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福建省八县一中2011-2012学年高二下学期期末联考数学理科试题


福建省八县(市)一中 11-12 学年高二下学期期末联考
数学理 考试日期:7 月 4 日 完卷时间:120 分钟 满分:150 分
参考公式: (1):
P ? k) (K
k
2

0.25 1.323

0.15 2.072
n( ad ? bc )
n

0.10 2.706
2

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

(2) K ? :
2
n

( a ? b)(c ? d )(a ? c )(b ? d )
i i

, 其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量。

(3) b ? :?

?x y
i ?1

? nx y = ? nx
2

? (x
i ?1 n

i

? x )( yi ? y ) ? ? ,a ? y ? b x
i

?x
i ?1

n

2

i

? (x
i ?1

? x)

2

(4): P ( ? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826 ; P ( ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544
P ( ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9974

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
1. 设袋中有 8 个红球, 个白球, 2 若从袋中任取 4 个球, 则其中恰有 3 个红球的概率为 ( )

A.

C8 C 4 C10
4

1

3

B

C8 C 4 C10
4

3

1

C

C8 C 4 C10
4

1

3

D

C8 C 2 C10
4

3

1

2. 抛掷 3 枚质地均匀的硬币,A={既有正面向上又有反面向上},B={至多有一个反面向上},则 A 与 B 关系是 ( ) A . 互斥事件 B.对立事件 C. 相互独立事件 D .不相互独立事件 3. 下列命题中,其中假命题是 ( ) A. 对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2 的观测值 k 来说,k 越小,“X 与 Y 有关系” 可信程度越大 B.用相关指数 R2 来刻画回归的效果时,R2 的值越大,说明模型拟合的效果越好 C. 两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近 1 D. 残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小 4. 六件不同的奖品送给 5 个人, 每人至少一件,不同的分法种数是 ( ) 6 4 5 1 2 5 A C5 B 5 C A6 .A5 D C 6 A5 5、在每一试验中事件 A 发生的概率均为 p ,则在 n 次试验中 A 恰好发生 k 次的概率为 ( ) A、1- p 则 a6 ?
k

B、 ?1 ? p ? p n ? k
k

C、1- ?1 ? p ?

k

D、 C n ?1 ? p ? p
k k

n?k

6. 若 ( x ? 1) 8 ? a 0 ? a1 ( x ? 1) ? a 2 ( x ? 1) 2 ? .... ? a 6 ( x ? 1) 6 ? a 7 ( x ? 1) 7 ? a8 ( x ? 1) 8 ( )

A 56

B .112

C .28

D - 56

7. 若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数” .现从 2,3,4,5,6,9 这六个数字中任取 3 个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有 ( ) (A)120 个 (B)80 个 (C)40 个 (D)20 个 8.若随机变量 X 的概率分布密度函数是 f ( x) ?
1 2 2?
? ( x ?1) 8
2

e

, x ? ( ??,??)



1

E (2 X ? 1) 的值是

(

)

A 5

B 9
3 5

C 3
1 2 24
25

D

2
( )

9.若随机变量 X~ B (8, ) ,则 D ( A.
12 5

X ) 的值为

B.

6 5

C.

D.

12 25

10. 位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动,质点每次移动一个单位,移动的方向为向 上或向右。并且向上,向右移动的概率都是 1 ,质点 P 移动六次后位于点(4,2)的概
2

率是 A. ( ) 6
2 1
2 B C6 ( ) 6

(
1

)

C

2

4 1 4 C6 ( ) 2

4 2 D C6 C6 ( ) 6

1

2

11.将数字 1,1,2,2,3,3 填入右边表格,要求每行的数字互不相同, 每列的数字也互不相同,则不同的排列方法共有 ( ) (A)12 种(B)18 种(C)24 种(D)36 种 12.如图,四边形 ABCD 被两条对角线分成四个小三角形,现有 4 种不同颜色将它染色,使相邻三角形均不同色,求使△AOB 与 △COD 同色且△BOC 与△AOD 也同色的概率( ) A
1 5

B

1 6

C1
7

D1
2

二、填空题:(每小题 4 分,共 16 分.其中第 15 小题每空各 2 分)
13.在一次数学考试中,某班学生的分数服从 X~ N (110,20 ) 且知满分为 150 分,这个班 的学生共 56 人,求这个班在这次数学考试中 130 分以上的人数大约是 14.袋中装有 3 个红球和 2 个白球, 如果不放回依次抽取两次, A={第一次抽到红球} B={第 记 二次抽到红球} 求 p ( B A) = 15.连结正三棱柱的顶点,可以组成 个四面体, 可以连成 对异面直线. 16.把圆周 4 等分,A 是其中一个分点,动点 P 在四个 分点上按逆时针方向前进,掷一个各面分别写有数字 1,2,3,4 且质地均匀的正四面体,P 从点 A 出发按照正 四面体底面上所掷的点数前进(数字为 n 就前进 n 步) , 转一周之前继续投掷,转一周或超过一周即停止投掷。 则点 P 恰好返回 A 点的概率是
2

三、解答题:
17.(本小题满分 12 分) 已知 (3 x ? 大 112。 (1) 求 n; (2) 在(1)的条件下,求 (a ? b) (3)求 (3 x ?
1 2 x
3

1 2 x
3

)

2n

展开式中偶数项二项式系数的和比 (a ? b) 展开式的各项系数和
n

2n

展开式中系数最大的项;

)

2n

展开式中的所有的有理项。

2

18. (本小题满分 12 分) 5 个人站成一排,求在下列情况下的不同排法种数。 (1) 甲不在排头,乙不在排尾; (2) 甲乙两人中间至少有一人; (3) 甲、乙两人必须排在一起,丙、丁两人不能排在一起; (4) 甲、乙两人不能排在一起,丙、丁两人不能排在一起。

19. (本小题满分 12 分) 某校高一年段理科有 8 个班,在一次数学考试中成绩情况分析如下: 班级 1 2 3 4 5 6 7 8

友情提示:

?
i ?1

8

? x i y i ? 171

6 6 7 3 5 3 3 7 大于 145 分 人数 8 2 不大于 145 分 39 39 38 42 40 42 42 38 ? ? x i ? 204 i ?1 人数 (1) 求 145 分以上成绩 y 对班级序号 x 的回归直线方程。 (精确到 0.0001) (2) 能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 7 班与 8 班的成绩是否优秀 (大于 145 分)与班级有关系。

20. (本小题满分 12 分) 袋中有 3 只红球,2 只白球,1 只黑球。 (1)若从袋中有放回的抽取 3 次,每次抽取一只,求恰有两次取到红球的概率。 (2)若从袋中有放回的抽取 3 次,每次抽取一只,求抽全三种颜色球的概率。 (3) 若从袋中不放回的抽取 3 次, 每次抽取一只。 设取到 1 只红球得 2 分, 取到 1 只 白球得 1 分,取到 1 只黑球得 0 分,试求得分 ? 的数学期望。 (4)若从袋中不放回的抽取,每次抽取一只。当取到红球时停止抽取,否则继续抽取, 求抽取次数? 的分布列和数学期望。

3

21. (本小题满分 12 分) 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处, 小球 将自由下落.小球在下落的过程中,将 3 次遇到黑色障碍物,最后落入 A 袋或 B 袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的 概率都是
1 2

. 袋中的概率 P ( A) ;

(1)求小球落入

(2)在容器入口处依次放入 4 个小球,记 ? 为 落入 A 袋中的小球个数,试求 ? ? 3 的概率和 ? 的数学期望 E? . (3)如果规定在容器入口处放入 1 个小球,若小 球落入 A 袋奖 10 元,若小球落入 B 袋罚 4 元, 试求所得奖金数? 的分布列和数学期望,并回答 你是否参加这个游戏?

22 本题有(Ⅰ),(Ⅱ)两个选答题,请考生任选 1 题作答。 (Ⅰ) (本小题满分 14 分)
? ? 1? ? ? 已知二阶矩阵 A 属于特征值-1 的 一个特征向量为 ? ? , ? 3 ? ? ? ?1? ? ? 属于特征值 7 的 一个特征向量为 ? ? ?1? ? ?

① 求矩阵 A; ②若方程满足 AX= ? ? ,求 X ? ? ?14 ? (Ⅱ) (本小题满分 14 分) ①已知 | 2 x ? 3 | ≤1 的解集为 [m, n] 1)求 m ? n 的值; 2)若 x ? a ? m, 求证: x ? a ? 1 . ②已知 x, y, z 为正实数,且
x, y , z 的值。

?7 ?

1 x

?

1 y

?

1 z

? 1 ,求 x ? 4 y ? 9 z 的最小值及取得最小值时

4

福建省八县(市)一中 11-12 学年高二下学期期末联考参考答案
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) DCADDB CCDBAC 二、填空题:(每小题 4 分,共 16 分.其中第 15 小题每空各 2 分)
13. 9 ; 14 ,
1 2

; 15, 12 和 36;16, P ?

125 256



三、解答题:
17 解: (1) 2 2 n ?1 ? 2 n ? 112 ; 2 2 n ? 2 ? 2 n ? 224 ? 0
( 2 ? 16)(2 ? 14) ? 0
n n

n=4

?????3 分

(2 ) ? n ? 4
? ( a ? b)
8 2n

? ( a ? b)

8

4 从而 (a ? b) 展开式中系数最大的项是: T5 ? C8 a 4 (?b) 4 ? 70a 4 b 4

??6 分

(3)设 有理项为第 r+1 项,则
8? r

Tr ?1 ? C8 x
r

3

.( ?

1 2

) x

r

?

r 3

? (?

1 2

8? 2 r

) C8 x

r

r

3

? 8 ? 2r ?z 8 ? 2r ? 令 ?k ?? 3 3 ?0 ? r ? 8, r ? z ?
? r ? z ? k应为偶数

?r ? 4 ?

3 2

k

??9 分

? k ? 2,0,2 即 r ? 1,4,7 -

所以第 2 项,第 5 项,第 8 项为有理项,它们分别是:
C8 (?
1

1 2

) x ? ?4 x ; C8 ( ?
2 2 4

1 2

) x ?
4 0

35 8

7 ; C8 (? ) 7 x ? 2 ? ?

1

1 16

x

?2

??12 分

2

19 解 (1) x ? 4.5 y =5

?
i ?1

8

xi y i ? 171 ; ? xi ? 204
2 i ?1

8

?
b?
i ?1 8 i ?1

8

xi y i ? 8 x ? y ? xi ? 8 x
2 2

171 ? 8 ? 4.5 ? 5 204 ? 8 ? 4.5
2

??

9 42

? ?0.2143 ??3 分

?

a ? y ? b x ? 5 ? ( ?0.2143) ? 4.5 ? 5.9643
y ∴ 回归直线方程为: ? ? bx ? a

(或 5.9644) ??????6 分

= -0.2143x+5.9643

(2) k ?
2

90(3 ? 38 ? 42 ? 7) 45 ? 45 ? 80 ? 10

2

? 1.8

因为 1.8<6.635
5

所以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下不能认为 7 班与 8 班的成绩是否优秀(高 于 145 分)与班级有关系。 ? ???????????12 分 20 解: (1)抽 1 次得到红球的概率为
1

1 1 ,得白球的概率为 , 得黑球的概率为 . 6 2 3
1 1 2 1 6 ? 3 8

2 所以恰 2 次为红色球的概率为 P ? C 3 ( ) 2 1

????2 分 ????4 分

2

(2)抽全三种颜色球的概率 P2 ? ( ?
2

1

1 3
2

?

1 6
1

) ? A3 ?
3

(3) ? ? 6,5,4,3,2
p (? ? 6) ? p (? ? 3) ?
E? ? 6 ?

C3
1

3 3

?
1

1 20
1

; p (? ? 5) ?
?
6 20

C3 C 2 C6
3 2

?
1

6 20 ? 1

; p (? ? 4) ?

C 3 C1 ? C 3 C 2
2 1 1

2

C6

C6

3

?

6 20

;

C 3 C 2 C1 C6
1 20
3

6 20

; p (? ? 2) ?
6 20 ? 3?

C 2 C1 C6
6
3

20
1 20 ?4

? 5?

? 4?

? 2?

????8 分

20

(4) ? =1,2,3,4
P (? ? 1) ? P (? ? 4) ? 3 6 3 6

, P (? ? 2) ?
? 2 5 ? 1 4 ? 3 3

3 6

? 1

3 5

?

3 10

; P (? ? 3) ?

3 6

?

2 5

?

3 4

?

3 20

?

20

? 的分布列是: ?

1
1 2
1 2 6 20 3 20

2
6 20
? 3? ? 4? 1 20 ?

3
3 20
7 4

4
1 20

P
E? ? 1 ?

? 2?

?????12 分

???10 分
E? ? 10 ? 1 4 ? ( ?4) ? 3 4
6

? 2.5 ? 3 ? ?0.5

因为 E? ? ?0.5 ? 0 ,所以不参加这个游戏。
?a ? 22(Ⅰ)解: ①设 A= ? ?c ? b? ? ? , ????1 分 d? ? ?a ? ? ?c ? b? ? ? d? ? ?1? ?1? ? ? ? ? ? ? =7 ? ? ?1? ?1? ? ? ? ?

????12 分


?a ? ? ?c ? b ? ? ? 1? ? ? 1? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? .? ? =- ? ? =? ? ? ? 3 ? ? 3 ? ? ? 3? d? ? ? ? ? ? ?

?????3 分

?? a ? 3b ? 1 ?a ? 5 ? ? ?? c ? 3d ? ?3 ?b ? 2 ?? ?? ?a ? b ? 7 ?c ? 6 ?c ? d ? 7 ?d ? 1 ? ?

?5 ? ? A= ? ?6 ?

2? ? ? 1? ?

??????7 分

(Ⅱ)解:① 1)由 不等式 | 2 x ? 3 |? 1 可化为 ?1 ? 2 x ? 3 ? 1 得 1 ? x ? 2 ???2 分 ∴m=1,n=2, m+n=3 ?????4 分 2)若 x ? a ? 1, x ? x ? a ? a ? x ? a ? a ? a ? 1 ②解:由柯西不等式得
x ? 4 y ? 9 z ? [( x ) ? (2 y ) ? (3 z ) ] ? [( 1 x 1 y 1 z
2 2 2

??????7 分
1 y 1 z

1 x

) ?(

2

) ?(

2

) ]

2

?( x?

?2 y?

?3 z ?

) ? 36

2

? ?????11 分 当且仅当 x ? 2 y ? 3 z 时等号成立,此时 x ? 6, y ? 3, z ? 2 所以当 x ? 6, y ? 3, z ? 2 时, x ? 4 y ? 9 z 取得最小值 36 ? ??? 14 分

7


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