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高中数学必修5新教学案:2.4等比数列(1)


2.4

等比数列(学案)
(第 1 课时)

【知识要点】 1.等比数列的定义; 2.等比数列的通项公式; 【学习要求】 1. 明确等比数列的定义; 2. 掌握等比数列的通项公式,会解决知道 an , a1 , q , n 中的三个,求另一个的问 题. 3. 会用定义来判断一个数列是否为等比数列.

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 48 页~第 51 页) 1.如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列 叫等比数列,这个数列叫等比数列,这个常数叫等比数列的 . 2. an ? 3. an ? .

? q n?m 或 a m ?
2

? q m? n
.

4.如果 a 、 G 、 b 三个数满足 G ? ab 且 a, b ? 0 .则 G 为 a 与 b 的 【基础练习】 1. 试判断下列数列是否为等比数列. ⑴ an ? ?? 2?
n ?3

,n? N ;
*

⑵ an ? n ? 2 n , n ? N * ; ⑶ an ? ?1 ,

n? N *.

【典型例题】 例 1 一个等比数列的第 3 项与第 4 项分别是 12 与 18 ,求它的第 1 项与第 2 项.

变式训练 1:在等比数列 ?an ? 中, a2 ? 18, a4 ? 8 ,求 a1与q .
1

例 2 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? a 2n ? 1?a ? 0,?1; n ? N *? ,试判断 ?an ? 是否为等 比数列,为什么?

变式训练 2:已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , S n ? ⑴求 a1 , a 2 ;

1 ?a n ? 1? ?n ? N *? . 3

⑵求证:数列 ?an ? 是等比数列.

1.已知 ?an ? 是公比为 q 的的等比数列,则这个数列的通项公式为( (A) an ? a3 q n?2 (B) an ? a3 q n?1 (C) an ? a3 q n?3 2.如果 ? 1, a, b, c,?9 成等比数列,那么( ).

).

(D) an ? a3 q n?4

(A) b ? 3, ac ? 9 (B) b ? ?3, ac ? 9 (C) b ? 3, ac ? ?9 (D) b ? ?3, ac ? ?9 3.已知数列 a, a?1 ? a?, a?1 ? a? ,?是等比数列,则实数 a 的取值范围是(
2

).

(A) a ? 1

(B) a ? 1或a ? 0

(C) a ? 0

(D) a ? 1且a ? 0 ).

4.等比数列 ?an ? 中, a1 ? a 3 ? 10, a 4 ? a 6 ?

5 ,则数列 ?an ? 的通项公式为( 4
2

(A) an ? 24?n

(B) an ? 2n?4

(C) an ? 2n?3 .

(D) an ? 23?n

5.已知 2, b,4 成等比数列,则 b ?

6.已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列,则 7.在等比数列 ?an ? 中, a3 ? 8.在 和

a1 ? a3 ? a9 = a 2 ? a 4 ? a10
.

.

1 , a9 ? 8, 则 a5 a6 a7 的值为 2

8 3

27 之间插入三个数, 使这五个数成等比数列, 则插入的三个数的乘积 2

.

9.等比数列的前三项和为 168 , a2 ? a5 ? 42 ,求 a5 , a7 .

10.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an n ? N * , 求证: 数列 ?an?1 ? an ?是 等比数列.

?

?

1.在等比数列 ?an ? 中,若 an ? 0 ,且 a3 a7 ? 64 ,则 a5 的值为( ). (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8

2.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (1)证明:数列 ?an?1 ? an ?是等比数列; (2)求数列 ?an ? 的通项公式;

?n ? N ?.
*

3

必修 5

2.4

等比数列(教案)
(第 1 课时)

【教学目标】 1.等比数列定义; 2.等比数列的通项公式; 【重点】等比数列概念的理解与掌握;等比数列的通项公式的推导及应用; 【难点】等差数列"等比"的理解、把握和应用;

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 48 页~第 51 页) 1.如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列 叫等比数列,这个数列叫等比数列,这个常数叫等比数列的 公比 . 2. an ? 3. an ?

a1q n?1 n ? N * am

?

?

.

? q n?m 或 a m ?
2

an

? q m? n
等比中项 .

4.如果 a 、 G 、 b 三个数满足 G ? ab 且 a, b ? 0 .则 G 为 a 与 b 的 【基础练习】 1.试判断下列数列是否为等比数列. ⑴ an ? ?? 2?
n ?3

,n? N ;
*

⑵ an ? n ? 2 n , n ? N * ; ⑶ an ? ?1 ,

n? N *

答案:⑴是;⑵不是;⑶是; 【典型例题】 例 1 一个等比数列的第 3 项与第 4 项分别是 12 与 18 ,求它的第 1 项与第 2 项. 【审题要津】用基本量法,即用 a1 , 和q把a3 , a4 表示出来,得到 a1 , q 的方程组来求解.

16 ? n ?1 ?a1 ? 3 ?a1 q 2 ? 12 16 ? 3 ? ? ? 解:由 a3 ? 12, a4 ? 18 知 ? ,解得 ? ? an ? ? ? , ?n ? N *? 3 ?2? ?a1 q 3 ? 18 ?q ? 3 ? ? 2 ?
? a1 ? 16 , a2 ? 8 . 3

【方法总结】 象等差数列的计算一样, 等比数列中基本量的计算式最重要最基本的方法. 变式训练 1:在等比数列 ?an ? 中, a2 ? 18, a4 ? 8 ,求 a1与q .

4

?a1 ? 27 ?a1 q ? 18 ? 解:由 a2 ? 18, a4 ? 8 知 ? ,解得 ? 2 或 3 ?a1 q ? 8 ?q ? 3 ?
例 2

?a1 ? ?27 ? ? 2 . ?q ? ? 3 ?

已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? a 2n ? 1?a ? 0,?1; n ? N *? ,试判断 ?an ? 是否为

等比数列,为什么? 【审题要津】判断数列 ?an ? 是怎样的数列,可以借助它的通项公式去实现. 解: ?an ? 是等比数列,理由如下:

a1 ? S1 ? a 2 ? 1,
当 n ? 2时,an ? S n ? S n?1 ? a 2n ? 1 ? a 2n?2 ? 1 ? a 2 ? 1 a 2n?2 当n ?1 时,a1 ? a 2 ? 1,

?

? ?

? ?

?

? 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ?a 2 ? 1?a 2n?2
2
2

?n ? N *?.

即数列 ?an ? 是首项为 a ? 1, 公比为 a 的等比数列. 【方法总结】将已知条件 S n ? a 2n ? 1?a ? 0,?1; n ? N *? 与 an ? S n ? S n?1 结合起来,
2 得到 n ? 2 时的通项公式 an ? a 2 ? 1 a 2n?2 ,特别注意的是 n ? 1 时即 a1 ? a ? 1能否统一

?

?

到 an ? a 2 ? 1 a 2n?2 中去,如果能统一起来,则数列 ?an ? 为等比数列,否则数列 ?an ? 不是 等比数列.

?

?

1.已知 ?an ? 是公比为 q 的的等比数列,则这个数列的通项公式为( C ). (A) an ? a3 q n?2 (B) an ? a3 q n?1 (C) an ? a3 q n?3 2.如果 ? 1, a, b, c,?9 成等比数列,那么( B ). (D) an ? a3 q n?4

(A) b ? 3, ac ? 9 (B) b ? ?3, ac ? 9 (C) b ? 3, ac ? ?9 (D) b ? ?3, ac ? ?9 3.已知数列 a, a?1 ? a?, a?1 ? a? ,?是等比数列,则实数 a 的取值范围是( D ).
2

(A) a ? 1

(B) a ? 1或a ? 0

(C) a ? 0

(D) a ? 1且a ? 0

4.等比数列 ?an ? 中, a1 ? a 3 ? 10, a 4 ? a 6 ?

5 ,则数列 ?an ? 的通项公式为( B ). 4
5

(A) an ? 24?n

(B) an ? 2n?4

(C) an ? 2n?3

(D) an ? 23?n

5.已知 2, b,4 成等比数列,则 b ?

?2 2

.

6. 已 知 等 差 数 列 ?an ? 的 公 差 d ? 0 , 且 a1 , a3 , a9 成 等 比 数 列 , 则

a1 ? a3 ? a9 = a 2 ? a 4 ? a10

13 16

.

7.在等比数列 ?an ? 中, a3 ? 8. 在

1 , a9 ? 8, 则 a5 a6 a7 的值为 2

?8

.

8 27 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积 3 2
.

216

9.等比数列的前三项和为 168 , a2 ? a5 ? 42 ,求 a5 , a7 . 【审题要津】 问题可解. 解:设该等比数列的公比为 q ,首项为 a1 ,由已知 根据已知条件,可得到关于首项 a1 和公比 q 的方程组,求出 a1和q 后

?a1 ? a1 q ? a1 q 2 ? 168 ? , ? ?a1 q ? a1 q 4 ? 42 ?

?a1 ? 96 ?a1 1 ? q ? q 2 ? 168 ? ? ?? ,解得 ? 1 , 3 q? ?a1 q 1 ? q ? 42 ? ? 2 ?

?

?

?

?

? a 5 ? 6, a 7 ?

3 . 2

【方法总结】首项 a1 和公比 q 构成等比数列的基本量,从基本量入手解决相关问题是 研究等比数列的基本方法. 10.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an n ? N

?

*

求证: ?, 数列 ?a

n ?1

? an ?是

等比数列. 【审题要津】 证明一个数列是等比数列只需要证明从第二项起后一项比前一项等于同一 个常数. 解 : 由 题 意 可 知 an?2 ? an?1 ? 2?an?1 ? an ? , 所 以

a n? 2 ? a n ?1 1 ? n ? N* ,故数列 a n ?1 ? a n 2

?

?

?an?1 ? an ?是等比数列
6

【方法总结】 对于等比数列的证明可以采用定义,也可以采用等比中项.

1.在等比数列 ?an ? 中,若 an ? 0 ,且 a3 a7 ? 64 ,则 a5 的值为( D ). (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8

2.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (1)证明:数列 ?an?1 ? an ?是等比数列; (2)求数列 ?an ? 的通项公式;

?n ? N ?.
*

【审题要津】 证明一个数列是不是等比数列就是从第二项起后一项比前一项是否等于同 一个常数. (1)证明:? an?2 ? 3an?1 ? 2an

? an?2 ? an?1 ? 2?an?1 ? an ?
? a1 ? 1, a2 ? 3

?

an? 2 ? a n?1 ?2 an?1 ? an

?an?1 ? an ?是以 a2 ? a1 ? 2 为首项, 2 为公比的等比数列。
(2)解:由(1)得 an?1 ? an ? 2 n n ? N

?

*

?

an ? a1 ? ?a2 ? a1 ? ? ?a3 ? a2 ? ? ? ? ?an ? an?1 ? ? 1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n?1 ? 2 n ? 1 n ? N *

?

?

【方法总结】 判断一个数列是等差还是等比一定要注意第一项; 数列中常用的两个结论: (1) an ? a1 ? ?a2 ? a1 ? ? ?a3 ? a2 ? ? ? ? ?an ? an?1 ? n ? N (2) a n ? a1 ?

?

*

?

a a 2 a3 ? ??? n a1 a2 an?1

?n ? N ?.
*

7


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