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白鹭洲中学数学试卷(下学期)第一次模拟考试


白鹭洲中学 数学试卷(下学期)第一次模拟考试
数学试卷(文) 命题人:高三数学备课组 考试时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题:本大题共12题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.全集 U=R,集合 A ? {?1, 0,1} , B ? {x

x?2 ? 0} ,则 A ? (CU B)

? ( x ?1
C. {?1, 0,1}



A.{0,1}
2.将 y =2cos(

B.{0,1, 2}

D.?

? x ? ? + )的图象按向量 a =(- , ?2 )平移,则平移后所得图象的解析式为( ) 3 6 4 x ? x ? A. y =2cos( + )-2 B. y =2cos( - )-2 3 4 3 4 x ? x ? C. y =2cos( + )-2 D. y =2cos( + )+2 3 12 3 4 3.点 P( x , y )在直线 4 x +3 y =0 上且满足-14 ? x - y ? 7,则点 P 与坐标原点距离的取值范围是(
A.[0,5] B[0,10] C[5,10 ] D[5,15] ) 4.已知等差数列{ an }中, a2 ? 6, a5 ? 15 ,若 bn ? a2n ,则数列{ bn }的前 5 项和等于( A.30 5.已知双曲线 焦点距离为( A B.45 C.90 D.186



34 x2 y 2 ? ? 1 右支上一点 P 到左右两焦点的距离之差为 6,P 到左准线的距离为 ,则 P 到右 2 5 a 16
) B

34 5

16 3

C

34 3
)

D

16 5

6. l o g 1 x ?
2

?
3

? log 1
2

?
2

的解集为(

A.{x ?

5 ? x ? ?} 6 6 ? 5 ? C.{x ? ? x ? ? 且x ? } 6 6 3

?

B.{x x ? ?

5 , 或x ? ? } 6 6 5? 5? ? D.{x ? ?x? , 且x ? } 6 6 3
)

?

7.一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一球面上,引此球的表面积为( A.3 ?
2

B.4 ?

C.3 3

?

D.6 ?

8.设抛物线 x =2p y (P>0),M 为直线 y =-2p 上任意一点,过 M 引抛物线的切线,切点分别为 A,B, A,B,M 的 横坐标分别为 X A , X B , X M 则( A. X A ? X B ? 2 X M C. B )

X A ? XB ? XM 2
D. 以上都不对

1 1 2 + = XA XB XM
2

9.已知函数 f( x )= 2cos x ? 2sin x cos x ? 1的图象与 g( x )=-1 的 图象在 y 轴右侧交点按横坐标从小到大顺

PP 序记为 P1 , P 2, P 3 ........ 则 5 7 等于(
A

) C

3? 2

B

?

2?

D

5? 2

10.已知对任意实数 x .都有 f (? x) ? ? f ( x), g (? x) ? g ( x) ,且 x >0 时, f '( x) >0, g '(? x) >0,则 x <0 时有( ) A f '( x) >0, g '(? x) >0 C f '( x) <0, g '(? x) >0, B f '( x) >0, g '(? x) <0 D f '( x) <0, g '(? x) <0

11. 现有一种利用声波消灭蟑螂的机器,其工作原理如图,圆弧型声波 DFE 从坐标原点 O 向外传播,若 D 是 DFE 弧与 x 轴的交点,设 OD= x , (0 ? x ? a) , 圆弧型声波 DFE 在传播过程中扫过平行四边形 OABC 的面积为

y (图中阴影部分) ,则函数 y = f( x )的图象大致是(



12. 设 M 是 ?ABC 中的任意一点, 且 AB ? AC ? 2 3 ? AB ? MA, ?BAC ? 300 。 定义 f(P)=(m,n,p),其中 m,n,p 表示 ? MBC, ? MCA, ? MAB 的面积,若 f(Q)=(

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

1 , x ,y),则在平面直角坐标系中点( x ,y)轨迹是( 2



二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上. 13.函数 f( x )= 1 ?

sin x 的最大值与最小值的和为________________. 2 ? cos x

14.已知 an ? n(n ? 1) .,则 a1 ? a2 ? ?a9 =_________________. 15.我们把三个集合中,通过两次连线后能够有关系的两个数字的关系称为”鼠标关系”,如图 1,可称 a 与 q,b 与 q, c 与 q 都为”鼠标关系”集合 A={a,b,c,d},通过集合 B={1,2,3} 与集合 C={m,n}最多能够产生 _________条”鼠标关系”,(只要有一条连线不同则”鼠标关系”不同)

f a b c m

g p q r a b c d c 1 2 3 m n

图1

图2

16. 已知定义域为 ? ??, ??? 的偶函数 f(x)的一个单调递增区间是(2,6),关于函数 y ? f (2 ? x) A. 一个递减区间是(4,8) B.一个递增区间是(4,8) C.其图象对称轴方程为 x ? 2 D.其图象对称轴方程为 x ? ?2 其中正确的序号是______________. 三、解答题:本大题共6小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知向量 a ? (cos? ,sin ? ), b ? (cos ?,sin ?) (1) 若 ? ? ? ? (2) 若 ? ? ? ?

?

?

?
3 3

,求 a ? b 的值;

? ?

?

,记 f (? ) ? a ? b ? ? a ? b ,? ? ?0,

? ?

? ?

? ?? . ? 2? ?

当 1 ? ? ? 2 时,求 f (? ) 的最小值. 18.(本小题满分 12 分)一个袋中有 10 个大小相同的黑球、白球和红球,已知从袋中任意摸出 2 个球,至少得 到一个白球的概率是

7 . 9

(1)求白球的个数; (2)求从袋中任意摸出 3 个球,至多有一个白球的概率.

19. (本小题满分 12 分)

E 为 BC 的 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA 1 ? AB ? AC ? 4 , ?BAC ? 90 ,D 为侧面 ABB 1A 1 的中心, A1 C1 中点 B1 (1) 求证:平面 B1DE ? 侧面 BCC1B1 ;
0

(2) 求异面直线 A 1B 与 B 1E 所成的角; (3)求点 A 1 到面 B 1DE 的距离. A

D C E B

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? a2 x(a ? 0) 存在实数 x1 , x2 满足下列条件: ① x1 ? x2 ;② f ' ( x1 ) ? f ' ( x2 ) ? 0 ;③ x1 ? x2 ? 2 (1) 证明: 0 ? a ? 3 ; (2) 求实数 b 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 如图,设椭圆

x2 x2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 e ? ,右准线 L 上两动点 2 a b 2
y M

M,N, F2 为△ F1MN 的垂心. (1)若 F1M ? F2 N ? 2 5 ,求 a,b 的值; F1 0 F2 x

MN 的值(用 a 表示). (2)若 F 1M ? F 2N 与 F 1 F2 共线,求
N

????? ???? ?

???? ?

???? ?

22、 (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ? 1 ?

a ?2 2 ,记 bn ? n an an ? 1

(1) 求证:数列 ?bn ? 是等比数列,并求 bn ; (2) 求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (3) 记 cn ? nbn , Sn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ,对任意正整数 n ,不等式

m 3 1 1 1 ? Sn ? n(? ) n ?1 ? (? ) n ? 0 恒成立,求最小正整数 m . 32 2 2 3 2

答题卷 (文) 一选择题(共 12 题,每题 5 分,共 60 分) 1 2 3 4 5 题号 答案 C A B C B 二填空题(共 4 题,每题 4 分,共 16 分) 13____2_____ .14 330 .15 17. 解: (1) a ? b =1 ??4 分

6 C 24

7 A .16

8 A

9 B BC

10 D

11 D .

12 B

? ?

(2) a ? b ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos(?-? )=cos(2? ?

? ?

?
3

) ??5 分

? ? ? ? a ? b ? 2 ? 2cos(? ? ? ) ? 2 cos(? ? ) ? 2cos(? ? ) ??7 分 6 6
? ? ? ? ? ? ? f (? ) ? a ? b ? ? a ? b ? cos(2? ? ) ? 2? cos(? ? ) 3 6 ? ? f (? ) ? 2 cos 2 (? ? ) ? 2? cos(? ? ) ? 1 6 6
令 t ? cos(? ?

??8 分

?

?1 ? ) ,则 t ? ? ,1? 6 ?2 ?

f (t ) ? 2t 2 ? 2?t ? 1 ? 2(t ? ) 2 ? ?1 2 4
又1 ? ? ? 2 ,

?

?2

??10 分

1 ? ? ?1 2 2

?t ?

?
2

时, f (t ) 有最小值 ?

?2
4

?1

? f (? ) 的最小值为 ?
18.

?2
4

?1

??12 分

2 C10 7 解析: (1)设袋中白球的个数为 x,则 1 ? 2? x ? ……3 分 C10 9

又 x∈N ∴x=5 故白球有 5 个 (2)
1 C52C 5 C 52 1 ? ? 2 2 C10 C10 2

……6 分

P?

……10 分

19. 解: (1)连接 AE,因为 AB=AC,E 为 BC 的中点,所以 AE ? BC ??1 分 又侧面 BCC1B1 ? 底面 ABC,因此 AE ? 侧面 BCC1B1 ?? A 2分
1

C1 B1

AE ? B1DE

所以平面 B1DE ? 侧面 BCC1B1 ??4 分 D

(2)取 AE 中点 F,连接 DF,则 DF∥ B1E 所以 ? BDF 为异面直线 A 1B 与 B 1E 所成的角 ??6 分 在 △BDF 中,BD=2 2 , DF ?

A F B E

C

1 1 B1 E ? BB12 ? BE 2 ? 6 , BF ? EF 2 ? BE2 ? 10 2 2

cos ?BDF ?

BD2 ? DF 2 ? BF 2 3 ? 2 BD ? DF 6 arccos 3 ??8 分 6

? 求异面直线 A1B 与 B1E 所成的角

(3)因为 D 为 A 1B 的中点,所以点 B 到面 B 1DE 的距离等于点 A 1 到面 B 1DE 的距离 h 由 VB? AB1E ? VB1 ? ABE 得

1 1 S△AB1E ? h ? S△ABE ? BB1 3 3
即h ?

S△ABE ? BB1 4 3 ? S△AB1E 3

??12 分

20. 解(1) f ' ( x) ? 3ax2 ? 2 bx ? a2 则方程 f '( x) ? 0 的两个实根为 x1 , x2 ,由韦达定理可知:

a ? 0 ,故 x1 ? 0 ? x2 3 ? x +x 2 a ( 1 2) =1 又 x1 ? x2 ? 2 ? x2 ? x1 ? 2, ? ? x2 x1 ? 3 2 ??6 分 ?0? a ?3 x1 x2 ? ?

4b ? 12a3 (2) x2 ? x1 ? ? 2 即 b ? 3a3 ? 9a 2 3a

?0 ? a ? 3 ?b ? ?3a3 ? 9a 2 ? ?3a 2 (a ? 3) ? 0
另一方面,记 b ? g (a) ,则 g ' (a) ? ?9a2 ? 18a ? ?9a(a ? 2) 当 0 ? a ? 2 时, g ' (a) ? 0 ,当 2 ? a ? 3 时, g ' (a) ? 0

?

b ? g (2) ? 12 ? 0 ? b ? 12

??12 分

21.

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 2 解: (1)由 ? c 2 得 a ? 2b ……1 分 ?e ? ? a 2 ?

y

M

F1 (?

2 2 a, 0) , F1 ( a, 0) ,L: x ? 2a 2 2
????? ? ? 2 ?3 2 ? ???? ? a , y , F N ? a , y ? ? ? 1 2 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?

F1

0

F2

x

设 M ( 2a, y1 ), N ( 2a, y2 ) ,则 F1M ? ?

……2 分

N

由 F2 为△ F1MN 的重心知, F F2 N ? 0 得 y1 y2 ? ? 1M ?

????? ???? ?
2

3 2 a ? 0 ① ……3 分 2

?3 2 ? 2 由F 1M ? F 2N ? 2 5 得 ? ? 2 a? ? ? y1 ? 2 5 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 a? ? ? y2 ? 2 5 ? ?
由①②③联立方程组,消去 y1 y2 得 a ? 4
2



2



……4 分

∴a=2,b= 2

……6 分

(2)易知 F1M ? F2 N ? 2 2a, y1 ? y2 , F1 F2 ?

????? ???? ?

?

?

???? ?

?

2a, 0

?
6a
……12 分

????? ???? ? ???? ? F1M ? F2 N 与 F1F2 共线 知 y1 ? y2=0 ……9 分
∴ MN

???? ?2

? ( y1 ? y2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? 6a 2

∴ MN ?

???? ?

22. (本小题满分 12 分)

2 ?2 an ?1 ? 2 an 2 ? an 1 an ? 2 ? ? ?? ??4 分 解: (1) 2 an ?1 ? 1 1 ? ? 1 2an ? 2 2 an ? 1 an 1?
1 ? bn ?1 ? ? bn 2 1 1 ? 数列 ?bn ? 是公比为 ? 的等比数列,且首相为 b1 ? ? ??6 分 2 2

1 ? bn ? ( ? ) n 2

??8 分

(2)由

an ? 2 1 2n?1 ? (?1)n ? (? )n 得 an ? n an ? 1 2 2 ? (?1)n?1

??10 分

(3) S n ? ?

1 1 1 1 ? 2 ? (? ) 2 ? 3(? )3 ? ? ? n(? ) n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ? Sn ? (? )2 ? 2? ( 3) ?? ? n ? ( ? 1 ) (n ? n ) ? n(? 2 2 2 2 2
两式相减得 Sn ? ? ?1 ? (? ) n ? ? n(? ) n ?1 ??12 分 3 2 2

1

)

1? ?

1 ? ?

1

m 3 1 1 1 m 1 32 ? Sn ? n(? ) n ?1 ? (? ) n ? 0 即 ? ? 0 ? m ? ? m ? 11 32 2 2 3 2 32 3 3 ??14 分 ? 最小的正整数 m ? 11

?


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