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第十单元:BS公式


Black-Scholes模型分析

1. 股票价格的对数正态分布特性
① 如果股票价格服从几何布朗运动 dS dS ? ?? Sdt ? ? Sdz ? dt ? ?dz S 那么

?? 1 2 ? d d ln S ? ? ? ? )? ? ?? ? dt ? ? dz ln S (? ? dt dz 2 2 ? ?

/>2

lnS是一般维纳过程

② 在时刻t和时刻T之间,lnS服从正态分布

?? ? ? 1 )(T ? t ), (? T ? t ) 2 ) ? ln S ? ln S ~ ? ? ? ln STT ? ln St ~ N ((? ? ?2 ? 2 ? ?T ? t ? , ? T ? t ? ? 2 ? ?? ?
2

因此

? ? ? ? 21 T 2??t ), (? T ? t ) 2 ] ? ln S ~ N [ln S ( ? ln STT ~ ? ?lnS t??? ? ? )( ? ?T ? t ? , ? T ? t ? ? ? 22 ? ? ?
③ lnST是正态分布,ST是对数正态分布

④ ST的数学期望为

E (ST ) ? Se
⑤ ST的方差为

E(ST ) ? St e
? (T ? t )

? (T ?t )

var(S ) ? S e
T

2 2 ? (T ?t )2 ? 2 (T ?t ) T) ? S 2et2 ? (T ?t ) [e? (T ?t ) ? 1] D(S

(e

?1)

2. 收益率的分布
① 连续复利收益率分布 将t与T之间的连续复利年收益率定义为η ,得到

St ST ? Se? (T ?T) ? St e

T ?t S

? (T ?t )

ST 1 1 ? ? 1 ln ? ? ln ST ? ln St ? ST S T ?t ? ? T ?t ln t

?? ? ST ?2 ? 于是 ln ~ ? ?? ? ? ? ?T ? t ? , ? T ? t ? St 2 ? ?? ? 2 ? ? 2 ? ,? 2 ? ~ N (? ? ( ) ? ) ? ? ~ ? ? ?2? T ? t , ? 2 T ?t ? ?

? η 的标准差=σ /(T-t)1/2,显然,随着时间 的增加,η 的标准差降低。 ? 例子:考虑一个股票,其预期收益和标准 差分别为17%和20%。求其3年内的连续复利 收益的分布和95%的置信区间。 ? 答案: N(0.15,0.1155) ? 【-7.6%,37.6%】

② 期望收益率是什么?
? 几年内收益率的平均值并不等于几年内按年复 利计算的每年的平均收益率 ? 瞬时收益率(很短时间内的预期收益率) ? 一段时间的预期连续复利收益率(μ ) ? 预期收益率

期望收益与期望连续复利收益
? 根据对数正太分布性质,我们得到:

? 根据连续复利收益定义,我们得到:

? 于是:

? 根据对数正太分布假设,我们得到:

? 由

取对数我们得到:

? 如果

,我们得到:

? E(x)=?.遗憾的是,上述假设不成立。事实 上,

? 因此:

,显然可以得出:

? E(x)<? ? 事实上,从对数正太分布可以知道: ? E(x)=u-0.5σ2

3. 从历史数据估计波动率
① 估计股票价格的波动率(观测时间间隔固定)
? ? ? n+1:观测次数(样本个数) Si: 第i个观测时期的股票价格(i=0,1,2,...,n) Τ :以年为单位表示的时间间隔长度
Si Si ?i ?iln( ln ) ? ? Si ?1 S



, i ? 1, 2,?, n

i ?1

μ i的标准差s
1 n s? (ui ? u ) 2 ? n ? 1 i ?1

① 估计股票价格的波动率(观测时间间隔固定)
? μ i的标准差为 ??

? ? 因此,变量s是 ? ? ? 的估计值
? 本身可被估计为 s ? 于是
s ?
?

s

?

此估计的标准差近似为

s / 2n

?

② 观测样本个数的选择 ? 观测样本要尽可能的多 ? 注意到σ 随时间变化,样本也不能太多,也 许90天到180天是合适的选择 ? 经验:设定度量波动率的时期等于将应用波 动率对应的时期 ? 日历天数或交易天数计算?交易天数

4. Black-Scholes微分方程的基本概念
① ? ? 思想 Black-Scholes微分方程:不付红利股票的任意衍生 证券价格f必须满足的方程 Black-Scholes定价方法:构造包含衍生证券头寸和 标的股票头寸的无风险证券组合,在无套利机会条 件下,该证券组合的收益率必定为无风险利率 股票价格和衍生证券价格都受同一种基本的不确定 因素影响:股票价格的变动 头寸仅在瞬时时间无风险,因此,头寸必须经常调 整

?

?

② 假设 ? 股票价格服从漂移为μ 、方差为σ 的扩散过 程 ? 允许使用全部所得(收入)卖空衍生证券 ? 没有交易费用或税收,所有证券都是无限可 分的 ? 在衍生证券的有效期内没有红利支付 ? 不存在无风险套利机会 ? 证券交易是连续的 ? 无风险利率r为常数,且对所有到期日都相同 注:有些条件可以放松(简化)

5.

Black-Scholes微分方程的推导

① 假设:股票价格服从如下过程

dS ? ?Sdt ? ?Sdz dS ? ? Sdt ? ? Sdz
② 假设f是基于S的衍生证券的价格,则f一定是S 和t的函数,于是

?f ?f 1 ? 2 f 2 2 ?f df ? ( ?S ? ? ? S )dt ? ?Sdz 2 ?S ?t 2 ?S ?S

?S ? ?S?t ? ?S?z

?f ?f 1 ? 2 f 2 2 ?f ?f ? ( ?S ? ? ? S )?t ? ?S?z 2 ?S ?t 2 ?S ?S

③ 构造证券组合:

-1:衍生证券
+
?f ?S

:股票

④ 定义这个证券组合的价值为Π ,于是 ?f ?f ? ? ? f?? f ?S S ? ? ?S ?S ⑤ Δ t时间后证券组合的价值变化为Δ Π :
?f ? ? ? ??f ? ?S ?S

⑥ 将 ?S 和 ?f

代入证券组合的变化中,可得

2 ?f 1 ?? 2 f 2 22 2 ? ? (? ? ? 1 f ? S )?t ? ? d ?? ? ? ?t ? 2 ?S 2 2 ? S ? dt ?

? ?t

2 ?S

?

⑦ 注意这个表达式中已经没有随机项!!!它是无风 险的!!!于是,应用无套利机会条件,应有

? ? ? r ??t ? r ?dt d?
⑧ 此即
?f 1 2 2 ? 2 f ?f ( ? ? S )?t ? r ( f ? S )?t 2 ?t 2 ?S ?S

⑨ 化简,即得:
?f ?f 1 2 2 ? 2 f ? rS ? ? S ? rf 2 ?t ?S 2 ?S

这就是Black-Scholes微分方程
⑩ 不同的衍生证券,对应的Black-Scholes微分方 程边界条件不同,求解该方程,就能得到衍生证 券的价值;不同的边界条件,对应不同的衍生证 券!!!

?

例:基于不付红利股票的远期合约,记其价值为f。 则

K是交割价格. ?f 注意到:

?f ?f 1 ?2 f ? rS ? ? 2S 2 ?t ?S 2 ?S 2 ? ? rKe ? r (T ?t ) ? rS ? r ( S ? Ke ? r (T ?t ) ) ? rf
满足Black-Scholes方程!!!

?f ?2 f ? ?rKe? r (T ?t ) , ? 1, 2 ? 0 ?t ?S ?S

6.

风险中性定价

① 风险中性定价的理论依据: Black-Scholes微分 方程不包含任何受投资者风险偏好影响的变量 ? 在对衍生证券定价时, 可以使用任何一种风险 偏好!特别地,假设所有投资者都是风险中性的 ? 在风险中性的世界,所有证券的预期收益率皆为 无风险利率r. ? 这样的假设获得的Black-Scholes微分方程的解, 也是任何风险偏好下的解. ? 从风险中性世界进入风险厌恶世界时,发生两件 事:股票价格的期望收益率改变了;在衍生证券 任何损益中使用的贴现率改变了;互相抵消.

② 应用于股票远期合约 ? 不付红利股票的远期和约,交割价格是K,在T 时刻到期 ? 假设利率为r(常数) ? 到期日合约价值为ST-K, ST是时刻T的股票价格 ? 在风险中性世界,对远期合约在t时刻的价值f,

f ? e? r (T ?t ) E ? ST ? K ? ? e? r (T ?t ) EST ? Ke? r (T ?t )
即风险中性世界的期望

^

^

? 在风险中性世界,股票价格的增长率μ 等于为r, 于是
^

ES

T

? Se

r (T ? t )

? 简单计算,可得:

f ? S ? Ke

? r (T ? t )

? 前面我们已经证明f满足Black-Scholes微分方程 结论:用风险中性定价方法计算的远期合约价值 与求解Black-Scholes微分方程得到的远期合约价 值相同(到期日价值相同,或称边界条件相同)

7.

Black-Scholes定价公式

① 欧式看涨期权的定价公式
? 在风险中性世界,欧式看涨期权到期日的期望价值为

E ?max ? S ?
?

^

T

? K ,0 ?? ?

欧式看涨期权的价格c是这个值以无风险利率的贴现

c ? e? r (T ?t ) E ? max ? ST ? K ,0 ?? ? ?

^

? 在风险中性世界,lnST的分布与(11.2)相同,只 要将μ 换成r即可

? ? ? 1 2? ln ST ~ ? ?ln St ? ? r ? ? ? ?T ? t ? ,? T ? t ? ? 2 ? ? ?
? 根据lnST的分布函数,可以计算看涨期权的价格c(积 分), ? r ?T ?t ?

c ? St N ? d1 ? ? Xe
d1 ?

N ? d2 ?

?

其中

ln ? St / X ? ? ? r ? ? 2 / 2 ? ?T ? t ?

? T ?t

d 2 ? d1 ? ? T ? t

?

解释期权价格c

c ? e? r (T ?t ) [ SN (d1 )er (T ? t ) ? XN (d 2 )] ? SN (d1 ) ? Xe? r (T ?t ) N (d 2 )
?
? ?
N (d2 ) 是风险中性世界中 ST 大于X的概率(即欧式看

涨期权被执行的概率)。 Xe?r (T ?t ) N (d2 ) 是X的风险中性期望值的现值。 的风险中性期望值的 SN(d1 ) ? e?r (T ?t ) ST N (d1 ) 是ST 现值。

?

欧式看涨期权与看跌期权的平价关系

c ? Xe

? r ?T ? t ?

? p?s

?

由此,可以得到

p ? Xe
?

? r ?T ?t ?

N ? ?d2 ? ? SN ? ?d1 ?

美式看涨期权的价值与欧式看涨期权的价值相同,美 式看跌期权的价值与欧式看跌期权的价值不同,没有 解析解.

② Black-Scholes公式的性质
? 当股票价格很大时,看涨期权肯定会被执行,它与执 行价格为X的远期合约非常相似。看涨期权的期望价 ? r ?T ?t ? 格为

S ? Xe

?

当波动率趋于零时,

C ? max ? S ? Xe? r ?T ?t ? , 0? ? ? ? Xe? r ?T ?t ? ? S , 0? p ? max ? ?

8.

累积正态分布函数

1 N ? x? ? 2??

?

x

?

1 2?

??

e

? x ? ? ?2 2

dx

9.


公司发行的本公司股票认股权证

② ? ?

公司拥有N股流通股股票,M份欧式认股权证,认股权 证的持有者有权在时刻T以每股X的执行价格向该公司 购买γ 股股票 该认股权证的价值 设T时刻该公司的股权价值是 VT (含认股权证的价值) 如果认股权证得到执行,则认股权证执行后瞬时股票 价值为:

VT ? M ? X N ? M?

?

此时,认股权证持有者的盈利收入为:

N? N ? M?
?

?VT ? ?X? ?N ? ?

只当盈利为正时,认股权证才会被执行,所以,认股 权证持有者的盈利收入为:

N? ?VT ? max ? ? X ,0 ? N ? M? ?N ?
? 结论:认股权证的价值是 份基于V/N的普通看涨 期权的价值,其中,V是该公司的股权价值
N? N ? M?

?

V的价值由下式计算 V ? NS ? MW

其中,S是股票价格,W是认股权证的价格。所以

V M ?S? W N N

③ ? ?

如果 股票价格S用S+(M/N)W替换 波动率σ 为公司股权(股票加认股权证)的波动率 则认股权证W的价格为:

?? N ? ? N? ? r ?T ? t ? W ? ? ? S ? W ? N ? d1 ? ? Xe N ? d2 ? ? ?? M ? ? N ? M?

10. 隐含波动率

① ② ③ ④

隐含波动率:期权市场价格所蕴含的波动率 隐含波动率的计算:数值解 隐含波动率随时间变化 可用来根据某一期权的价格估计另一个期权的 价格 ⑤ 隐含波动率的估计方法

11. 波动率产生的原因

① 股票价格的波动率仅仅是由于股票的未来收益 的新消息的随机到来而产生的? ② 股票价格的波动率主要是由交易本身产生 ③ 对Black-Scholes模型的可能意义:
每年波动率 ? 每日波动率 每年的交易日数

④ 对Black-Scholes可能的调整???

12. 红利
① ? ? ? ② ? ? ? 关于红利 假设在期权有效期内支付的股票红利数量和支付时刻已 知 股票价格服从几何布朗运动 在股票除权日,股票价格下降,红利被解释为除权日股票 价格的减少量 欧式期权 假设股票价格是两部分的和:支付已知红利的无风险部 分和一个有风险部分 无风险部分是从除权日贴现到当前时间的现值 股票价格减去无风险部分即可应用Black-Scholes公式

?

当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收 Se? q (T ?t ) 益率q(单位为年)时,我们只要用 原公式中的S就可求出支付连续复利收益率证 券的欧式看涨和看跌期权的价格。

③ ? ? ? ?

美式期权 美式看涨期权 在有红利的情况下,只有在股票支付红利前的瞬时时刻 执行才最优. 在大多数情况下,提前执行需要考虑的唯一时间是最终 的除权日 有时提前执行不是最佳选择 Black近似: 分别计算在时刻T和 t n 到期的欧式期权的价格,然后 将二者之中较大的值确定为美式期权的价格。

对Black-Scholes期权定价公式的 实证研究
Black-Scholes期权定价公式倾向于高估方 差高的期权,低估方差低的期权;高估实值 期权的价格,低估虚值期权的价格。

? 造成用Black-Scholes期权定价公式估计的期权价格 与市场价格存在差异的原因主要有以下几个: ? ? ? ? 1. 计算错误; 2. 期权市场价格偏离均衡; 3. 使用的错误的参数; 4、 布莱克——舒尔斯期权定价公式建立在众多假 定的基础上。


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