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贵州省遵义航天高级中学2015-2016学年高二上学期第三次月考数学(理)试题


2015—2016 学年度第一学期第三次月考 高二年级数学(理科)试卷

一、选择题 1.已知空间直角坐标系中 A(1,1,0)且 AB=(4,0,2),则 B 点坐标为( ) A.(9,1,4) C.(8,-1,-4) B.(9,-1,-4) D.(8,1,4)

2.正四棱锥 S-ABCD 的底面边长为 4 2 ,高 SE=8,则过点 A,B,C,D,S 的球的半径为( ) A.3 B.4 C.5 D.6

3. 过点 P (2, 2)的直线与圆 ( x ? 1) ? y ? 5 相切,且与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则
2 2

a ?(
A. ?

).

1 2

B.1

C.2

D.

1 2

4.已知两条不同直线 m 、 l ,两个不同平面 ? 、 ? ,给出下列命题: ①若 l ∥ ? ,则 l 平行于 ? 内的所有直线; ②若 m ? ? , l ? ? 且 l ⊥ m ,则 ? ⊥ ? ; ③若 l ? ? , l ? ? ,则 ? ⊥ ? ; ④若 m ? ? , l ? ? 且 ? ∥ ? ,则 m ∥ l ; 其中正确命题的个数为( A.1 个 B.2 个 ) C.3 个 D.4 个

5.已知直线 ax+y+2=0 及两点 P(-2,1)、Q(3,2),若直线与线段 PQ 相交,则 a 的取值范 围是( ) A.a≤- 或 a≥ B.a≤- 或 a≥ C.— ≤a≤ D.— ≤a≤

6.下列说法正确的有( )个 ①“ ”是“θ =30°”的充分不必要条件
2 2

②若命题 p:? x∈R,x -x+1=0,则?p:? x∈R,x -x+1≠0

③命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是:“若 a≠0,则 ab≠0” ④已知 a,b∈R+,若 log3a>log3b,则 A.0 B.1 . C.2 D.3

7.已知直二面角 α -l-β ,点 A∈α ,AC⊥l,C 为垂足,B∈β ,BD⊥l,D 为垂足,若 AB =2,AC=BD=1,则 D 到平面 ABC 的距离等于( A. B. C. ) D.1

8.设 A: A.m<l B.m≤1

,若 B 是 A 成立的必要不充分条件,则 m 的取值范围是( ) C.m≥1 D.m>1

9.把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使得平面 ABD⊥平面 CBD,形成三棱锥 C-ABD 的正视图与俯视图如图所示,则侧视图的面积为( )

A. D. 10.下面说法正确的是( )

B.

C.

A.命题“? x∈R,使得 x +x+1≥0”的否定是“? x∈R,使得 x +x+1≥0” B.实数 x>y 是 成立的充要条件

2

2

C.设 p、q 为简单命题,若“p∨q”为假命题,则“¬p∧¬q”也为假命题 D.命题“若 x -3x+2=0 则 x=1”的逆否命题为假命题 11.已知命题 p:“对? x∈R,? m∈R,使 4 +m?2 +1=0”.若命题?p 是假命题,则实数 m 的取 值范围是( ) A.-2≤m≤2 C.m≤-2 B.m≥2 D.m≤-2 或 m≥2
x x 2

12.如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 O 为线段 BD 的中点.设点 P 在线段 CC1 上,直

sin ? 的取值范围是( 线 OP 与平面 A 1BD 所成的角为 ? ,则



A. [

3 ,1] 3

B. [

6 ,1] 3

C. [ 二、填空题

6 2 2 , ] 3 3

D. [

2 2 ,1] 3

13.已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).则以 AB, AC 为边的平行四边 形的面积为________. 14.已知点 P(x,y)是直线 kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB 是圆 C:x +y -2y=0 的两条 切线,A,B 为切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为________. 15.已知两点 A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2)点 Q 在直线 OP 上运动,则当 取得最小值时,Q 点的坐标 .
2 2

??? ? ??? ?

16.如图, 将菱形 ABCD 沿对角线 BD 折起, 使得 C 点至 C′, E 点在线段 AC′上, 若二面角 A-BD-E 与二面角 E-BD-C′的大小分别为 15°和 30°,则

=



三、解答题 17.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, ?ABC ? 90? , PA ? 平面 ABC , E , F 分别为 PB , PC 的 中点. (1)求证: EF // 平面 ABC ; (2)求证:平面 AEF ? 平面 PAB .
P

F E

A B

C

18. 命题 p: 关于 x 的不等式 x +2ax+4>0, 对一切 x∈R 恒成立; 命题 q: 函数 f ( x) ? log3?2a x
2

在(0,+∞)上是增函数,若 p∨q 为真,p∧q 为假.求实数 a 的取值范围.

19. 已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 点 O 是 B1C 与 BC1 的交点. (1)求 AO 的距离; (2)求异面直线 AO 与 BC 所成的角的余弦值;

AB=AC=1,AA1=2,

20. 已知圆 C:x +y +2x-4y+3=0. (1)若 M (m, n) 为圆 C 上任意一点,求

2

2

n?2 的最大值与最小值; m ?1

(2)从圆 C 外一点 P(x,y)向圆引切线 PM,M 为切点,O 为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求 当|PM|最小时的点 P 的坐标。

21.在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=

1 BC,∠ABC=60°,N 是 BC 的中点,将梯形 ABCD 绕 2

AB 旋转 90°,得到梯形 ABC′D′(如图).

(1)求证:AC⊥平面 ABC′; (2)求证:C′N∥平面 ADD′; (3)求二面角 A-C′N-C 的余弦值.

22. 已知定点 O(0,0),A(3,0),动点 P 到定点 O 距离与到定点 A 的距离的比值是 (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程,并说明方程表示的曲线; (Ⅱ)当 λ =4 时,记动点 P 的轨迹为曲线 D。F,G 是曲线 D 上不同的两点,对于定点



Q(-3,0),有|QF|?|QG|=4.试问无论 F,G 两点的位置怎样,直线 FG 能恒和一个定圆相切 吗?若能,求出这个定圆的方程;若不能,请说明理由.

2015-2016 学年度第三次月考参考答案(理科) 一、选择题 A CC AA 13. 7 3 DCDBD 14.2 15.( CB ) 16.

17.(1)在 ?PBC 中,? E , F 分别为 PB, PC 的中点? EF // BC 又 BC ? 平面 ABC , EF ? 平面 ABC ? EF // 平面 ABC (2)由条件, PA ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC

? PA ? BC ? ?ABC ? 90? ,即 AB ? BC ,
由 EF //BC ,? EF ? AB , EF ? PA 又 PA ? AB ? A , PA, AB 都在平面 PAB 内 又? EF ? 平面 AEF

? EF ? 平面 PAB

? 平面 AEF ? 平面 PAB

18. 解:若命题 p 为真命题, 则△=4a2-16<0,解得-2<a<2; 若命题 q 为真命题, 则 3-2a>1,解得 a<1 ∵p∨q 为真,p∧q 为假. ∴p 与 q 一真一假



,或

解得 a≤-2,或 1≤a<2 ∴实数 a 的取值范围为(-∞,-2]∪[-1,2)

19. 解:设 (1) =

6 ?1 ? AO ? AO ? ? (a ? b ? c) 2 ? ? 2 ?2 ? 所以
(2)由(1), 所以 , , , , ,

k?
20.解:(1)设

n?2 m ? 1 ,则 k 表示直线 MA 的斜率;其中 A(1,-2)是定点;

因为 M (m, n) 在圆 C 上,所以圆 C 与直线 MA 有公共点, 而直线 MA 方程为:y+2= k (x-1),则有:C 点到直线 MA 的距离不大于圆 C 的半径

| ?2k ? 2 ? 2 |
即:

1? k

2

? 2

n?2 ,解得: - 7 ? k ? ?1 ,即 m ? 1 的最大值为-1,

最小值为-7. (2)由圆的切线长公式得|PM|2=|PC|2-R2=(x+1)2+(y-2)2-2;

3 由|PM|=|PO|得:(x+1)2+(y-2)2-2=x2+y2;即 2x-4y+3=0, 即 x=2y- 2

3 9 3 9 x 2 ? y 2 ? (2 y ? ) 2 ? y 2 ? 5 y 2 ? 6 y ? ? 5( y ? ) 2 ? 2 4 5 20 此时|PM|=|PO|=
3 3 3 - , 所以当 y= 5 即 P( 10 5 )时,|PM|最小.

1 21. (1)证明 ∵AD= 2 BC,N 是 BC 的中点,∴AD=NC,又 AD∥BC,∴四边形 ANCD 是平行四
边形,∴AN=DC,又∠ABC=60°,∴AB=BN=AD,

1 ∴四边形 ANCD 是菱形,∴∠ACB= 2 ∠DCB=30°,

∴∠BAC=90°,即 AC⊥AB,又平面 C′BA⊥平面 ABC, 平面 C′BA∩平面 ABC=AB, ∴AC⊥平面 ABC′. (2)证明:∵AD∥BC,AD′∥BC′,AD∩AD′=A,BC∩BC′=B,∴平面 ADD′∥平面 BCC′, 又 C′N? 平面 BCC′,∴C′N∥平面 ADD′. (3)解:∵AC⊥平面 ABC′,AC′⊥平面 ABC. 如图建立空间直角坐标系,

设 AB=1,则 B(1,0,0),C(0, 3 ,0),C′(0,0, 3 ),

1 3 ??? ? ??? ? ( , , 0) N 2 2 ,∴ BC ′=(-1,0, 3 ), CC ′=(0,- 3 , 3 ),设平面 C′NC 的法向 ??? ? ? ?n ? BC ' ? 0 ? ?? 3 y ? 3z ? 0 ? ????? ? n ? C 'C ? 0 ? ? x ? 3z ? 0 ? ? 量为 n=(x,y,z),则 即?
取 z=1,则 x= 3 ,y=1,∴n=( 3 ,1,1). ∵AC′⊥平面 ABC,∴平面 C′AN⊥平面 ABC,又 BD⊥AN,平面 C′AN∩平面 ABC=AN,∴BD

1 3 ( ,? , 0) 4 ⊥平面 C′AN,BD 与 AN 交于点 O,O 则为 AN 的中点,O 4 ,∴平面 C′AN 的法向量

??? ? ( 3 , ? 3 , 0) OB = 4 4 .

??? ? OB ∴cos〈n, 〉=

??? ? n ? OB ??? ? OB n

5 = 5 ,

由图形可知二面角 A?C′N?C 为钝角,

5 所以二面角 A?C′N?C 的余弦值为- 5

22. 解:(Ⅰ)设动点 P 的坐标为(x,y),则由 2+y2, 整理得:(λ -1)x2+(λ -1)y2+6x-9=0.

,得 λ (x2+y2)=(x-3)

∵λ >0,∴当 λ =1 时,则方程可化为:2x-3=0,故方程表示的曲线是线段 OA 的垂直平分线; 当 λ ≠1 时,则方程可化为 心, 为半径的圆。 ,即方程表示的曲线是以 为圆

(Ⅱ)当 λ =4 时,曲线 D 的方程是 x2+y2+2x-3=0,故曲线 D 表示圆,圆心是 D(-1,0), 半径是 2.

解法一:设点 Q 到直线 FG 的距离为 d,∠FQG=θ , 则由面积相等得到|QF|?|QG|sinθ =d|FG|,且圆的半径 r=2. 即 .于是顶点 Q 到动直线 FG 的距离为定值,

即动直线 FG 与定圆(x+3)2+y2=1 相切. ②解法二:设 F,G 两点的坐标分别为 F(x1,y1),G(x2,y2), 则由|QF|?|QG|=4 有: 有: , 若经过 F、G 两点的直线的斜率存在,设直线 FG 的方程为 y=mx+n, ,结合



,消去 y 有:(1+m2)x2+(2mn+2)x+n2-3=0,则





所以



由此可得 8m2-6mn+n2=1,也即(3m-n)2=1+m2, 假设存在定圆(x-a)2+(y-b)2=r2,总与直线 FG 相切,



是定值 r,即 d 与 m,n 无关,与

对比,有



此时

, 故存在定圆(x+3)2+y2=1, 当直线 FG 的斜率不存在时,x1=x2=-2,直线 FG 的方程是 x=-2,显然和圆相切. 故直线 FG 能恒切于一个定圆(x+3)2+y2=1。


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