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1.2.2 绝对值不等式的解法(人教A版选修4-5)


不等式和绝对值不等式
1.2 1.2.2 绝对值不等式

绝对值不等式的解法(1)

会利用绝对值的几何意义求解以下类型的 不等式: ①|ax+b|≤c; ②|ax+b|≥c.

一、复习回顾

a ,a>0 1.绝对值的定义: |a|= 0 ,a=0 -a ,a<0 2.绝对值的几何意义: 实数a绝对值|a|表示 |a| 数轴上坐标为A的点 A 到原点的距离. 0 a |a-b| A a B b
实数a,b之差的绝对值 |a-b|,表示它们在数轴上 对应的A,B之间的距离.

3.绝对值的运算性质:

a ? a,
2

a |a| ab ? a b , | |? b |b|

你能用几种方法来解下面两个不等式的解集? ⑴ x ?1 ⑵ x ?1

主要方法有:
法一:利用绝对值的几何意义观察;
法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论; 法三:两边同时平方去掉绝对值符号; 法四:利用函数图象观察.

这也是解其他含绝对值不等式的四种常用思路.

探索:不等式|x|<1的解集.
方法一:利用绝对值的几何意义观察 不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合.

-1

0

1

∴不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
方法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论 ①当x≥0时,原不等式可化为x<1, ∴ 0≤x<1 ②当x<0时,原不等式可化为-x<1,即x>-1 ∴ -1 <x <0 综合①②得,原不等式的解集为{x|-1<x<1}

探索:不等式|x|<1的解集.
方法三:两边同时平方去掉绝对值符号. 对原不等式两边平方得x2<1, 即(x+1)(x-1)<0


-1<x<1

∴不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}. 方法四:利用函数图象观察 从函数观点看,不等式|x|<1的解集,是函 数y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部 y 分对应的x的取值范围. ∴不等式|x|<1的解集为 {x|-1<x<1}

1 -1 o 1

y=1

x

方程│x│=1的解集
-1 0 1

为{x│x=1或x=-1}

不等式│x│<1的解集? 为{x│-1 < x < 1 }
a -1

0

1 a

不等式│x│> 1解集

为{x│x > 1或x<-1 }

-1 0 1 a -a 类比:|x|<3的解 |x|>3 的解 -a<x<a 归纳:|x|<a(a>0)

|x|<-2的解

|x|>a (a>0)|x|>-2的解 X>a 或 x<-a

绝对值不等式的解法
1:形如|x|<a和|x|>a (a>0)的含绝对值的不等式的解集

① 不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a} 0 -a a ② 不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a }

0 -a a 注:如果 a ≤ 0 ,不等式的解集易得. 利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式.

基础练习: 解下列不等式: (1)|x|>5 (2)2|x|<5

{ x | x ? 5或x ? ?5}
5 5 {x | ? ? x ? } 2 2 5 5 { x | x ? 或x ? ? } 2 2

(3)|2x|>5
(4)|x-1|<5

{ x | ?4 ? x ? 6}

(5)|2x-1|<5
(6)|2x2-x|<1 (7)|2x-1|<1

{ x | ?2 ? x ? 3}
1 { x | ? ? x ? 1} 2

{ x | x ? 1}

(1)|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的 解法: ①换元法:令t=ax+b, 转化为|t|≤c和|t|≥c 型不等式,然后再求x,得原不等式的解集。 ②分段讨论法:

?ax ? b ? 0 ?ax ? b ? 0 | ax ? b |? c(c ? 0) ? ? 或? ?ax ? b ? c ??(ax ? b) ? c

?ax ? b ? 0 ?ax ? b ? 0 | ax ? b |? c(c ? 0) ? ? 或? ?ax ? b ? c ??(ax ? b) ? c

型如|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c∈R)不等式解法
当 c > 0 时,

? c ? ax + b ? c

|ax + b|? c ?

c = 0 时, ax + b = 0 当 c < 0 时, x ? ?
当 当

c > 0 时, ax + b ? c 或 ax + b ? -c c ? 0 时, x ? R

|ax + b|? c ?


试解下列不等式:

(1) | 3 ? 2 x |≥ 7
解:∵ | 3 ? 2 x |≥ 7 ∴ 2 x ? 3 ≥ 7
∴ 2 x ? 3 ≥ 7或2 x ? 3 ≤ ?7 ∴ x ≥ 5或x ≤ ?2 ∴原不等式的解集为 ? ??, ?2?

(2) | x ? 3 x |? 4
2

( ?1, 4)

?5, ??? .
(4)1 ?| 3 x ? 4 |≤ 6

(3) | 3 ? 2 |? 1
x

(??, 0)

(1, ??)

2 10 5 ( ?1, ] [? , ? ) 3 3 3

(5). P20.第7题

解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对 值符号的不等式(组),根据式子的特点可用下列解 法公式进行转化:

⑴ f ? x ? ? a (a ? 0) ? f ? x ? ? a或f ? x ? ? ? a;
⑵ f ? x ? ? a (a ? 0) ? ? a ? f ? x ? ? a;

⑶ f ? x ? ? g ( x ) ? f ? x ? ? g ( x )或f ? x ? ? ? g ( x );
⑷ f ? x ? ? g ( x ) ? ? g ( x ) ? f ? x ? ? g ( x );

⑸ f ? x? ? g ? x? ? ? ? f ? x ?? ? ?? ? g ? x ?? ?
2

2

(2) x ? a ? x ? b ? c和 x ? a ? x ? b ? c 型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义 ②零点分区间法 ③构造函数法

例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
方法一:利用绝对值的几何意义. 解:如图,数轴上-2,1对应的点分别为A,B,

-3,2对应的点分别为A1,B1, A1 A B B1
-3 -2 -1 0 1 2

这种方法体现了 数形结合的思想

∵|A1A|+|A1B|=5, |B1A|+|B1B|=5, ∴数轴上,点A1和B1之间的任何一点,到点A,B 的距离之和都小于5, 而A1的左边或B1的右边的任何一点,到点A,B 的距离之和都大于5, ∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.

例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
方法二:利用|x-1|=0,|x+2|=0的零点,分段讨论去绝对值

解: (1)当x ? ?2时, 这种解法体现了分类讨论的思想 ? x ? ?2 ? x ? ?2 ?? ? x ? ?3. 原不等式 ? ? (1 ? x) ? ( x ? 2) ? 5 ? x ? ?3
? (2)当 ? 2 ? x ? 1时,

(3)当x ? 1时, ?x ? 1 ?x ? 1 原不等式 ? ? ?? ?x?2 ?( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 5 ?x ? 2
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.

??2 ? x ? 1 ??2 ? x ? 1 ?? ? x ??. 原不等式 ? ? ?(1 ? x) ? ( x ? 2) ? 5 ?3 ? 5

例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
方法三:通过构造函数,利用函数的图象求解.

解:原不等式化为 | x ?1| ? | x ? 2 | ?5 ? 0,
构造函数 y ?| x ?1| ? | x ? 2 |, 化简得
?(1 ? x) ? ( x ? 2),x ? ?2 ? y ? ?(1 ? x) ? ( x ? 2), ? 2 ? x ?1 ?( x ? 1) ? ( x ? 2),x ? 1 ?

??2 x ? 6, x ? ?2 ? 即 y ? ??2, ? 2 ? x ?1 ?2 x ? 4, x ? 1 ?

例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
??2 x ? 6, x ? ?2 ? y ? ??2, ? 2 ? x ?1 ?2 x ? 4, x ? 1 ?
y

-2 -3

1 -2 2 x

如图,作出函数的图象,

函数的零点是-3,2.

由图象可知,当x ? ?3或x ? 2时,y ? 0,
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}. 这种方法体现了函数与方程的思想.

课堂练习
1. P20.第8题、第9题

2.对任意实数x,若不等式|x+1|-|x-2|>k 恒成立,则k的取值范围是 (B ) (A)k<3 (B)k<-3 (C)k≤3 (D)k≤-3

3.若不等式|x-1|+|x-3|<a的解集为空集,则a的
取值范围是---------(??, 2]      

课堂小结

解绝对值不等式的基本思路: 去绝对值符号转化为一 般不等式来处理。
思路1:利用绝对值的几何意义观察 思路2:利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论 思路3:两边同时平方去掉绝对值符号 思路4:利用函数图象观察

主要方法有:
⑴同解变形法: 运用解法公式直接转化; ⑵定义法: 分类讨论去绝对值符号; ①含一个绝对值符号直接分类; ②含两个或两个以上绝对值符号: 零点分段法确定. ⑶数形结合 (运用绝对值的几何意义); ⑷利用函数图象来分析.

解下列不等式:

(1)1≤|x|<5.

(2)|x-1| > |x-3|

(3)| x ? 3x ? 4 |? x ? 1
2

(4)

x ? 9 ? x ?1

(5)| x -1 | + | 2x-4 |>3 + x

例1 解不等式:1≤|x|<5. 法一:几何法,-5<x≤-1,或1≤x<5 一般化: a≤|x|≤b ? a≤x≤b或 -b≤x≤-a (b>a>0) 法二:转化法,把连不等式转化为不等式组求解,

?| x |? 1 ? ?| x |? 5
法三:是去绝对值法,通过分两种情况去掉绝对值.

?x ? 0 ?x ? 0 ① 或? ② ? ?1 ? x ? 5 ?1 ? ? x ? 5

变题:解不等式 1≤ | 2x-1 | < 5.

变题:解不等式 1≤ | 2x-1 | < 5. 解: 法1:由原不等式得

1≤2x-1<5 或 –5<2x-1≤-1
即 2≤2x<6 或 –4<2x≤0. 解得 1x<3 或 –2< x ≤0. ∴ 原不等式的解集为{x|-2<x≤0 或 1≤x<3}

变题:解不等式 1≤ | 2x-1 | < 5.

法2:原不等式等价于

?| 2 x ? 1 |? 5 ?? 5 ? 2 x ? 1 ? 5 ? ?? ?| 2 x ? 1 |? 1 ?2 x ? 1 ? 1或 2 x ? 1 ? ?1

?? 2 ? x ? 3 ?? ? ? 2 ? x ? 0或 1 ? x ? 3 ? x ? 1或 x ? 0
∴ 原不等式的解集为 {x | -2< x ≤0或1≤x<3}

变题:解不等式 1≤ | 2x-1 | < 5. 法3:去绝对值 原不等式等价于

?2 x ? 1 ? 0 ? ?1 ? 2 x ? 1 ? 5



?2 x ? 1 ? 0 或? ② ?1 ? 1 ? 2 x ? 5

解①得:1≤x<3 ; 解②得:-2< x ≤0. ∴ 原不等式的解集为 {x| -2<x≤0或1≤x<3}

例2:解不等式:|x-1| > |x-3|
依据: |a|>|b| a2>b2
解法1:因为 |x-1| > |x-3|

所以 两边平方可以等价转化为
(x-1)2>(x-3)2
化简整理:x>2

平方法:注意两边都为非负数
类型 4:
f ? x? ? g ? x? ? ? ? f ? x ?? ? ?? ? g ? x ?? ?
2 2

例2:解不等式:|x-1| > |x-3|
解法2:如图,设“1”对A,“3”对应B,
“X”对应 M(不确定的),即为动点.
由绝对值的几何意义可知 :

|x-1| =MA

|x-3|=MB

|x-1| > |3-x| 几何的意义 为MA>MB,
A 0 1

M
2

B 3

例2:解不等式:|x-1| > |x-3|
分析:两个|x-1| 、|x-3|要讨论,按照绝对值里面的 代数式符号进行讨论。可以借助数轴分类。

解法3:
0 1 3

找零点

分段
讨论 综合

使|x-1|=0,|x-3|=0,未知数x的值 为1和3 1、当x≧3时,原不等式可以去绝对值符号 化为:x-1>x-3 解集为R,与前提取交集, 所以x≧3; 2、当1≦x<3时,同样的方法可以解得2<x<3 3.当x<1时, x无解
综合有:x>2

例3.解不等式 | x ? 3x ? 4 |? x ? 1.
2

? ? ? x ? 3x ? 4 ? 0 ? x ? 3x ? 4 ? 0 解 1:原不等式 ? ? 2 或? 2 ? ? x ? 3x ? 4 ? x ? 1 ? ??( x ? 3x ? 4) ? x ? 1
2 2

? x ? 4或x ? ?1 ??1 ? x ? 4 ?? 或? ? x ? 5或x ? ?1 ??1 ? x ? 3

? x ? ?1, 或x ? 5,或 ? 1 ? x ? 3,
?原不等式的解集为{x | x ? ?1, 或 ?1 ? x ? 3, 或x ? 5}.

例3.解不等式 | x ? 3x ? 4 |? x ? 1.
2

解2:原不等式 ? x2 ? 3x ? 4 ? ?( x ? 1)或x2 ? 3x ? 4 ? x ? 1

? x ? 2x ? 3 ? 0 或 x ? 4x ? 5 ? 0
2 2

? ( x ? 1)( x ? 3) ? 0, 或( x ? 1)( x ? 5) ? 0

? ?1 ? x ? 3, 或x ? ?1, 或x ? 5,
?原不等式的解集为{x | x ? ?1, 或 ?1 ? x ? 3, 或x ? 5}.

一般化:

f ?x? ? g ?x?型不等式的解集为 ? g ?x? ? f ?x? ? g ?x? ;

f ?x? ? g ?x?型不等式的解集为.

?x f ?x? ? g?x?或 f ?x? ? ?g?x??

4.解不等式 x ? 9 ? x ? 1

解:

x ? 9 ? x ?1

? ?x ? 9? ? ?x ? 1? ?x?5
2
1 5 9

2

5 解不等式| x -1 | + | 2x-4 |>3 + x

解:(1)当x≤1时原不等式化为: 1-x + 4 -2x >3 + x 1 1 ② 2 ① ③ ?x? 2 (2)当1<x ≤2时,原不等式化为:

x ?1 ? 4 ? 2x ? 3 ? x ? x ? 0

又∵ 1<x ≤2,∴此时原不等式的解集为φ (3)当x>2时,原不等式化为 综上所述,原不等式的解集为 ?
① 1 ② 2 ③

x ?1 ? 2x ? 4 ? 3 ? x ? x ? 4

1 ? ? x | x ? 或x ? 4?. 2 ? ?

1/2

4

补充练习:1.解不等式:
(1)1<|2x+1|≤3.

(2)||x-1|-4|<2.
(3)|3x-1|>x+3. 答案:(1){x|0<x≤1或-2≤x<-1} (2){x|-5<x<-1或3<x<7}

1 (3) {x | x ? ? 或x ? 2} 2

1.对任意实数x,若不等式|x+1|-|x-2|>k 恒成立,则k的取值范围是 ( B) (A)k<3 (B)k<-3 (C)k≤3 (D)k≤-3 2.若不等式|x-1|+|x-3|<a的解集为空集,则a的

(??, 2]       取值范围是---------3.解不等式:|x-1|>|x-3|. 答案: {x|x>2}. 4.解不等式|5x- 6|<6-x. 答案:(0,2)

3.已知不等式|x+2|-|x+3|>m.
(1)若不等式有解,求m的取值范围 (2)若不等式解集为R. 求m的取值范围. 分析:求出|x+2|-|x+3|的取值范围即可. 解析:利用绝对值不等式性质 ||x+2|-|x+3||≤|x+3-2-x|=1, ∴-1≤|x+2|-|x+3|≤1. (1)若不等式有解,m只要比|x+2|-|x+3|的最大值小即可, 即m<1; (2)若不等式的解集为R,即不等式恒成立.m只要比|x+2| -|x+3|的最小值还小,即m<-1.


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