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赋值法在二项式定理中的应用


赋值法在二项式定理中的应用 赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值,从而达 到便于解决问题的目的.实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想,在高考题 中屡见不鲜,特别是在二项式定理中的应用尤为明显,现以例说明. 一、用赋值法解决二项式系数的有关问题 利用二项式定理的展开式与所求问题进行类比转换,实现从一般到特殊的转化,用 来证明或求值.


思路 设法从已知等式中求出 n.

(1+2)n = 729,即 3n = 36,解得 n = 6.

注意:所求式子中缺少一项,不能直接等于 26. 二、用赋值法解决项的系数的有关问题 例 2 (1997 年上海高考题)(3x+1)n(n∈N*)展开式中各项系数和为 256, x2 的系数. 求

设(3x+1)n = a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an. ①

由题意:a0+a1+a2+…+an = 256. 在①式中令 x = 1 得 4n = a0+a1+a2+…+an = 256,解得 n = 4.

a3)2-(a1+a3)2 = [] A.1 B.-1 C.0 D.2 解 (a0+a2+a3)2-(a1+a3)2 = (a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4). 上式左边中的两个式子分别是所给展开式中 x 取 1 和-1 时的表达式.

故选 A. 三、综合应用 在综合应用中要求学生能严格区别二项式系数与项的系数, 注意项的系数的符号与 式子的结构,灵活应用其他相关知识解题. 例 4 若(1-3x)9 = a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9| = ________.

解 由二项式的展开式可知 a0,a2,…,a8 为正,a1,a3,…,a9 为负,于是|a0|+|a1| +|a2|+…+|a9| = a0-a1+a2-a3+…+a8-a9. 在所给的展开式中,令 x = -1 得 |a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|= a0-a1+a2-a3+…+a8-a9 = [1-3(-1)]9 = 49. 例 5 (1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n = b0+b1x+b2x2+…bnxn, b0+b1+b2+…+bn = 且 62,则 n = ________. 解 在(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n = b0+b1x+b2x2+…+bnxn 中,令 x = 1,得 2+22+23+…+2n = b0+b1+b2+…+bn = 62,

赋值法是由一般到特殊的一种处理方法,在其他章节中也有广泛应用,望同学们在 学习中能举一反三.


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