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三角函数推导公式及公式大全


锐角三角函数

锐角三角函数 三角关系 倒数关系:tanα ?cotα =1 sinα ?cscα =1 cosα ?secα =1 商的关系:

平方关系:

三角函数公式 2 公式相关 编辑 两角和公式 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ sin(α -β )=sinα cosβ -cosα sinβ tan(α +β )=(tanα +tanβ )/(1-tanα tanβ ) tan(α -β )=(tanα -tanβ )/(1+tanα tanβ ) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

三角和公式 sin (α +β +γ ) =sinα ? cosβ ? cosγ +cosα ? sinβ ? cos γ +cosα ?cosβ ?sinγ -sinα ?sinβ ?sinγ cos (α +β +γ ) =cosα ? cosβ ? cosγ -cosα ? sinβ ? sin γ -sinα ?cosβ ?sinγ -sinα ?sinβ ?cosγ

诱导公式 三角函数的诱导公式(六公式) 公式一: sin(α +k*2π )=sinα cos(α +k*2π )=cosα tan(α +k*π )=tanα 公式二: sin(π +α ) = -sinα
[1]

cos(π +α ) = -cosα tan(π +α )=tanα 公式三: sin(-α ) = -sinα cos(-α ) = cosα tan (-α )=-tanα 公式四: sin(π -α ) = sinα cos(π -α ) = -cosα tan(π -α ) =-tanα 公式五: sin(π /2-α ) = cosα cos(π /2-α ) =sinα 由于π /2+α =π -(π /2-α ),由公式四和公式五可得

公式六: sin(π /2+α ) = cosα cos(π /2+α ) = -sinα 诱导公式 记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限。 倍角公式 二倍角 正弦 sin2A=2sinA?cosA 余弦

三倍角 三倍角公式

sin3α =4sinα ?sin(π /3+α )sin(π /3-α ) cos3α =4cosα ?cos(π /3+α )cos(π /3-α ) tan3a = tan a ? tan(π /3+a)? tan(π /3-a) 三倍角公式推导 sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina =3sina-4sin^3a cos3a
[2]

=cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa =4cos^3a-3cosa

sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin^2a) =4sina[(√3/2)-sina][(√3/2)+sina] =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60° -a)/2]cos[(60°+a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos^2a-3/4) =4cosa[cos^2a-(√3/2)^2] =4cosa(cosa-cos30°)(cosa+cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°) /2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 三倍角 sin3α =3sinα -4sin^3 α =4sinα ?sin(π /3+α )sin (π /3-α ) cos3α =4cos^3 α -3cosα =4cosα ?cos(π /3+α )cos (π /3-α ) tan3α =tan(α )*(-3+tan(α )^2)/(-1+3*tan(α ) ^2)=tan a ? tan(π /3+a)? tan(π /3-a) 其他多倍角 四倍角 sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)

tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4) 五倍角 sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/ (1-10*tanA^2+5*tanA^4) 六倍角 sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1) *(-3+4*sinA^2)) cos6A=((-1+2*cosA)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1)) tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5) /(-1+15*tanA-15*tanA^4+tanA^6) 七倍角 sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6)) cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))

tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6) /(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6) 八倍角 sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1) *(-8*sinA^2+8*sinA^4+1)) cos8A=1+ (160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2) tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/ (1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8) 九倍角 sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)* (64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3)) cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)* (64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3)) tan9A=tanA* (9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/ (1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)

十倍角 sin10A = 2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)* (4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4)) cos10A = ((-1+2*cosA^2)* (256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1)) tan10A = -2*tanA* (5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8) /(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA ^10) N 倍角 根据棣莫弗定理,(cosθ + i sinθ )^n = cos(nθ )+ i sin(nθ ) 为方便描述,令 sinθ =s,cosθ =c 考虑 n 为正整数的情形: cos(nθ )+ i sin(nθ ) = (c+ i s)^n = C(n,0)*c^n + C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 + C(n,4)*c^(n- 4)*(i s)^4 + ... …+C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)

*(i s)^3 + C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ... …=>;比较 两边的实部与虚部 实部: cos(nθ ) =C(n,0)*c^n + C(n,2) *c^(n-2) *(i s)^2 + C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 + ... …i* 虚部:i*sin(nθ )=C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3) *c^(n-3)*(i s)^3 + C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ... … 对所有的自然数 n: ⒈cos(nθ ): 公式中出现的 s 都是偶次方,而 s^2=1-c^2(平方关系), 因此全部都可以改成以 c(也就是 cosθ )表示。 ⒉sin(nθ ): ⑴当 n 是奇数时:公式中出现的 c 都是偶次方,而 c^2=1-s^2(平方关系),因此全部都可以改成以 s(也 就 是 sinθ )表示。 ⑵当 n 是偶数时:公式中出现的 c 都是奇次方,而 c^2=1-s^2(平方关系),因此即使再怎么换成 s,都至少会 剩 c(也就是 cosθ )的一次方无法消掉。

例. c^3=c*c^2=c* (1-s^2) , c^5=c*(c^2) ^2=c* (1-s^2) ^2) 特殊公式 (sina+sinθ )*(sina-sinθ )=sin(a+θ )*sin(aθ ) 证明: (sina+sinθ )*(sina-sinθ )=2 sin[(θ +a)/2] cos[(a-θ )/2] *2 cos[(θ +a)/2] sin[(a-θ )/2] =sin(a+θ )*sin(a-θ ) 坡度公式 我们通常把坡面的铅直高度 h 与水平宽度 l 的比叫做坡度 (也叫坡比), 用字母 i 表示, 即 i=h / l,坡度的一般形式写成 l : m 形式,如 i=1:5. 如果把坡面与水平面的夹角记作 a(叫做坡角),那么 i=h/l=tan a. 半角公式 tan^2(α /2)=(1-cosα )/(1+cosα )

sin^2(A/2)=[1-cos(A)]/2 cos^2(A/2)=[1+cos(A)]/2 半角公式 万能公式 万能公式 sinα =2tan(α /2)/[1+(tan(α /2))^2] cosα =[1-(tan(α /2))^2]/[1+(tan(α /2))^2] tanα =2tan(α /2)/[1-(tan(α /2))^2] 辅助角公式 注:该公式又称收缩公式 asin tan / 强提公式 / 化一公式 等

α +bcos α =√(a^2+b^2)sin(α +φ ),其中

φ =b/a

asinA+bcosB=根号下 a 方+b 方?(根号下 a 方+b 方分之 a?sinA+根号下 a 方+b 方分之 b?cosB) 令根号下 a 方+b 方 分之 a=cosC 则根号下 a 方+b 方分之 b=sinC asinA+bcosB=

根号下 a 方+b 方(sinAcosC+cosBsinC)=根号下 a 方+b 方? sin(A+C) 3 三角规律 编辑 三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本 质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联 系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的 关键所在。 三角函数本质: 根据三角函数定义推导公式 根据右图,有 sinθ =y/ r; cosθ =x/r; tanθ =y/x; cotθ =x/y

深刻理解了这一点, 下面所有的三角公式都可以从这里出 发推导出来,比如以推导 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: 推导:

首先画单位圆交 X 轴于 C, D,在单位圆上有任意 A,B 点。 角 AOD 为α ,BOD 为β ,旋转 AOB 使 OB 与 OD 重合,形成新 A'OD。 A(cosα ,sinα ),B(cosβ ,sinβ ),A'(cos(α -β ), sin(α -β )) OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ∴[cos(α -β )-1]^2+[sin(α -β )]^2=(cosα -cos β )^2+(sinα -sinβ )^2 和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换 (a+b)/2 与(a-b)/2) 单位圆定义 单位圆 六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆 来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值;实际上对 多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三 角函数对所有正数和负数辐角都有定义,而不只是对于在 0 和 π /2 弧度之间的角。它也提供了一个图象,把所有重要 的三角函数都包含了。根据勾股定理,单位圆的等式是:

图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。 逆时针方向的 度量是正角,而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线, 同 x 轴正半部分得到一个角θ ,并与单位圆相交。这个交点 的 x 和 y 坐标分别等于 cosθ 和 sinθ 。图象中的三角形确 保了这个公式; 半径等于斜边且长度为 1, 所以有 sinθ =y/1 和 cosθ =x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的 长度,但保持斜边等于 1 的一种查看无限个三角形的方式。 4 双曲函数 编辑 sh a = [e^a-e^(-a)]/2 ch a = [e^a+e^(-a)]/2 th a = sin h(a)/cos h(a)

公式一: 设α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ +α )= sinα cos(2kπ +α )= cosα
[3]

tan(2kπ +α )= tanα cot(2kπ +α )= cotα 公式二: 设α 为任意角,π +α 的三角函数值与α 的三角函数值之 间的关系: sin(π +α )= -sinα cos(π +α )= -cosα tan(π +α )= tanα cot(π +α )= cotα 公式三: 任意角α 与 -α 的三角函数值之间的关系: sin(-α )= -sinα cos(-α )= cosα tan(-α )= -tanα

cot(-α )= -cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π -α 与α 的三角函数值之 间的关系: sin(π -α )= sinα cos(π -α )= -cosα tan(π -α )= -tanα cot(π -α )= -cotα 公式五: 利用公式-和公式三可以得到 2π -α 与α 的三角函数值之 间的关系: sin(2π -α )= -sinα cos(2π -α )= cosα tan(2π -α )= -tanα cot(2π -α )= -cotα

公式六: π /2±α 及 3π /2±α 与α 的三角函数值之间的关系: sin(π /2+α )= cosα cos(π /2+α )= -sinα tan(π /2+α )= -cotα cot(π /2+α )= -tanα sin(π /2-α )= cosα cos(π /2-α )= sinα tan(π /2-α )= cotα cot(π /2-α )= tanα sin(3π /2+α )= -cosα cos(3π /2+α )= sinα tan(3π /2+α )= -cotα cot(3π /2+α )= -tanα

sin(3π /2-α )= -cosα cos(3π /2-α )= -sinα tan(3π /2-α )= cotα cot(3π /2-α )= tanα (以上 k∈Z) A?sin(ω t+θ )+ B?sin(ω t+φ ) = √{(A+2ABcos(θ -φ )} ? sin{ω t + arcsin[ (A?sin θ +B?sinφ ) / √{A^2 +B^2 +2ABcos(θ -φ )}} √表示根号,包括{……}中的内容 5 重要定理 编辑 正弦定理 正弦定理:在△ABC 中,a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R 其中,R 为△ABC 的外接圆的半径。

余弦定理 余弦定理:在△ABC 中,b^2 = a^2 + c^2 - 2ac?cos θ 。 其中,θ 为边 a 与边 c 的夹角。 6 特殊值 编辑 sin30°=1/2 sin45°=√2/2 sin60°=√3/2 cos30°=√3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3[1]

cot30°=√3 cot45°=1 cot60°=√3/3 7 和差化积 编辑 sinθ +sinφ =2sin[(θ +φ )/2] cos[(θ -φ )/2] 和差化积公式 sinθ -sinφ =2cos[(θ +φ )/2] sin[(θ -φ )/2] cosθ +cosφ =2cos[(θ +φ )/2]cos[(θ -φ )/2] cosθ -cosφ = -2sin[(θ +φ )/2]sin[(θ -φ )/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tanAtanB+1 tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tanAtanB-1 8 积化和差 编辑

sinα sinβ =-[cos(α +β )-cos(α -β )] /2 cosα cosβ =[cos(α +β )+cos(α -β )]/2 sinα cosβ =[sin(α +β )+sin(α -β )]/2 cosα sinβ =[sin(α +β )-sin(α -β )]/2


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