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三角函数图像变换顺序详解


《图象变换的顺序寻根》
题根研究
一、图象变换的四种类型
从函数 y = f (x)到函数 y = A f ( 1.纵向平移 —— m 变换 3.横向平移 —— 变换 )+m,其间经过 4 种变换: 2.纵向伸缩 —— A 变换 4.横向伸缩 —— 变换

一般说来,这 4 种变换谁先谁后都没关系,都能达到目标,只是在不同的变换顺

序中, “变换量”可不尽相同,解题的“风险性”也不一样. 以下以 y = sinx 到 y = Asin ( )+m 为例,讨论 4 种变换的顺序问题.

【例 1】 函数 和伸缩变换而得到? 【解法 1】 第 1 步,横向平移:

的图象可由 y = sin x 的图象经过怎样的平移

将 y = sin x 向右平移

,得

第 2 步,横向伸缩:



的横坐标缩短 第 3 步:纵向伸缩:

倍,得



的纵坐标扩大 3 倍,得 第 4 步:纵向平移:



向上平移 1,得

【解法 2】 第 1 步,横向伸缩:

将 y = sin x 的横坐标缩短 第 2 步,横向平移:

倍,得

y = sin 2x

将 y = sin 2x 向右平移

,得

第 3 步,纵向平移:



向上平移 第 4 步,纵向伸缩:

,得



的纵坐标扩大 3 倍,得

【说明】 解法 1 的“变换量” (如右移

)与参数值(

)对应,而解法 2 中有的变

换量(如右移 险性”大.

)与参数值(

)不对应,因此解法 1 的“可靠性”大,而解法 2 的“风

【质疑】 对以上变换,提出如下疑问: (1)在两种不同的变换顺序中,为什么“伸缩量”不变,而“平移量”有变? (2)在横向平移和纵向平移中,为什么它们增减方向相反—— 如当 <0 时对应右移(增方向) ,而 m < 0 时对应下移(减方向)?

(3)在横向伸缩和纵向伸缩中,为什么它们的缩扩方向相反—— 如| | > 1 时对应着“缩” ,而| A | >1 时,对应着“扩”?

【答疑】 对于 (2) , (3) 两道疑问的回答是: 这是因为在函数表达式 y = A f ( 中 x 和 y 的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式 (y+ )=f( ),则 x、y 在形式上就“地位平等”了.

)+m

如将例 1 中的 它们的变换“方向”就“统一”了.

变成

对于疑问(1) :在不同的变换顺序中,为什么“伸缩量不变” ,而“平移量有变”?这 是因为在“一次”替代:x→ 故先平移(x→ 但先收缩(x→ 中,平移是对 x 进行的. )没有影响; )却存在着“平移”相关. 这

)对后伸缩(→ )对后平移(→

就是为什么(在例 1 的解法 2 中)后平移

时,有

的原因.

【说明】 为了使得 4 种变换量与 4 个参数(A, , 在由 sinx 变到 Asin ( (1)横向平移:x→ (2)横向伸缩:x+ (3)纵向伸缩:sin ( (4)纵向平移:Asin ( 这正是例 1 中解法 1 的顺序. → ) → Asin ( ) → Asin ( ) )+m )(

,m)对应,降低“解题风险” ,

> 0) 的途中,采用如下顺序:

二、正向变换与逆向变换
如果把由 sin x 到 Asin ( ( )+m 的变换称作正向变换,那么反过来,由 Asin

)+m 到 sin x 变换则称逆向变换.显然,逆向变换的“顺序”是正向变换的“逆”. 因为正向变换的一般顺序是: (1)横向平移, (2)横向伸缩, (3)纵向伸缩, (4)纵向平移. 所以逆向变换的一般顺序则是: (1)纵向平移, (2)纵向伸缩, (3)横向伸缩, (4)横向平移.

如将函数 y= 2sin (2-

) +1 的图像下移 1 个单位得 y=2sin (2x-

),再将纵坐标缩小一半

得 y= sin(2 x-

),再将横坐标扩大 2 倍得 y= sin(x-

),最后将图象左移

得函数 y= sinx.

【例 2】 将 y = f (x)·cos x 的图象向右平移 试求 f (x)的表达式.

, 再向上平移 1, 所得的函数为 y=2sin2 x .

【分析】 这是图象变换的逆变换问题:已知函数的变换结果,求“原函数”. 我们考 虑将“正向变换”的过程倒逆回去而得“逆向变换”的顺序.

【解析】 将 y = 2sin2 x 下移 1 个单位(与正向变换上移 1 个单位相反) ,



y = 2sin2 x-1,再将 2sin2x-1 左移

(与正向变换右移

相反)

得 令 f (x)·cos x = 2sin x cos x 得 f (x) = 2sin x

【说明】由此得原函数为 y=f(x)cosx=2 sin x cosx=sin2x. 正向变换为 sin 2x→2sin2x,其逆 变换为 2sin2x→sin2x.

因为 2sin2x=1+sin(2 x-

),所以下移 1 个单位得 sin(2 x-

),左移

得 sin2x.

三、翻折变换 使
平移变换 x→

>0

是“对 x 而言” ,由于 x 过于简单而易被忽略.

强调一下,这里 x 的系数是+1. 千万不要误以为

是由 sin(- x)左移

而得.

其实,x 或 y 的系数变 -1,也对应着两种不同的图象变换:由 x→ - x 对应着关于 y 轴的对称变换,即沿 y 轴的翻折变换;由 f (x) → - f (x)对应着关于 x 轴的对称变换,即沿 x 轴 的翻折变换.

【例 3】 求函数

的单调减区间.

【分析】 先变换 -3x→3x,即沿 y 轴的翻折变换.

【解析 1】 的增区间

,转化为求 g(x)=sin(3x-

)







≤ x ≤

(f(x)减区间主解)

又函数的 f(x)周期为

,故函数 f(x)减区间的通解为

≤ x ≤

【解析 2】

的减区间为





即是

≤ x ≤

【说明】从图象变换的角度看问题,比较解析 1 和解析 2 可知,求 f(x)的减区间,实际上分 两步进行:

(1)先求得 f(x)减区间的主解

≤ x ≤

(2)再利用主解进行横向平移(

的整数倍)即得 f(x)减区间的通解.

【思考】 本解先将 组

“正数化” ,使

>0 是本解成功的关键. 否则,如果去解不等式

将会使你陷入歧途,不防试试!


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