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2016丰台文科二模


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丰台区 2016 年高三年级第二学期统一练习(二) 高三数学(文科)
第一部分 (选择题 共 40 分)

2016.5

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项. 1. 复数 i ?1 ? i ? = (A)

1 ? i (B) ?1 ? i (C) ?1 ? i 2.过点(2,0)且圆心为(1,0)的圆的方程是 (A) x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 (C) x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 3.在不等式组 ? (A) (B) x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 (D) x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 (D) 1 ? i

?0 ? x ? 2, 表示的平面区域内任取一个点 P( x, y ) ,使得 x ? y ? 1 的概率为 ?0 ? y ? 2.
(B)

1 2

1 4

(C)

1 8

(D)

1 12

4.已知点 P 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,它到抛物线焦点的距离为 5,那么点 P 的坐标为 (A)(4, 4), (4,-4) (C) (5, 2 5 ) , (5, ?2 5 ) (B) (-4,4) , (-4,-4) (D) (-5, 2 5 ) , (-5, ?2 5 )

5. 已知函数 f ( x ) 的定义域为 R ,则“ f ( x ) 是奇函数”是“ f (1) ? ? f (?1) ”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 6.将函数 f ? x ? ? sin 2 x 的图象向左平移 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

? 个单位后与函数 g ? x ? 的图象重合,则函数 6
?
6

g ? x? 为
(A) sin(2 x ? (C) sin(2 x ?

?
6

)

(B) sin(2 x ? (D) sin(2 x ?

) )

?

3

)

?
3

7. 已知 a ? log 2 3, b ? log 3 2, c ? log 0.5 2 ,那么 (A) a ? b ? c (B) a ? c ? b (C) c ? b ? a (D) b ? c ? a

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8.下表为某设备维修的工序明细表,其中“紧后工序”是指一个工序完成之后必须进行的下一 个工序. 工序代号 A B C D E F G H 工序名称或内容 拆卸 清洗 电器检修与安装 检查零件 部件维修或更换 部件配合试验 部件组装 装配与试车 紧后工序 B,C D H E,G F G H

将这个设备维修的工序明细表绘制成工序网络图,如图,那么图中的 1,2,3,4 表示的工序 代号依次为
1 D B A C 4 3 H 2

(A)E,F,G,G (C)G,E,F,F

(B)E,G,F,G (D)G,F,E,F

第二部分 (非选择题 共 110 分)
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 已知向量 a ? (1,2), b ? (1, ?3) ,则 | a ? 2b |? _______.

10.已知双曲线

x2 3 ? y 2 ? 1 ( a ? 0 )的一条渐近线方程为 y ? x ,则 a = 2 3 a

.

11.某产品广告费用 x 与销售额 y(单位:万元)的统计数据如下表,根据下表得到回归方 程y=10.6x+a,则 a=_________. 广告费用 x 销售额 y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 58
^

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12.当 n=3,x=2 时,执行如图所示的程序框图, 则输出的结果为____________. 13. 一个三棱柱被一个平面截去一部分,剩下的几何体的三视 图如图所示,则该几何体的体积为________________.
4 3

开始

输入 n , x

S=x+1,k=1 k=k+1 S=S?x+k 是 k≤n? 否
输出S

5

主视图

侧视图

3

第 13 题
俯视图

第 12 题
结束

14. 某旅行达人准备一次旅行,考虑携带 A,B,C 三类用品,这三类用品每件重量依次为 1kg,2kg,3kg,每件用品对于旅行的重要性赋值依次为 2,2,4,设每类用品的可能携带 的数量依次为 x1 , x2 , x3 ( xi

? 1, i ? 1,2,3) ,且携带这三类用品的总重量不得超过 11kg.

当携带这三类用品的重要性指数 2 x1 ? 2 x2 ? 4 x3 最大时,则 x1 , x2 , x3 的值分别为 _________________. 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 c sin A ? 3a cos C . (I)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 b ? 2 3 , c ? 5 ,求 a 的值. 16.(本小题共 13 分) 某校举办的数学与物理竞赛活动中, 某班有 36 名同学, 参加的情况如下表: (单位: 人) 参加物理竞赛 参加数学竞赛 未参加数学竞赛 9 3 未参加物理竞赛 4 20

(Ⅰ)从该班随机选 1 名同学,求该同学至少参加上述一科竞赛的概率; (Ⅱ)在既参加数学竞赛又参加物理竞赛的 9 名同学中,有 5 名男同学 a, b, c, d , e 和 4 名 女同学甲、乙、丙、丁.现从这 5 名男同学和 4 名女同学中各随机选 1 人,求 a 被选中且 甲未被选中的概率.

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17.(本小题共 14 分) 如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧面 AA1C1C ? 底面 ABC, AA1=A1C=AC=2, BC=1, 且 AC⊥BC, 点 D, E,F 分别为 AC,AB,A1C1 的中点. (Ⅰ)求证:A1D⊥平面 ABC; (Ⅱ)求证:EF∥平面 BB1C1C; (Ⅲ)写出四棱锥 A1-BB1C1C 的体积. (只写出结论,不需要说明理由)
A D E C B A1 F C1 B1

18.(本小题共 13 分)

已知 ?an ? 是各项为正数的等比数列, a1 ? a2 ? 20, a3 ? 64 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求证:对任意的 n ? N* ,数列 ?

bn ? log 2 an .

? Sn ? ? 为递减数列. ? an ?

19. (本小题共 13 分) 设函数 f ( x) ? e ? a( x ? 1) .
x

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间和极值; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 (0,2] 上存在唯一零点,求 a 的取值范围.

20.(本小题共 14 分) 已知椭圆 w : 之和为 4. (Ⅰ)求椭圆 w 的方程; (Ⅱ)如图,设直线 l : y ? kx(k ? 0) 与椭圆 w 交于 P, A 两点,过点 P( x0 , y0 ) 作 PC⊥ x 轴,垂足为点 C, 直线 AC 交椭圆 w 于另一点 B. ①用直线 l 的斜率 k 表示直线 AC 的斜率; ②写出∠APB 的大小,并证明你的结论.
A O C y P

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点(0, 2 ) ,椭圆 w 上任意一点到两焦点的距离 a 2 b2

B x

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学(文科)参考答案
8 A

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D B C A A D C 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 5 10.
3

11.5.9

12.42

13.20

14 . 6,1,1

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证 明过程。
15. (本小题共 13 分) 解: (I)由正弦定理得 sin C sin A ? 3sin A cos C , 化简得 tan C ?
o

-----------------------------------2 分 -----------------------------------4 分 -----------------------------------6 分

3(因为 sin A ? 0,cos C ? 0) ,
o 0

因为 0 ? C ? 180 , 所以 C ? 60 . (Ⅱ)由余弦定理得 25 ? a ? (2 3) ?
2 2

1 ? 2 3a cos600 ,-----------------------------------8 分 2
-----------------------------------10 分 -----------------------------------12 分 -----------------------------------13

化简得 a ? 2 3a ? 13 ? 0 ,
2

解得 a ?

3 ? 4 ,或 a ? 3 ? 4

所求 a 的值为 3 ? 4 . 分 16. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)设“一名同学至少参加上述一科竞赛”为事件 A,

-----------------------------2 分

由表可知,既参加数学竞赛又参加物理竞赛的同学有 9 人;只参加数学竞赛的同学有 4 人,只参加物理竞赛的同学有 3 人,因此至少参加一科竞赛的同学有 16 人. ---------4 分 则 P( A) ?

16 4 ? . 36 9

----------------------------6 分 ----------------------------7 分

(Ⅱ)设“ a 被选中且甲未被选中”为事件 B,

从 5 名男同学 a, b, c, d , e 和 4 名女同学甲、乙、丙、丁中各随机选 1 人,所有的选取

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情况有: (a,甲) , (a,乙) , (a,丙) , (a,丁) , (b,甲) , (b,乙) , (b,丙) , (b,丁) , (c,甲) , (c,乙) , (c,丙) , (c,丁) , (d,甲) , (d,乙) , (d,丙) , (d,丁) , (e,甲) , (e,乙) , (e,丙) , (e,丁). 共计 20 种. 其中 a 被选中且甲未被选中的情况有: (a,乙) , (a,丙) , (a,丁) ,共计 3 种. 则 P( B ) ? ----------------------------12 分 ----------------------------13 分
A1 F C1

----------------------------11 分

3 . 20

17. (本小题共 14 分) 证明: (Ⅰ)因为在△AA1C 中,AA1=A1C,D 为 AC 中点, 所以 A1D⊥AC; 因为侧面 AA1C1C ? 底面 ABC, 侧面 AA1C1C∩底面 ABC= AC, 所以 A1D⊥平面 ABC; --------------------2 分 --------------------3 分 --------------------4 分 --------------------5 分
D A

B1 C E B

(Ⅱ)设 B1C1 的中点为 G,连结 FG,GB,

--------------------6 分

1 1 在四边形 FGBE 中 FG∥A1B1,且 FG= A1B1,又因为 EB∥A1B1,且 EB= A1B1, 2 2 所以 FG 与 EB 平行且相等,所以四边形 FGBE 为平行四边形; 所以 EF∥BG, 又因为 BG 在平面 BB1C1C 内,EF 不在平面 BB1C1C 内, 所以 EF∥平面 BB1C1C. (Ⅲ)四棱锥 A1-BB1C1C 的体积为 18.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,则 ? 解得 q ? 4 或 q ? ? --------------------8 分 --------------------10 分 --------------------11 分

2 3 3 .

--------------------14 分

?a1 ? a1q ? 20,
2 ?a1q ? 64



--------------------2 分

4 舍, 5

--------------------4 分

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a1 ? 4 . 所以 an ? 4 ? 4n?1 ? 4 n .
证明:(Ⅱ)因为 bn ? log2 an ? log2 (4 ) ? 2n ,
n

--------------------5 分 --------------------6 分 --------------------7 分

所以 {bn } 是以 b1 ? 2 为首项,以 2 为公差的等差数列. 所以 Sn ?

2 ? 2n ? n ? n2 ? n , 2

Sn n 2 ? n . ? an 4n

--------------------8 分

因为

Sn ?1 Sn (n ? 1)2 ? (n ? 1) n 2 ? n ? ? ? an ?1 an 4n ?1 4n

--------------------9 分

1 [(n ? 1)2 ? (n ? 1) ? 4(n 2 ? n)] 4n ?1 1 --------------------11 分 ? n ?1 ( ?3n 2 ? n ? 2) 4 ?(3n ? 2)( n ? 1) 1 因为 ? 0 ,所以 n ?1 ( ?3n 2 ? n ? 2) ? 0 , n ?1 4 4 ?
所以数列 ?

? Sn ? ? 为递减数列. ? an ?

--------------------13 分

19.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ) f '( x) ? e ? a ,
x

--------------------1 分

(1)若 a ? 0 ,则在区间 ( ??, ??) 上 f '( x ) ? 0 , f ( x) 单调递增.所以当 a ? 0 时,

f ( x) 的单调递增区间为 ( ??, ??) ,没有极值点.
(2)若 a ? 0 ,令 f '( x ) ? 0 ,即 e ? a ,解得 x ? ln a ,
x

--------------------3 分 --------------------4 分

因为函数 f '( x) ? e ? a 在区间 ( ??, ??) 是递增函数,
x

所 以 在 区 间 ( ??,ln a ) 内 f '( x) ? 0 , f ( x) 单 调 递 减 ; 在 区 间 (ln a, ??) 内

f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递增.
所以当 a ? 0 时,

f ( x) 的单调递减区间为 ( ??,ln a) , f ( x) 的单调递增区间为

(ln a, ??) 所以当 x ? ln a 时,函数 f ( x) 有极小值为 2a ? a ln a . --------------------6 分
(Ⅱ) (1)当 a ? 0 时,由(Ⅰ)可知, f ( x) 在 ( ??, ??) 上单调递增,

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因为 f (0) ? 1 ? a, f (1) ? e ? 0 , 令 f (0) ? 1 ? a ? 0 ,得 a ? ?1 . --------------------8 分

所以当 a ? ?1 时, f ( x) 在区间上 (0,2] 上存在唯一零点.

--------------------9 分

(2)当 a ? 0 时,由(Ⅰ)可知, x ? ln a 为函数 f ( x) 的最小值点 因为 f (0) ? 1 ? a ? 0 ,若函数 f ( x) 在区间上 (0,2] 上存在唯一零点,则只能是:

① ?

? f (ln a ) ? 0, ? f (2) ? 0, ,或② ? . ?0 ? ln a ? 2 ?ln a ? 2
2 2

--------------------11 分

由①得 a ? e ;由②得 a ? e . 综上所述,函数 f ( x) 在区间上 (0,2] 上存在唯一零点, 则 a ? ?1 或 a ? e .
2

--------------------13 分

20. (本小题共 14 分) 解: (Ⅰ) a ? 2, b ?

2,

-------------------2 分

椭圆 W 的方程

x2 y2 ? ? 1. 4 2
y0 . x0

--------------------4 分

(Ⅱ)设 P( x0 , y0 ) ,则 A(- x0 , - y0 ), C ( x0 ,0) , k ?

--------------------6 分

直线 AB 的斜率 k1 ? (Ⅲ) ?APB ? 90
0

0 ? ( ? y0 ) y k ? 0 ? . x0 ? ( ? x0 ) 2 x0 2

--------------------7 分

--------------------8 分

由(Ⅱ)可得直线 AB 的方程: y ?

k ( x ? x0 ) ,设点 B( x1 , y1 ) 2

? k ? y = ( x ? x0 ), 联立 ? , 消去 y 得 (2 ? k 2)x 2 ? 2k 2 x0 x ? k 2 x02 ? 8 ? 0 --------------------10 分 2 2 2 ? ?x ? 2 y ? 4

2k 2 x0 3k 2 x0 ? 2 x0 则 ? x0 ? x1 ? ,解得 x1 ? , 2 ? k2 2 ? k2

--------------------12 分

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所以 y1 ?

3k 2 x0 ? 2 x0 k 3 x0 k 3 x0 , 点 B( , ). 2 ? k2 2 ? k2 2 ? k2
k 3 x0 ? kx0 2 2 ? k ? 2 3k x0 ? 2 x0 ? x0 2 ? k2 ?2kx0 1 ?? , 2 2k x0 k
0

--------------------13 分

因为 kPB

=

所以 k AP ? kPB ? ?1 ,所以 ?APB ? 90

----------------------14 分

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