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2014届最新高三名校数学试题分省分项汇编:3.导数(广东版)


导数
一.基础题组 1. 【 广 东 省 珠 海 市
2013-2014 学 年 第 一 学 期 期 末 高 三 学 生 学 业 质 量 监 测 】 曲 线 .

y ? xe x ? 2 x ? 1 在点 ? 0,1? 处的切线方程为

二.拔高题组
x 1. 【广东省中山市高三级 2013-2014 学年第

一学期期末统一考试】 已知函数 f ( x) ? e ? kx .

(I)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R, f ( x ) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (II)设函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) , 求证: ln F (1) ? ln F (2) ? ? ? ln F ( n) ?

n ln(e n ?1 ? 2)( n ? N ? ) 2

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2. 【 广 东 省 中 山 市 高 三 级
f ( x) ? ? x 2 ? ? x ,

2013-2014 学 年 第 一 学 期 期 末 统 一 考 试 】 已 知 函 数

g ( x) ? ? x ? ln x , h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,其中 ? ? R ,且 ? ? 0 .
⑴ 当 ? ? ?1 时,求函数 g ( x) 的最大值; ⑵ 求函数 h( x) 的单调区间;

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f ( x), x ? 0, ⑶设函数 ? ( x) ? ? 若对任意给定的非零实数 x ,存在非零实数 t ( t ? x ) ,使得 ? g ( x ), x ? 0. ?

? '( x) ? ? '(t ) 成立,求实数 ? 的取值范围.

⑶ 当 x ? 0 , ? '( x) ? ? ? 1 在 (0, ??) 上是减函数,此时 ? '( x) 的取值集合 A ? (? , ??) ; x 当 x ? 0 时, ? '( x) ? 2? x ? ? , 若 ? ? 0 时, ? '( x) 在 (??, 0) 上是增函数,此时 ? '( x) 的取值集合 B ? (??, ? ) ; 若 ? ? 0 时, ? '( x) 在 (??, 0) 上是减函数,此时 ? '( x) 的取值集合 B ? (? , ??) . 对任意给定的非零实数 x ,

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3.【广东省佛山市 2014 届高三教学质量检测一】已知函数 f ? x ? ? x x ? a ? 1 ln x .
2
(Ⅰ)若 a ? 1 ,求 f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 的极值点.

⑴ 当 a ? 0 时, f ? x ? ? x 2 ? ax ? ln x , f ? ? x ? ? 2 x ? a ? 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ?

1 2

1 4 x 2 ? 2ax ? 1 , ? 2x 2x

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 , ? 0 , x2 ? ? 0 (舍去) 4 4

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4. 【 广 东 省 华 附 、 省 实 、 广 雅 、 深 中

2014 届 高 三 上 学 期 期 末 联 考 】 已 知 函 数

f ( x) ? (2 x 2 ? 6 x ? a ? 6) ? e x ( e 为自然对数的底数).
(1)求函数 f ( x) 在 (0, ??) 上的单调区间; ( 2 )设函数 g ( x) ? f ( x) ? (2 x ? a ? 4) ? e ,是否存在区间 ? m, n ? ? ?1, ?? ? ,使得当
x

x ? ? m, n ? 时函数 g ( x) 的值域为 ? 2m, 2n ? ,若存在求出 m, n ,若不存在说明理由.

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试题解析: (1) f ?( x) ? (2 x 2 ? 2 x ? a ) ? e x ? ? 2( x ? ) 2 ? a ? ? ? e x 2 2

? ?

1

1? ?

①当 a ? ②当 a ?

1 时,由 f ?( x) ? 0 恒成立,? f ( x) 在 (0,??) 上单调递增 2

1 1 ? 2b 1 1 ? 2b 1 时, f ?( x) ? 0 解得 x ? ? 或x? ? 2 2 2 2 2 1 1 ? 2b 1 1 ? 2b ? ? 0 ? (0, ??), ? ? 1? (0, ??), 2 2 2 2

(ⅰ)若 a ? 0 ,则

?1 ? 1 1 ? 2b 1 ? 2b 上单调递增 ) 上单调递减,在 ? ? ? f ( x) 在 (0, ? , ?? ? ? 2 2 2 ?2 ?
(ⅱ)若 0 ? a ?

1 1 ? 2b 1 1 ? 2b 1 ,则 ? ? ? ?0 2 2 2 2 2

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? x ? 1 ,?? ?( x) ? 0 ,?? ( x) 在 (1, ??) 上单调增,又 ? (1) ? ?2 ? 0, ? (2) ? 6e 2 ? 2 ? 0 ,
即存在唯一的 1 ? x0 ? 2 使 ? ? x0 ? ? 0 . 当 x ? ?1, x0 ? 时, ? ? x0 ? ? 0 , h( x) 为减函数;当 x ? ? x0 , ?? ? 时, ? ? x0 ? ? 0 , h( x) 为增 函数;? h( x) 在 x0 处取到极小值.又? h(1) ? ?2 ? 0, h(2) ? 2e ? 4 ? 0
2

与方程 g ( x) ? 2 x 有两个大于 1 的相异实根相矛盾, 所以 ? h( x) 在 ?1, ?? ? 只存在一个零点, 假设不成立,所以不存在 m, n 符合题意. 考点:1.求函数的导数;2.导数性质的应用.

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5.【广东省广州市 2014 届高三年级调研测试】已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax 2 ? ? a ? 2 ? x .
(1)若 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极值,求实数 a 的值;
2 (2)求函数 f ? x ? 在区间 ? ?a , a ? ? 上的最大值.

1 时, f ? x ? 在 ? a2 , a? ? ? 上单调递增, 2 3 2 所以 ? ? f ? x ?? ? max ? f ? a ? ? ln a ? a ? a ? 2a .
①当 0 ? a ?

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n ?1 n 6.【广东省揭阳市 2014 届高三年级学业水平考试】 设函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c ( x ? 0) ,

其中 a ? b ? 0 , n 为正整数, a 、 b 、 c 均为常数,曲线 y ? f ? x ? 在 1, f ?1? 处的切线方 程为 x ? y ? 1 ? 0 . (1)求 a 、 b 、 c 的值; (2)求函数 f ? x ? 的最大值; (3)证明:对任意的 x ? ? 0, ?? ? 都有 nf ? x ? ?

?

?

1 .( e 为自然对数的底) e

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nn 1 1 n ?1 1 g ? t ? ? 0 在区间内成立,再令 t ? 1 ? ,得到 ln ,最终得到 , ? ? n ?1 ne n n n ?1 ? n ? 1?
再结合(2)中的结论得到 f ? x ? ?

nn

? n ? 1?

n ?1

?

1 . ne

证法 2:令 ? ? t ? ? ln t ? 1 ?

1 1 1 t ?1 ? t ? 0 ? ,则 ? ? ? t ? ? ? 2 ? 2 ? t ? 0 ? . t t t t

当 0 ? x ? 1 时, ? ? ? t ? ? 0 ,故 ? ? t ? 在 ? 0,1? 上单调递减; 而当 x ? 1 时,

? ? ? t ? ? 0 ,故 ? ? t ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增.

?? ? t ? 在 ? 0, ?? ? 上有最小值, ? ? t ?min ? ? ?1? ? 0 . 1 ?? ? t ? ? 0 ? t ? 1? ,即 ln t ? 1 ? ? t ? 1? . t
第 10 页 共 12 页

令 t ? 1?

1 n ?1 1 ? n ?1 ? ,得 ln ,即 ln ? ? ? n n n ?1 ? n ?

n ?1

? n ?1 ? ? ln e ,所以 ? ? ? n ?

n ?1

? e ,即

nn

? n ? 1?

n ?1

?

1 . ne nn

由(2)知, f ? x ? ?

? n ? 1?

n ?1

?

1 ,故所证不等式成立. ne

考点:1.利用导数求切线方程;2.利用导数求函数的最值;3.函数不等式

7. 【 广 东 省 珠 海 市
2

2013-2014 学 年 期 末 高 三 学 生 学 业 质 量 监 测 】 已 知 函 数

f ? x ? ? x ?1 ? x ? , x ? ? ??, 0? .
(1)求 f ? x ? 的极值点; (2)对任意的 a ? 0 ,记 f ? x ? 在 ? a, 0? 上的最小值为 F ? a ? ,求 k ?

F ?a? 的最小值. a

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