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第三讲第四讲韦达定理


第三讲 韦达定理(1)
问题1、如果 ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的两根分别为 x1 , x2 ,那么 x1 ? x2 , x1 x2 与二次方程的系 数有什么样的关系

4、如果关于x的方程x2+6x+k=0的两根差为2,那么k=



5、已知方程x2-mx-2=0的两根互为相反数

,则m= 结论:韦达定理 问题2、特别的,对于二次项系数为1的一元二次方程 x2 ? px ? q ? 0 ,若 x1 , x2 是其两根,由 韦达定理可知 x1 ? x2 = 即p= ,q= , x1 x2 =



问题3、因此方程 x2 ? px ? q ? 0 用它的两根 x1 , x2 怎么表示? 结论:以两个数 x1 , x2 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是

6、已知关于x的一元二次方程(a2-1)x2-(a+1)x+1=0两根互为倒数,则 a =



韦达定理应用: 1、 如果关于x的一元二次方程 x ? 2 x ? a ? 0 的一个根是1- 2 , 那么另一个根是
2

7、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 ,



a 的值为

。 8、已知两个数的和为4,积为-12,求这两个数

2、一元二次方程px2+qx+r=0(p≠0)的两根为0和-1,则q∶p=

。 9、已知方程2x2+mx-4=0两根的绝对值相等,则m= 。

3、已知关于x的一元二次方程mx2-4x-6=0的两根为x1和x2,且 x1 ? x2 =-2,则m=



x1 ? x2 =



第三讲 韦达定理(1)作业
1、已知方程 x -3x+1=0的两个根为α ,β ,则α +β =_____ , α β = _____ 。 2、已知关于 x 的方程 10 x -(m+3)x + m-7= 0 ①若有一个根为 0,则 m=_________ ,这时,方程的另一个根是_________ ; ②若两根之和为 ?
2 2 2

第四讲 韦达定理(2)作业
1、设 x1 , x 2 是方程 2 x -6x+3=0 的两根,则 x1 ? x2 的值是( )
2

2

2

(A)15

(B)12
2

(C)6

(D)3

2、关于 x 的方程 x ? 4 x ? m ? 0 的两根 x1 , x2 满足 | x1 ? x2 | =2,求实数 m 的取值范围

3 ,则 m=_________ ,这时方程的两个根分别为_____,_____。 5
) 3、设 x1 , x 2 是方程 2 x ? 4 x ? 3 ? 0 的两根,利用根与系数的关系,求下列各式的值。
2

3、以方程 x +2x-3=0 的两个根的和与积为两根的一元二次方程是(

(A) y 2 +5y-6 = 0 (B) y 2 +5y+6 = 0 (C) y 2 -5y+6 = 0 (D) y 2 -5y-6 = 0 4、已知方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的两根为 x1 , x2 ,求 ? x1 ? 3?? x2 ? 3? 值
2

(1)

?x1 ? 1??x2 ? 1?

(2)

?x1 ? x2 ?2

(3)

x 2 x1 ? x1 x 2

5、已知关于x的二次方程x2-2(a-2)x+a2-5=0有实数根,且两根之积等于两根之和的2倍,求a 的值。
2

4、设 x1 , x 2 是方程2 x -6x+3=0的两个根,求下列各式的值: 6、已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根,x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根,求常 数 p、q的值。 , (1) x1 x2 ? x1 x2
2 2

(2)

1 1 ? x1 x 2

(3) x13 ? x23

7、已知x1、x2是关于x的方程x2+m2x+n=0的两个实数根;y1、y2是关于y的方程y2+5my+7=0的两个 实数根,且x1-y1=2,x2-y2=2,求m、n的值。

5、已知 ? , ? 是方程 x ? 7mx ? 4m ? 0 的两根,且 ?? ?1?? ? ?1? ? 3 ,求m的值
2 2

第四讲 韦达定理(2)
复习: 韦达定理:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,那么

练习:已知 x1 、 x2 是方程 x ? 5x ? 2 ? 0 的两个根,
2

求(1) x1 ? x2 (5) ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 的两个根.

(2) x1 ? x2 (6) | x1 ? x2 |

(3)

1 1 ? x1 x2

(4) x12 ? x22

x1 ? x2 =

, x1 x2 =

(7) x13 ? x23

反过来,如果 x1,x2 满足 x1+x2=p,x1x2=q,则 x1,x2 是一元二次方程

例1、 已知 x1 、 x2 是方程 2 x ? 3x ? 4 ? 0 的两个根,
2

求(1) x1 ? x2 (5) ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

(2) x1 ? x2 (6) | x1 ? x2 |

(3)

1 1 ? x1 x2

(4) x12 ? x22

(7) x13 ? x23

例2、 已知关于 x 的方程 x ? 2 ? m ? 2? x ? m ? 4 ? 0 有两个实数根, 并且这两个实数根的平方和
2 2

比两个根的积大 21,求 m 的值


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