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等比数列教案 (1)


等比数列(复习课)学案
一.基本要求: ① 理解等比数列的概念; ② 掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式及应用 ③ 了解等比数 列与指数函数的关系 发展要求:①掌握等比数列的典型性质及应用。②能用类比观点推导等比数列的性质 二.教学过程 (1) 、知识回顾 等比数列的概念、有关公式和性质 { a n }为等差数列 { a n }为等比数列 定义 通项公 式 求和公



an?1 ? an ? d (d为常数) ( n ? N? )
d 为公差

a n = a1 +(n-1)d
= a k +(n-k)d

sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

中项公 式

a?b 2 ( 推广: an ? an ?1 ? an ?1 n ? 2)
a,A,b 成等差,则 A=

数列与 函数关 系

a n = dn + a1 -d (一次函数) d d sn ? n2 ? (a1 ? )n (常数项为 0 的 2 2
二次函数)

1

若 m+n=p+q 则 a m ? a n ? a p ? a q

性 质

2 3

a k , a k ? m , a k ? 2m ,?为等差数列;且公差
为_______ . s n , s 2 n ? s n , s3n ? s 2 n 成等差数列。

1 基础训练题
(1)等比数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n (n ? N ) ,若 a3 ?
*

3 9 , S 3 ? ,求数列的首项与公比. 2 2 (2)在等比数列 ?a n ?中, a n ? 0 ,且 a1 ? a2 ? 1, S 4 ? 10 ,则 a4 ? a5 =( )
A.16 B.27 C.36 D.81 (3)②设 {an } 是递增的等比数列, a1 ? a n ? 66, a 2 a n ?1 ? 128 ,前n项和 Sn=126, 求 n 和公比 q. (4)等比数列中,q=2,S99=77,求 a3 ? a6 ? ? ? a99 ;

(5).已知数列 {a n } 满足: a1 ? 2, a n ?1 ? 2a n ? 1 ; (1)求证:数列 {a n ? 1} 是等比数列; (2)求数列 {a n } 的前 n 项和。

2 能力提高题
1(08 浙江)已知 ?a n ?是等比数列, a 2 ? 2,a5 ?

1 ,则 a1 a 2 ? a 2 a3 ? ? ? a n a n ?1 =( ) 4 (A)16( 1 ? 4 ? n ) (B)16( 1 ? 2 ? n ) 32 32 (C) ( 1 ? 4 ?n ) (D) (1 ? 2 ?n ) 3 3 n 2 2 2 2.数列{ a n }的前 n 项和 S n ? 2 ? 1, 则a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ( ) 1 n 1 n n 2 A. (2 ? 1) B. (2 ? 1) C. 4 n ? 1 D. (4 ? 1) 3 3 a1 ? a 2 ? 40, a3 ? a 4 ? 60, 则a7 ? a8 {a n }
3.在等比数列 A.100 中,若 B.80 C.95 = ( D.135 ) 4(2007 陕西)各项均为正数的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,若 S10=2,S30=14,则 S40 等于( (A)80 (B)30 (C)26 (D)16 5.等比数列 {an } 中, an ? 0 且 a5 a6 ? 81 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ?? ? log3 a10 的值是( ) A.20 B.10 C. 5 D.40



1 1 1 1 1 31 1 6.在等比数列 {a n } 中,若 a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 ? ? ? ? =_________________。 , a3 ? , 则 ? a1 a 2 a3 a 4 a5 16 4
7.在正项等比数列 ?an ? 中, a 3 、 a 7 是方程2x2 ?7x ?6? 0 的两个根,则 a40 a50 a60 的值为( A.32 B.64 C. ?64 D.256 2 变 1: 在等比数列 {a n } 中, 若 a 3 、 a 7 是方程2x ?7x ?6? 0 的两根, 则 a5 的值为 ( ) )
2



A.3 B.±3 C. 3 D.± 3 2 变 2: 等比数列{an}中,a3,a9 是方程2x ?7x ?6? 0 的两个根,则 a6=( A.3 B.±3 C.? 3 D.以上皆非

变 3 : 设 { a n } 为 公 比 q>1 的 等 比 数 列 , 若 a 2004 和 a 2005 是 方 程 4 x ? 8x ? 3 0 两 根 , 则 ? 的

a 2006 ? a 2007 ? _____.

3.思考题 1.已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1,a3,a9 成等比数列,则 2.设 f (n) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
4 7 10 3n ?10

a1 ? a3 ? a9 的值是 a 2 ? a 4 ? a10


(n ? N ) ,则 f (n) 等于(

(A)

2 n 2 (8 ? 1) (B) (8n?1 ? 1) 7 7

(C)

2 n?3 2 (8 ? 1) (D) (8n? 4 ? 1) 7 7

数列?an ?中,a1 ? 2, a2 ? 3, 且数列

?an an?1? 是以3为公比的等比数列,设bn ? a2n?1 ? a2n (n ? N ? )

3. (1)求a , a 的值 3 4

(2)求证?bn ? 是等比数列

典型例题精析 题型一 等差数列与等比数列的判定 1. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+1=

S n?2 Sn, 求证: { n } 是等比数列. n n

* 2.在数列 ? an ? 中, a1 ? 2 , an ?1 ? 4an ? 3n ? 1 , n ? N .

(Ⅰ)证明数列 ?an ? n? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ? an ? 的前 n 项和 S n ; (Ⅲ)证明不等式 S n ?1 ≤ 4 S n ,对任意 n ? N 皆成立.
*

(Ⅰ)证明:由题设 an ?1 又 a1

? 1 ? 1 ,所以数列 ?an ? n? 是首项为 1,且公比为 4 的等比数列.

? 4an ? 3n ? 1 ,得 an ?1 ? (n ? 1) ? 4(an ? n) , n ? N* .

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知 an 所以数列

? n ? 4n ?1 ,于是数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 4n?1 ? n .
n

?an ? 的前 n 项和 S

?

4n ? 1 n(n ? 1) . ? 3 2
S n ?1 ? 4S n ? ? 4n ? 1 n(n ? 1) ? 4n ?1 ? 1 (n ? 1)(n ? 2) ? ? 4? ? ? 3 2 2 ? ? 3

(Ⅲ)证明:对任意的 n ? N ,
*

1 * ? ? (3n2 ? n ? 4) ≤ 0 .所以不等式 Sn ?1 ≤ 4 Sn ,对任意 n ? N 皆成立. 2

题型二 等差、等比数列中基本量的计算 3.在等比数列{an}中 a1+an=66,a2an-1=128,且前 n 项和为 Sn=126,求 n 和公比 q.

4.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,S4=1,S8=17,求通项公式.

过关训练 1.已知数列 a,a(1-a),a(1-a)2,a(1-a)3,?是等比数列,则实数 a 的取值范围为 ________________________. 2.在数列{an}中,a1=2,2an+1+an=0 (n∈N*),则 an=______________. 9 1 2 3.在等比数列{an}中,已知首项 a1= ,末项 an= ,公比 q= ,则项数 n=_______. 8 3 3 4.在等比数列{an}中,(1)a6=6,a9=9,则 a3=_________; (2)a1,a99 是方程 x2-10x+16=0 的两根,则 a40·50·60=______. a a 1 5.①“公差为 0 的等差数列是等比数列” ;②“公比为 的等比数列一定是递减数列” ;③“a,b,c 三数成等比数 2 列的充要条件是 b2=ac” ;④“a,b,c 三数成等差数列的充要条件是 2b=a+c” ,以上四个命题中,正确的有 _____________. 6.已知数列{an}是正项等比数列,a2a4+2 a3a5+a4a6=25,则 a3+a5=________. 7.等比数列{an}中,已知 a9=-2,则此数列前 17 项之积为___________. 8.一个三角形的三边成等比数列,则公比 q 的范围为_________________. 9.设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则 q 的值为 _____________. 10. 首项为 6 的三个数成等比数列, 若将它们依次分别减去 4, 2, 3, 则成等差数列, 则此三个数是_________________. a c 11.已知 a,b,c 成等比数列,如果 a,x,b 和 b,y,c 都成等差数列,则 + =______. x y n 12.设数列{an}中,a1=1,an+1=an+2 ,则它的通项公式是 an=_______________. 13.设 f(n)=2+24+27+210+…+23n+10,则 f(n)=_______________. 14.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=pn2-2n+q. (1)当 q=__________时,数列{an}是等差数列; (2)在(1)的条件下,若 a1 与 a5 的等差中项为 18,bn 满足 an=2log2bn,则数列的{bn}前 n 项和 Tn=______________.
等比数列的前 n 项和 选择题 A.4 C.16 A.-4 C.0 1.等比数列 a n 中, S 4

? ?

? 4 , S 8 ? 8 ,则 a17 ? a18 ? a19 ? a20 的和为( )
B. 3 D.24
n

2 已知等比数列的前 n 项和 S n ? 4 ? a ,则 a 的值等于( 3.在等比数列 ?a n ?中, a1 B.-3 D.1



? 4, q ? 5 ,使 S n ? 10 7 的最小值 n 是( )

A.11 B.10 C.12 D.9 4.在等比数列 ?a n ?中, S n 表示前 n 项和,若 a3 ? 2S 2 ? 1, a 4 ? 2S 3 ? 1 ,则公比 q ? ( A.3 C.-1 5.在等比数列 a n 中 a1 B.-3 D.1



? 8,q ?

1 1 , a n ? ,则 S n 等于( ) 2 2

A.31

B.

31 2


C.8 D.15 6.等比数列 1,2,4,?从第 5 项到第 10 项的和是( A.1024 B.127 C.1000 D.1008

7.等比数列 a n 的各项都是正数,若 a1 ? 81 , a 5 ? 16 ,则它的前 5 项的和是( A.179 C.243

? ? ? ?



B.211 D.275 )

8.等比数列 a n 的前 n 项和 S n 中( A.任意一项都不为零 B.必有一项为零 C.至多有有限为零 D.可以有无数项为零

9、某工厂总产值月平均增长率为 p ,则年平均增长率为( A、 p
填空题


12

B、12 p

C、 (1 ? p )

12

D、 (1 ? p)

?1

10.定义“等和数列” :在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫作等和数 列,这个常数叫作该数列的公和。已知数列 ?a n ?是等和数列,且 a1 ? 2 ,公和为 5,那么 a18 的值为 ,这 个数列的前 21 项和 S 21 的值为 。 。 11、某种产品计划每年降低成本 q% ,若三年后的成本是 a 元,则现在的成本是 12、等比数列 {a n } 中, a5 ? a6 ? a7 ? a5 ? 48 ,那么这个数列的前 10 项和 S10 = 。
解答题

13、在等比数列 {a n } 中,已知 S 3 ? 4, S 6 ? 36 ,求 a n 。

14、在等比数列 {a n } 中,已知 a1 ? a n ? 66 , a 2 a n ?1 ? 128 , S n ? 126 求 n 与 q 。

? 15、已知 f ( x) ? a1 x ? a 2 x ? a3 x ? ? ? a n x ,且 a1,a 2,a3, , a n 成等差数列( n 为正整数) 。又 f (1) ? n ,
2 3 n

2

1 (1)求 a n 。 (2)比较 f ( ) 与 3 的大小。 f (?1) ? n 。 2

答案:
1、A 2、B 6、D 7、B 10、3.52 11、 3、A 8、D 4、A 9、D 5、B

a (1 ? q%)3

12、1023 13、 S n

?

1 n?1 ?2 7 1 2
(2)

14、n 的值为 6,q 为 2 或 15、 (1) a n ? 2n ? 1

1 f( )?3 2


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