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绿洲高中高一数学试题2


绿洲高中高一暑假数学作业题 (本卷 35 小题,每小题 3 分,共 105 分)
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 一、选择题 (1) 设全集 U={x|x 是小于 6 的正整数},A={1,2,3},则

(13)一次函数 f ( x) ? (2k ? 1) x ? 2 在区间 ? ??, ??? 上是增函数,则 (A) k ?



1 2

(B) k ?

1 1 (C) k ? ? 2 2

(D) k ? ?

1 2

(14)不等式 2x-y-6<0 表示的平面区域地直线 2x-y-6=0 的 (A)左上方 (B)右上方 (C)左下方 (D)右下方

(

U

A=

(15)在△ABC 中,C=90°,CA=CB=2,则 CA ? CB ? (A) 0 (B) 2 (C) 4 (D)-2

??? ? ??? ?

(A){1,2,3,4} (B){4,5} (C){3,4,5,6} (D){3,5,6} (2)若函数 f ( x) ?

x ? 1 ,则 f (0) 等于

(A)0 (B) 1 (C) 2 (D) 4 (3)不等式(x+1)(x-2)>0 的解集是 (A){x|-2<x<1} (B) {x|x<-2 或 x>1} (C){x|-1<x<2} (D) {x|x<-1 或 x>2}

3 等于 2 b (A)b-a (B) a+b (C) (D) ab a
(4)已知 lg2=a,lg3=b,则 lg (5)函数 y ? log3 x 的定义域为 (A) ? ??, ??? (B) ? ??,0) ? (0, ??? (C) ? 0, ?? ? (D) ? 0, ?? ? (6)函数 f ( x) ? x ( x ?[?2,1]) 的最大值是
2

1 (16)为了得到函数 y ? sin x, x ? R 的图象,只需把正弦曲线 y ? sin x 上所有的点的 2 1 (A)横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 (B)横坐标伸长到原来的 倍,纵坐标不变 2 1 (C)纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐标不变 (D)纵坐标伸长到原来的 倍,横坐标不变 2 4 (17)已知 x>0,那么函数 y ? x ? ? 1 有 x
(A)最大值 3 (B)最小值 3 (C)最小值 5 (D)最大值 5 (18)下列各式错误 的是 .. (A) 3
0.2

? 30.3

(B) 0.2 ? 0.3 (C) 3
2 2

?2

? 4?2 (D)lg2<lg3
1 1 ? a b

(19)若 a>b,则下列关系一定成立的是 (A) ac ? bc
2 2

(B)ac>bc (C)a+c>b+c (D)
3

(A) 1 (B) 4 (C) -4 (D) 0 (7)已知直线 l 的方程为 x-y+1=0,则直线 l 的倾斜角为 (A)45° (B) 60° (C) 90° (D)135° (8)300°是 (A)第一象限角 (B)第二象限角 (C)第三象限角 (D)第四象限角 (9)直线 l 过点(2,1)且与直线 x-2y+7=0 平行,则直线 l 的方程为 (A)x-2y=0 (B) 2x-y+7=0 (C) x-2y-7=0 (D) 2x-y=0 (10)下列函数中,是偶函数的是 (A) f ( x) ? x
2 (B) f ( x) ? sin x (C) f ( x) ? x (D) f ( x) ? x ? 1

(20)用二分法研究函数 f ( x) ? x ? 3x ? 3 的零点时,可得该函数存在零点 x0 ? (A) (0,1) (B) (1,2) (C) (2,3) (D) (3,4) (21)函数 y=2sinxcosx 的最小值为 (A) 0 (B) -1 (C) -2 (D) -3 (22)函数 y ? sin x ? x ?[0, 2? ]? 的单调递减区间为 (A) ? 0,

? ?? ? 2? ?

(B) ? 0, ? ?

(C)

? ? 3? ? , ? ?2 2 ? ?

(D)

?? , 2? ?

(11)在△ABC 中,A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 A=45°,B=30°,a= 10 2 ,则 b= (A) 10 (B) 20
2 ?

(C) 10 2

(D) 10 6

(12) 2cos 15 ? 1 的值是

(A)

1 2

(B)

3 2

(C) ?

1 2

(D) ?

3 2
1

(23)已知向量 a=(2,4),b=(3,6),则向量 a 和 b (A)共线且方向相同 (B)互为相反向量 (C)共线且方向相反 (D)不共线 (24) 已知向量 a,b 满足|a|=4,|b|=2,且 a ? b=4,则 a 与 b 的夹角为 (A)30° (B) 45° (C) 60° (D) 90° (25)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=5,b=10,c=6,则此三角形为 (A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)不确定 (26)棱长为 2 的正方体的内切球 的半径为 ... (A) 1 (B) 2 (C)

3

(D) 2 3

(27)函数 y ? log 2 ( x ? 1) 的图象大致是

y
2 1

y

y

y

(33) (本小题 10 分) 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E 为 DD1 的中点。 (Ⅰ)求证:AC ? 平面 D1DB; (Ⅱ)求证:BD1//平面 AEC

O
–1 –2

1

2

x
–1

O

1

x

–1

O

1

2

x
–1

O

1

2

x

A –3
–4

B

C

D

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分,把答案填在答题卡上。 (28)已知 sin ? ?

4 ? ?? , 且? ? ? 0, ? ,那么 cos ? =_________ 5 ? 2?

(29)已知函数 f ( x) ? a x ? b(a ? 0, 且a ? 0), f (0) ? 2, f (1) ? 3 , 则该函数的解析式为 f ( x) =________. (30)等差数列{an}中,已知 a1+a7=10,则 a4=__________ (31)一个空间几何体的三视图及尺寸如下(单位 cm),则该 几何体的体积为_____cm3.
正 视 图 侧

(34) (本小题 10 分)

已知两定点 M(4,0) ,N(1,0) ,动点 PM ? 2 PN 。 (Ⅰ)求动点轨迹 C 的方程;

???? ?

????

6

视 图

6

(Ⅱ) 若G (a,0) 是轨迹 C 内部一点, 过点 G 的直线 l 交轨迹 C 于 A、 B 两点, 令 f (a) ? GA ? GB , 求 f ( a ) 的取值范围。 6

??? ? ??? ?

6

俯 视 图

三、解答题:本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分,解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。 (32) (本小题 10 分) 已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数, 且 a1 ? 1, a2 ? a3 ? 6 , 求该数列的前 n 项和 Sn 。

2

绿洲高中高一暑假数学作业题(2)
一、选择题:本大题共 35 小题,每小题 3 分,共 105 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.集合 A = A. φ

A. x ? y ? 1 ? 0
2

B. x ? y ? 3 ? 0
2 2

C. x ? y ? 3 ? 0
2

D. x ? 2 ) D.3 条 )

13.两圆(x―2) +(y+1) = 4 与(x+2) +(y―2) =16 的公切线有( A.1 条 B.2 条 C .4 条

?x 2 ? x ? 5?,B = ?x 3x ? 7 ? 8 ? 2x?则 (C B. ?x x ? 2? C. ?x x ? 5?
B. –1 C. 1

m、 n 及平面 ? ,下列命题中的假命题是( 14.已知直线 l 、
R

A) ? B 等于
D.

A.若 l // m , m // n ,则 l // n . C.若 l // ? , n // ? ,则 l // n . 15. 459 和 357 的最大公约数是( A. 3 B. 9 C. 17

?x 2 ? x ? 5?

B.若 l ? ? , n // ? ,则 l ? n . D.若 l ? m , m // n ,则 l ? n . ) D. 51 ) C.

2.已知 f ( x) ? x 3 ? 2 x ,则 f (a) ? f (?a) 的值是 A. 0
1 2

D. 2
1 3

16.sin14?cos16?+cos14?sin16? 的值是( A.

3.下列幂函数中过点(0,0),(1,1)的偶函数是 A. y ? x 4.函数 y ? B. y ? x
4

C. y ? x

?2

D. y ? x

3 2
4 3

B.

1 2
4 5

3 2
C. cos ? ? )

D.-

1 2
) D. sin ? ?
3 5

? x 2 ? 2x ? 3 的单调递减区间是
B. (1, +∞) C. [-1, 1] )
y y

17.已知角 ? 的终边经过点 P(-3,4),则下列计算结论中正确的是( D. [1,3] A. tan ? ? ? B. sin ? ? ?
3 5

A. (-∞,1)

5.下列图像表示的函数能用二分法求零点的是(
y 1 o x o x o y

18.已知 tan x ? 0 ,且 sin x ? cos x ? 0 ,那么角 x 是( A.第一象限的角 B.第二象限的角 19.在[0, 2? ]上满足 sin x ?
x o x

C.第三象限的角 )

D.第四象限的角

1 的 x 的取值范围是( 2

A.[0,

?
6

]

B. [

? 5?

] , 6 6

C. [

? 2?
6 , 3

]

D. [

5? ,? ] 6

A 6.下列各式错误的是 A. 3
0.8

B

C C. 0.75
?0.1

D

20.把正弦函数 y=sinx(x?R)图象上所有的点向左平移 所有的点的横坐标缩短到原来的

? 个长度单位,再把所得函数图象上 6

? 30.7

B. log0..5 0.4 ? log0..5 0.6
2 x

? 0.750.1
0? x?2

D. lg1.6 ? lg1.4

7.如图,能使不等式 log2 x ? x ? 2 成立的自变量 x 的取值范围是 A.

x?0

B.

x?2

c.

x?2

D.

8.在 x 轴上的截距为 2 且倾斜角为 135°的直线方程为. A. y=-x+2 B. y=-x-2 C. y=x+2 D. y=x-2 9.设点 M 是 Z 轴上一点,且点 M 到 A(1,0,2)与点 B(1,-3,1)的距离相等,则点 M 的坐标是. A. (-3,-3,0) B. (0,0,-3) C. (0,-3,-3) D. (0,0,3) 10.已知长方体的相邻三个侧面面积分别为 2 , 3, 6 ,则它的体积是 A.

1 ? ) 2 6 ??? ? ???? ??? ? 21. CB ? AD ? BA 等于( ) ??? ? ??? ? A、 D B B、 CA
A.y=sin ( x ?

1 倍,得到的函数是( ) 2 1 ? ? B.y=sin ( x ? ) C.y=sin (2 x ? ) 2 6 6
C、 CD ) C、a=(2,-1),b=(3,4) )
0

D. y=sin (2 x ?

?
3

)

??? ?

D、 DC D、a=(-2,1),b=(4,-2) D. 150 ) D. 192 ) D. 150
0 0 0

??? ?

22.下列各组向量中相互平行的是(

A、a=(-1,2),b=(3,5) B、a=(1,2),b=(2,1) A. 90
0

23. 边长为 5, 7,8 的三角形的最大角与最小角的和是( B. 120
0

5

B. 6

C.5

D.6
主 视 图 左 视 图

11.如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方 形,俯视图是一个直径为 1 的圆,那么这个几何体的全面积为

24. 等比数列 ?an ? 中, a2 ? 9, a5 ? 243 , 则 ?an ? 的前 4 项和为( A. 81 A. 90
0

C. 135 C. 168

3 A. π 2
程是 ( )

B. 120 B. 60
0

B. 2π

C. 3π

D. 4 π
俯 视 图

25. 在△ABC 中,若 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc, 则 A ? ( C. 135

12.已知圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 内一点 P(2,1) ,则过 P 点最短弦所在的直线方

3

26. 如果实数 x , y 满足 x 2 ? y 2 ? 1,则 (1 ? xy )(1 ? xy ) 有 ( A.最小值

)

34. (本小题满分 10 分) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD⊥底面 ABCD, PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明 PA//平面 EDB; (2)求二面角 C-PB-D 的大小.
P

1 3 3 和最大值 1 B.最大值 1 和最小值 C.最小值 而无最大值 D.最大值 1 而无最小值 2 4 4

27.不等式组 ? A.

? ? y ? x ?1 的区域面积是( y ? ? 3 x ? 1 ? ?
B.

)

F

E

1 2

3 2

C.

5 2

D. 1
D

C B

28. 在△ABC 中,若 a ? 7, b ? 8, cos C ? A. ?

13 ,则最大角的余弦是( 14
C. ?

) D. ?

A

1 5

B. ?

1 6

1 7

1 8

29.二次方程 x2 ? (a2 ? 1) x ? a ? 2 ? 0 ,有一个根比 1 大,另一个根比 ?1 小, 则 a 的取值范围是 ( A. ?3 ? a ? 1 ) B. ?2 ? a ? 0 C. ?1 ? a ? 0 D. 0 ? a ? 2

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分。 ) 30. 等差数列 ?an ? 中, a2 ? 5, a6 ? 33, 则 a3 ? a5 ? _________。 31.一水池有 2 个进水口,1 个出水口,进出水速度如图甲、乙所示,某天 0 点到 6 点,该水池的蓄水量 如图丙所示
进水量 出水量 蓄水量

35、 (本小题满分 10 分) 在正项等比数列 {an } 中, a1 ? 4 , a3 ? 64 . (1) 求数列 {an } 的通项公式 an ; (2) 记 bn ? log4 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ;

1

2

6 5

o

1 甲

时间

o

1 乙

时间

o 丙

3 4

6 时间

给出以下 3 个论断(1)0 点到 3 点只进水不出水; (2)3 点到 4 点不进水只出水; (3)3 点到 6 点不进水 不出水。则一定正确的论断序号是___________.
2 2 32.经过圆 x ? 2 x ? y ? 0 的圆心 C ,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线方程是

. .

33. f ( x) 为奇函数, x ? 0时, f ( x) ? sin 2 x ? cos x, 则x ? 0时f ( x) ?

三、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

4

高中数学基础知识梳
第一章 集合 一、集合 ⒈集合的概念:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,简称集;集合中的每一 个对象叫集合的元素. 元素 a 在集合 M 内的表示法 ,元素 a 不在集合 M 内的表示法 . ⒉集合中的元素必须具备“三性” : 、 、 . ⒊空集的意义及记号:不含任何元素的集合叫空集,空集记作 ?; ⒋常用数集及记号: ⑴非负整数集(零和正整数的全体)——N; ⑵正整数集——N*或 N+ ; ⑶整数集——Z; ⑷有理数集——Q; ⑸实数集——R. ⑹无理数集——CRQ ⒌集合的分类(按集合中的元素个数来分) : ⑴有限集—— ⑵无限集—— ⒍集合的表示法: ⑴列举法——把集合中元素一一列举出来写在大括号内; ⑵描述法——把集合中元素的公共熟性用语言或式子描述出来写在大括号内,其基 本模式是{x| p(x)}. ⒎集合的形象表示法——韦恩图,即用一条封闭的曲线围成的图形(内部)表示集合. ⒏子集、交集、并集、补集: Ⅰ子集 ⑴子集、真子集的意义: 对于两个集合 A、B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,那么集 合 A 叫做集合 B 的子集,记作 A?B;如果 A 是 B 的子集,并且 B 中至少有一 ? ? 个元素不属于 A,那么集合 A 叫做集合 B 的真子集,记作 A ? B. ? ⑵子集的性质: (用?、? ? 填空) ①A A,? A,若 A≠?,则 ? A; ? ? ? ②若 A?B,B?C,则 A C;③若 A B,B?C,则 A C; ? ? ? ? ? ? B C,则 ? ? ④若 A?B,B ? C,则 A C;④若 A B, A C. ⑶子集的个数: n 若集合 A 中有 n 个元素,则 ①集合 A 的子集个数是 2 ;②集合 A 的真子集 n n 个数是 2 ? 1;③集合 A 的非空真子集个数是 2 ? 2. ⑷集合相等的意义:若集合 A 与 B 含有相同的元素,称它们相等,记作 A=B; 集合相等的充要条件:A=B ? A?B 且 B?A. Ⅱ交集 ⑴交集的意义: 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合叫做 A、B 的交集, 记作 A∩B,即 A∩B={x|x?A 且 x?B} A B 请根据右面的韦恩图打出 A∩B 的阴影. ⑵交集的性质: ①A∩A= ;②A∩?= ;③A∩B=B∩A; ④若 A∩B?A,则 A∩B?B;⑤若 A∩B?A,则 A?B.
5

Ⅲ并集 ⑴并集的意义: 由所有属于集合 A 或者属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A、B 的并 集,记作 A∪B,即 A∪B={x|x?A 或 x?B} A B 请根据右面的韦恩图打出 A∪B 的阴影. ⑵并集的性质: ①A∪A= ;②A∪?= ;③A∪B=B∪A; ④A∪B?A; ⑤A∪B?B; ⑥A∪B=A ? B?A Ⅳ补集 ⑴全集、补集的意义: 如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合叫做全集,全 集通常用 U 表示; 设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 A?S),由 S 中所有不属于 A 的元素组 成的集合,叫做集合 A 的补集(或余集),记作 CSA,即 CSA={x|x?S 且 x?A}. 请根据右面的韦恩图打出 CSA 的阴影. S A ⑵补集的性质: ①A∪CUA= ; ②A∩CUA= ; ③CUU= ; ④CU?= ; ⑤CU(CUA)= ; ⑥CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB) ; ⑦CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB). 第二章 函数基础知识梳理 一、映射: ⒈映射的定义:设 A、B 是两个集合,按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中的任何一个 元素, .... 在集合 B 中都有唯一 的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合 A、B 以及 A 到 B 的对应法则 ..

f )叫做集合 A 到集合 B 的映射,记作 f :A→B.
⒉象与原象的概念:给定一个集合 A 到 B 的映射,且 a?A,b?B.如果元素 a 和元素 b 对应, 那么我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象. ⒊一一映射的定义:设 A、B 是两个集合,f :A→B 是集合 A 到集合 B 的映射,如果在这个 映射下,对于集合 A 中的不同元素,在集合 B 中都有不同的象,而且 B 中每一个元素都有原象, 那么这个映射叫做 A 到 B 上的一一映射. 二、函数: ⒈函数的传统定义:设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y,如果对于 x 的每一个值,y 都 有唯一的值与它对应,那么就说 x 是自变量,y 是 x 的函数.我们将自变量 x 取值的集合叫做函 数的定义域,和自变量 x 的值对应的 y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域. 函数的三要素是: 、 、 . ⒊函数的表示法:解析法、列表法、图象法. ⒋关于区间的概念: ⑴满足不等式 a≤x≤b 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示为 ; ⑵满足不等式 a<x<b 的实数 x 的集合叫做开区间,表示为 ; ⑶满足不等式 a≤x<b 或 a<x≤b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别表示为 或 . 以上的实数 a 与 b 都叫做相应区间的端点.

⒌函数解析式的求法:⑴换元法;⑵待定系数法. ⒍求函数定义域的主要依据: ⑴分式中的分母不为 0;⑵偶次根式的被开方数不小于零;⑶对数的真数大于零; ⑷零指数幂的底数不等于零;⑸指数函数和对数函数的底数大于零且不等于 1; ⑹对于应用问题,要注意自变量所受实际意义的限制. ⒎求函数值域的方法有:⑴配方法;⑵换元法;⑶判别式法;⑷单调性法; ⑸基本不等式法;⑹数形结合法;⑺反函数法. 三、函数的单调性: ⒈函数单调性的定义: 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时, 都有 f (x1)<f (x2), 那么就说 f (x)在这个区间上 是增函数. 这个区间叫增区间. ...... 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时, 都有 f (x1)>f (x2), 那么就说 f (x)在这个区间上 是减函数. 这个区间叫减区间. ...... 注意:函数的单调区间(增区间或减区间)是其定义域的子集;函数的定义域不一定是函数的单调 区间. ⒉函数单调性的判别方法: ⑴图象法.若函数 f (x)的图象在区间 D 上从左至右是上升(下降)的,则 f (x)在区间 D 上是增 (减)函数; ⑵定义法.其一般步骤是: ①取值.在所给区间上任取 x1<x2; ②作差 f (x1)? f (x2); ③变形.分解因式或配方等; ④定号.看 f (x1)? f (x2)的符号; ⑤下结论. ⒊一些特殊函数的单调性: ⑴一次函数 y=kx+b,当 k>0 时,在 R 上是 ;当 k<0 时,在 R 上是 . 2 ⑵二次函数 y=ax +bx+c, 当 a>0 时,在(? ∞, ? 当 a<0 时,在(? ∞, ? ⑶反比例函数 y=
b ]上为 2a b ]上为 2a

如果对于函数 f (x)的定义域内任意一个 ,都有 f (? x)=f (x),那么函数 f (x)叫做偶函数. ....x . 如果对于函数 f (x)的定义域内任意一个 ,都有 f (? x)=? f (x),那么函数 f (x)叫做奇函 .... x . 数. 注意:⑴由定义可知,函数具有奇偶性的必要条件是定义域关于 对称. ⑵函数的奇偶性可分为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数(此时我们说 该函数 具有奇偶性)、既不是奇函数又不是偶函数(此时我们说该函数不具有奇偶性). 注意:设函数 f (x)的定义域关于原点对称,那么函数 f (x) 既是奇函数又是偶函 数的充要条 件是 f (x)恒等于 0. 例:f (x)=0,x?(? 1,1);f (x)=0,x?[? 2,2];f (x)= 1 ? x2 ? x2 ? 1 等等. ⒉具有奇偶性函数的图象特征: ⑴奇函数?图象关于 对称; ⑵偶函数?图象关于 对称. ⒊判断函数奇偶性的方法: ⑴图象法; ⑵定义法.其一般步骤是: ①求函数的定义域 , 并判断定义域是否关于原点对称 , 若不对称 , 则此函数不具有奇偶 性; 若对称,再进行第二步; ②判断 f (? x)与 f (x)的关系,并下结论. 若 f (? x)=? f (x)且 f (x)不恒等于 0,则此函数为奇函数; 若 f (? x)=f (x)且 f (x)不恒等于 0,则此函数为偶函数; 若 f (? x)=? f (x)且 f (? x)=f (x),则此函数为既是奇函数又是偶函数; 若 f (? x)≠? f (x)且 f (? x)≠f (x),则此函数为既不是奇函数又不是偶函数. ⒋函数奇偶性的性质: ⑴两个奇函数的和(或差)仍是奇函数; 即:奇±奇=奇. ⑵两个偶函数的和(或差)仍是偶函数; 即:偶±偶=偶. ⑶奇偶性相同的两个函数的积(或商,分母不为 0)为 ; 即:奇?奇=偶;偶?偶-偶;奇/奇=偶;偶/偶=偶. ⑷奇偶性相反的两个函数的积(或商,分母不为 0)为 ; 即奇?偶=奇;偶?奇=奇;奇/偶=奇;偶/奇=奇. ⑸奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具 有 相反的单调性; ⑹定义域关于原点对称的函数 f (x)可以表示成一个奇函数 g (x)与一个偶函数 h(x)之和, 即

,在[ ? ,在[ ?

b ,+∞)上为 2a b ,+∞)上为 2a

; . ;

k ,当 k>0 时,在(? ∞,0),(0,+∞)上都是 x

当 k<0 时,在(? ∞,0),(0,+∞)上都是 . ⑷指数函数 y=a ,当 a>1 时,在 R 上是 , 当 0<a<1 时,在 R 上是 ⑸对数函数 y=logax,当 a>1 时,在(0,+∞)是 , 当 0<a<1 时,在(0,+∞)是
x

. .

⑹*记住重要函数 y=x+ (a ? 0) 的单调性,并会证明: 当 x>0 时,函数在(0, a )上单调递减,在[ a ,+∞]上单调递增; 当 x<0 时,函数在 四、函数的奇偶性: ⒈函数奇偶性的定义: 上单调递减,在 上单调递增.

a x

f (x)= g (x)+h(x),其中 g (x)=

f ( x) ? f (? x) , 2

h(x)=

f ( x) ? f (? x) . 2

⑺若 f (x)是奇函数,且 f (0)有意义,则必有 f (0)= f (0)=0 是 f (x)是奇函数的 六、函数图象的变换: ⒈平移变换:
6

. 条件.

⑴y=f ⑵y=f ⑶y=f ⑷y=f

(x)的图象沿 x 轴向右平移 a (x)的图象沿 x 轴向左平移 a (x)的图象沿 y 轴向上平移 a (x)的图象沿 y 轴向下平移 a

(a>0)个单位得到 y=f (x? a)的图象; (a>0)个单位得到 y= f (x+a)的图象; (a>0)个单位得到 y= f (x)+a 的图象; (a>0)个单位得到 y= f (x)? a 的图象.
1 (a>0)倍,纵坐标不变, a

⒉伸缩变换: ⑴把 y=f (x)的图象上所有的点的横坐标变为原来的

可得到 y=f (ax)的图象; ⑵把 y=f (x)的图象上所有的点的纵坐标变为原来的 A(A>0)倍,横坐标不变,可得到 y=Af (x)的图象; ⒊对称变换: (一)两个函数图象的对称关系: ⑴y=f (x)与 y=? f (x)的图象关于 x 轴对称; ⑵y=f (x)与 y=f (? x)的图象关于 y 轴对称; ⑶y=f (x)与 y= ? f (? x)的图象关于原点轴对称; ? 1 ⑷y=f (x)与 y= f (x)的图象关于直线 y=x 轴对称; ⑸y=f (|x|)的图象是保留 y=f (x)的图象中 y 轴右边部分,并作其关于 y 轴对称的图象, 再擦掉 y=f (x) 的图象中 y 轴左边部分而得到; ⑹y=|f (x)|的图象是保留 y=f (x)的图象中 x 轴上方的图象及 x 轴上的点,并将 x 轴下方的图象 以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方去; (二)函数图象自身的对称性: ⑴奇函数的图象关于 对称; ⑵偶函数的图象关于 对称; ⑶对函数 f (x)的定义域内的任意一个 x,都有 f (a+mx)=f (a? mx)(a、m?R,且 m≠0) ? f (x)的图象关于直线 对称; ⑷对函数 f (x)的定义域内的任意一个 x,都有 f (a+mx)=f (b? mx)(a、b、m?R,且 m≠0) ? f (x)的图象关于直线 对称; ⑸对函数 f (x)的定义域内的任意一个 x,都有 f (a+x)= ? f (a? x) ? f (x)的图象关于 点 对称.以上结论会证吗? 七、指数与指数函数: ⒈根式的定义: ⑴方根:如果一个数的 n 次方等于 a (n>1 且 n?N*),那么这个数叫做 a 的 n 次方根. n 即:若 x =a,则 x 叫做 a 的 n 次方根. ⑵根式:式子 n a 叫做根式,其中 n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 当 n 是偶数时, n a 表示正数 a 的正的 n 次方根. ⒉根式的性质: ⑴( n a ) = a;
n

⒋有理指数幂的性质: r s r+s ⑴a ?a =a (a>0, r、s?Q); r s r s ⑵(a ) =a (a>0, r、s?Q); r r r ⑶(ab) =a b (a>0, b>0,r?Q). ⒌指数函数: x ⑴指数函数的定义:把形如 y=a (a>0,且 a≠1)的函数叫做指数函数. ⑵指数函数的图象和性质: y=a (a>0,且 a ≠1) 图 象 定义域 性 质 值 其 性 域 它 质 ①x>0 时,y>1; ②x<0 时,0<y<1; ③x=0 时,y=1. 即图象恒过点(0,1) ①x>0 时, 0<y<1; ②x<0 时, y>1; ③x=0 时,y=1. 即图象恒过点(0,1) 单调性
x

a>1

0<a<1

八、对数与对数函数: ⒈对数的概念: b ⑴对数的定义:如果 a(a>0,a≠1)的 b 次幂等于 N,即 a =N,那么,数 b 叫做以 a 为底 N 的对数.其中,a 叫做对数的底数,N 叫做对数的真数. ⑵常用对数:把以 10 为底的对数叫做常用对数,并记 log10N 为 lgN. ⑶自然对数:把以 e 为底的对数叫做自然对数,并记 logeN 为 lnN. 其中 e=2.71828??,是一个无理数. ⑷对数恒等式: aloga N ? N
(a ? 0且a ? 1,N ? 0) .

⒉对数的运算法则: 如果 a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 ⑴loga(MN)= logaM+logaN;⑵ log a
M n ? log a M ? log a N ;⑶logaM =n N

logaM.

⑵当 n 为奇数时,

n

an ? a
?a (a ? 0) . ?? a (a ? 0)

当 n 是偶数时; n an ?| a |? ? ⒊分数指数幂: 当 a>0,m、n?N*且 n>1 时,规定:
m

⒊对数的三个性质: ⑴1 的对数为 0(即 loga1=0);⑵底的对数为 1(即 logaa=1);⑶零和负数没有对数. ⒋对数函数: ⑴对数函数的定义:把形如 y=logax(a>0,且 a≠1)的函数叫做对数函数. ⑵对数函数的图象和性质:

a n ? am ;

n

a

?

m n

?

1
m an

m



0 n ? 0;

0

?

m n

无意义.
7

y=logax (a>0,且 a ≠1) 图 象 定义域 性 质 值 其 性 域 它 质 单调性

⑵递推法: ? a>1 0<a<1

?a1 ? a ?an ? an ?1 ? d

(n≥2);

⑶通项法:a1,a1+d, a1+2d, ?,a1+(n? 1)d.,?. ⒊通项公式:⑴已知首项 a1 和公差 d,则 an=a1+(n? 1)d. (一般公式为:an=dn+q). ⑵已知非首项 am(m≥2)和公差 d,则 an=am+(n? m)d. ⒋等差中项:如果 a,A,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.显然 2A=a+b. ⒌前 n 项和公式:Sn=
n(a1 ? an ) n(n ? 1) d .要求会推导! ;或 Sn=na1+ 2 2
2

①x>1 时,y>0; ②0<x<1 时, y<0; ③x=1 时,y=0. 即图象恒过点(1,0)

①x>1 时, y<0; ②0<x<1 时, y>0; ③x=1 时,y=0. 即图象恒过点(1,0)

前 n 项和的一般公式:Sn=An +Bn (A、B 为常数). ⒍性质:⑴在有穷等差数列中,与首末两项等距离的两项和相等,且等于首末两项的和. 即 a1+an= a2+an?1 = a3+an?2 =?= ak+an?k+1; * ⑵若 m+n=p+q,(m,n,p,q?N ),则 am+an= ap+aq; ⑶等差数列中除首项外的每一项 an(n≥2)都是到它距离相等的两项的等差中项, 即 2an=an?k+an+ k (n>k); ⑷公差 d 是数列图象上任意两点所在直线的斜率.即 d=
an ? am . n?m

第三章 数列基础知识梳理 一、数列 ⒈定义:按一定次序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数都叫做数列的项,各项依 次叫做这个数列的第一项(或首项),第二项,?,第 n 项,?. ⒉数列中的数有两个特性:⑴有序性;⑵可重复性. * ⒊数列与函数:数列是定义在 N (或它的有限子集{1,2,?,n})上的函数当自变量从小到 大依次取值时对应的一列函数值. ⒋数列的表示: ⑴数列的一般形式:a1,a2,?,a n,??简记为{a n}. ⑵解析法:若 an 与 n 的函数关系可用一个解析式 an=f (n)表示,这个公式叫做数列的通 项公式. * ⑶图象法:数列的图象是一群孤立的点(n,a n)(n?N )所组成的图形(在纵轴的右边). ⒌数列的分类: ⑴数列按项数 n 的取值范围分:①有穷数列;②无穷数列. ⑵数列按相邻项的大小关系分: * * ①递减数列(an+1>an,n?N ); ②递增数列(an+1<an,n?N =; * * ③摆动数列(an+1 与 an 的大小不定 n?N ); ④常数列(an+1=an,n?N ). ⒍由递推关系给定的数列: 已知数列的前若干项,而这些项之后的任意一项都可以用它相邻的前若干项的一个关 系式表示出来,这个关系式称做递推公式,这种给定数列的方法叫做递推法. 请思考:已知数列{an}中,a1=1,an=an?1+
1 (n≥2),求 an. n(n ? 1)

⑸数列(an}为等差数列的充要条件是 an 是关于 n 的一次函数(d≠0)或常数(d=0). 2 ⑹数列(an}为等差数列的充要条件是 Sn=An +Bn (A、B 为常数). 注意:下面的一个重要结论可用于解选择题和填空题: 有穷等差数列均匀分段 后,各段的和也成等差数列, .... 即 Sn,S2n? Sn, S3n? S2n,?Skn? S(k?1)n (k≥2) 成等差数列. 三、等比数列 ⒈定义:如果一个数列从第二项起每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数 列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示. 等比数列定义的数学表达式:
an ?1 ?q an

(n?N ).

*

由定义知,在等比数列中,an≠0,且公比 q≠0. ⒉表示方法:⑴定义法:
a2 a3 a ? ? ? ? n ?1 ? q ; a1 a2 an
?a1 ? a ?an ? an ?1 ? q
2

⑵递推法: ?

( n ? 2)


(n? 1)

答案:an=

2n ? 1 . n

⑶通项法:a1,a1q, a1q , ?,a1q ?. (n? 1) ⒊通项公式:⑴已知首项 a1 和公差 d,则 an=a1q . (n? m) ⑵已知非首项 am(m≥2)和公比 q,则 an=amq . ⒋等比中项:如果 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. G =ab 或 G=± ab .
? a1 (1 ? q n ) ⒌前 n 项和公式:Sn= ? ? 1? q ? na1 ? (q ? 1) (q ? 1)
? a1 ? an q ? ?na1 ? (q ? 1) (q ? 1)
2

⒎an 与 Sn 的关系:设 Sn=a1+a2+?+an,则 an= ?

? ?S1 ( n ? 1) * ? ?S n ? S n ?1 ( n ? 2, n ? N )

二、等差数列 ⒈定义:如果一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都等于同一个常数,那么这个数 列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母 d 表示. * 等差数列定义的数学表达式:an+1? an=d (n?N ). ⒉表示方法:⑴定义法:a2? a1= a3? a2=?=an+1? an=d;

或 Sn= ? 1 ? q

.要求会推导!

⒍性质:⑴在有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项积相等,且等于首末两项的积. 即 a1an= a2an?1 = a3an?2 =?= akan?k+1; * ⑵若 m+n=p+q,(m,n,p,q?N ),则 aman= apaq; ⑶等比数列中除首项外的每一项 an(n≥2)都是到它距离相等的两项的等比中项,
8

即 an =an?kan+ k (n>k),或 an=± an?k ? an?k ; 注意:下面的一个重要结论可用于解选择题和填空题: 有穷等比数列均匀分段 后,各段的和也成等比数列, .... 即 Sn,S2n? Sn, S3n? S2n,?Skn? S(k?1)n (k≥2) 成等比数列. 四、特殊数列求和的方法: 倒序法、通项分解法、错位相减法、裂项法等. 第四章 三角函数综合复习 一、概 念 1、角 正角 负角 零角 象限角 终边相同的角 2、角度制 ;弧度制 1 弧度角的规定 任意圆中圆心角弧度的算法 3、三角函数值的定义 单位圆 ;有向线段 三角函数线 4、三角函数值的符号判定: 三角函数 sinx cosx tanx 5、正弦型函数 y ? A sin(?x ? ? ) 中: 振幅 相位 6、反三角函数: (1)若 x ? [ ? ;周期 ;初相 ;频率 。 ; 象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

2

(1)sin(k ? 360? ? ? ) ?
(2)sin(? ? ? ) ? (3)sin(? ? ? ) ? (4)sin(?? ) ? (5)sin(2? ? ? ) ?

, cos(k ? 360? ? ? ) ?
, cos(? ? ? ) ? , cos(? ? ? ) ?

, tan(k ? 360? ? ? ) ?
, , , ,

,

, tan( ? ? ?) ? , tan( ? ??) ? , tan(?? ) ?

, cos(?? ) ? , cos(2? ? ? ) ?

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。

, tan(2? ? ? ) ?

B 组(函数名要变,符号看象限)

(1)sin(90? ? ? ) ?
(2)sin(90? ? ? ) ? (3)sin(270? ? ? ) ? (4)sin(270? ? ? ) ?

, cos(90? ? ? ) ?
, cos(90? ? ? ) ? , cos(270? ? ? ) ? , cos(270? ? ? ) ?

, tan( 90? ? ? ) ?
, tan( 90? ? ? ) ? , tan(270? ? ? ) ? , tan(270? ? ? ) ?
; 。 ; 。 。

,
, , ,

3、同角三角函数间的关系公式 (1)平方关系 ; (2)商数关系 ; (3)倒数关系 ; 4、直角坐标系中两点间的距离公式 5、两角和与差的三角函数及变形公式: (1) sin(? ? ? ) ? (2) tan? ? tan ? ? 6、二倍角公式: ; tan( ? ? ?) ?



; cos(? ? ? ) ?



? ?

, tan? ? tan ? ?

, ] ,则 sin x ? a(| a |? 1) ? x ? arcsin a 2 2

(2)若 x ? [0, ? ] ,则 cos x ? a(| a |? 1) ? x ? arccosa (3)若 x ? ( ?

sin 2? ?

;cos2? ?
2

?
; cos x ?
2

?

;tan2? ? ; tan x ?
2

。 。

? ?

, ) ,则 tan x ? a(a ? R ) ? x ? arctana 2 2
二、公式

(1)降幂公式: sin x ? (2)半角公式:

sin
1、有关概念的公式: 终边相同的两角 角度与弧度的换算公式 扇形的几个面积计算公式 2、诱导公式: ;任意圆中圆心角弧度大小 ; ; 。

x ? 2 x tan ? 2

; cos

x ? 2



?

?



7*、积化和、差公式:

sin ? ? cos ? ?
A 组(函数名不变,符号看象限)
9

; cos? ? sin ? ?



cos? ? cos? ?
8*、和差化积公式:

; sin ? ? sin ? ?



(1) 1 ? sin x ?

(2)

1 ? sin x ?

(3)

1 ? cos x ?
.

(4)

sin ? ? sin ? ? cos? ? cos ? ?

; sin ? ? sin ? ? ; cos? ? cos ? ?

1 ? cos x ?
; 。

(5) cos? cos2? cos4? cos8? cos16 ??

9、同名三角函数值相等的角的关系公式:

sin ? ? sin ? ? cos? ? cos ? ? tan? ? tan ? ?
10*、反三角函数的有关公式: (主要搞清楚下列公式中 x 的含义及范围)

; ; 。

11、三角函数值大小的比较: (1) 用诱导公式把角化到该三角函数的同一单调区间(或干脆化成锐角) ; (2)再由单调性进行大小比较。 12、三角函数不等式的解法: A 类方法------利用单位圆中的三角函数线求解: (1) ; (2) 。 B 类方法------利用正弦函数、余弦函数、正切函数的图象求解: (1) ; (2) 。 13、将正弦函数 y ? sin x 变成正弦型函数 y ? A sin x(?x ? ? ) 的过程: 。 (如果是正弦型函数变正弦型函数那么要用上学期学的图象变换方法) 14、根据正、余弦型函数的图象写解析式的方法: (1) ; (2) 。 15、求三角函数型函数的单调区间: 。 16、已知三角函数值求角的方法: (1) ; (2) ; (3)

x) ? x; tan(arctan x) ? x (! ) sin(arcsinx) ? x; cos(arccos x) ? x; arctan(tan x) ? x (2) arcsin(sinx) ? x; arccos(cos
三、解题方法、技巧 1、判断两个角的集合间的关系: 。 2、求两个集合的交集: (1)当两个集合都是角的集合时 。 (2)当两个集合都是“普通”实数集合时 。 (3)当一个是角集合而另一个是“普通”实数集合时 。 3、三角函数式的化简、证明过程中常用的方法与技巧: (1)消“1” ; (2)化“1” ; (3)切、割化弦。 4、求任意角的三角函数值步骤: (1) (2) (3) 。 5、三角函数式的化简、证明过程的巧配角: (1)未知角用已知角来表示; (2)非特殊的角用特殊角来表示。 6、对三角函数式的化简、证明问题的特征分析: (1)对角的特征分析(2)对函数名称进行分析(3)对幂指数进行分析。 7、根据已知条件求角的大小的方法: (1)选取恰当的三角函数求值; (2)根据角的范围得角的大小(在求、判断角的范围时有时要根据三角函 数值去逼出角在一个更小的范围才能求角的大小) 。 8、把 a sin x ? b cos x 引入辅助角化成一个角的三角函数: 。 (把三角函数式化成一个角的三角函数是求周期、单调区间、函数最值的较佳方法) 9、 sin x ? cos x与sin x cos x的关系: 10、题型
10





第四章 一.本单元重点知识梳理 ⒈角的概念与度量 ⑴象限角—— ⑵轴上角—— ⑶角度制与弧度制的换算:1 弧度= 度 弧 度 0 ° 30 ° 45 ° 60 ° 90 ° 120 ° 135 °

三角函数基础知识梳理

sinα cosα

度;1 度= 150 ° 180 ° 270 °

弧度. 360 °

tanα cotα ⒎诱导公式: (偶同奇余,象限定号) ⑴同名诱导公式(5 组) :(90°的偶数倍) k?360°+α (k?Z) ,-α ,180°+α ,180°-α ,360°-α 的三角函数值等于 α 的同 名三角函数值,前面加上把 α 看作锐角时原三角函数值的符号. 如:sin(180°+α )= ;cos(-α )= . ⑵换名诱导公式(4 组) : (90°的奇数倍) 90°-α ,90°+α ,270°-α ,270°+α 的三角函数值等于 α 的原三角函数的余函数的 值,前面加上把 α 看作锐角时原三角函数值的符号. 如:sin(90°+α )= ;cos (270-α )= . ⒏三角函数图象及性质: 函数 性质 定义域 值 域 y?[-1,1] 当 时, y 最大值= 当 时, y 最小值= x= y?[-1,1] 当 时, ; y 最大值= x= 当 时, . y 最小值= x= ; x= . y?R y?R y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx

⒉与角 α 终边相同的角的集合是: {β |β =k?360°+α ,k?Z} 或{β |β =2kπ +α ,k?Z} ⒊三角函数的定义与符号: y sinα = cosα = tanα = P (x,y) r α x 当 α 在第 象限时,sinα , 的值是正的. o 当 α 在第 象限时,sinα , 的值是负的. 当 α 在第 象限时,cosα ,的值是正的. 当 α 在第 象限时,cosα , 的值是负的. 当 α 在第 象限时,tanα ,的值是正的. 当 α 在第 象限时,tanα , 的值是负的. ⒋三角函数线: 三角函数值可以用单位圆中的有向线段表示,如下图所示:
B Y P
α

S T X M A

S

Y B P M O

B Y T X A T P M

S A X

S

B Y

α

α
O

α

O

O M A X









P

T

图1 图2 图3 图4 图中单位圆的圆心是坐标原点 O,与 x、y 轴的正半轴分别相交于点 A、B,与角 α 的终边相交于点 P,P 在 x 轴上的射影是 M,过 A、B 作圆的切线与角 α 的终边所在的直线分别相交于 T、S,则不论角 α 在哪一 个象限,恒有: sinα = ,cosα = ,tanα = ,注意:从上图可以清楚地看出角 α 所在象限各三角函数值 的符号,例当 α 在第二象限时(图 2) ,sinα =MP>0,α =OM<0,tanα =AT<O, ⒌同角三角函数关系式: ⑴平方关系:sin α +cos α =
2 2

图 象 ( 一 个 周期) 周 期 T= T= T= T=

奇偶性
x?[2kπ-
? ? 2kπ+ 2 2 ? 3? x?[2kπ+ 2kπ+ 2 2

;1+tan α =

2

sin? ;⑵商数关系: ? cos?

,

],y↑ ],y↓

x?[2kπ-π,2kπ],y↑ x?[2kπ,2kπ+π],y↓

在 x ? (kπ -
? 2

; 单调性

,

,kπ +

? 2

)内 y

⑶倒数关系:sinα ? =1; 2 注意:上述公式的其他变形,如:1-sin α = ⒍特殊角的三角函数值: 角 度 α 弧 度 α 0° 30° 45° 60° 90° 120 °

、1-cos α = 135 ° 150 ° 180 °

2

、tanα ?cosα = 270 ° 360 °



(以上 k?Z)

(以上 k?Z)

都 为单 调增 函数 ↑ (以上 k?Z)

在 x ? (kπ ,kπ +π ) 内 y 都为 单调 减函 数↓ (以上 k?Z)

对称性

11

注意:⑴会用五点法作函数 y=Asin(ω x+φ )的图象. ⑵y=Asin(ω x+φ )的图象是由 y=sinx 的图象经过怎样的变换得到的? ⒐两角和与差的三角函数、两倍角的三角函数公式: ⑴sin(α ±β )= ⑵cos(α ±β )= ⑶tan(α ±β )= ⑷sin2α = tan2α = 注意: ①公式的逆用,如: sin
2

cos2α =

tan 45? ? tan ? 1 ? tan? ? tan(45? ? ? ) ; ? 1 ? tan? 1 ? tan 45? ? tan ?

?
12

-cos

2

?
12

= 1+cos2α = 2 cos α = 1-cos2α =

②公式的变形,如:sinα ?cosα = 2 降幂公式:sin α =

③半角公式:sin

1 ? cos ? ? =± ; 2 2

cos

1 ? cos ? ? =± ; 2 2

tan

1 ? cos? 1 ? cos? ? sin? =± = = . 1 ? cos? 2 sin? 1 ? cos?

④万能公式:sin2α =

. 1 ? tan ? 1 ? tan 2 ? ⑤会用和角公式求函数 y=asinx+bcosx 的最大值、最小值、周期、单调区间.
2

2 tan ?

;cos2α =

1 ? tan 2 ?

1 ? tan 2 ?

;tan2α =

2 tan ?

⒑三角形中的三角函数: ⑴在△ABC 中,0<A,B,C<π ,且 A+B+C=π ,sin(A+B)=sinC,cos(A+B)= ? cosC; ⑵正弦定理: a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC, 其中 R 是△ABC 的外接圆的半径. a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC. ⑶余弦定理: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a =b +c -2bccosA;b =a +c -2accosB;c =a +b -2abcosC. 或 cosA= cosB= cosC=

12

第五章 平面向量基础知识梳理 一、向量的概念: ⒈有向线段: ⒉向量: 向量通常用有向线段 AB 或 a 表示. ⒊向量的模:向量 AB 的 又叫做向量的模,记作 . ⒋两个重要概念: ①零向量: 叫做零向量.记作 . 注意:零向量没有规定它的方向,因此零向量的方向是任意的. ②单位向量: 叫做单位向量. 注意:单位向量的方向与它所在向量的方向相同. ? ? ⒌相等向量: 叫做相等向量. 向量 a 与 b 相等记作 ? ? ⒍平行向量: 叫做平行向量. 向量 a 与 b 平行可记作 规定: 0 与任一向量平行.即 0 ∥ a , AB ∥ 0 , 0 ∥ 0 . ⒎共线向量: 叫做共线向量. ? ? ? ? 注意:若 a 与 b 是共线向量,则 a 与 b 的方向 ,它们所在的直线 它们的夹角是 . ⒏相反向量: 叫做相反向量. ? ? ? ,?a 的相反向量是 , 0 的相反向量是 . a 的相反向量是 ? ? ⒐两个非零向量 a 和 b 的夹角: ⒑点 P 分有向线段 AB 所成的比 λ : 注意:λ 的取值范围是 ⑴当点 P 在线段 P1P2(不含端点)上时,λ 的取值范围是 ⑵当点 P 在线段 P1P2 的延长线上时,λ 的取值范围是 ⑶当点 P 在线段 P2P1 的延长线上时,λ 的取值范围是 二、向量的运算: ⒈向量的加法:
?
?

叫做有向线段. 叫做向量.
?

?

. .

?

?

?

?

?

?

?

⑴定义:实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λ a ,它的长度与方向规定如下: ? ①|λ a |= ; ? ? ? ? ②当 λ >0 时,λ a 的方向与 a 的方向 ,当 λ <0 时,λ a 的方向与 a 的 ? 方向 ;当 λ =0 时,λ a = . ? ? ? ? ⑵运算律:①λ (μ a )= ;②(λ +μ ) a = ;③λ ( a ? b )= . ⑶实数与向量的积的坐标运算: ? ⑷特例:若 λ ?R,则 λ 0 = . ⒋向量的数量积(或内积) : ? ? ? ? ⑴定义:已知非零向量 a 和 b ,它们的夹角为 θ ,则 a ? b = . ? ? ? ? ? ? ? ? ⑵向量数量积 a ? b 的几何意义:数量积 a ? b 等于 a 长度| a |与 b 在 a 的方向上的投影 ? | b |cosθ 的乘积. ? ? ? ? ? ? ? ⑶运算律:① a ? b = ;②(λ a )? b = = ;③( a + b )? c = . 注意:向量的数量积没有结合律! ? ? ? ? ? ? ⑷性质:设 a 和 b 都是非零向量 , e 是与 b 方向相同的单位向量,θ 是 a 与 e 的夹角,则: .... ①e ?a= ; ②a ⊥b ? ; ? ? ? ? ? ? ? ? ③当 a 和 b 同向时,θ = ,a ? b = ;当 a 和 b 反向时,θ = ,a ? b = ; ? ? ? 特别地, a ? a = ,或| a |= . ⑸向量的数量积的坐标运算: ? ? ? ? 设 a =(x1,y1) , b =(x2,y2) ,则 a ? b = . ? ? ? ? ⑹特例: 0 ? a = ,0?0 = . 三、重要定理、公式及方法: ⒈平面向量基本定理: ? 如果 e1 和 e 2 是同一平面内的两个不共线 向量, 那么对该平面内的任一向量 a 有且只有一对实数 ... λ 1、λ 2,使 a =λ
?
1

?

?

?

?

?

?

.

. ; ; .

e1 +λ

2

e2

. . . = .

注意:若 e1 和 e 2 是同一平面内的两个不共线 向量, ... 则 a e1 +b e 2 = c e1 +d e 2 的充要条件是 ? ? ⒉向量模的计算公式:设 a =(x,y) ,则| a |=
? ? ⒊设 a =(x,y) ,则 a 的单位向量 a 0
? a = ? |a|

? ? ⑴向量 a 与 b 的和的定义:

=

⑵向量加法法则:①三角形法则(请画图于右) AB + BC (首尾相连) ②平行四边形法则(请画图于右) AB + AC (起点相同) ⑶向量加法运算律:①交换律: ②结合律: ? ? ? ? ? ? a ? 0 ⑷特例: = ,0? a= ,0?0= . ? ? ? ? ⑸向量加法的坐标运算:设 a =(x1,y1) , b =(x2,y2) ,则 a ? b =
?

?

?

⒋如何证明 A(x1,y1) 、B(x2,y2) 、C(x3,y3)三点共线?
?

⒌两个向量平行、垂直的充要条件: 大 . 平 行 垂 直
? 且b ? ≠0



提 =(x2,y2),

? ? a =(x1,y1), b

充 要 向 量 表 示
? ? a∥b ? ? a⊥b

条 坐
? ? a∥b ? ? a⊥b

件 标 表 示

? ?

? ?

⒉向量的减法: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑴向量 a 与 b 的差的定义:向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差,记作 a +(?b )= a ?b . ? ? . a ?b 是怎样的一个向量?答: ⑵向量减法法则:设 a = OA , b = OB ,
? ? 则 a ?b
? ?

? ? a =(x1,y1), b =(x2,y2), ? ? ? ? 且a≠0 、b ≠0

?

?

?

?

B

注意:若不考虑上面的大前提,则 ? ? ⑴向量 a =(x1,y1),和 b =(x2,y2)平行的充要条件 是 x1y2-x2y1=0. .... ⑵向量 a =(x1,y1),和 b =(x2,y2)垂直的必要不充分条件 是 x1x2+y1y2=0. ....... ⒍向量 a 在 b 方向上的投影= . ? ? ⒎已知向量 a =(x1,y1),和 b =(x2,y2),它们的夹角为 θ ,则 cosθ = ⒏线段的定比分点坐标公式: 已知 P1(x1,y1),P2(x2,y2),点 P 分有向线段 P1P2 的比是 λ ,即有 P1P ? ? PP2 , 则 x=
13
?
?

O A = OA - OB = .(请画图于右). 重要结论:设 AB , AD 是两个不共线向量,则以 AB、AD 为邻边的平行 D 四边形的两条对角线的长分别是这两个向量和与差的模. A ? ? ? ? ? ? ⑶特例: a ? 0 = ,0?a= ,0?0 = . ? ? ? ? b ⑷向量减法的坐标运算:设 a =(x1,y1) , =(x2,y2) ,则 a ? b = ⒊实数与向量的积:

?

?

.

B .

,y=

.

⒐线段的中点坐标公式: 已知 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则线段 P1P2 的中点坐标是 . ⒑三角形的重心坐标公式: 设 △ ABC 三 顶 点 的 坐 标 为 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , C(x3 , y3) , 则 △ ABC 的 重 心 G 的 坐 标 是 . ⒓正弦定理: ⒔余弦定理: ⒕射影定理: ⒖三角形面积公式: ⒗平行四边形对角线性质: D C 平行四边形两条对角线的平方和等于各边平方和, 2 2 A B 即 AC +BD = 练 习 题 ⒈判断下列命题的真假,并将命题改正过来: ⑴单位向量都相等 ⑵共线向量都相等 ? ? ? ? ⑶若| a |=| b |,则 a = b ⑷模为零的向量与任一向量平行 ? ? ? ? ? ? ⑸若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c ⑹平行向量一定是相等向量 ? ? ? ? ⑺共线向量是平行向量 ⑻若 a 与 b 方向相反,称 a 是 b 的相反向量 ? ? ? ? ⒉已知 AC 为 AB 与 AD 的和向量,且 AC = a , BD = b ,分别用 a 、 b 表示向量 AB 与 AD .

⒎设 e1 , e 2 是两个不共线向量,已知 AB =2 e1 +k e 2 , CB = e1 +3 e 2 , CD =2 e1 - e 2 ,若 A,B,D 三点 共线,求 k 的值.

⒏已知向量 a =(1,1) , b =(cosθ ,sinθ ) , (0≤θ ≤π ) ,求| a ? b |的范围.

?

?

?

?

第六章

不等式基础知识梳理

二、不等式的性质: ⒈a-b>0 ? ;a-b=0 ? ;a-b<0 ? ; ⒉a>b ? ; (可逆性)⒊a>b,b>c ? ; (传递性) ⒋a>b a+c>b+c; (填或 ? 或?或? ) 该性质是移项法则的依据 ⒌a>b,c>0? ;a>b,c<0? ; ⒍a>b,c>d? ; (同向不等式相加法则) ⒎a>b>0,c>d>0? ; (正数同向不等式相乘法则) ⒐若 a、b 同号(即 ab>0) ,且 a>b,则 ⒑a>b>0,n?N,且 n>1? ⒒a>b>0,n?N,且 n>1? 三、常用的基本不等式: 2 ⒈设 a?R,则 a ≥0 ⒉设 a、b?R,则 a +b ≥2ab; ⒊当 ab>0 时,
b a ? ≥ a b
+ 2 2

⒊已知 ABCDEF 为正六边形,且 AB = a , AE = b ,用 a 、 b 表示向量 DE , AD , BC , EF , FA ,CD , AC ,CE .
F A B C E D

?

?

?

?

1 1 (同号两数的倒数法则) ? ; a b

; (正数乘方法则) ; (正数开方法则)

⒋已知向量 a =(3,-4) , b =(2,x) , c =(2,y) ,且 a ∥ b , a ⊥ c ,求 b ? c 及 b 与 c 的夹角.

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

a2 ? b2 a?b 2 (当且仅当 ?( ) ; 2 2

时取等号)

? ? ⒌已知 a =(1,2) ,b

=(-3,2) ,当 k

? ? 为何值时,k a + b

? ? 与 a -3 b

; (当且仅当
a?b (当且仅当 ? ab ; 2

时取等号) 时取等号)

⑴垂直?⑵平行?平行时它们是同向还是

反向?

⒌均值不等式: ⑴设 a、b?R ,则 基本变形:a+b≥2 ab ;ab≤ (

a?b 2 ) .这两个不等式分别用于求最小值和最大值. 2

即:①已知两个正变数的积是一个常数,则当且仅当这两个数相等时,它们的和取最小值; ②已知两个正变数的和是一个常数,则当且仅当这两个数相等时,它们的积取最大值. ⒍已知| AB |=3.2,| AC |=4.8, AB 与 AC 的夹角为 50°,求⑴| AB - AC |;⑵ AB - AC 与 AB 的夹角(长度保 / 留四个有效数字,角度精确到 1 ).

14

15

第七章 解析几何基础知识梳理
一、直线: ㈠基本公式: ⒈两点距离公式:已知点 P1(x1,y1) 、P2(x2,y2) ,则|P1P2|= ⒉线段的定比分点坐标公式:

.

⑴l1 与 l2 相交 ? ;⑵l1∥l2 ? ;⑶l1 与 l2 重合 ? ⑷l1⊥l2 ? . ⒉斜率不一定存在,直线 l1:A1x+B1y+C1=0,直线 l2:A2x+B2y+C2=0,则: ⑴l1 与 l2 相交 ? ; ⑵l1∥ l2 ? ; ⑶l1 与 l2 重合 ? ; ⑷l1⊥ l2 ? . ⒊直线 l1 到直线 l2 的角: ⑴定义: ⑵范围: ; ⑶求法: ①当两直线的斜率都存在且 k1?k2≠-1 时,可用公式 . ②当两直线的斜率都存在且 k1?k2= -1 时,则 l1⊥l2; ③当两直线中有一条斜率不存在时,可画图帮助解决. ⒋直线 l1 与直线 l2 的夹角: ⑴定义: ⑵范围: ; ⑶求法: ①当两直线的斜率都存在且 k1?k2≠-1 时,可用公式 . ②当两直线的斜率都存在且 k1?k2= -1 时,则 l1⊥l2; ③当两直线中有一条斜率不存在时,可画图帮助解决. ⒌两相交直线交点坐标的求法: ⒍两平行线之间的距离: 直线 l1:Ax+By+C1=0,直线 l2:Ax+By+C2=0,则 l1 与 l2 间的距离 d= . 过两定点 P、Q 分别作倾斜角相等的直线,这两条平行直线间距离的最大值是 . ㈦二元一次不等式表示的平面区域: ⒈当 B>0 时,⑴点 P(x1,y1)在直线 l:Ax+By+C=0 的上方 ? ; ⑵点 P(x1,y1)在直线 l:Ax+By+C=0 的下方 ? . ⒉当 B=0,A>0 时,⑴点 P(x1,y1)在直线 l:Ax+C=0 的右方 ? ; ⑵点 P(x1,y1)在直线 l:Ax+C=0 的左方 ? . ㈧简单线性规划问题最优解的解题步骤: ⒈画可行域; ⒉画斜率是 k 的直线系; ⒊根据直线系扫过可行域的情况,判别直线在哪一点处纵截距有最小值,在哪一点处 纵截距有最大值; ⒋求出纵截距最大、最小时相应的点的坐标,即最优解; ⒌根据最优解求出目标函数的最大值或最小值. ㈨基本练习题: 2 2 2 ⒈已知直线 l:(2m -7m+3)x+(m -9)y+3m =0,当倾斜角 α =45°时,m= ;当 m= 时, l 平行于 y 轴;当 m 时, l 在 y 轴上的截距为 4. ⒉已知直线 kx+2y-3=0 过点(1,1),则 k= ;若它与直线 2x-y+5=0 垂直,则 k= ; 此时两直线交点坐标为 ;两直线与 x 轴围成的三角形的面积为 . ⒋已知直线 l1:(a-1)x-2y+3=0、l2:x-ay+1=0,当 a= 时,l1∥l2;
16



已知两点 P1(x1,y1) 、P2(x2,y2) ,点 P(x,y)分有向线段 p1 p 2 的比是 λ ,即 p1 p ? λ pp 2 , 则x = ,y= . ⒊中点坐标公式:已知两点 P1(x1,y1) 、P2(x2,y2) ,线段 P1P2 的中点坐标是(x,y) , 则 x= ,y= . ⒋三角形的重心坐标公式:已知三角形的三点坐标 A(x1,y1) 、B(x2,y2) 、C(x3,y3) , △ABC 的重心是 G(x,y) ,则 x= ,y= . ⒌斜率 ⑴直线倾斜角的定义: ⑵直线斜率的定义: ⑶公式:已知两点 A(x1,y1) 、B(x2,y2) , (x1≠x2) ,则 kAB= . 注:已知三点 A(x1,y1) 、B(x2,y2) 、C(x3,y3) ,如何证明这三点共线? ㈡直线方程: ⒈直线方程的几种形式: 名 称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 已 知 条 件 方 程 说 明 点 P(x0,y0)和 斜率 k 斜率 k 和纵截距 b 两点 P1(x1,y1) 、 P2(x2,y2) 在 x 轴、 y 轴上的 截距分别是 a、b

不包括与 x 轴垂直的直线 不包括与 x 轴垂直的直线 x1≠x2 且 y1≠y2 不包括平行于坐标轴及经过 原点的直线 A、B 不全为 0

注:已知两点 P1(x1,y1) 、P2(x2,y2) ,则直线 P1 P2 的方程总可写为(不要讨论) : . ⒉特殊位置的直线方程: ⑴垂直于 x 轴的直线方程是 . y 轴的方程是 . ⑵垂直于 y 轴的直线方程是 . x 轴的方程是 . ⑶过原点的直线(除 y 轴)方程是 . ⑷求过点 P(x0,y0) (不是原点)且在坐标轴上的截距相等的直线方程时应考虑哪几种情况? ㈢点 P(x0,y0)与直线 l:Ax+By+C=0 的位置关系: ⒈P 在直线 l 上,则有 . ⒉P 在直线 l 外, P 到直线 l 的距离为 d,则 d= ㈣两直线 l1 和 l2 的位置关系: ⒈斜率存在,直线 l1:y=k1x+b1,直线 l2:y=k2x+b2,则

当 a= 时,l1⊥l2;当 a= 时,l1、l2 所成的角等于 45°. ⒌直线 l 过点 A (-2,2)且和两坐标轴围成的三角形面积等于 1,则直线 l 的斜率 k= . ⒍不论 k 取何值,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0 必过定点 . 三、圆: ㈠圆的定义; . ㈡圆的方程: ⒈标准方程: ;圆心坐标是 ,半径是 . ⒉一般方程: ;圆心坐标是 ,半径是 . 注:⑴若已知条件与圆心或半径有关,通常用标准式求圆方程;若已知条件是不共线的 三点,通常用一般式求圆的方程. ⑵以 A(x1,y1),B(x2,y2)两点为直径端点的圆的方程是 . ㈢点与圆的位置关系: 2 2 2 2 2 已知点 P(x0,y0)与圆 C 方程(x-a) +(y-b) =r (或 x +y +Dx+Ey+F=0),则: 点 P 在圆 C 上? 或 ; 点 P 在圆 C 外? 或 ; 点 P 在圆 C 内? 或 . ㈣直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有 、 、 三种.判别方法如下: 判别方法(一)根据圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系: d<r ? ;d=r ? ;d>r ? . ㈦圆与圆的位置关系: 设⊙C1、⊙C2 的半径分别是 r1、r2,圆心距|C1C2|=d,则: 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 .

三.若干问题的证明方法 ㈠.共面(点、线)及异面问题 1.如何证明若干条直线共面? ⑴ ⑵ (注:如何证明两个平面重合?) 2.如何证明若干条直线共点或若干点共线? 3.如何证明两条直线是异面直线? ⑴直接证明,即用 ⑵间接证明:① ② ㈡.平行问题: 1.如何证明线线平行? ⑴ ⑶ ⑸ 2.如何证明线面平行? ⑴ ⑶ 3.如何证明面面平行? ⑴ ⑶ ㈢.垂直问题: 1.如何证明线线垂直? ⑴ ⑶ 2.如何证明线面垂直? ⑴ ⑶ ⑸ 3.如何证明面面垂直? ⑴ 四.线面、面面平行或垂直的性质 ㈠.线面平行的性质: ⒈ ⒊ ㈡.线面垂直的性质: ⒈ ㈢.面面平行的性质: ⒈ ⒊ ⒌ ㈣.面面垂直的性质:
17

⑵ ⑷



⑵ ⑷

㈧两圆相交时公共弦所在直线方程的求法:

第八章 直线与平面基础知识梳理
一.平面的性质 公理一: 公理二: 公理三: 推论 1 推论 2 推论 3 二.异面直线 公理四: (注:平行公理 等角定理 异面直线的定义 空间两条直线的位置关系有 异面直线的判定定理 异面直线所成角的定义 异面直线的公垂线及距离的定义

⑵ ⑷ ⑵ ⑷ ⑹ ⑵

⒉ ⒋ ⒉ ⒉ ⒋ ⒍



⒈ ⒉ ⒊ ⒋ 五.几个唯一性定理 ㈠.线面垂直的唯一性定理 ⒈ 2. ㈡.面面平行的唯一性定理 六.角 ㈠.异面直线所成角 1.定义(见前) ⒉范围 3.求法 ⑴平移法;⑵中点法;⑶补形法;⑷利用异面直线上任意两点间的距离公式 ㈡.直线与平面所成的角 1.斜线与平面所成的角的定义 2.最小角定理 3.范围⑴斜线与平面所成的角的范围 ⑵直线与平面所成的角的范围 ㈢.二面角 1.定义 2. 范围 3.二面角的平面角的定义 4.二面角的平面角的常用找法: ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 5.求法⑴找出平面角,解平面角所在的三角形 ⑵利用面积射影定理 ⑶利用异面直线上任意两点间的距离公式 七.距离 ㈠.两点间的距离 ㈡.点到直线的距离 ㈢.两平行线间的距离 ㈣.异面直线间的距离的常见求法 ㈤.异面直线上任意两点间的距离公式 ㈥.点到平面的距离 ㈦.线面平行时,直线与平面的距离 ㈧.两平行平面间的距离 八.几个重要结论 ㈠.正方体中体对角线与面对角线若异面,则它们必 ㈡.经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线,如果斜线和这个角两边的夹角相等,那么斜线在平面 上的射影是 ㈢ . 斜 线 AB 在 平 面 α 上 的 射 影 是 AD , AC?α , 设 ∠ BAD=θ 1 , ∠ CAD=θ 2 , ∠ BAC=θ , 则 有 。 《简单几何体》基础知识梳理 一.棱柱: 棱 定 义 底面 柱 直 棱 柱 正 棱 柱

主 要 性 质

侧面 侧棱 高 对角面 平截面 其他 侧面积 全面积 体积 平行六面 体 直平行六 面体

公 式

二.四棱柱及平行六面体: 四棱柱 定 主 要 性 质 义 底面 侧面 对角面 对角线 直四棱柱 长方体 正方体

三.棱锥: 1.棱锥的定义 2.正棱锥的定义; 3.一般棱锥平截面重要性质: 4.若棱锥的底面积是 S,则它的中截面面积= 5.正棱锥的侧棱 ,底面是 ,侧面是 , 对角面是 ,顶点与底面中心的连线段是正棱锥的 . 6.正棱锥的侧面积计算公式:S 正棱锥侧= 7.棱锥的体积计算公式:V 锥体= . 四.正多面体与欧拉公式: 1.正多面体的定义: 五.球:1.球的定义: 2.球的截面是 ,设球的半径是 R,截面的半径是 r,球心到截面的距离是 d,则它 门的关系式是 . 3.球的大圆、小圆的定义: 4.球面距离的定义: 6.球的体积公式: 7.球的表面面积的计算公式:

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