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2.3-1《等差数列的前n项和》


2.3 等差数列的前n项和公式

探究一:
泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七 世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱 妃所建,她宏伟壮观,纯白大理石砌建 而成的主体建筑叫人心醉神迷,成为世 界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰,图 案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案,以相 同大小的圆宝石镶饰而成 ,共有 100 层 (见左图),奢靡之程度,可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗?

探究二:
高斯“神速求和”的故事: 高斯出生于一个工匠家庭,幼时家境贫 困,但聪敏异常。上小学四年级时,一次 老师布置了一道数学习题:“把从1到100 的自然数加起来,和是多少?”年仅10岁 的小高斯略一思索就得到答案5050,这使 老师非常吃惊。那么高斯是采用了什么方 法来巧妙地计算出来的呢?

1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ....? 100 ? ?
这是小学时就知道的一个故事, 高斯的算法非常高明,思考一 下,想一想你会怎么做?

高斯(1777---1855), 德 国数学家、物理学家和天文学 家。他和牛顿、阿基米德,被 誉为有史以来的三大数学家。 有“数学王子”之称。

求 S=1+2+3+· · · · · · +100=? 高斯算法:
首项与末项的和: 1+100=101,
2+99 =101, 第2项与倒数第2项的和:

你知道高斯是怎么计算的 吗?

第3项与倒数第3项的和:
· ·····

3+98 =101,

第50项与倒数第50项的和:50+51=101, 于是所求的和是:

100 101? ? 5050. 2

高斯算法用到了等差数列的什么性质?
m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? aq .

高斯算法的高明之处在于他发现这 100个数可以分为50组,第一个数与最后 一个数一组,第二个数与倒数第二个数 一组,第三个数与倒数第三个数一 组,…,每组数的和均相等,都等于101, 50 个 101 就等于 5050 了 . 高斯算法将加法 问题转化为乘法运算,迅速准确得到了 结果.

一,复习回顾
1.等差数列的定义: ?an? 是等差数列 ? an ? an?1 ? d(n ? 2) 2.通项公式:
an ? a1 ? (n ? 1)d .

3.重要性质: ⑴an ? am ? (n ? m)d .

am ? an (3) ?d m?n

⑵m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? aq .

二.讲解新课
一般地,我们称 a1 ? a2 ? a3 ? ......? an 1.定义:

?an ? 为数列 的前n项和,用S n 表示,

即S n ? a1 ? a2 ? a3 ? .....? an

2.公式推导 问题:设等差数列?a n ?的首项为

a1,公差为 d ,

S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ? ?

设等差数列?an ?的前n项和为Sn , 即Sn ? a1 ? a2 ? ?? an .
怎样求一般等差数列的前n项和呢?

Sn ? a1 ? a2 ? ?? an . ① Sn ? an ? an?1 ? ?? a1. ②
我们把①式和②式相加看得到什么 (倒序相加法)

2Sn ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? ?? (an ? a1 )

? n(a1 ? an ). a ?a n( a1 ? an ) ? Sn ? . 2
1

n

? a2 ? an?1 ? ? ? an ? a1

由此得到等差数列的{an}前n项和的公式

即:等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。

由等差数列的通项公式
上面的公式又可以写成

an = a1+(n-1)d

两个公式的共同点是需知 a1和 n,不同点是前者还需知 an,后者还需知 d,解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。

2.公式的应用
例1:在等差数列中 a1

? 5, a10 ? 95, 求S10 , d ; 解: ? a1 ? 5 a10 ? 95
10(a1 ? a10 ) ? S10 ? ? 500 2 n(n ? 1) 又 ? S10 ? na1 ? d 2 90 ?10 a1 ? d ? 500 解得d ? 10 2

? S10 ? 500 d ? 10

【变式训练1】在等差数列{an}中,已知a6=10,S5=5,求a8.

方法一:设公差为 d ? a6 ? 10 S5 ? 5
?a1 ? 5d ? 10 ?? ?5a1 ? 10d ? 5
?a1 ? ?5 解得? ?d ? 3

? a8 ? a6 ? 2d ? 16 方法二:设公差为 d

即 ( 3 a1 ? 10 ) ? 15 a6 ? a1 ?3 ? a1 ? ?5 d ? 5

6(a1 ? a6 ) ? S6 ? S5 ? a6 ? 15 ? ? 15 2

? a8 ? a1 ? (8 ? 1)d ? 16

例2. 己知一个等差数列{an}前10项的和 是310,前20项的和是1220.由这些条件能确 定这个等差数列的前n项和的公式吗?
a1 ? an ? 10 ? 310 解:由题意知 S10 ? 2



a1 ? a20 S20 ? ? 20 ? 1220 2

a1 ? a10 ? 62;





所以

a1 ? a20 ? 122; ②-①,得 10 d ? 60
代入①得:

所以有

( n n ?1 ) 2 S n ? a1n ? d ? 3n ? n 2

a1 ? 4

d ?6

随堂练习 1、根据下列各题中的条件,求相应的等差数列{an}的sn (2)a1=100,d=-2,n=50

50 ? (50 ? 1) s50 ? 50 ?100 ? ? ?? 2? ? 2550 2
解:由an ? a1 ? (n ? 1)d得 32 ? 14.5 ? (n ? 1) ? 0.7 解得n ? 26 ? Sn ? 26? (14.5 ? 32) ? 604.5 2

(3)a1=14.5,d=0.7,an=32

1.等差数列前n项和Sn公式的推导:
n(a1 ? an ) Sn ? 2

倒序相加法

2.等差数列前n项和Sn公式的记忆与应用;
n( n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

说明:(1)正确合理的选择公式. (2).注意与通项公式相结合.

好好学习 天天向上


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