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高中数学必修5新教学案:2.3等差数列的前n项和(第1课时)


必修 5

2.3

等差数列的前 n 项和(学案)
(第 1 课时)

【知识要点】 1.等差数列的前 n 项和公式; 2.数列求和的倒序相加法; 3.等差数列的前 n 项和公式应用. 【学习要求】 1.探索并掌握等差数列的前 n 项和公式,了解倒序相加法; 2.能运用等差数列的前 n 项和公式解决简单问题

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 42 页~第 44 页) 1. 高斯算法是运用了等差数列的一个什么性质规律?我们这里用什么方法去求一般数 列的前 n 项和呢? 2.设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则

S n ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ... ? [a1 ? (n ? 1)d ], ①


Sn ?
n个

.②(上式倒序相加的和)

由①+②,得

( 2Sn ? a1 ? an)+(a1 ? an)+(a1 ? an)+...+(a1 ? an) ?????????? ? ?????????? ? ?
= .

由此得到等差数列 {an } 的前 n 项和的公式 这种数列求和的方法称为 又等差数列的通项公式为 an = 前 n 项和的另一个公式 S n ?

Sn ?
.

. (1)

,将其代人公式(1)得到等差数列 {an } 的 . (2)

3. 等差数列的前 n 项和公式 (1) 、 (2) 各有什么特点?今后运用时如何恰当的选择? 【基础练习】 1.在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? ?4,a8 ? ?18 n ? 8 ,其前 n 项和 S n ? , 2.在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 14 5,d ? 0. an ? 32,其前 n 项和 S n ? . 7, . .

3. 求集合 ? ? m | m ? 2n ? 1 n ? ? ,且m ? 60 的元素个数, 并求这些元素的和. , 【典型例题】 例 1 2000 年 11 月 14 日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.

?

?

?

1

某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从 2001 年起用 10 年时间,在全市中小学建 成不同标准的校园网.据测算,2001 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万元.为了保 证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加 50 万元.那么从 2001 年起的未来 10 年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?

例 2 已知一个等差数列 {an } 前 10 项的和是 310,前 20 项的和是 1220.由这些条件能 确定这个等差数列的前 n 项和的公式吗?

1.在等差数列 {an } 中, a1 ? 1 a3 ? a5 ? 14 S n ? 100 , , ,则n ? ( (A)9 (B)10 (C)11 (D)12



2.已知等差数列 {an } 满足 a2 ? a4 ? 4,a3 ? a5 ? 10 ,则S10 ? ( (A)138 (B)135 (C)95 (D)23 3.正整数列前 n 个偶数的和为 ;正整数列前 n 个奇数的和为 4.在三位正整数的集合中有 180 个数是5的倍数,它们的和是 . 5.已知等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ? ?512, S n ? ?1022,求公差 d

)



6.已知一个 n 项的等差数列的前四项和为 21,末四项的和为 67,前 n 项的和为 286, 求项数 n .

2 (2009 宁夏海南卷文)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 ,

S2m?1 ? 38 ,则 m ? (

) .

2

必修 5

2.3

等差数列的前 n 项和(教案)
(第一课时)

【教学目标】 1.通过实例,探索等差数列的前 n 项和公式,了解倒序相加法; 2.掌握等差数列的前 n 项和公式,并能用其解决一些简单问题; 3.培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力. 【重点】 探索并掌握等差数列的前 n 项和公式;学会用公式解决一些实际问题. 【难点】 等差数列前 n 项和公式推导思路的获得.

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 42 页~第 44 页) 1. 高斯算法是运用了等差数列的一个什么性质规律? (等差数列任意的第 k 项与倒数 第 k 项的和等于首项与末项的和) 我们这里用什么方法去求一般数列的前 n 项和呢? (倒序 相加法) 2.设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则

S n ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ... ? [a1 ? (n ? 1)d ], ①


S n ? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ? ? ? ?an ? (n ? 1)d ? ②(①式倒序相加的和) .
( 2Sn ? a1 ? an)+(a1 ? an)+(a1 ? an)+...+(a1 ? an) ?????????? ? ?????????? ? ?
n个

由①+②,得

= n(a1 ? an ) . 由此得到等差数列 {an } 的前 n 项和的公式 这种数列求和的方法称为“倒序相加法”. 又等差数列的通项公式为 an = a1 ? (n ? 1)d , 将其代人公式 (1) 得到等差数列 {an } 的 前 n 项和的另一个公式 S n ? na1 ?

Sn ?

n( a1 ? a n ) . (1) 2

n(n ? 1) d. (2) 2

3. 等差数列的前 n 项和公式 (1) 、 (2) 各有什么特点?今后运用时如何恰当的选择? (两个公式都需要知道 a1和n ,而公式(1)还需已知 an ,而公式(2)还需已知 d ,运 用时要根据已知条件选择用哪个公式. ) 【基础练习】

3

1.在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? ?4,a8 ? ?18 n ? 8 ,其前 n 项和 S n ? ,

-88 .

2.在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 14 5,d ? 0. an ? 32,其前 n 项和 S n ? 604.5. . 7, 3.求集合 ? ? m | m ? 2n ? 1 n ? ? ?,且m ? 60 的元素个数,并求这些元素的 , 和.(答案:元素个数是 30,元素和为 900. 【典型例题】 例 1 2000 年 11 月 14 日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》. 某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从 2001 年起用 10 年时间,在全市中小学建 成不同标准的校园网.据测算,2001 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万元.为了保 证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加 50 万元.那么从 2001 年起的未来 10 年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少? 【审题要津】让学生读题、审题并找出有用的信息,构造等差数列模型:根据题意,从 2001 ~ 2010 年,该市每年投入的经费都比上一年增加 50 万元.所以,构成了一个等差数 列 {an } ,写出首项和公差,用等差数列的前 n 项和公式求解. 解:根据题意,从 2001 ~ 2010 年,该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年 增加 50 万元.所以,可以建立一个等差数列 {an } ,表示从 2001 年起各年投入的资金,其中

?

?

a1 ? 500 ,

d =50.

那么,到 2010 年( n =10) ,投入的资金总额为

Sn ? 10 ? 500 ?

10 ? 10 ? 1 ( ) ? 50 ? 7250 (万元) 2

答:从 2001 ~ 2010 年,该市在“校校通”工程中的总投入是 7250 万元. 【方法总结】 本题是应用题, 解决的关键是建立数学模型, 根据题意: "从 2001 ~ 2010 年,每年投入的经费都比上一年增加 50 万元".所以,可以构造一个等差数列,利用等差数 列的知识解决. 例 2 已知一个等差数列 {an } 前 10 项的和是 310,前 20 项的和是 1220.由这些条件能 确定这个等差数列的前 n 项和的公式吗? 【审题要津】等差数列前 n 项和公式就是一个关于 a1,n,an或a1,n,d 的方程.若 要确定其前 n 项求和公式,则要确定 a1和d 的关系式,从而求得.将已知条件代入等差数列 前 n 项和的公式后,可得到两个关于 a1 与 d 的二元一次方程,由此可以求得 a1 与 d ,从而 得到所求前 n 项和的公式. 解:由题意知 将它们代入公式

S10 ? 310,
S n ? na1 ?

S20 ? 1220 ,

(n ? 1 n ) d, 2

4

得到

, ? 10a1 ? 45d ? 310 ? . ?20a1 ? 190d ? 1220

解这个关于 a1 与 d 的方程组,得到 a1 =4, d ? 6 , 所以

S n ? 4n ?

另解: 得

(n ? 1 n ) ? 6 ? 3n 2 ? n . 2 a ?a S10 ? 1 n ? 10 ? 310 2

a1 ? a10 ? 62;
S20 ? a1 ? a20 ? 20 ? 1220 2



所以 ②-①,得 所以 代入①得: 所以有

a1 ? a20 ? 122;
10d ? 60 , d ? 6,



a1 ? 4 ,
(n ? 1 n ) d ? 3n 2 ? n . 2

Sn ? a1n ?

【方法总结】此例题目的是建立等差数列前 n 项和与方程之间的联系,关键是根据已知 条件恰当的选择公式.由已知的几个量, 通过解方程组, 得出其余的未知量. 在等差数列前 n 项和的两个公式以及通项公式中涉及了五个量,分别是 a1,d,n,an,S n ,任知其三个可 以求另外两个.

1.在等差数列 {an } 中, a1 ? 1 a3 ? a5 ? 14 S n ? 100 , , ,则n ? ( B ) (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 C )

2.已知等差数列 {an } 满足 a2 ? a4 ? 4,a3 ? a5 ? 10 ,则S10 ? ( (A)138 (B)135 (C)95 (D)23

3.正整数列前 n 个偶数的和为 n(n ? 1) ;正整数列前 n 个奇数的和为 n .
2

4.在三位正整数的集合中有 180 个数是5的倍数,它们的和是 98550. 5.已知等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ? ?512, S n ? ?1022,求公差 d 解:由等差数列 ?an ? 的前 n 项和公式得

Sn ?

n(a1 ? a n ) n(1 ? 512) ? ? ?1022, 2 2
5

解得 又 所以

n ? 4,

即 a 4 ? ?512.

a4 ? 1 ? (4 ? 1)d = ? 512 ,
d ? ? 171 .

6.已知一个 n 项的等差数列的前四项和为 21,末四项的和为 67,前 n 项的和为 286, 求项数 n . 解:由题设 得

, ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 21 ? ?an ? an?1 ? a n?2 ? a n?3 ? 67.
a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? a4 ? an?3 ? 88.

两式相加得 又 所以

a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? a4 ? an?3 , 4(a1 ? an ) ? 88 ,


a1 ? an ? 22.

Sn ?
所以

n(a1 ? a n ) ? 11n ? 286, 2

n ? 26 .

2 (2009 宁夏海南卷文)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 ,

S2m?1 ? 38 ,则 m ? (
(A)38

C (B)20

) . (C)10 (D)9
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

2 解: 因为 ?an ? 是等差数列, 所以,am?1 ? am?1 ? 2am , am?1 ? am?1 ? am ? 0 , 由 得: a m 2

- a m =0,所以, a m =2,又 S2m?1 ? 38 ,即
2

(2m ? 1)(a1 ? a 2 m?1 ) =38, 2

又 a1 ? a2m?1 ? 2am , 所以(2m-1)×2=38,解得 m=10,故选 C.

6


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