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上海市浦东新区2015年二模高三数学及答案 文


浦东新区 2014 学年二模高三数学及答案 数学试卷(文科)
注意:1. 答卷前,考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2. 本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分) ;考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.不等式 3

? 2 的解为
x

x?log 3 2 .
3 .

2.设 i 是虚数单位,复数 (a ? 3i)(1 ? i) 是实数,则实数 a ? 3.已知一个关于 x, y 的二元一次方程组的增广矩阵为 ?

? 1 ?1 2 ? ? ,则 x ? y ? ?0 1 2?

2 .

4.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? n 2 ? n ,则该数列的通项公式 an ? 2 n .

1? ? 2 5.已知 ? x 2 ? ? 展开式中二项式系数之和为 1024,则含 x 项的系数为 210 . x ? ?
6.已知直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 与圆 ?x ?1? ? y 2 ? r 2 相切,则该圆的半径大小为 1
2

n

.

?x ? 2 y ? 3 ?2 x ? y ? 3 ? 7.已知 x, y 满足 ? ,则 x ? y 的最大值为 2 . ?x ? 0 ? ?y ? 0
8. 若对任意 x ? R , 不等式 sin 2 x ? 2 sin x ? m ? 0 恒成立, 则 m 的取值范围是 (1 ? 2 ,??) .
2

9.已知球的表面积为 64 ? cm ,用一个平面截球,使截面圆的半径为 2 cm ,则截面与球心
2

的距离是 2 3 cm . 10. 已知 a, b ??1, 2,3, 4,5,6? , 直线 l1 : x ? 2 y ? 1 ? 0 , 直线 l2 : ax ? by ?1 ? 0 , 则直线 l1 ? l2 的概率为

1 . 12
2 2 3

11. 若函数 f (x) ? x ? x ? 4 的零点 m ? ?a,a ?1?, a 为整数.则所有满足条件 a 的值为1 或 ? 2 .

— 1 —

12.若正项数列 ?an ? 是以 q 为公比的等比数列,已知该数列的每一项 ak 的值都大于从 ak ?2 开 始的各项和,则公比 q 的取值范围是

(0,

5 ?1 ) 2

.

13.已知等比数列 ?an ? 的首项 a1 ,公比 q 是关于 x 的方程 x2 ? 2 x ? (t ? 2) ? 0 的实数解,若 数列 ?an ? 有且只有一个,则实数 t 的取值集合为

?2 , 3 ?

.

14. 给定函数 f ( x ) 和 g ( x) , 若存在实常数 k , b , 使得函数 f ( x ) 和 g ( x) 对其公共定义域 D 上 的任何实数 x 分别满足 f ( x) ? kx ? b 和 g ( x) ? kx ? b , 则称直线 l : y ? kx ? b 为函数 f ( x ) 和

g ( x) 的“隔离直线”. 给出下列四组函数;
1 ? 1, g ( x) ? sin x ; 2x 1 ③ f ( x) ? x ? , g ( x) ? lg x ; x
① f ( x) ? ② f ( x) ? x , g ( x) ? ?
3

1 ; x

④ f ( x) ? 2 ?
x

1 , g ( x) ? x 2

其中函数 f ( x ) 和 g ( x) 存在“隔离直线”的序号是 ①③④ . 二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分) ; 每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选 项是正确的,考生应在答题纸相应位置上,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知 a , b 都是实数,那么“ 0 ? a ? b ”是“

1 1 ? ”的 a b

( A )

( A) 充分不必要条件 (C ) 充分必要条件

( B ) 必要不充分条件 ( D) 既不充分也不必要条件

16.平面 ? 上存在不同的三点到平面 ? 的距离相等且不为零,则平面 ? 与平面 ? 的位置关 系为 ( D ) ( A) 平行 ( B ) 相交 (C ) 平行或重合 ( D) 平行或相交 17.若直线 ax ? by ? 3 ? 0 与圆 x ? y ? 3 没有公共点,设点 P 的坐标 ( a, b) ,则过点 P 的一
2 2

条直线与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的公共点的个数为 4 3
(B) 1 (C ) 2

( C )

( A) 0

( D) 1 或 2

— 2 —

18.如图,由四个边长为 1 的等边三角形拼成一个边长为 2 的等边三角形,各顶点依次为 则 A1 A2 ? Ai A j , ( i, j ?{1,2,3,?,6} ) 的值组成的集合为 A1, A2 , A3 ,?, A6 , ( D ) A6

( A)

?? 2、 ? 1、 0、 1、 2?
A4

1 1 ? ? ( B ) ? ? 2、 ? 1、 ? 、 0、 、 1、 2? 2 2 ? ? 1 1 3? ? 3 (C ) ? ? 、 ? 1、 ? 、 0、 、 1、 ? 2 2 2? ? 2

A5

A1

A2

A3

3 1 1 3 ? ? ( D) ?? 2、 ? 、 ? 1、 ? 、 0、 、 1、 、 2? 2 2 2 2 ? ?
三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分) ;解答下列各题必须在答题纸的相应位置上,写 出必要的步骤. 19. (本题共有 2 个小题,满分 12 分) ;第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分.

a , ( x ? 0), a 为实数. x (1)当 a ? ?1 时,判断函数 y ? f ( x) 在 ?1, ?? ? 上的单调性,并加以证明; (2)根据实数 a 的不同取值,讨论函数 y ? f ( x) 的最小值. 1 解: (1)由条件: f ( x) ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增.??????????2 分 x 任取 x1 , x2 ? ?1, ??? 且 x1 ? x2
已知函数 f ( x) ? x ?

1 1 1 ? x2 ? ? ( x1 ? x2 )(1 ? ) ????????4 分 x1 x2 x1 x2 1 ?0 ? x2 ? x1 ? 1,? x1 ? x2 ? 0,1 ? x1 x2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 结论成立 ????????????????6 分 (2)当 a ? 0 时, y ? f ( x) 的最小值不存在; ?????????????7 分 当 a ? 0 时, y ? f ( x) 的最小值为 0;???????????????9 分 a 当 a ? 0 时, y ? f ( x) ? x ? ? 2 a ,当且仅当 x ? a 时, x y ? f ( x) 的最小值为 2 a ;??????????????????12 分 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ?

— 3 —

20. (本题共有 2 个小题,满分 14 分) ;第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 7 分. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为 边长为 2 的正方形, PA ? 底面 ABCD , PA ? 2 . (1)求异面直线 PC 与 BD 所成角的大小; (2)求点 A 到平面 PBD 的距离. 解: (1) 联结 AC 与 BD 交于点 M , 取 PA 的中点 N , 联结 MN ,则 MN // CP ,所以 ?NMB 为异面直线

P

A B C

PC 与 BD 所成角或补角.????????2 分
在 ?BMN 中 , 由 已 知 条 件 得 , BN ? 5 ,

D

BM ? 2 , MN ? 3 ,????????5 分
2 2 2 所以 BN ? BM ? MN ,?BMN ?

?
2

, 所以异面直 PC

P

与 BD 所成角为

? .?????????????7 分 2
N

(或用线面垂直求异面直线 PC 与 BD 所成角的大小) (2)设点 A 到平面 PBD 的距离为 h , 因为 V A? PBD ? VP ? ABD ,??????????9 分 所以, ?

1 1 1 1 BD ? PM ? h ? ? BC ? CD ? PA , 3 2 3 2

A B M C

D

得h ?

2 3 . (或在 Rt ?MAN 中求解)???14 分 3

— 4 —

21. (本题共有 2 个小题,满分 14 分) ;第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 一颗人造地球卫星在地球表面上空 1630 千米处 沿着圆形轨道匀速运行,每 2 小时绕地球旋转一周. 将地球近似为一个球体,半径为 6370 千米,卫星轨 道所在圆的圆心与地球球心重合.已知卫星于中午 12 点整通过卫星跟踪站 A 点的正上空 A? ,12:03 时卫星 通过 C 点.(卫星接收天线发出的无线电信号所需时 间忽略不计)

C

A?
A

O

(1)求人造卫星在 12:03 时与卫星跟踪站 A 之间的距离(精确到 1 千米) ; (2)求此时天线方向 AC 与水平线的夹角(精确到 1 分). 解: (1)设人造卫星在 12:03 时位于 C 点处, ?AOC ? ? , ? ? 360? ?
2 2 2

3 ? 9? ,?2 分 120

在 ?ACO 中, AC =6370 +8000 -2 ? 6370 ? 8000 ? cos9? ? 3911704.327 ,

AC ? 1977.803 (千米) ,?????????????????5 分
即在下午 12:03 时,人造卫星与卫星跟踪站相距约为 1978 千米.???????6 分 (2)设此时天线的瞄准方向与水平线的夹角为 ? ,则 ?CAO ? ? ? 90? ,

sin? 9 ? 1978

s? i n? ( ?9 0 ) 8000 sin 9? ? 0.6327 ,???????9 分 , sin(? ? 90?) ? 8000 1978

即 cos? ? 0.6327 , ? ? 50?45' ,????????????????????11 分 即此时天线瞄准的方向与水平线的夹角约为 50?45' .????????????12 分 22. (本题共有 3 个小题,满分 16 分) ;第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3) 小题满分 6 分. 已知直线 EA ? ?1 AD l 与圆锥曲线 C 相交于 A, B 两点, 与 x 轴、 y 轴分别交于 D 、E 两 点,且满足、 EB ? ?2 BD .
2 (1)已知直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 4 ,抛物线 C 的方程为 y ? 4 x ,求 ?1 ? ?2 的值;

(2)已知直线 l : x ? m y ? 1( m ? 1 ) ,椭圆 C : (3)已知双曲线 C :

x2 1 1 ? y 2 ? 1 ,求 ? 的取值范围; 2 ?1 ?2

x2 ? y 2 ? 1 , ?1 ? ?2 ? 6 ,求点 D 的坐标. 3
— 5 —

解: (1)将 y ? 2 x ? 4 ,代入 y 2 ? 4 x ,求得点 A?1, ? 2? , B?4, 4? , 由 EA ? ?1 AD 得到, ?1, 2? ? ?1 ?1,2? ? ??1 ,2?1 ? , ?1 ? 1 ,

又因为 D?2, 0? , E ?0, ? 4? ,????????????????????2 分 同理由 EB ? ?2 BD 得, ?2 ? ?2 .所以 ?1 ? ? 2 = ? 1 .?????????4 分

(2)联立方程组: ?

x ? my?1 得 m 2 ? 2 y 2 ? 2my ? 1 ? 0 , 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 ? 2m 1 1? ? y1 ? y 2 ? ? 2 , y1 y 2 ? ? 2 ,又点 D?1, 0?, E ? 0, ? ? , m ?2 m ?2 m? ? ?
2

?

?

? 1 1? 1 1 ? ? ??1 y1 , ?1 ? ?? ? m y ? ?, m 1 ? ? ? 1 1 1 1? ? ? ? 2 y 2 , ? 2 ? ?? 同理由 EB ? ?2 BD 得到 y 2 ? ? m y2 m ?
由 EA ? ?1 AD 得到 y1 ?

? ? ?, ?

? 1 ( y1 ? y 2 ) ? 1 ? ? ?1 ? ?2 = ? ? ?2 ? m y y ? ? ? ?? 2 ? m ? 2m ? ? ?4 ,即 ?1 ? ?2 ? ?4 ,?6 分 ? ? 1 2 ? ?
1

?1

?

1

?2

??

4

?1?2

?

4

因为 m ? 1 ,所以点 A 在椭圆上位于第三象限的部分上运动,由分点的性质可知

?1 ? 4?1
2

?

??1 ? 2?2 ? 4

4

, ????????????8 分

?1 ? 2 ? 2, 0 ,所以

?

?

1

?1

?

1

?2

? ?? ?, ? 2? .????????????10 分

x2 ? y2 ? 1 (3)直线 l 的方程为 x ? my ? t ,代入方程 3 2 2 2 得到: m ? 3 y ? 2mty ? t ? 3 ? 0 .

?

?

?

?

y1 ? y 2 ? ?

2m t , m2 ? 3

y1 y 2 ? ?

t ?3 1 1 2m t , (1) ? ?? 2 2 m ? 3 y1 y 2 t ?3
2

而由 EA ? ?1 AD 、 EB ? ?2 BD 得到: ? (?1 ? ?2 ) ? 2 ?

?1 ? ?2 ? 6 (3) ?????????????????????????12 分
由(1) (2) (3)得到: 2 ?

t ?1 1 ? ? (2) ? ? ? m ? y1 y 2 ? ?

所以点 D(?2, 0) ,????????????????????????14 分 当直线 l 与 x 轴重合时, ?1 ? ? 都有 ?1 ? ? 2 ?

t ? 2m t ? ?? ? ? ?6 , t ? ?2 , m ? t2 ? 3?

a a a a , ?2 ? 或者 ?1 ? , ?2 ? ? , t?a t?a t?a t?a

2a 2 ? 6 也满足要求, t 2 ? a2 所以在 x 轴上存在定点 D(?2, 0) .?????????????????16 分

— 6 —

23. (本题共有 3 个小题,满分 18 分) ;第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3) 小题满分 8 分. 记无穷数列 ?an ? 的前 n 项 a1 , a2 ,?, an 的最大项为 An ,第 n 项之后的各项 an?1 , an?2 ,? 的 最小项为 Bn ,令 bn ? An ? Bn .
2 (1)若数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? n ? 1 ,写出 b1、b2 ,并求数列 ?bn ? 的通项公式;

(2)若数列 ?an ? 递增,且 ?an?1 ? an ? 是等差数列,求证: ?bn ? 为等差数列; (3)若数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? 1 ? 2n ,判断 ?an?1 ? an ? 是否等差数列,若是,求出 公差;若不是,请说明理由. 解:因为数列 ?an ? 单调递增, a1 ? 2, a2 ? 7, a3 ? 16 , ??????????????2 分 所以 b1 ? 2 ? 7 ? ?5 ; b2 ? 7 ? 16 ? ?9 ; 当 n ? 3 时, bn ? an ? an?1 ? ?4n ? 1 ????????????4 分 数列 ?bn ? 的通项公式 bn ? an ? an?1 ? ?4n ? 1 (2)数列 ?an ? 递增,即 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? ? ,令数列 ?an?1 ? an ? 公差为 d ? ?????????????6 分 bn ? An ? Bn ? an ? ? a , ? b a a 1n 1n ? ? 1n ? ? 2 n bn?1 ? bn ?( an ) ?( an ? a? ? ??(an?2 ?an?1 ) ?(an?1 ?an?) ? ?? d ?1 ? an ?2 n 1) 所以 ?bn ? 为等差数列. ?????????????????????10 分 ????12 分 (3)? 数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? 1 ? 2n ,? bn 递减且 bn ? 0 . ??????????????????14 分 由定义知, An ? an , Bn ? an?1

0 ? bn ? An ? Bn ? an ? ? a 1n

? an?1 ? an ,数列 ?an ? 递增,即 a1 ? a2 ? ? ? an ? an?1 ? ? ????16 分
(an ? 2 ? an ? 1) ? (an ? 1 ? an ) ? ?(an ? ? ? (an ? an ? ) 1 an ? ) 2
1

? ?bn ?1 ? bn ? ?(bn ?1 ? bn ) ? ? ? ?? ?1 ? 2n ? ? ?1 ? 2n ? ? ??2

??????18 分

— 7 —


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