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2016年丽水市高中数学竞赛试题卷含解答


2016 年丽水市高中数学竞赛试题
考试时间:2016 年 9 月 11 日
至 4 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。

9:00—11:00

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部分 3
学科 网

请考生按规定用笔将所有试

题的答案涂、写在答题纸上。

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第Ⅰ卷 选择题部分(共 50 分)
注意事项:学科网 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.从集合 A ? ? 1, 2 , 3? 到集合 B ? ?3, 4? 的映射 f 中满足条件 f (3) ? 3 的映射的个数是 A.2 A. a ? c ? b B.3
x x

C. 4
x

D.6 D. c ? a ? b

2.已知 a , b , c 依次表示方程 2 ? x ? 1, 2 ? x ? 2 , 3 ? x ? 2 的根,则 a , b , c 的大小顺序为 B. a ? b ? c C. c ? b ? a 3.设 a ? R ,若对 x ? 0 ,均为 ( x ? 1) x ? a ? ax ? 2 成立,则实数 a 的最大值是 A.1 B. 2 C. 3 D. 2

4.设等差数列 ?an ? 与等比数列 ?bn ? 满足: 0 ? a1 ? b1 ? a5 ? b5 ,则下述结论一定成立的是 A. a3 ? b3 5.函数 y ? A.2 B. a3 ? b3 C. a6 ? b6 D. a6 ? b6

x ? 1 ? 1 ? 1 的图象与 x 轴围成的封闭区域的面积是
B. 2 C. 1 D.

1 2

6.在锐角△ ABC 中, A, B , C 为其三个内角,下列结论中正确的是

cos A ?0 sin B sin A ?0 C. log sin C D. log sin C sin B 7.已知不共线的平面向量 e1 , e 2 ,且 e1 ? e 2 ? 2 ,向量 a ? x e1 ? y e 2 ( x, y ? R ) ,
A. log cos C B. log cos C

sin A ?0 cos B sin A ?0 cos B

3 ,则 x, y 所满足的关系为 2 1 1 A. x ? y ? 0 B. x ? y ? C. x ? y ? D. x ? y ? 1 2 2 2 8.设 f ( x ) ? x ? 2 x ? a , a ? R ,如果对于任意 x1 , x 2 , x3 ? [0 , 1] ( x1 , x 2 , x3 可以相等), b ? ? e1 ? (1 ? ? ) e 2 (? ? R ) ,若存在唯一的 ? 使 a ? b ?
总存在以 f ( x1 ), f ( x 2 ), f ( x3 ) 为三边长的三角形,则实数 a 的取值范围是

3 D. ?2,?? ? 3) 2 2 9.已知关于 x 的方程 x ? 2bx ? c ? 0 (b, c ? R ) ,在 [ ?1, 1] 上有实根,且 0 ? 4b ? c ? 3 , 则 b 的取值范围
A. ?1,?? ? B. (1,

2)

C. ( ,

A. [ ?1, 0]

B. [0, 2]

C. [1, 3]

D. [2, 4]

10.记 f ( x ) ? ln x ? ax ? b ( a ? 0) 在区间 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最大值为 M t ( a , b) , 若 b M t ( a , b) ? ln 2 ? a ? R ,则实数 t 的最大值是( A. 2 B. 1 C. 3 4

?

?

) D. 2 3

第Ⅱ卷 非选择题部分(共 100 分)
注意事项: 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 7 分,共 49 分. 11.若 2 ? 3 ? 6 2 ,则
a b c

c c ? ? _________. a b

12.在△ ABC 中,已知 AB ? 2 AC ,若 AD 是角 范围是_________.

A 的角平分线,且 AD ? ?AC ,则 ? 的取值

13.已知两个等比数列 ?a n ?, ?bn ?满足 a1 ? a ( a ? 0) , b1 ? a1 ? 1 , b2 ? a 2 ? 2 , b3 ? a 3 ? 3 ,

若数列 ?a n ? 唯一,则实数 a 的值为_________. 14.若锐角 ? , ? , ? 满足 cos ? ? cos ? ? cos ? ? 1 ,则 ? ? ? ? ? 的取值范围是_________.
2 2 2

15.已知平面向量 a , b 满足 a ?

3 , b ? e1 ? k e 2 , k ? R ,其中 e1 , e 2 为不共线的单位向 4 3 成立,则 e1 ? e 2 的最大值是_________. 4
? ?

量,若对任意 a , b 都有 a ? b ?

16. 在 Rt△ ABC 中, 已知 ?A ? 90 , ?B ? 30 ,M , N 分别为△ ABC 边 BC , AC 上的两动点, 且 MN // AB ,记四边形 ABMN 的周长为 P ,面积为 S ,则
2

P2 的最小值是_________. S

17. 设 f ( x ) ? ax ? bx ? c (其中 a, b, c ? R , 且 a ? b ? c )与 g ( x ) ? ax ? b 的图象交点 A , B 在

x 轴上的射影为 A1 , B1 ,若 a ? b ? c ? 0 ,则 A1 B1 的取值范围是_________.

三、解答题:本大题共 3 小题,每小题 17 分,满分 51 分. 18.如图,在等腰直角三角形 ABC 中, ?ACB ? 90 , BC ? 2 2 ,点 M 在线段 AB 上.
?

(Ⅰ) 若 CM ?

5 ,求 BM 的长;
?

A

N M C B

(Ⅱ) 若点 N 在线段 AM 上,且 ?MCN ? 30 ,问: 当 ?BCM 取何值时,△ CMN 的面积最小? 并求出面积的最小值.

(第 18 题图)

19.已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2 ? ( ?1) , n ? N .设 an1 , an 2 , ? , ant
n n *

(其中 n1 ? n2 ? ? ? nt , t ? N ) 成等差数列. (Ⅰ) 当 t ? 3 , n1 , n2 , n3 为连续正整数时,求 n1 的值; (Ⅱ) 求 t 的最大值.

*

20.已知函数 f ( x ) ? x ? bx ? c , b, c ? R ,记 g ( x ) ? f [ f ( x )] . (Ⅰ) 当 b ? ?2 , c ? ?1 时,求函数 g ( x ) 的值域; (Ⅱ) 若函数 g ( x ) 的值域是 [0 , ? ? ) ,求证: 5b ? 3c ? 11 .

2

2016 年丽水市高中数学竞赛参考答案
一、选择题: 序号 答案 序号 答案 1 C 11 2 2 A 3 B 12 4 B 13 5 A 14 6 B 7 C 15 8 D 16 24 9 B 17 10 D 二、填空题:

(0,

4 ) 3

1 3
?

3 ( ? , ?) 4

1 2

3 ( , 2 3) 2

18.解 (Ⅰ) 在△ BCM 中, ?CBM ? 45 , BC ? 2 2 , CM ?

5 ,由余弦定理得:

CM 2 ? BC 2 ? BM 2 ? 2 BC ? BM cos 45 ? ,得 BM 2 ? 4 BM ? 3 ? 0 ,解得 BM ? 1 或 BM ? 3 .
(Ⅱ) 设 ?BCM ? ? , 0 ? ? ? 60 , 在△ BCM 中, 由正弦定理, 得
? ?

CM CB ? , sin ?B sin ?CMB

CB ? sin 45 ? CB ? sin 45 ? 所以 CM ? ,同理 CN ? , sin(135 ? ? ? ) sin(105 ? ? ? )
故 S ?CMN ?

1 1 CB 2 sin 2 45 ? ? CM ? CN ? sin ?MCN ? ? 2 4 sin(135 ? ? ? ) sin(105 ? ? ? ) 1 1 ? ? ? sin(135 ? ? ) sin(105 ? ? ) sin( 45 ? ? ) sin(75 ? ? ? )
?

?

? ?

1 sin( 45 ? ? ) sin( 45 ? ? ? ? 30 ? ) 1
?

A N M C B

sin( 45 ? ? ? )[ ?

3 1 sin( 45 ? ? ? ) ? cos( 45 ? ? ? )] 2 2 1

3 1 sin 2 (45 ? ? ? ) ? sin( 45 ? ? ? ) cos( 45 ? ? ? ) 2 2

(第 18 题图)

?

1 3 1 [1 ? cos(90 ? ? 2? )] ? sin(90 ? ? 2? ) 4 4 1 3 3 1 ? sin 2? ? cos 2? 4 4 4
? ? ?

?

?

1 3 1 ? sin( 2? ? 30 ? ) 4 2
? ?

因为 0 ? ? ? 60 ,30 ? 2? ? 30 ? 150 ,所以当 ? ? 30 时,
?

sin( 2? ? 30 ? ) ? 1 取得最大值,此时△ CMN 的面积取得最小值;
即 ?BCM ? 30 时,△ CMN 的面积取得最小值为 8 ? 4 3 .
?

19.解 (Ⅰ) 由题意得 an1 , an1 ?1 , an1 ? 2 成等差数列,即 2an1 ?1 ? an1 ? an1 ? 2 , 从而 2[ 2
n1 ?1

? (?1) n1 ?1 ] ? 2 n1 ? (?1) n1 ? 2 n1 ? 2 ? (?1) n1 ? 2 ,
n1 n1

当 n1 为奇数时,解得 2 当 n1 为偶数时,解得 2

? ?4 ,不存在这样的正整数 n1 ; ? 4 ,所以 n1 ? 2 .

(Ⅱ) 设 as , ar , at ( s ? r ? t ) 成等差数列,则 2ar ? as ? at , 即 2[ 2 ? ( ?1) ] ? 2 ? ( ?1) ? 2 ? ( ?1) 整理得: 2 ? 2 ? 2
s s t r ?1 r r s s t t

? (?1) s ? (?1)t ? 2(?1) r
s r

若 t ? r ? 1 ,则 2 ? ( ?1) ? 3( ?1) , 因为 2 ? 2 ,所以 ( ?1) ? 3( ?1) 只能为 2 或 4 所以 s 只能为 1 或 2; 若 t ? r ? 2 ,则 2 ? 2 ? 2
s t r ?1 s s r

? 2 s ? 2 r ? 2 ? 2 r ?1 ? 2 ? 2 4 ? 23 ? 10 ,

(?1) s ? (?1)t ? 2(?1) r ? 4 ,故矛盾;
综上,只能 a1 , ar , ar ?1 成等差数列或 a2 , ar , ar ?1 成等差数列,其中 r 奇数, 从而 t 的最大值为 3.

20.解:(Ⅰ) [ ?2 , ? ? ) (Ⅱ) 由题意,方程 x ? bx ? c ? 0 有两根 x1 , x 2 ,不妨设 x1 ? x 2 ,易得 x 2 ? 0 所以 ?
2

?b ? ?( x1 ? x 2 ) ?c ? x1 x 2 b 2

要使函数 g ( x ) 的值域是 [0 , ? ? ) ,即有 f ( ? ) ? x 2 ,

( x1 ? x 2 ) 2 ? x2 , 也就是 ? 4
所以 x 2 ? x1 ? 2 ? x 2 , 令

? x 2 ? t (t ? 0) ,
2 2

所以 x 2 ? ?t , x1 ? ?t ? 2t , 所以 ?
2 ? ?b ? 2t ? 2t 2 2 4 3 ? ?c ? t (t ? 2t ) ? t ? 2t 2 4 3

所以 11 ? 5b ? 3c ? 11 ? 10t ? 10t ? 3t ? 6t

? (t ? 1)(3t 3 ? 9t 2 ? t ? 11) ? (t ? 1) 2 (3t 2 ? 12t ? 11) ? (t ? 1) 2 [3(t ? 2) 2 ? 1]
又因为 t ? 0 , 所以 (t ? 1) ? 0 , 3(t ? 2) ? 1 ? 0 , 所以 11 ? 5b ? 3c ? 0 , 所以 5b ? 3c ? 11 .
2 2


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