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圆锥曲线综合测试题(含详细答案)


圆锥曲线测试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1 1.抛物线 y=- x2 的准线方程为( 4 1 A.x= 16 C.y=1 ) B.x=1 D.y=2

解析: 抛物线的标准方程为 x2=-4y, 准线方程为 y=1. 答案: C x2 y2 2.以 - =-1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( 4 12 x2 y2 A. + =1 16 12 x2 y2 C. + =1 16 4 x2 y2 B. + =1 12 16 x2 y2 D. + =1 4 16

)

x2 y2 解析: 双曲线 - =-1 的焦点坐标为(0,±4),顶点坐标为(0,±2 3), 4 12 故所求椭圆的焦点在 y 轴上,a=4,c=2 3, x2 y2 ∴b2=4,所求方程为 + =1,故选 D. 4 16 答案: D x2 y2 3.设 P 是椭圆 + =1 上一点,F1、F2 是椭圆的焦点,若|PF1|等于 4,则|PF2|等于 169 144 ( ) A.22 C.20 B.21 D.13

解析: 由椭圆的定义知,|PF1|+|PF2|=26, 又∵|PF1|=4,∴|PF2|=26-4=22. 答案: A 4.双曲线方程为 x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为( A.? C.? 2 ? ? 2 ,0? B.? 5 ? ? 2 ,0? )

6 ? ? 2 ,0?
2

D.( 3,0)

y2 解析: 将双曲线方程化为标准方程为 x - =1, 1 2
1

1 3 ∴a2=1,b2= ,∴c2=a2+b2= , 2 2 ∴c= 6 , 2 6 ? . 2 ? ,0?

故右焦点坐标为? 答案: C

x2 y2 5.若抛物线 x2=2py 的焦点与椭圆 + =1 的下焦点重合,则 p 的值为( 3 4 A.4 C.-4
2 2

)

B.2 D.-2

x y 解析: 椭圆 + =1 的下焦点为(0,-1), 3 4 p ∴ =-1,即 p=-2. 2 答案: D 6.若 k∈R,则 k>3 是方程 A.充分不必要条件 C.充要条件
2 2

x2 y2 - =1 表示双曲线的( k-3 k+3

)

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

x y 解析: 方程 - =1 表示双曲线的条件是(k-3)(k+3)>0, k-3 k+3 x2 y2 - =1 即 k>3 或 k<-3.故 k>3 是方程 k-3 k+3 表示双曲线的充分不必要条件.故选 A. 答案: A → → 7.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,满足MF1·MF2=0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离 心率的取值范围是( A.(0,1) C.?0, ) 1 B.?0,2? ? ? D.? 2 ? ? 2 ,1?

?

2? 2?

→ → 解析: 由MF1·MF2=0 可知点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆上,要使点 M 总在椭圆内 部,只需 c<b, 即 c2<b2,c2<a2-c2,2c2<a2, c 2 故离心率 e= < . a 2 因为 0<e<1,所以 0<e< 2 . 2
2

即椭圆离心率的取值范围是?0,

?

2? .故选 C. 2?

答案: C

8.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 y=2x-4 与 C 交于 A,B 两点,则 cos∠ AFB=( 4 A. 5 3 C.- 5 ) 3 B. 5 4 D.- 5

?y=2x-4, ?x=1, ?x=4, ? ? ? 或? 解析 方法一:由? 2 得? ? ? ? ?y =4x, ?y=-2 ?y=4.

令 B(1,-2),A(4,4),又 F(1,0), ∴由两点间距离公式得|BF|=2,|AF|=5,|AB|=3 5. |BF|2+|AF|2-|AB|2 4+25-45 4 ∴cos∠AFB= = =- . 5 2|BF|·|AF| 2×2×5 方法二:由方法一得 A(4,4),B(1,-2),F(1,0), → → ∴FA=(3,4),FB=(0,-2), → → ∴|FA|= 32+42=5,|FB|=2. →→ 3×0+4×(-2) FA·FB 4 ∴cos∠AFB= = =- . 5 5×2 → → |F A |·|F B | 答案: D x2 y2 9.F1、F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,A 为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则△AF1F2 9 7 的面积为( A.7 7 C. 4 ) 7 B. 2 7 5 D. 2

解析: |F1F2|=2 2,|AF1|+|AF2|=6,|AF2|=6-|AF1|. |AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1|·|F1F2|cos 45° =|AF1|2-4|AF1|+8(6-|AF1|)2 7 =|AF1|2-4|AF1|+8,∴|AF1|= . 2 2 7 1 7 S= × ×2 2× = . 2 2 2 2 答案: B 10.已知点 M(-3,0)、N(3,0)、B(1,0),动圆 C 与直线 MN 切于点 B,过 M、N 与圆 C
3

相切的两直线相交于点 P,则 P 点的轨迹方程为( y A.x2- =1(x>1) 8 y2 C.x2+ =1(x>0) 8
2

)

y2 B.x2- =1(x<-1) 8 y2 D.x2- =1(x>1) 10

解析: 设圆与直线 PM、PN 分别相切于 E、F, 则|PE|=|PF|,|ME|=|MB|,|NB|=|NF|. ∴|PM|-|PN|=|PE|+|ME|-(|PF|+|NF|) =|MB|-|NB|=4-2=2<|MN|. 所以点 P 的轨迹是以 M(-3,0),N(3,0)为焦点的双曲线的一支,且 a=1, ∴c=3,b2=8, y2 ∴所以双曲线方程是 x2- =1(x>1). 8 答案: A 11.(2009 全国卷Ⅰ理)已知椭圆 C :

x2 + y 2 = 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,点 A ∈ l ,线 2

段 AF 交 C 于点 B ,若 FA = 3FB ,则 | AF | = (A).

2

(B). 2

(C). 3

(D). 3

解:过点 B 作 BM ⊥ l 于 M,并设右准线 l 与 X 轴的交点为 N,易知 FN=1.由题意 FA = 3FB , 故 | BM |=

2 2 2 2 .又由椭圆的第二定义,得 | BF |= ? = ∴| AF |= 2 .故选 A 3 2 3 3

x2 y2 12.(2009 山东卷理)设双曲线 2 ? 2 = 1 的一条渐近线与抛物线 y=x 2 +1 只有一个公共 a b
点,则双曲线的离心率为( A. ). C.

5 4

B. 5

5 2

D. 5

b ? x2 y2 b ? y= x 【解析】:双曲线 2 ? 2 = 1 的一条渐近线为 y = x ,由方程组 ? a ,消去 y,得 a a b ? y = x2 + 1 ? x2 ? b b x + 1 = 0 有唯一解,所以△= ( ) 2 ? 4 = 0 , a a

b c a 2 + b2 b 所以 = 2 , e = = = 1 + ( ) 2 = 5 ,故选 D. a a a a
答案:D.
4

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 1 11.若双曲线的渐近线方程为 y=± x,它的一个焦点是( 10,0),则双曲线的标准方程 3 是________. 1 b 1 解析: 由双曲线的渐近线方程为 y=± x,知 = , 3 a 3 它的一个焦点是( 10,0),知 a2+b2=10, x2 因此 a=3,b=1,故双曲线的方程是 -y2=1. 9 答案: x2 2 -y =1 9 x2 y2 + =1 内一点(2,1)的弦被该点平分,则该弦所在直线的方程是 16 4

12.若过椭圆 ________.

解析: 设直线方程为 y-1=k(x-2), 与双曲线方程联立得(1+4k2)x2+(-16k2+8k)x+16k2-16k-12=0, 设交点 A(x1,y1),B(x2,y2), 16k2-8k 1 则 x1+x2= 2 =4,解得 k=- , 2 1+4k 所以直线方程为 x+2y-4=0. 答案: x+2y-4=0 x2 y2 13.如图,F1,F2 分别为椭圆 2+ 2=1 的左、右焦点,点 P 在 a b 椭圆上,△POF2 是面积为 3的正三角形,则 b2 的值是________. 解析: ∵△POF2 是面积为 3的正三角形, 1 ∴ c2sin 60°= 3, 2 ∴c2=4, ∴P(1, 3),

? 12+ 32=1, ? ∴? a b 解之得 b2=2 3. 2 2 ? ?a =b +4,
答案: 2 3 14.已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 则 y2+y2的最小值是________. 1 2
2 解析: 显然 x1,x2≥0,又 y1+y2=4(x1+x2)≥8 x1x2, 2

当且仅当 x1=x2=4 时取等号,所以最小值为 32. 答案: 32
5

三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17. (10 分)求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点在 x 轴上,且经过点(2,0)和点(0,1); (2)焦点在 y 轴上,与 y 轴的一个交点为 P(0,-10),P 到它较近的一个焦点的距离等于 2. 解析: (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上, x2 y2 所以可设它的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b ∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)

? ∴? 0 1 ?a +b =1
2 2

22 0 + =1 a2 b2

?a2=4 ? ,∴? 2 , ? ?b =1

x2 故所求椭圆的标准方程为 +y2=1. 4 (2)∵椭圆的焦点在 y 轴上,所以可设它的标准方程为 y2 x2 + =1(a>b>0), a2 b2 ∵P(0,-10)在椭圆上,∴a=10. 又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于 2, ∴-c-(-10)=2,故 c=8,∴b2=a2-c2=36. y2 x2 ∴所求椭圆的标准方程是 + =1. 100 36 x2 y2 14 18.(12 分)已知双曲线与椭圆 + =1 共焦点,它们的离心率之和为 ,求双曲线方程. 9 25 5 解析: 由椭圆方程可得椭圆的焦点为 F(0,±4), 4 离心率 e= , 5 所以双曲线的焦点为 F(0,±4),离心率为 2, 从而 c=4,a=2,b=2 3. y2 x2 所以双曲线方程为 - =1. 4 12 19.(12 分)设椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e= 个椭圆上的点的最远距离为 7,求这个椭圆的方程. c 3 x2 y2 解析: 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),M(x,y)为椭圆上的点,由 = 得 a=2b. a b a 2
6

3 3 .已知点 P?0,2? ? ? 2

到这

3 1 |PM|2=x2+?y-2?2=-3?y+2?2+4b2+3(-b≤y≤b), ? ? ? ? 3 1 若 b< ,则当 y=-b 时,|PM|2 最大,即?b+2?2=7, ? ? 2 3 1 则 b= 7- > ,故舍去. 2 2 1 1 若 b≥ 时,则当 y=- 时,|PM|2 最大,即 4b2+3=7, 2 2 解得 b2=1. x2 ∴所求方程为 +y2=1. 4 20.(12 分)已知椭圆的长轴长为 2a,焦点是 F1(- 3,0)、F2( 3,0),点 F1 到直线 x =- 3 a2 的距离为 ,过点 F2 且倾斜角为锐角的直线 l 与椭圆交于 A、B 两点,使得|F2B|= 3 3

3|F2A|. (1)求椭圆的方程; (2)求直线 l 的方程. 解析: (1)∵F1 到直线 x=- ∴- 3+ ∴a2=4. 而 c= 3, ∴b2=a2-c2=1. ∵椭圆的焦点在 x 轴上, x2 ∴所求椭圆的方程为 +y2=1. 4 (2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2). ∵|F2B|=3|F2A|, +3x ? 3=x 1+3 , ? ∴? y +3y ?0= 1+3 , ?
2 1 2 1

a2 3 的距离为 , 3 3

3 a2 = . 3 3

?x2=4 3-3x1, ? ?y2=-3y1.

x2 ∵A、B 在椭圆 +y2=1 上, 4

? ∴? (4 ?

2 x1 2 +y1=1, 4

3-3x1)2 +(-3y1)2=1. 4

7

?x =3 3, ? ∴? 2 ?y =3 3(取正值). ?
1 1

10

2 -0 3 3 ∴l 的斜率为 = 2. 10 - 3 3 3 ∴l 的方程为 y= 2(x- 3), 即 2x-y- 6=0. 21.(12 分)已知直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点 F,且与抛物线相交于 A、B 两点.

(1)若|AF|=4,求点 A 的坐标; (2)求线段 AB 的长的最小值. 解析: 由 y2=4x,得 p=2, 其准线方程为 x=-1,焦点 F(1,0). 设 A(x1,y1),B(x2,y2). (1)由抛物线的定义可知.

p |AF|=x1+ ,从而 x1=4-1=3. 2 代入 y2=4x,解得 y1=±2 3. ∴点 A 的坐标为(3,2 3)或(3,-2 3). (2)当直线 l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为 y=k(x-1).
? ?y=k(x-1) 与抛物线方程联立,得? 2 , ? ?y =4x

消去 y,整理得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 因为直线与抛物线相交于 A、B 两点,
8

则 k≠0,并设其两根为 x1,x2, 4 则 x1+x2=2+ 2. k 由抛物线的定义可知, 4 |AB|=x1+x2+p=4+ 2>4, k 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=1,与抛物线交于 A(1,2),B(1,-2),此 时|AB|=4. 所以|AB|≥4,即线段 AB 的长的最小值为 4. x2 y2 3 22.(12 分)如图,椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,x 轴被曲线 C2:y=x2-b a b 2 截得的线段长等于 C1 的长半轴长. (1)求 C1,C2 的方程. (2)设 C2 与 y 轴的交点为 M,过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相 交于点 A,B,直线 MA,MB 分别与 C1 相交于点 D,E. 证明:MD⊥ME. c 3 解析: 由题意知 e= = ,从而 a=2b. a 2 又 2 b=a,所以 a=2,b=1. x2 2 故 C1,C2 的方程分别为 +y =1,y=x2-1. 4 (2)证明:由题意知,直线 l 的斜率存在,设为 k,则直线 l 的方程为 y=kx.
?y=kx, ? 由? 得 x2-kx-1=0. 2 ? ?y=x -1,

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是上述方程的两个实根,于是 x1+x2=k,x1x2=-1. 又点 M 的坐标为(0,-1), y1+1 y2+1 (kx1+1)(kx2+1) · = 所以 kMA·kMB= x1 x2 x1x2 = k2x1x2+k(x1+x2)+1 -k2+k2+1 = =-1. x1x2 -1

故 MA⊥MB,即 MD⊥ME.

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