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2011高考数学难点突破


分析方法 22 轨迹方程的求法
求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方 程,其实质就是利用题设中的几何条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类 问题除了考查学生对圆锥曲线的定义, 性质等基础知识的掌握, 还充分考查了各种数学思想 方法及一定的推理能力和运算能力, 因此这类问题成为高考命题的热点, 也是同学们的一大 难点. 好

好掌握学习方法才是学好数学的前提 ●难点磁场 (★★★★)已知 A、B 为两定点,动点 M 到 A 与到 B 的距离比为常数λ ,求点 M 的轨迹 方程,并注明轨迹是什么曲线. ●案例探究 [例 1]如图所示,已知 P(4,0)是圆 x2+y2=36 内的一点,A、B 是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹 方程. 命题意图:本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方 程,属★★★★★级题目. 知识依托: 利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线 段 AB 中点的轨迹方程. 错解分析:欲求 Q 的轨迹方程,应先求 R 的轨迹方程,若学生思考不深刻,发现不了 问题的实质,很难解决此题. 技巧与方法: 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题, 可先确定一个较易于求得的点的轨 迹方程,再以此点作为主动点,所求的轨迹上的点为相关点,求得轨迹方程. 解:设 AB 的中点为 R,坐标为(x,y),则在 Rt△ABP 中,|AR|=|PR|. 又因为 R 是弦 AB 的中点, 依垂径定理: Rt△OAR 中, 2=|AO|2-|OR|2=36-(x2+y2) 在 |AR| 又|AR|=|PR|= ( x ? 4) 2 ? y 2 所以有(x-4)2+y2=36-(x2+y2),即 x2+y2-4x-10=0 因此点 R 在一个圆上,而当 R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上运动. 设 Q(x,y),R(x1,y1),因为 R 是 PQ 的中点,所以 x1= 代入方程 x2+y2-4x-10=0,得

x?4 y?0 , , y1 ? 2 2

x?4 2 y x?4 -10=0 ) ? ( )2 ? 4 ? 2 2 2 整理得:x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程. [例 2]设点 A 和 B 为抛物线 y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点,已知 OA⊥OB, OM⊥AB,求点 M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.(2000 年北京、安徽春招) 命题意图:本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程,属★★★★★级题目. 知识依托:直线与抛物线的位置关系. 错解分析:当设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)时,注意对“x1=x2”的讨论. 技巧与方法:将动点的坐标 x、y 用其他相关的量表示出来,然后再消掉这些量,从而 就建立了关于 x、y 的关系. 解法一:设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依题意,有 (

? ? ? 2 ? y1 ? 4 px1 ? 2 ? y 2 ? 4 px 2 ? y1 y 2 ? ?1 ? ? ? x1 x 2 ? y y1 ? y 2 ? ?1 ? ? ? x x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 y ? y1 ? ? x ? x1 ? x1 ? x 2
①-②得(y1-y2)(y1+y2)=4p(x1-x2) 若 x1≠x2,则有

① ② ③ ④ ⑤

y1 ? y 2 4p ? x1 ? x 2 y1 ? y 2



①?②,得 y12?y22=16p2x1x2 ③代入上式有 y1y2=-16p2 ⑥代入④,得

⑦ ⑧

4p x ?? y1 ? y 2 y

⑥代入⑤,得

y ? y1 y ? y1 4p ? ? 2 y1 ? y 2 x ? x1 y x? 1 4p

所以

4 p( y ? y1 ) 4p ? 2 y1 ? y 2 4 px ? y1

即 4px-y12=y(y1+y2)-y12-y1y2 ⑦、⑧代入上式,得 x2+y2-4px=0(x≠0) 当 x1=x2 时,AB⊥x 轴,易得 M(4p,0)仍满足方程. 故点 M 的轨迹方程为 x2+y2-4px=0(x≠0)它表示以(2p,0)为圆心,以 2p 为半径的圆,去 掉坐标原点. 解法二:设 M(x,y),直线 AB 的方程为 y=kx+b x 由 OM⊥AB,得 k=- y 由 y2=4px 及 y=kx+b,消去 y,得 k2x2+(2kb-4p)x+b2=0 所以 x1x2=

b2 ,消 x,得 ky2-4py+4pb=0 k2

所以 y1y2=

4 pb ,由 OA⊥OB,得 y1y2=-x1x2 k

所以

b2 4 pk =- 2 ,b=-4kp k k

x 代入,得 x2+y2-4px=0(x≠0) y 2 故动点 M 的轨迹方程为 x +y2-4px=0(x≠0), 它表示以(2p,0)为圆心, 2p 为半径的圆, 以 去掉坐标原点. [例 3]某检验员通常用一个直径为 2 cm 和一个直径为 1 cm 的标准圆柱,检测一个直 径为 3 cm 的圆柱,为保证质量,有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱,问这两个标准 圆柱的直径为多少? 命题意图:本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程,及将实际问题转化为数学问题的能 力,属★★★★★级题目. 知识依托:圆锥曲线的定义,求两曲线的交点. 错解分析:正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关 键. 技巧与方法:研究所给圆柱的截面,建立恰当的坐标系,找到动 圆圆心的轨迹方程. 解:设直径为 3,2,1 的三圆圆心分别为 O、A、B,问题转化为求两 等圆 P、Q,使它们与⊙O 相内切,与⊙A、⊙B 相外切. 建立如图所示的坐标系,并设⊙P 的半径为 r,则 |PA|+|PO|=1+r+1.5-r=2.5 ∴点 P 在以 A、O 为焦点,长轴长 2.5 的椭圆上,其方程为
故 y=kx+b=k(x-4p),用 k=-

1 16( x ? ) 2 2 4 ? 2 y =1 ① 25 3 同理 P 也在以 O、B 为焦点,长轴长为 2 的椭圆上,其方程为 1 4 (x- )2+ y2=1 ② 2 3
由①、②可解得 P(

3 9 12 3 9 12 9 12 , ), Q( ,? ) ,∴r= ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? 2 14 14 7 14 14 14 14

故所求圆柱的直径为

6 cm. 7

●锦囊妙计 求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法. (1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化,列出等式化 简即得动点轨迹方程. (2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆 等),可用定义直接探求. (3)相关点法 根据相关点所满足的方程,通过转换而求动点的轨迹方程. (4)参数法 若动点的坐标(x,y)中的 x,y 分别随另一变量的变化而变化,我们可以以这个 变量为参数,建立轨迹的参数方程.

求轨迹方程,一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程” 是两个不同的概念. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)已知椭圆的焦点是 F1、F2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 到 Q, 使得|PQ|=|PF2|,那么动点 Q 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线

x2 y2 =1 的长轴两个端点,P1、P2 是垂直于 A1A2 的弦 ? 9 4 的端点,则直线 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程为( )
2.(★★★★)设 A1、A2 是椭圆

x2 y2 ? ?1 9 4 x2 y2 C. ? ?1 9 4 二、填空题
A.

y2 x2 ? ?1 9 4 y2 x2 D. ? ?1 9 4
B.

3.(★★★★)△ABC 中,A 为动点,B、C 为定点,B(- -sinB=

a a ,0),C( ,0),且满足条件 sinC 2 2

1 sinA,则动点 A 的轨迹方程为_________. 2 4.(★★★★)高为 5 m 和 3 m 的两根旗杆竖在水平地面上,且相距 10 m,如果把两旗杆 底部的坐标分别确定为 A(-5,0)、B(5,0),则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方 程是_________. 三、解答题 5.(★★★★)已知 A、B、C 是直线 l 上的三点,且|AB|=|BC|=6,⊙O′切直线 l 于点 A, 又过 B、C 作⊙O′异于 l 的两切线,设这两切线交于点 P,求点 P 的轨迹方程.

6.(★★★★)双曲线

x2 y2 =1 的实轴为 A1A2,点 P 是双曲线上的一个动点,引 A1Q⊥ ? a 2 b2

A1P,A2Q⊥A2P,A1Q 与 A2Q 的交点为 Q,求 Q 点的轨迹方程. 7.(★★★★★)已知双曲线

x2 y2 =1(m>0,n>0)的顶点为 A1、A2,与 y 轴平行的直线 ? m2 n2

l 交双曲线于点 P、Q. (1)求直线 A1P 与 A2Q 交点 M 的轨迹方程; (2)当 m≠n 时,求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.

8.(★★★★★)已知椭圆

x2 y2 =1(a>b>0),点 P 为其上一点,F1、F2 为椭圆的焦点, ? a 2 b2

∠F1PF2 的外角平分线为 l,点 F2 关于 l 的对称点为 Q,F2Q 交 l 于点 R.

(1)当 P 点在椭圆上运动时,求 R 形成的轨迹方程; (2)设点 R 形成的曲线为 C,直线 l:y=k(x+ 2 a)与曲线 C 相交于 A、B 两点,当△AOB 的面积取得最大值时,求 k 的值. 参考答案 难点磁场 解:建立坐标系如图所示, 设|AB|=2a,则 A(-a,0),B(a,0). 设 M(x,y)是轨迹上任意一点. 则由题设,得

( x ? a) 2 ? y 2 | MA | =λ ,坐标代入,得 = | MB | ( x ? a) 2 ? y 2

λ ,化简得 (1-λ 2)x2+(1-λ 2)y2+2a(1+λ 2)x+(1-λ 2)a2=0 (1)当λ =1 时,即|MA|=|MB|时,点 M 的轨迹方程是 x=0,点 M 的轨迹是直线(y 轴). (2)当λ ≠1 时,点 M 的轨迹方程是 x2+y2+

2a(1 ? ?2 ) x+a2=0.点 M 的轨迹是以 1 ? ?2

(-

a (1 ? ?2 ) 2a? ,0)为圆心, 为半径的圆. 2 1? ? | 1 ? ?2 |
歼灭难点训练 一、1.解析:∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|, ∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a, 即|F1Q|=2a,∴动点 Q 到定点 F1 的距离等于定长 2a,故动点 Q 的轨迹是圆. 答案:A 2.解析:设交点 P(x,y),A1(-3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,-y0) ∵A1、P1、P 共线,∴

y ? y0 y ? x ? x0 x ? 3 y ? y0 y ? x ? x0 x ? 3

∵A2、P2、P 共线,∴

x y 9 3y x2 y2 解得 x0= , y0 ? , 代入得 0 ? 0 ? 1,即 ? ?1 x x 9 4 9 4 答案:C 1 1 二、3.解析:由 sinC-sinB= sinA,得 c-b= a, 2 2
∴应为双曲线一支,且实轴长为

2

2

16 x 2 16 y 2 a a ,故方程为 2 ? ? 1( x ? ) . 2 4 2 a 3a

答案:

16 x 2 16 y 2 a ? ? 1( x ? ) 2 2 4 a 3a
5 ( x ? 5) ? y
2 2

4.解析:设 P(x,y) ,依题意有

?

3 ( x ? 5) 2 ? y 2

,化简得 P 点轨迹方程为

4x2+4y2-85x+100=0. 答案:4x2+4y2-85x+100=0 三、5.解:设过 B、C 异于 l 的两切线分别切⊙O′于 D、E 两点,两切线交于点 P.由切 线的性质知:|BA|=|BD|,|PD|=|PE|,|CA|=|CE|,故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC| =|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18>6=|BC|,故由椭圆定义知,点 P 的轨迹是以 B、C 为两焦点 的椭圆,以 l 所在的直线为 x 轴,以 BC 的中点为原点,建立坐标系,可求得动点 P 的轨迹 方程为

x2 y2 =1(y≠0) ? 81 72 6.解:设 P(x0,y0)(x≠±a),Q(x,y). ∵A1(-a,0),A2(a,0).
y0 ? y ? x0 ? ? x ( x0 ? ? a ) ? x ? a ? x ? a ? ?1 ? ? 0 得? 由条件 ? x2 ? a2 y0 y y0 ? ? ? ? ? ?1 y ? ? x ? a x0 ? a ?
而点 P(x0,y0)在双曲线上,∴b2x02-a2y02=a2b2. 即 b2(-x2)-a2(

x2 ? a2 2 2 2 ) =a b y

化简得 Q 点的轨迹方程为:a2x2-b2y2=a4(x≠±a). 7.解:(1)设 P 点的坐标为(x1,y1),则 Q 点坐标为(x1,-y1),又有 A1(-m,0),A2(m,0), 则 A1P 的方程为:y=

y1 ( x ? m) x1 ? m y1 ( x ? m) x1 ? m
2



A2Q 的方程为:y=-



①?②得:y2=-

y1
2

x1 ? m 2

(x2 ? m2 )



又因点 P 在双曲线上,故

x1 y n2 2 2 ? 12 ? 1,即y1 ? 2 ( x1 ? m 2 ). 2 m n m

2

2

代入③并整理得

x2 y2 ? 2 =1.此即为 M 的轨迹方程. m2 n

(2)当 m≠n 时,M 的轨迹方程是椭圆. (ⅰ)当 m>n 时,焦点坐标为(± m 2 ? n 2 ,0),准线方程为 x=±

m2 m2 ? n2

,离心率

e=

m2 ? n2 ; m
(ⅱ)当 m<n 时,焦点坐标为(0,± m 2 ? n 2 ),准线方程为 y=±

n2 n2 ? m2

,离心率

e=

n2 ? m2 . n

8.解:(1)∵点 F2 关于 l 的对称点为 Q,连接 PQ, ∴∠F2PR=∠QPR,|F2R|=|QR|,|PQ|=|PF2| 又 因 为 l 为 ∠ F1PF2 外 角 的 平 分 线 , 故 点 F1 、 P 、 Q 在 同 一 直 线 上 , 设 存 在 R(x0,y0),Q(x1,y1),F1(-c,0),F2(c,0). |F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.

x1 ? c ? ? x0 ? 2 ? 又? ? y ? y1 ? 0 2 ? 得 x1=2x0-c,y1=2y0. ∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2,∴x02+y02=a2. 故 R 的轨迹方程为:x2+y2=a2(y≠0)

a2 1 |OA|?|OB|?sinAOB= sinAOB 2 2 1 当∠AOB=90°时,S△AOB 最大值为 a2. 2
(2)如右图,∵S△AOB= 此时弦心距|OC|=

| 2 ak | 1? k2

.

在 Rt△AOC 中,∠AOC=45°,

?

| OC | | 2ak | 2 3 ? ? cos 45? ? ,? k ? ? . | OA | a 1 ? k 2 2 3


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