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第12讲 概率


Distribution of 2-D R.V. function

教学目的:掌握二维随机变量函数的分布的求法 教学重点:二维离散型随机变量函数的分布,二维连续型随 机变量和的分布 教学难点:二维连续型随机变量和与商的分布

0

第12讲 二维随机变量 函数的分布
Distribution of 2-D

R.V. function
王秋宝

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2

Distribution of 2-D R.V. function

二维离散型随机变量函数的分布。
二维连续型随机变量函数的分布。 小结
3

Probability and Statistics

2
5

二维离散型随机变量函数的分布

Distribution of 2-D R.V. function

二、 二维离散型随机变量函数的分布
例1 (X, Y) 的分布律为 Y X 0 1 0 1

例1

求Z1=X+Y, Z2=X-Y 的分布律.

0.3
0.2

0.4
0.1

6

Distribution of 2-D R.V. function

结论
若二维离散型随机变量 的联合分布律为

P{ X ? xi ,Y ? y j } ? pij , i , j ? 1, 2,?,
则随机变量函数Z ? g( X ,Y ) 的分布律为
P{ Z ? z k } ? P{ g ( X ,Y ) ? z k }
? pij , ? z ? g( x y )
k i j

k ? 1, 2,?.

7

Distribution of 2-D R.V. function

设两个独立的随机变量 X 与 Y 的分布律为
X

1 0.3

3 0.7

Y

2 0.6

4 0.4

例2

PX

PY

求随机变量 Z=X+Y 的分布律. 解 因为 X 与 Y 相互独立, 所以 P{ X ? xi ,Y ? y j } ? P{ X ? xi }P{Y ? y j }, Y 2 4 X 得 0.12 1 0.18 3 0.42 0.28

8

X 1 3

Y

P
2 4 0.18 0.12 0.42 0.28
可得

( X ,Y ) Z ? X ? Y
(1, 2 ) (1,4 ) ( 3, 2 ) ( 3 ,4 )

0.18 0.12 0.42 0.28

3 5 5 7

所以

Z ? X ?Y P

3
0.18

5

7

0.54

0.28

Distribution of 2-D R.V. function

(?1 ) , Y~P (?2) , 且 X 与 Y 相互独立, 例3 设 X ~ P

例3

则 Z ? X ?Y ~ P (?1 ? ?2 )

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Distribution of 2-D R.V. function

二项分布的可加性 注: 设 X ~ B (n1 , p ) , Y~B (n2 , p ) , 且 X 与 Y 相互独立,
则 Z ? X ?Y ~ B (n1 ? n2 , p )

P ?Z ?z

k

P X ?? ? ?
i ?1

?

? x P Y i ?

? z?

k

x ?

i

?

离散场合的卷积公式
11

Distribution of 2-D R.V. function

设 X ~ N(0, 1), Y ~ N(0, 1), 且 X 与Y 独立,

例4

求 Z?

X 2 ? Y 2 的分布密度.

13

Distribution of 2-D R.V. function

(1) Z = X+ Y的分布
fZ (z) ?

??? f ( x , z ? x ) dx ? =? f ( z ? y, y) dy ??
?
X

?

特别地,X与Y 独立,则 Z= X+ Y 的概率密度为
fZ (z) ? f ?? ?? =? f ??

( x ) f Y ( z ? x ) dx

X

( z ? y ) f Y ( y ) dy

——连续场合的卷积公式
14

Distribution of 2-D R.V. function

X与Y 独立同服从N(0, 1) ,则 Z = X+ Y ? N(0, 2).

例5

15

Distribution of 2-D R.V. function

注1 正态分布的可加性

注:

若 X ? N(

),Y ? N(

), 且X 与Y独立, ).

则 Z = X ? Y ? N(
n

注2 独立正态变量的线性组合仍为正态变量.

ai X i ? i ?1

? n ~ N ? ? ai ? i , ? i ?1

? a? ? ? i ?1 ?
n
2 i 2 i

Distribution of 2-D R.V. function

设X, Y独立同分布,其密度函数如下所示, 求 Z = X+Y的密度函数.

例6

?2 ? x ? f ( x) ? ? 2 ? ? 0

0? x?2 others

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Distribution of 2-D R.V. function

(3)最大、最小值函数的分布
则 设 X 和Y 相互独立, 分布函数分别为FX ( x ),?FY ( y ),?

max{ X , Y } 的cdf: Fmax ( z ) ? FX ( z )FY ( z )

min{ X , Y } 的cdf: Fmin ( z ) ? 1 ? [1 ? FX ( z )][1 ? FY ( z)]
设 X1, X2, …, Xn独立,分布函数均为F(x) .则 max {X1, X2, …, Xn }的分布函数 : Fmax (z) = [F(z)]n

min {X1, X2, …, Xn}的分布函数 : Fmin(z) = 1?[1? F(z)]n
20

Distribution of 2-D R.V. function

设 L1 , L2 的寿命分别为 X , Y , 已知它们的概率密 度分别为
? αe ? αx , x ? 0, f X ( x) ? ? x ? 0, ? 0, ? βe ? βy , y ? 0, fY ( y ) ? ? y ? 0, ? 0,

例8

L1
X L1 Y L2

X Y

L2

L1 X ? ? Y L2

若系统L按照如上三种方式联接,分别求出对应系统寿命的概率密度?
21

? αe ? αx , x ? 0, f X ( x) ? ? x ? 0, ? 0,

? βe ? βy , y ? 0, fY ( y ) ? ? y ? 0, ? 0,

其中 α ? 0, β ? 0 且 α ? β . 试分别就以上三种联 接方式写出 L 的寿命 Z 的概率密度 .


(i)串联情况
Z ? min( X ,Y ).

由于当 L1 , L2 中有一个损坏时 , 系统 L 就停止工作 ,
所以这时 L 的寿命为
?αe ? αx , x ? 0, ?1 ? e ? αx , x ? 0, ? FX ( x ) ? ? 由 f X ( x) ? ? x ? 0, x ? 0, ? 0, ? 0,

? βe 由 fY ( y ) ? ? ? 0,

? βy

? βy ? 1 ? e , y ? 0, , y ? 0, ? F ( y ) ? ? Y y ? 0. ?0, y ? 0;

Fmin ( z ) ? 1 ? [1 ? FX ( z )][1 ? FY ( z )]
? 1 ? e ? ( α ? β ) z , z ? 0, ?? z ? 0. ? 0, ? ( α ? β )e ? ( α ? β ) z , z ? 0, ? f min ( z ) ? ? z ? 0. ?0,

(ii) 并联情况
由于当且仅当L1 , L2 都损坏时, 系统 L 才停止工作 , 所以这时 L 的寿命为 Z ? max( X ,Y ). Z ? max( X ,Y ) 的分布函数为
? (1 ? e ? αz )(1 ? e ? βz ), z ? 0, Fmax ( z ) ? FX ( z ) ? FY ( z ) ? ? z ? 0. ? 0, ? αe ? αz ? βe ? βz ? ( α ? β )e ? ( α ? β ) z , z ? 0, f max ( z ) ? ? z ? 0. ? 0,

(iii) 备用的情况
由于这时当系统L1 损坏时, 系统 L2 才开始工作 ,

因此整个系统 L 的寿命 Z 是 L1 , L2 两者之和 ,即
Z ? X ?Y

当 z ? 0 时, Z ? X ? Y 的概率密度为

f (z) ?

???

?

f X ( z ? y ) fY ( y ) d y ?
? αz

?0

z

αe ? α ( z ? y ) βe ? βy d y

? αβe

?0

z

e ?( β ? α ) y d y

αβ ? [e ? αz ? e ? βz ]. β?α 当 z ? 0 时, f ( z ) ? 0,
于是 Z ? X ? Y 的概率密度为
? αβ ? αz ? βz [ e ? e ], ? f (z) ? ? β ? α ? 0, ? z ? 0, z ? 0.

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27

Distribution of 2-D R.V. function

四、小结
1. 二维离散型随机变量函数的分布

2. 二维连续型随机变量和的分布

作业:
28

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