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第三十一届全国中学生物理竞赛模考训练(一)


第三十一届全国中学生物理竞赛模考训练(一)
命题人:学而思 蔡子星 朱斌 整理人:@sSs1897 满分 160 分 时间 180 分钟
第一题:蜷伸而行的异虫
小星同学有一天在为同桌的女同学准备礼物的时候捉到了一种虫子, 他仔细地观察了这 种虫子,发现它和一般的虫子的运动方式并不相同。 这种虫子只有头足和尾足, 通过身体的蜷缩与伸展进行移动, 它的

一次移动大致是这样 的:

小星同学经过仔细的观察,发现虫子的身上有许多线形的基膜,它们的长度总是不变, 都由虫子的头部延伸至尾部,并总是绕着虫子转一圈。经过多次解剖操作,小星同学发现基 膜总是在展开图上呈一条直线:

(1)小星同学认为圆柱是好的,所以虫子永远是圆柱体。已知基膜长度为 L,求虫子 的最大体积 Vm 以及此时对应的 θ0。 (2) 小星同学突然觉得虫子的体积为变量是不科学的, 于是他假设虫子的体积是定值。 经过浮力测量与计算,他发现体积 V0=0.38Vm,于是虫子在自然状态下就是椭圆柱形。 求证:虫子在达到最长或最短时一定为圆柱。求出此时虫子的长度 h1,h2。 (3)小星同学经过了更细致的解剖,发现基膜之间有沿圆周向的和轴向的肌肉连接, 两种肌肉分别有 N1,N2 根。认为肌肉在收缩时,符合胡克定律的应力与形变量关系,其劲 度系数为 k。而在舒张时,由于构造原因,基本没有应力。 求虫子在一次移动中(最短-最长-最短)所需做功的最小值 W。

第二题:追逐光明的飞蛾
小星同学在又一次把毛毛虫放进同桌女同学铅笔 盒中,被老师弄个大新闻,把他批判一番后表示十分愤 怒,决定悉心抚养残余的毛毛虫,希望他们长成蝴蝶。 后来它们破蛹而出之后,全都变成了蛾子。小星同学非 常失望,决定烧死这些异性恋。 小星同学经过多次实验,发现飞蛾并不直接飞向点 光源(如蜡烛) 。经观察,小星同学认定飞蛾行进的方 向总与光线方向成一固定夹角。他想了想,认为飞蛾在 自然界中一般以平行光为光源,所以在自然界中沿直线 飞行。他认为这十分合理,就确定了他的假设。 小星同学将光源放在原点,观察到蛾子飞行的轨迹 在一个锥角为 α 的圆锥上。设轨迹与光线夹角为 θ,速 率 v0 恒定,初态位于 x=Lsinα,y=0,z=Lcosα 处。 (1)求初态蛾子的加速度 a(向量) 。 (2)求蛾子运动轨迹的参数方程。 (3)小星同学看到了一对好基友,他不想烧死他们。已知蛾子的最大加速度为 a0 ,达到 最大加速度时飞出。求 θ 应满足什么条件才能使蛾子到原点的逃逸距离不小于 L0。

第三题:液化的细胞骨架
小星同学在解剖过程中发现,人的红细胞截面比毛 细血管大,但是红细胞却能通过毛细血管。红细胞的细 胞骨架在常态是固态,无法发生大幅度形变。小星同学 向蔡老师请教,蔡老师让他先研究水的气-液相变。 (1)右图为相邻温度 T 和 T+dT 下水的等温曲线, 其对应的饱和蒸汽压为 p 和 p+dp, 对应液相和气相体积 为 Vl 和 Vg。 已知卡诺定理: 在 T 和 T+dT 间工作的热机最大效率为? m ? T,Vg,Vl 表达

dT 。 利用摩尔汽化热 ?mol , T

dp ,并在 Vl<<Vg,λmol 为定值的情况下近似导出饱和蒸汽压与温度关 dT

系。 (2)在人体体温附近,红细胞的细胞骨架会由于压强变化发生由固态到液态的相变, 所以在红细胞通过毛细血管时细胞骨架已经转化为液态。试说明液态与固态体积 Vl 与 Vs 的 大小关系。 (3)已知密度 ρl=1.0kg/m3,ρs=0.9kg/m3,熔化热 λ=2.4× 104J/kg。求人体温降低一摄氏 度时,通过血管的附加压强应增加多少?

第四题:如电容般的轴突
小星同学在继续他的解剖过程的时候见到了一根轴突, 并且建立 了一个毫无准确性的模型来编造一道和神经冲动毫无关系的物理题。 模型如右。 设轴突为两个共轴圆柱形软质生物膜, 之间填充有一层不可压缩 的绝缘物质填充 (相对介电常数为 1) ,已知内径 a, 外径 b(b-a>>a) 。 膜在静息电位时内外单位长度上带点量分别为-λ,+λ。 (1)求内外层电势差 ?? 。 (2)分别求单位面积的内、外层电荷受力。 (3)若外界压强为 P0,为使膜不发生变形,求中间层、内层压强 P1、P2。

第五题:只受重力的电子
当我们把同学们,或者是电子们放在地面附近,并且认为它们只受重力影响时,它们的 状态依然是有量子化的分布的。由于同学们的尺度过大,下面我们来讨论电子的情形: (1)利用不确定性关系 ?x ? ?p ?
2 2

? ,用 m,g,h 估算表示电子在基态和地面平 2

均间距及对应的态的动能和势能 (2)可以利用玻恩近似得到索未非量子化条件,从而有更精确的估算。在 pz-z 图中, 画出一个能量为 E 的经典粒子做自由落体-弹性碰撞运动过程中代表点移动的轨迹。并认为 一个周期中,轨迹圈得的面积为 S ? (n ? ) ? h ,其中 n 为自然数。求出基态和第一激发态 的能量。

1 4

第六题:相交圆中的磁场
如图,两个圆心在(±r , 0 ),半径为

2 3 r 的圆把空间切成几个区域。空间中有如图所 3 t ,即随时间线性变化。 t0

示的磁场。其磁感应强度大小均为 B ? B0

(1)求两圆相交部分电场分布。 (2)求如图所示电路中各电压表(均是上端接入红表笔下端黑表笔)的读数和 Ua-Ub, 其中电压表电阻为 2R0。

第七题:被迷惑的超音蝠
小星同学有一天去了山洞里玩,并在山洞里捉到了一只超音蝠。小星同学十分高兴。为 了逗超音蝠玩,他造了两面无限长的墙和一个喷气式助推器,并给蝙蝠装上助推器。 已知两面墙的夹角为 60° ,超音蝠(在助推器的推动下)以 v=u/3 的速度沿角平分线方 向运动,u 为空气中声速。超音蝠会向四周发出超声波以探测周围环境。 求超音蝠接收到的回声频率与原频率比值。

第八题:推倒洛伦兹变换
有一天, 小星同学在逛百度超理吧的时候突发奇 想, 觉得现有的狭义相对论情形下电磁场洛伦兹变换 是不对的。于是他建立了一个模型来研究这一问题, 并且试图通过狭义相对论的基本公式和基本电学公 式来推翻电磁场变换。 已知一个边长为 l 的方形电容,两极板相距为 h (h<<l) ,其极板带电量为 ? ? 0 。 (1)在其中放一个带电量为 q 的试探电荷(q<<l2σ0) ,求其受到的作用力。 (2)在以速率 v0 水平向左运动的参照系中观察。求电容两极板间的电场与磁场,并求 试探电荷受力。 (3)在(1) 、 (2)中求电容器两极板受力。


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