ? 2, ??? D. ?1, ?? ? ) )

2. 若复数 z 满足 ?1 ? i ? z ? 2 ? 3i ,则复数 z 的实部与虚部之和为( A.-2 B.2 C.-4 D.4 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 3. 在 ?ABC 中,若 AB ? AC ? 4 AP ,则 PB ? (
? 1 ???? 3 ??? A. AB ? AC 4 4 ? 1 ???? 3 ??? B.? AB ? AC 4 4


? 3 ???? 1 ??? C.? AB ? AC 4 4 ? 3 ???? 1 ??? D. AB ? AC 4 4

4. F1 , F2 分别是双曲线 C : 则 ?PF1F2 的周长为( A. 15 B.16

x2 y 2 ? ? 1的左、右焦点, P 为双曲线 C 右支上一点,且 PF1 ? 8 , 9 7

) C. 17 D.18

5. 用电脑每次可以从区间 ? 0,1? 内自动生成一个实数, 且每次生成每个 实数都是等可能性的,若用该电脑连续生成 3 个实数,则这 3 个实数 1 都大于 的概率为( ) 3 1 2 8 4 A. B. C. D. 27 27 3 9 6. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三 视图,已知该几何体的各个面中有 n 个面是矩形,体积为 V ,则( ) A. n ? 4,V ? 10 B. n ? 5,V ? 12 C. n ? 4,V ? 12 ) D. n ? 5,V ? 10

?? ? 7. 若 sin ? ? ? ? ? 2 ? sin ? ? 2cos ? ? ,则 sin 2? ? ( 4? ?
A. ?
4 5

B.

4 5

C. ?

3 5

D.

3 5

8. 设函数 f ? x ? 的导函数为 f ? ? x ? ,若 f ? x ? 为偶函数,且在 ? 0,1? 上存在极大值,则 f ? ? x ? 的 图象可能为( )

A.
2

B.

C.
第 1 页

D. )

9. 若函数 f ( x) ? ax ? ax ? 1在 R 上满足 f ( x) ? 0 恒成立,则 a 的取值范围是(

A. a ≤0

B. a <-4C.-4< a <0
2

D.-4< a ≤0

?x ? y ? 2 ? 0 ? 10. 已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? 1,点 ? a, b ? 是平面区域 ? x ? m 内的任意一点,若 ? y ? ?1 ?

f ? 2? ? f ?1? 的最小值为-6,则 m 的值为(
A. -1 B.0 C. 1

) D.2

? ? ?? ?sin ? 2 x ? 6 ? , ?? ? x ? m ? ? ? 11.若函数 f ? x ? ? ? 恰有 4 个零点,则 m 的取值范围为( ? ? ? ? ? cos 2 x ? ? ?, m ? x ? ? 6? 2 ? ?
? 11? ? ? ? ? ? ? A. ? ? ,? ? ?? , ? 6 ? ? 12 3 ? ? 12 ? 11? ? ? ? ? ? ? C. ? ? ,? ?? ? , ? 6 ? ?12 3 ? ? 12 ? 11? 2? ? ? 5? ? ? ? ? ? ? B. ? ? ,? ? ??? ,? ? ?? , ? 3 ? ? 12 6 ? ? 12 3 ? ? 12 ? 11? 2? ? ? 5? ? ? ? ? ? ? D. ? ? ,? ? ? ?? , ? ? ? ? , ? 3 ? ? 12 6 ? ?12 3 ? ? 12



12. 直线 y ? x ? a 与抛物线 y2 ? 5ax ? a ? 0? 相交于 A, B 两点, C ? 0, 2a ? ,给出下列 4 个命题:

p1 : ?ABC 的重心在定直线 7 x ? 3 y ? 0 上; p2 : AB 3 ? a 的最大值为 2 10 ; p3 : ?ABC 的重心
在定直线 3x ? 7 y ? 0 上; p4 : AB 3 ? a 的最大值为 2 5 .其中的真命题为( A. p1, p2 B. p1, p4 C. p2 , p3 D. p3 , p4 )

二、填空题 13.在 ?ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 3 : 4 : 6 ,则 cos B ? . 14.若 log2 ? log3 x ? ? log3 ? log2 y ? ? 2 ,则 x ? y ? . 15.若 ? x ? a ??1 ? 2 x ? 的展开式中 x3 的系数为 20,则 a ? .
5

16.已知一个四面体 ABCD 的每个顶点都在表面积为 9? 的球 O 的表面上,且

AB ? CD ? a, AC ? AD ? BC ? BD ? 5 ,则 a ? .
三、解答题 17. 在等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? 12 ,公差 d ? 2 .记数列 ?a2n?1? 的前 n 项和为 Sn . (1)求 Sn ;
? n ? (2)设数列 ? ? 的前 n 项和为 Tn ,若 a2 , a5 , am 成等比数列,求 Tm . ? an ?1S n ?

第 2 页

18.如图,在底面为矩形的四棱锥 P ? ABCD 中, PB ? AB . (1)证明:平面 PBC ? 平面 PCD ; (2)若异面直线 PC 与 BD 所成角为 60°, PB ? AB, PB ? BC ,求二 面角 B ? PD ? C 的大小.

19.共享单车是指企业在校园、 地铁站点、 公交站点、 居民区、 商业区、 公共服务区等提供自行车单车共享服务,是共享经济的一种新形态. 一个共享单车企业在某个城市就 “一天中一辆单车的平均成本 (单位: 元)与租用单车的数量(单位:千辆)之间的关系”进行调查研究,在调查过程中进行了统 计,得出相关数据见下表: 租用单车数量 x (千辆) 每天一辆车平均成本 y (元) 2 3.2 3 2.4 4 2 5 1.9 8 1.7

根据以上数据, 研究人员分别借助甲、 乙两种不同的回归模型, 得到两个回归方程, 方程甲: 4 6.4 ? ?1? ? ? 1.1,方程乙: y ? ? 2? ? 2 ? 1.6 . y x x (1)为了评价两种模型的拟合效果,完成以下任务:

?i ? yi ? yi , ei 称为相应于点 ? xi , yi ? 的残差(也叫 ①完成下表(计算结果精确到 0.1) (备注: e
随机误差) ) ; 租用单车数量 x (千辆) 每天一辆车平均成本 y (元) 2 3.2 3 2.4 2.4 0 2.3 0.1 4 2 2.1 -0.1 2 0 1.9 0 5 1.9 8 1.7 1.6 0.1

?i ?1? 估计值 y
模型甲

?i ?1? 残差 e

?i? 2? 估计值 y
模型乙

?i ? 2? 残差 e

②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和 Q1 及 Q2 ,并通过比较 Q1 , Q2 的大小,判断哪个模型 拟合效果更好. (2) 这个公司在该城市投放共享单车后, 受到广大市民的热烈欢迎, 共享单车常常供不应求, 于是该公司研究是否增加投放,根据市场调查,这个城市投放 8 千辆时,该公司平均一辆单 车一天能收入 10 元,6 元收入的概率分别为 0.6,0.4;投放 1 万辆时,该公司平均一辆单车 一天能收入 10 元,6 元收入的概率分别为 0.4,0.6.问该公司应该投放 8 千辆还是 1 万辆能 获得更多利润?(按(1)中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本,利润=收 入-成本).
第 3 页

1 x2 y 2 20. 如图,设椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 , 2 a b

右顶点 F 为右焦点.直线 y ? 6 x A, B 分别为椭圆 C 的左、
2 .过点 B 作 x 轴的垂线 l , 7 D 为 l 上异于点 B 的一点,以 BD 为直径作圆 E . (1)求 C 的方程; (2) 若直线 AD 与 C 的另一个交点为 P , 证明: 直线 PF 与圆 E 相切. 1 21.已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax 2 ? bx ? 1 的图象在 x ? 1 处 2

与 C 的交点到 y 轴的距离为

?1 1? 的切线 l 过点 ? , ? . ?2 2?

(1)若函数 g ? x ? ? f ? x ? ? ? a ?1? x ? a ? 0? ,求 g ? x ? 的最大值(用 a 表示) ;
1 . 2 (二)选考题共 10 分,请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一 题记分. 22. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】在极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为

(2)若 a ? ?4, f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? x1 ? x2 ? 3x1x2 ? 2 ,证明: x1 ? x2 ?

? ?? ? ? 2cos? ? 2sin? ?0 ? ? ? 2? ? ,点 M ?1, ? .以极点 O 为原点,以极轴为 x 轴的正半轴建立平 2 ? ?

? 2t ? x? ? 2 ( 为参数)与曲线 C 交于 A, B 两点,且 面直角坐标系.已知直线 l : ? MA ? MB . t ? y ? 1? 2 t ? ? 2
(1)若 P ? ? ,? ? 为曲线 C 上任意一点,求 ? 的最大值,并求此时点 P 的极坐标; (2)求 23. 【选修 4-5:不等式选讲】已知函数 f ? x ? ? x ? 2 . (1) 求不等式 f ? x ? ? 5 ? x ?1 的解集; (2) 若函数 g ? x ? ? 范围.
1 ?1 ? ? f ? 2 x ? ? a 的图象在 ? , ?? ? 上与 x 轴有 3 个不同的交点,求 a 的取值 x ?2 ?

MA MB

.

第 4 页

一、选择题 1-5: CBADC 29 二、填空题 13. 36 三、解答题

试卷答案 6-10: DCCDA 11、12:BA 1 14. 593 15. ? 16. 2 2 4

17.解: (1)∵ a3 ? a4 ? 12 ,∴ 2a1 ? 5d ? 2a1 ? 10 ? 12 ,∴ a1 ? 1 ,∴ an ? 2n ? 1, ∴ a2n?1 ? 2 ? 2n ?1? ?1 ? 4n ? 3 , Sn ?

?1 ? 4n ? 3? n ? 2n2 ? n ;
2

2 (2)若 a2 , a5 , am 成等比数列,则 a2am ? a5 ,即 3? 2m ?1? ? 92 ,∴ m ? 14 ,



n 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?, an?1Sn ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

1? 1 1 1 1 1 ? 1? 1 ? 14 ∴ Tm ? T14 ? ?1 ? ? ? ? L ? ? ? ? ?1 ? ? ? . 2? 3 3 5 27 29 ? 2 ? 29 ? 29

18.(1)证明:由已知四边形 ABCD 为矩形,得 AB ? BC , 由于 PB ? AB, PB I BC ? B ,故 AB ? 平面 PBC , 又 CD / / AB ,所以 CD ? 平面 PBC , 因为 CD ? 平面 PCD ,所以平面 PBC ? 平面 PCD . (2) 解: 以 B 为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系 B ? xyz . 设 PB ? AB ? 1, BC ? a ? a ? 0? ,则 B ? 0,0,0? , C ? 0,0, a ? , P ?1,0,0? , D ?0,1, a ? ,
uuu r uuu r P CB D g 所以 PC ? ? ?1, 0, a ? , BD ? ? 0,1, a ? , 则 P CB D

?c o s 6 0

0

, 即

a2 1 ? , 解得 a ? 1? a ? ?1舍去? , 2 1? a 2

r uur ? r r ? x1 ? 0 ? ngBP ? 0 n ? ? 0,1, ?1? , 设 n ? ? x1 , y1 , z1 ? 是平面 PBD 的法向量,则 ? r uuu ,即 ,可取 r ? y ? z ? 0 ? 1 1 n g BD ? 0 ? ? u r uuu r ? u r ? ? x2 ? y 2 ? z 2 ? 0 ?mgPD ? 0 设 m ? ? x2 , y2 , z2 ? 是平面 PCD 的法向量,则 ? u ,即 ? , r v uuu y2 ? 0 ? m g CD ? 0 ? ?
u r ngm 1 ?? , 可取 m ? ?1, 0,1? ,所以 cos n, m ? n m 2

由图可知二面角 B ? PD ? C 为锐角,所以二面角 B ? PD ? C 的大小为 60°. 19.解: (1)①经计算,可得下表: 租用单车数量 x (千辆) 2 3 4 5 8 每天一辆车平均成本 y (元) 3.2 2.4 2 1.9 1.7

第 5 页

?i ?1? 估计值 y
模型甲

3.1 0.1 3.2 0

2.4 0 2.3 0.1

2.1 -0.1 2 0

1.9 0 1.9 0

1.6 0.1 1.7 0

?i ?1? 残差 e ?i? 2? 估计值 y

模型乙

?i ? 2? 残差 e
2

② Q1 ? 0.12 ? ? ?0.1? ? 0.12 ? 0.03, Q2 ? 0.12 ? 0.01 , Q1 ? Q2 ,故模型乙的拟合效果更好. (2)若投放量为 8 千辆,则公司获得每辆车一天的收入期望为 10 ? 0.6 ? 6 ? 0.4 ? 8.4 , 所以一天的总利润为 ?8.4 ?1.7? ? 8000 ? 53600 (元). 若投放量为 1 万辆,由(1)可知,每辆车的成本为 每辆车一天收入期望为 10 ? 0.4 ? 6 ? 0.6 ? 7.6 , 所以一天的总利润为 ? 7.6 ?1.664? ?10000 ? 59360 (元) , 所以投放 1 万辆能获得更多利润,应该增加到投放 1 万辆. 20.(1)解:由题可知
c 1 x2 y2 ? ,∴ a ? 2c, b2 ? 3c2 ,设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 , a 2 4c 3c 6.4 ? 1.6 ? 1.664 (元) , 102

? x2 y2 2c 2 x2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 2 ? ,∴ c ? 1, a ? 2, b ? 3 ,故 C 的方程为 ? ? 1; 由 ? 4c 3c ,得 x ? 7 7 4 3 ? y ? 6x ?
(2)证明:由(1)可得 F ?1,0 ? ,设圆 E 的圆心为 ? 2, t ??t ? 0? ,则 D ? 2, 2t ? , 圆 E 的半径为 R ? t .直线 AD 的方程为 y ?
t ? x ? 2? , 2

t ? y ? ? x ? 2? ? ? 2 (方法一)由 ? 2 ,得 ? 3 ? t 2 ? x 2 ? 4t 2 x ? 4t 2 ? 12 ? 0 , 2 ? x ? y ?1 ? 3 ? 4

由 ? ?2 ? x p ?

4t 2 ? 12 6 ? 2t 2 t 6t x ? , y p ? ? x p ? 2? ? ,得 , p 2 2 3?t 2 3 ? t2 3?t

6t 2 2t 直线 PF 的方程为 y ? 3 ? t ? x ? 1? ? 2 ? x ? 1? ,即 2tx ? ? t 2 ? 1? y ? 2t ? 0 , 2 6 ? 2t 1? t ?1 2 3?t
∵点 E ? 2, t ? 到直线 PF 的距离为 d ?
4t ? t ? t 2 ? 1? ? 2t 4t ? ? t ? 1?
2 2 2

?

t2 ? t

?t

2

? 1?

2

?

t ? t 2 ? 1? t2 ?1

?t ,

第 6 页

∴直线 PF 与圆 E 相切. (方法二)设过 F 与圆 E 相切的直线方程为 x ? ky ? 1 ,
t ? ? 6 ? 2t 2 y ? x ? 2 ? ? x ? ? ? 2 ? kt ? 1 1? t2 ? ? 2 3 ? t2 , 则 ,由 ? ,得 ? t ,整理得 k ? ? 2 2t 1? k 2 ?x ? 1? t y ?1 ? y ? 6t ? ? 2t 3 ? t2 ? ?

? 6 ? 2t 2 ? ? 6t ?2 ? ? ? ? 3 ? t2 ? ? 3 ? t2 ? 又∵ ? ? ? 1,∴直线 PF 与圆 E 相切. 4 3
21.(1)解:由 f ? ? x ? ?
1 ? ax ? b ,得 f ? ?1? ? 1 ? a ? b , x

2

? 1 ? ?1 1? l 的方程为 y ? ? ? a ? b ? 1? ? ?1 ? a ? b ?? x ? 1? ,又 l 过点 ? , ? , ? 2 ? ?2 2? 1 ? 1 ? ?1 ? ∴ ? ? ? a ? b ? 1? ? ?1 ? a ? b ? ? ? 1? ,解得 b ? 0 , 2 ? 2 ? ?2 ?
1 ∵ g ? x ? ? f ? x ? ? ? a ? 1? x ? ln x ? ax 2 ? ?1 ? a ? x ? 1 , 2

1? ? ?a ? x ? ? ? x ? 1? ?ax ? ?1 ? a ? x ? 1 1 a? ? ? ∴ g ? ? x ? ? ? ax ? 1 ? a ? ? a ? 0? , x x x
2

? 1? ?1 ? 当 x ? ? 0, ? 时, g? ? x ? ? 0, g ? x ? 单调递增;当 x ? ? , ?? ? 时, g? ? x ? ? 0, g ? x ? 单调递减. ? a? ?a ?

故 g ? x ?max

1 1 ?1? 1 1 ?1? ? g ? ? ? ln ? a ? ? ? ?1 ? a ? ? 1 ? ? ln a ; a 2 ?a? a 2a ?a?

2

(2)证明:∵ a ? ?4 ,∴
2 f ? x11 ? ? f ? x2 ? ? x1 ? x2 ? 3x1x2 ? ln x1 ? 2x12 ?1? ln x2 ? 2x2 ?1? x1 ? x2 ? 3x1x2

? ln ? x1 x2 ? ? 2 ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? x1 x2 ? 2 ? 2 ,∴ x1 ? x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? x1 x2 ? ln ? x1 x2 ? ,
2 2

令 x1 x2 ? m ? m ? 0 ? , ? ? m ? ? m ? ln m, ? ? ? m ? ?
m ? 1,

m ?1 ,令 ?? ? m? ? 0 得 0 ? m ? 1 ;令 ?? ? m? ? 0 得 m

∴ ? ? m? 在 ? 0,1? 上递减,在 ?1, ?? ? 上递增, ∴ ? ? m? ? ? ?1? ? 1 ,∴ x1 ? x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 1, x1 ? x2 ? 0 ,解得 x1 ? x2 ?
2

1 . 2

第 7 页

?? ? 22.解: (1)∵ ? ? 2cos ? ? 2sin ? ? 2 2 sin ?? ? ? , 0 ? ? ? 2? , 4? ?
∴当 ? ?

?

?? ? 时, ? 取得最大值 2 2 ,此时, P 的极坐标为 ? 2 2, ? . 4 4? ?

(2)由 ? ? 2cos ? ? 2sin ? 得 ? 2 ? 2? cos? ? 2? sin ? ,即 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 , 故曲线 C 的直角坐标方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 .
2 2

? 2 t ? x? 2? 6 2 2 ? 2 将? ,代入 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 并整理得: t 2 ? 2t ?1 ? 0 ,解得 t ? . 2 2 ? y ? 1? t ? ? 2
∵ MA ? MB ,∴由 t 的几何意义得, MA ?
MA 6? 2 ? ? 2? 3 . MB 6? 2

6? 2 6? 2 , MB ? , 2 2



? x?2 ?1 ? x ? 2 ? x ? 1 23.解: (1)由 f ? x ? ? 5 ? x ?1 ,得 x ?1 ? x ? 2 ? 5 ,∴ ? 或? 或? , ?2 x ? 3 ? 5 ? 1 ? 5 ?3 ? 2 x ? 5
解得 ?1 ? x ? 4 ,故不等式 f ? x ? ? 5 ? x ?1 的解集为 ? ?1, 4? .
? 1 ? 2 x ? 2, x ? 1 ? 1 1 ? x (2) h ? x ? ? ? f ? 2 x ? ? ? 2 x ? 2 ? ? , x x ? 1 ? 2 x ? 2, 1 ? x ? 1 ? 2 ?x



1 1 1 ? x ? 1 时, h ? x ? ? ? 2 x ? 2 ? 2 ? 2 x ? 2 ? 2 2 ? 2 , 2 x x 1 2 ? 2x 即 x ? 时取等号,∴ h ? x ?min ? 2 2 ? 2 , x 2 1 ? 2 x ? 2 递减, x

当且仅当

当 x ? 1 时, h ? x ? ? 由 g ? x? ?

1 ?1? ? f ? 2 x ? ? a ? 0 得 h ? x ? ? a ,又 h ? ? ? h ?1? ? 1,结合 h ? x ? 的图象可得, x ?2?

a ? 2 2 ? 2,1 .

?

?

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