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2015年全国高中数学联赛天津赛区预赛试题及答案(WORD版)


2015 年全国高中数学联赛天津赛区预赛
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.设 A、B、C 为三个集合.则“B、C 均为 A 的子集”是“ ( A ? B) ? ( A ? C ) ? B ? C 成 立”的( )条件. (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充分必要 2.方程 | y |? 1 ? 2 x ? x 2 表示的曲线为( (A)一个圆 (

B)两个半圆 ) (D)以上结论均不对 )个不同的

(D)既不充分也不必要

(C)一个椭圆

3.用 [ x ] 表示不超过实数 x 的最大整数.则方程 x 2 ? [ x] ? 1 ? 0 共有( 实根. (A)1
x x

(B)2
x x

(C)3

(D)4

4.方程 3 ? 5 ? 7 ? 11 共有(

)个不同的实根.

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 5.在正方体的十二条面对角线和四条体对角线中随机地选取两条对角线.则这两条对角线 所在的直线为异面直线的概率等于( ) (A)

7 30

(B)

9 20

(C)

7 15

(D)以上结果均不对

6.设△ABC 的周长为 12,内切圆半径为 1.则( ) (A)△ABC 必为直角三角形 (B)△ABC 必为锐角三角形 (C)△ABC 必为直角三角形或锐角三角形 (D)以上结论均不对 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 7.在正四棱锥 P-ABCD 中,四个侧面均为等边三角形,设该四棱锥的侧面与底面所成的二 面角的大小为 ? ,则 tan ? ? 8.设 An 、 Bn 分别为等差数列 {an } 、 {bn } 的前项之和.若 9.设 O 为原点,A 为抛物线 x ? △OAB 面积的最小值为 10.设 s ?
2015 k ?1

An 5n ? 3 a ,则 8 ? ? Bn n?9 b8

1 2 y ? 1 上的动点,B 为抛物线 y ? x 2 ? 4 上的动点.则 4

?k2

k

.则 s 除以 100 的余数为

11.设复数 z ? cos 字作答)

4? 4? z z2 z3 ? i sin ? ? | 的值为 .则 | 7 7 1? z2 1? z4 1? z6

(用数

12.设 a 、 b 、 c 、 d 均为实数,满足 a ? 2b ? 3c ? 4d ? 10 . 则 a ? b ? c ? d ? (a ? b ? c ? d ) 的最小值为
2 2 2 2 2

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三、解答题(每小题 20 分,共 60 分) 13.设 f ( x) ? x ?

1 2 2 ? 2 .证明:对任意的 x ? ( ,1] ,有 ? f ( f ( x)) ? x . x 2 2

14.已知正△ABC 内接于抛物线 x ? y 2 ,△ABC 的重心 P 落在双曲线 xy ? 1 上.求点 P 的 坐标. 15.设 a1 ? 1 , a2 ? 8 , a n ?1 ? a n ?1 ?

4 a n (n ? 2,3, ?) . n

证明: (1)存在常数 C ? 0 ,使得对任意正整数 n ,有 an ? Cn 2 . (2)对任意正整数 n ,有 an?1 ? an ? 4n ? 3 .

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2015 年全国高中数学联赛天津赛区预赛
参考答案 一、选择题 CBCBBD 二、填空题 7. 2 ;8.3;9.2;10.6;11.2;12.1. 三、解答题 13.因为当 x ? (0,1) 时,有 f ?( x) ? 1 ? 于是,对任意的 x ? (

1 ? 0 ,所以, f ( x) 在区间 (0,1] 上严格单调递减. x2

2 2 2 .?????5 分 ,1] ,有 2 ? 2 ? f (1) ? f ( x) ? f ( ) ? 2 2 2 2 ,1] , 有 2

再 由 f ( x) 在 区 间 (0,1] 上 严 格 单 调 递 减 , 知 对 任 意 的 x ? (

f ( f ( x)) ? f (

2 2 .??????10 分 )? 2 2 2 ,1] , 2
1 ? x 1 ?2 2 ?0 1 x? ? 2 x

对任意的 x ? (

f ( f ( x) ? x ?

? 2 2 x 3 ? 6 x 2 ? 3 2 x ? 1 ? 0 ??????15 分
令 g ( x) ? 2 2 x 3 ? 6x 2 ? 3 2 x ? 1 . 对任意的 x ? (

2 ,1] ,有 2

g ?( x) ? 3 2 ( 2 x ? 1) 2 ? 0 .
故 g ( x) ? g (
2

2 ) ? 0 ? f ( f ( x)) ? x .??????20 分 2
2

2 14.设 A( y1 , y1 ) , B( y 2 , y 2 ) , C( y3 , y3 ) ,AB、BC 的中点分别为 F、D.则△ABC 为正

三角形当且仅当 y1 、 y 2 、 y3 互不相等,且 AD ? BC , CF ? AB . 于是, D(
2 2 y2 ? y3 y ? y3 , 2 ). 2 2

2015 年全国高中数学联赛天津赛区预赛第 3 页,共 5 页

再由 AD ? BC , y2 ? y3 ,得
2 2 ( y2 ? y3 )( 2 2 y2 ? y3 y ? y3 ? y12 ) ? ( y 2 ? y3 )( 2 ? y1 ) ? 0 2 2

2 2 ? ( y2 ? y3 )( y2 ? y3 ? 2 y12 ) ? ( y2 ? y3 ? 2 y1 ) ? 0



类似地,由 CF ? AB , y2 ? y3 ,得
2 2 ? ( y1 ? y2 )( y12 ? y2 ? 2 y3 ) ? ( y1 ? y2 ? 2 y3 ) ? 0



①-②得
3 3 2 2 ( y3 ? y1 ) ? 3 y2 ( y3 ? y12 ) ? ( y3 ? y1 )( y2 ? 2 y1 y3 ) ? 3( y3 ? y1 ) ? 0 2 2 ? ( y12 ? y2 ? y3 ) ? 3( y1 y2 ? y2 y3 ? y3 y1 ) ? 3 ? 0



设 P( x, y) ,则
2 2 y ? y 2 ? y3 y12 ? y 2 ? y3 x? ,y? 1 3 3

故由式③得

3x ? 3 ?

9 y 2 ? 3x ? 3 ? 0 ? 9y2 ? x ? 2 ? 0 . 2
1 ,代入上式化简整理得 x

又由 xy ? 1 ? y ?

x 3 ? 2 x 2 ? 9 ? 0 ? ( x ? 3)(x 2 ? x ? 3) ? 0 ? x ? 3
因此, P (3, ) . 15. (1)记 bn ?

1 3

an .则 n2

b1 ? 1 , b2 ? 2 ,

bn?1

(n ? 1) 2 4n .??????5 分 ? b ? bn (n ? 2,3, ?) 2 n ?1 (n ? 1) (n ? 1) 2

下面用数学归纳法证明:对任意的正整数 n ,有 bn ? 2 . 当 n ? 1,2 时, bn ? 2 . 设 bk ? 2(k ? 1,2, ? , n ) .则 2015 年全国高中数学联赛天津赛区预赛第 4 页,共 5 页

bn?1 ? ?

(n ? 1) 2 4n b ? bn 2 n ?1 (n ? 1) (n ? 1) 2 (n ? 1) 2 4n ?2? ?2 ? 2 2 (n ? 1) (n ? 1) 2

因此,结论成立. 于是,取 C=2,对任意正整数 n ,有 an ? Cn 2 .??????10 分 (2)由(1)得

(n ? 1) 2 (bn?1 ? bn )
. ? ?(n ? 1) 2 (bn ? bn?1 )(n ? 2,3, ?) 记 cn ? bn?1 ? bn (n ? 1,2, ?) .则

c1 ? 1

cn (n ? 1) 2 . ?? (n ? 2,3, ?) cn?1 (n ? 1) 2
于是,对任意的正整数 n ,

cn ?

cn n?1 ck ?1 n?1 k2 ?? ? ?[ ? ] c1 k ?1 ck (k ? 2) 2 k ?1
4 ????????15 分 n (n ? 1) 2
2

? (?1) n?1

因此,当 n ? 1 时,

an?1 ? an ? (n ? 1) 2 bn?1 ? n 2bn ? (n ? 1) 2 cn ? [(n ? 1) 2 ? n 2 ]bn
? (?1) n ?1 4 ? (2n ? 1)bn n2

? 1 ? (2n ? 1) ? 2 ? 4n ? 3
又当 n ? 1 时, a2 ? a1 ? 7 ? 4n ? 3 ,故对任意的正整数 n ,有 an?1 ? an ? 4n ? 3 . ????????20 分

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