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高中竞赛1000题第1


本资料由太原学而思老师整理 1.设 a,b 为整数,已知 ?4ab ? 1? | 4a 2 ? 1 ,求证: a ? b . 证明:我们将证明过程分为三个部分: (1)先证明,如果 ?4ab ? 1? | 4a 2 ? 1 ,那么 ?4ab ? 1? | 4b 2 ? 1

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? 1 ? 4a 2 ? 1 ? ?4ab ? 1? ? 4a ?a ? b ??4a?a ? b ? ? 2? ? 8a?a ? b ??2a ?a ? b ? ? 1? ? 8a?a ? b ??2a?a ? b ? ? 1? ? 8a ?a ? b ??4ab ? 1?
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?4a

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2 2

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? 16a 2 ?a ? b ? ?mod?4ab ? 1?? 同理可证: 4b 2 ? 1 ? 16b 2 ?a ? b ? ?mod?4ab ? 1?? ? ?4ab ? 1? | 4a 2 ? 1 , 4a与?4ab ? 1?互质, ? ?4ab ? 1? | ?a ? b ? ? ?4ab ? 1? | 16b 2 ?a ? b ? ? ?4ab ? 1? | 4b 2 ? 1
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这样,我们开头的结论就证明了,也就是说 a和b 的地位是互等的。 (2)在证明,存在 c,使得 ?4ab ? 1??4ac ? 1? ? 4a 2 ? 1

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? ?4ab ? 1? | 4a 2 ? 1

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? 可以设k ?4ab ? 1? ? 4a 2 ? 1 ? 1 ? 1?mod?4a ?? ?1 ? ? k ?mod?4a ?? ? k ? ?1?mod?4a ??
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其中,k ?4ab ? 1? ? ? k ?mod?4a ??

?4a

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? k可以写作?4ac ? 1?的形式,其中c为整数,也就是说?4ab ? 1??4ac ? 1? ? 4a 2 ? 1

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(3)假设 a ? b ,那么根据( 1)中的结论, a, b 地位互等,可以不妨设 a ? b ,我们定义 一个数列: a1 ? a , a2 ? b ,现在可以知道 ?4a1a2 ? 1? | 4a2 ? 1

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根据第二条的结论,可以找到 a3 ,使得 ?4a1a2 ? 1??4a2 a3 ? 1? ? 4a2 ? 1 由于 a1 ? a2 ,所以 a2 ? a3 ,同时可以看出 ?4a2 a3 ? 1? | 4a2

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? ? 1?

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根据刚才的方法,就可以继续构造 a4 , a5 , a6 ,?? ,这一构造过程可以无限进行下去 同时我们知道 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? ?? 他们都是正整数,不可能无限递减下去, 所以这里出现了矛盾,假设是错误的。因此, a ? b 。
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