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数学竞赛试题


小题, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 三.解答题:本大题有 4 小题, 共 44 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 解答题: 18.(本小题满分 10 分)
2 x 2 + 2kx + k <1 2 若不等式 4 x + 6 x + 3 对 x ∈ R 恒成立, 求实数 k 的取值范围.

19. (本小题满分 1

0 分)
2 2 设中心在原点的椭圆与双曲线 2 x ? 2 y = 1 有公共的焦点, 且它们的离心率互为倒数,

求该椭圆的方程.

20. (本小题满分 12 分)
2 2 (理科)圆 C : x + y ? 24 x ? 28 y ? 36 = 0 内有一点 Q (4,2), 过点 Q 作直角 AQB 交圆

于 A, B , 求动弦 AB 中点的轨迹方程.
2 2 (文科)直线 y = kx 与圆 x + y ? 6 x ? 4 y + 10 = 0 相交于两个不同的点 A, B , 当 k 取

不同的实数值时, 求动弦 AB 中点的轨迹方程.

21.

(本小题满分 12 分) 长为(米)的大型机器零件, 在通过传送带的流水线时, 为安全起见, 零件之间的距离

不得小于(米). 其中(米/时)是流水线的流速, 为比例系数. 现经测定, 当流速为 60 (米/ 时) 时, 零件之间的安全距离为 1.44. (1) 根据给出数据求出比例系数; (2) 写出流水线上的流量关于流水线流速的函数关系式; (流量是单位时间内通过的零 件数, 即) (3) 应该规定多大的流速, 才能使同一流水线上的零件流量最大? 最大流量是多少?

22 附加题 (本题满分 5 分, 但全卷总分不超过 100 分) 附加题: 课本小结与复习的参考例题中, 给大家分别用“综合法”,“比较法”和“分析法”证明了不
2 2 2 2 等式: 已知 a, b, c, d 都是实数, 且 a + b = 1, c + d = 1 , 则 | ac + bd |≤ 1 .

这就是著名的柯西( Cauchy .法国)不等式当 n = 2 时的特例, 即

(ac + bd ) 2 ≤ (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) , 等号当且仅当 ad = bc 时成立.
请分别用中文语言和数学语言简洁地叙述柯西不等式, 并用一种方法加以证明. 20. (本小题满分 12 分)
2 2 (理)已知圆方程 ( x ? 12) + ( y ? 14) = 376 , 设 AB 的中点 P ( x, y ) , 2 2 2 2 则有 | AP | = | PQ | = | AC | ? | CP | , 2 2 2 2 即 ( x ? 4) + ( y ? 2) = 376 ? [( x ? 12) + ( y ? 14) ] ,

--- 2 分 --- 4 分 --- 2


2 2 整理化简可得 AB 中点轨迹方程为 x + y ? 16 x ? 16 y ? 8 = 0 .

--- 4


2 2 (文)将直线和圆方程联立, 消去 y , 得 (1 + k ) x ? (6 + 4k ) x + 10 = 0 ,

--- 4 分

设此方程两根为 x1 , x 2 , AB 的中点 P ( x, y ) , 由韦达定理中点坐标得

x=

x1 + x2 2

=

3+ 2 k 1+ k 2

, 代入直线 y = kx ,

--- 4 分 --- 4 分

2 2 整理化简可得 AB 中点轨迹方程为 x + y ? 3x ? 2 y = 0 (位于圆内).

附加题: 附加题:(满分 5 分,总分不超过 120 分) 柯西不等式中文叙述: 两组实数乘积和的平方不大于平方和的乘积; 数学语言: 给定两组实数 --- 1 分 , 则有

a1,a 2, ,a n ?



b1,b2, ,bn ?

(∑ a i bi ) 2 ≤ (∑ ai ) ? (∑ bi )
2 2 i =1 i =1 i =1

n

n

n

.
2 n n 2

--- 1 分

f ( x) = (∑ ai ) x 2 + (2∑ ai bi )x + ∑ bi
证明: 令 (1)若
i =1 i =1 i =1

n

,

ai

全为 0,则结论显然成立;
n

(2)若
n

ai

∑a
不全为 0,则
i =1

2 i

>0

, f (x) 为首项系数大于 0 的一元二次函数,并

f ( x) = ∑ (a i x ? bi ) 2 ≥ 0

i =1

,故 f (x) 的判别式

? = (2∑ ai bi ) 2 ? 4∑ a i
i =1 i =1

n

n

2

n

∑b
i =1

2

i

≤0
,即

(∑ a i bi ) 2 ≤ (∑ ai ) ? (∑ bi )
2 2 i =1 i =1 i =1

n

n

n

, --- 3 分

显然,当且仅当

a i = kbi (i = 1, ?,n) 2,

时等号成立.

(没有采用求和符号内容过程正确均可以)


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