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高中数学必修5新教学案:2.5等比数列前n项和(1)


2.5

等比数列的前 n 项和(学案)
(第 1 课时)

【知识要点】 1. 等比数列的前 n 项和公式; 2. 等比数列的前 n 项和公式推导方法. 【学习要求】 1.掌握等比数列的前 n 项和公式,并用公式解决实际问题; 2. 由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前 n 项和公式; 3. 从“错位相减法”这种算法中,体会“消除差别” ,培养化简的能力和技巧.

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 55 页~第 57 页) 1. 教材开头的问题可以转化成求首项为 ,公比为 的等比数列的前 项的和. 2.公式推导 一般地,对于等比数列 a1,a2,a3, . . ., an,. . . 它的前 n 项和是 Sn= a1+a2+a3+. . .+an 由等比数列的通项公式,上式可以写成 Sn= ① ① 式两边同乘以公比 q 得 qSn= ② 1 思考:①,②的右边相同的项有 ; 如何消去这些相同的项? 得(1-q)Sn= a1-a1qn , 当q≠1时, Sn= (q≠1) ; n-1 又 an =a1q 所以上式也可写成 Sn= (q≠1) ; 上述推导公式的方法叫作错位相减法,适用的求和类型是: 当q=1时,Sn= . 3. 等比数列的前 n 项和 Sn(q≠1)中含有 5 个量, (1)注意公比 q 是否为 1; (2)应用公式能解决哪些问题? (3)在公式中,当 q ? 1 时,如果令 A ? ;

a1 , 那么 sn ? 1? q

,从函数的角度看,可

以由指数函数 q 的图象变换得到. 4. 数列 ?an ? 的前 n 项和 s n 构成一个新的数列: s1 , s2 , s3 , ???, sn , ??? ,则新数列的递推关系为
1

n

【基础练习】 1. (2008.福建) 设等比数列 ?an ? 的公比 q ? 0 , 若 a1 ? 1 则数列 ?an ? , a5 ? 16 , 前 7 项的和为 ?

? . ? A?

63

?B ?

64

?C ?

127

?D ? 128 .

2.已知等比数列 ?an ? 的下列条件,求前 n 项和 Sn. (1) a1 ? 3, q ? 2, n ? 6; (2) a1 ? ?2.7, q ? ? , an ? 5 项和 Sn. 3. 已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和 sn ? 3n ? a, 则 a1 ? , a2 ? ,

1 3

1 ; (3) a1 ? 81, a5 ? 16, 求前 90

a3 ?

, a 的值为



4. 已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (2n ?1) ? 7n ,求其前 10 项的和 s10 . 提示: s10 ? 1? 7 ? 3? 72 ? 5 ? 73 ???? ?19 ? 710. 【典型例题】 类型一 等比数列前 n 项和的基本性质 例1 (1)求下列等比数列前 8 项和; ①

1 1 1 1 , , , ?????? ;② a1 ? 27, a9 ? , q ? 0. 2 4 8 243

(2)求等比数列 1, 2, 4,8, ??? ,从第 5 项到第 10 项和. (3)在等比数列 ?an ? 中,a1 ? an ? 66, a2 an?1 ? 128, 且 sn ? 126 ,求项数 n 和公比 q . 【变式练习】 1.已知等比数列 ?an ? 中, q ? 2, s4 ? 1, 则 s8 ? .

2. 已知等比数列 ?an ? 中, a1 ? ?3, an ? ?46875, sn ? ?39063, 则q ? ;n ? . ;q ? .

3. 已知等比数列 ?an ? 中, a3 ? ?12, s3 ? ?9, 则 a1 ? 类型二 等差与等比数列的综合 例 2 (全国)已知等差数列 ?an ? , a2 ? 9, a5 ? 21,

求: (1) ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? 2 n , 求数列 ?bn ? 的前项和.
a

类型三 数列的求和
2 3 n 例 3 (1) s ? ? a ? 1? ? a ? 2 ? a ? 3 ? ??? ? a ? n ;

?

? ?

?

?

?

2

(2) sn ? 1 ? 2x ? 3x 2 ? ? ? ? ? nxn?1 . 【变式练习】

1.已知数列 {a n }的前n项和Sn ? 2n 2 ? 3n. (1)证明数列 {a n }是等差数列; (2)若bn ? a n ? 2 n , 求数列{bn }的前n项和T n

1.若等比数列 ?an ? 前 n 项的和 sn ? 5n ? m, 则 m ? ?

?.

? A? ? 1

?B?1

?C ? ? 5

?D ?5 .

2. 若等比数列 ?an ? 前 n 项的和 sn ? 3n ? 1, 则此数列为 ? ?.

? A?

等差数列

?B ?

等比数列

?C ?

常数数列

?D ? 递减数列.
, s4 ? ,a1 ? ; .

3. 在等比数列 ?an ? 中, (1)已知 a1 ? ?1, a4 ? 64,则 q ? (2) 已知 a3 ?

3 9 , s3 ? , , 则q ? 2 2

,a1 ?

或q ?

4.如果一个等比数列 ?an ? 前 5 项的和为 10,前 10 项的和为 50,那么它 15 项的和 为 5. . 在 等 比 数 列

?an ?

中 , 已 知 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an ? 2 n ? 1 , 则 求

2 2 2 2 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an .

6.已知 sn 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和, s3 , s9 , s6 成等差数列,求证 a2 , a8 , a5 成等差数列.

1.(2008.宁夏)设等比数列 ?an ? 的公比 q ? 2, 前 n 项的和为 sn ,则

s4 ? a2

? ?.

? A?

2

?B ?

4

?C ?

15 2
3

?D ? 17
2



2.(2008.全国)在数列{an}中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 2 n.

(1)设bn ?

, 证明: 数列{bn }是等差数列; 2 n ?1 (2)求数列 {a n }的前n项和S n .

an

4

必修 5

2.5 等比数列的前 n 项和(教案)
(第 1 课时)

【教学目标】 1.掌握等比数列的前 n 项和公式,并用公式解决实际问题; 2. 由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前 n 项和公式; 3. 从“错位相减法”这种算法中,体会“消除差别” ,培养化简的能力和技巧. 【重点】 1.掌握等比数列的前 n 项和公式,并用公式解决实际问题; 【难点】 1. 由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前 n 项和公式; 2. 从“错位相减法”这种算法中,体会“消除差别” ,培养化简的能力和技巧.

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 55 页~第 57 页) 1.教材开头的问题可以转化成求首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 64 项的和. 2.公式推导 一般地,对于等比数列 a1,a2,a3, . . ., an,. . . 它的前 n 项和是 Sn= a1+a2+a3+. . .+an 由等比数列的通项公式,上式可以写成 Sn= a1+a1q + a1q2 +. . .+a1qn-1 ① ② 式两边同乘以公比 q 得 qSn= a1q+ a1q2 +. . .+a1qn-1+ a1qn ② 2 n-1 思考:①,②的右边相同的项有 a1q+ a1q +. . .+a1q ;如何消去这些相同的 项?用①的两边分别减去②的两边, 得(1-q)Sn= a1-a1qn , 当q≠1时, Sn=

a1 (1 ? q n ) 1? q

(q≠1) ;

又 an =a1qn-1 所以上式也可写成 Sn=

a1 ? a n q (q≠1) ; 1? q

上述推导公式的方法叫作错位相减法,适用的求和类型是: 数列的通项由两部分的积 组成,一部分是等差数列,一部分是等比数列 当q=1时,Sn=

na1



3. 等比数列的前 n 项和 Sn(q≠1)中含有 5 个量, (1)注意公比 q 是否为 1; (2)应用公式能解决哪些问题?知其中三个通过联立方程(组)求另外两个;
5

(3)在公式中,当 q ? 1 时,如果令 A ?

a1 , 那么 sn ? 1? q

A ? Aqn

,从函数的角

度看可以由指数函数 q n 的图象变换得到. 4. 数列 ?an ? 的前 n 项和 s n 构成一个新的数列: s1 , s2 , s3 , ???, sn , ??? ,则新数列的递推关系为

? ? s1 ? ? a1 ? , ? ? ? sn ? sn ?1 ? ? an ? (n ? 1).
【基础练习】 1. (2008.福建) 设等比数列 ?an ? 的公比 q ? 0 , 若 a1 ? 1 则数列 ?an ? , a5 ? 16 , 前 7 项的和为 ?C ? . ? A ?

63

?B ?

64

?C ?

127

?D ? 128 .

2.已知等比数列 ?an ? 的下列条件,求前 n 项和 Sn. (1) a1 ? 3, q ? 2, n ? 6; (2) a1 ? ?2.7, q ? ? , an ? 5 项和 Sn 答: (1) sn ? 189 ; (2) sn ? ?

1 3

1 ; (3) a1 ? 81, a5 ? 16, 求前 90

91 (3) sn ? 211 或 sn ? 55. 45
2 , a2 ? 6 ,

3. 已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和 sn ? 3n ? a, 则 a1 ?

a3 ?

18

, a 的值为

?1



4. 已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (2n ?1) ? 7 n ,求其前 10 项的和 s10 . 提示: s10 ? 1? 7 ? 3? 72 ? 5 ? 73 ???? ?19 ? 710. 解:? s10 ? 1? 7 ? 3? 7 ? 5 ? 7 ???? ? 19 ? 7 ,
2 3 10

?7s10 ? 1? 72 ? 3? 73 ? 5 ? 75 ???? ? 17 ? 710 ? 19 ? 711.
两式相减得: ?6s10 ? 1? 7 ? 2 ? 7 ? 2 ? 7 ???? ? 2 ? 7 ?19 ? 7 ,
2 3 10 11

? s10 ?

14 ? 4 ? 712 . 9

【典型例题】 类型一 等比数列前 n 项和的基本性质 例 1 (1)求下列等比数列前 8 项和; ①

1 1 1 1 , , , ?????? ;② a1 ? 27, a9 ? , q ? 0. 2 4 8 243
6

(2)求等比数列 1, 2, 4,8, ??? ,从第 5 项到第 10 项和. (3)在等比数列 ?an ? 中,a1 ? an ? 66, a2 an?1 ? 128, 且 sn ? 126 ,求项数 n 和公比 q . 【审题要津】 这里能用的公式有等比数列通项公式与前 n 项和公式, 而前 n 项和公式只 有两种情况,直接利用公式或通过通项公式转化.
8 1? ?1? ? ?1 ? ? ? ? 2? 1 1 ? ?2? ? ? 255 解: (1)①? a1 ? , q ? ,? s8 ? ; ? 1 2 2 256 1? 2 1 1 1 1640 ,? ? 27 ? q8 , ? q ? 0,? q ? ? ,? s8 ? . ②? a1 ? 27, a9 ? 243 243 3 81

(2) s10 ? s4 ?

1 ? 210 1 ? 24 ? ? 1008. 1? 2 1? 2

(3)? a1an ? a2 an?1 ? 128, a1 ? an ? 66 ,? a1 ? 2, an ? 64 或 a1 ? 64, an ? 2. 当 q ? 1 时, sn ? 126 ?

2 ? 64q . 解得 q ? 2, n ? 6; 1? q
1 64 ? 2q . 解得 q ? , n ? 6. 2 1? q

当 q ? 1 时, sn ? 126 ?

【方法总结】结合等比数列通项公式与前 n 项和公式,正确分析条件,选择恰当的公式 求解. 【变式练习】 1.已知等比数列 ?an ? 中, q ? 2, s4 ? 1, 则 s8 ? 17 .

2. 已知等比数列 ?an ? 中, a1 ? ?3, an ? ?46875, sn ? ?39063, 则q ? -5 ;n ? 7 . -3 ; q ? -2 .

3. 已知等比数列 ?an ? 中, a3 ? ?12, s3 ? ?9, 则 a1 ? 类型二 等差与等比数列的综合 例 2 (全国)已知等差数列 ?an ? , a2 ? 9, a5 ? 21,

求: (1) ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? 2 n , 求数列 ?bn ? 的前项和.
a

【审题要津】等差数列、等比数列是数列的特例和基础,注意它们基本公式在解题的思路 和作用. 解: (1)设数列 ?an ? 的公差 d ,依题意得 ?

? a1 ? d ? 9 ,解得 a1 ? 5, d ? 4 . ? a1 ? 4d ? 21

7

故 ?an ? 的通项公式为 an ? 4n ? 1. (2)由 an ? 4n ? 1得 bn ? 24n?1 , 当 n ? 2,

bn ? 24 , bn ?1

所以 ?bn ? 是首项 b1 ? 25 , 公比 q ? 24 的等比数列. 故得 ?bn ? 的前 n 项和 sn ?

25 ? 24 n ? 1? 24 ? 1

?

32 ? 24 n ? 1? 15

.

【方法总结】利用基本量、基本公式解题是数列的基本思路和方法. 类型三 数列的求和
2 3 n 例 3 (1) s ? ? a ? 1? ? a ? 2 ? a ? 3 ? ??? ? a ? n ;

?

? ?

?

?

?

(2) sn ? 1 ? 2x ? 3x 2 ? ? ? ? ? nxn?1 . 【审题要津】观察数列的通项,适当变形后,转化为等差或等比数列求解. 解: (1)拆项法求和

? s ? a ? a2 ????? an ? ?1? 2 ? 3 ????? n?
?s ? a ? a n ?1 n(n ? 1) ? (a ? 1) 1? a 2
n(n ? 1) . 2

当 a ? 1, s ? na ?

(2)错位相减法求和

? sn ? 1 ? 2x ? 3x 2 ? ? ? ? ? nxn?1 ? xsn ? x ? 2x 2 ? ? ? ? ? (n ? 1) x n?1 ? nxn ?(1 ? x)sn ? 1 ? x ? x 2 ? ? ? ? ? x n?1 ? nxn
当 x ? 1 时, s n ? 当 x ? 1 时, s n ?

1? xn nxn ? ; (1 ? x) 2 1 ? x
n(n ? 1) . 2

【方法总结】认真观察分析数列的通项, (1)拆项法求和:适当变形后,转化为两个等 差或等比数列求和后再求和差; (2)当数列的通项可化为等差与等比的积或商时,可用错位 相减法求和; (3)应用并体会数列求和中的转化的思想方法. 【变式练习】

8

已知数列 {a n }的前n项和Sn ? 2n 2 ? 3n. (1)证明数列 {a n }是等差数列; (2)若bn ? a n ? 2 n , 求数列{bn }的前n项和T n
解( : 1 )证明a 1 ? S1 ? ?1, 当n ? 2时, a n ? S n ? S n ?1 ? 2n 2 ? 3n ? 2(n - 1)2 ? 3(n ? 1) ? 4n ? 5. 又a 1 适合上式, 故a n ? 4n ? 5(n ? N *). 当n ? 2时, a n ? a n ?1 ? 4n ? 5 ? 4(n ? 1) ? 5 ? 4, 所以{a n }是等差数列且 d ? 4, a 1 ? ?1. (2)bn ? (4n ? 5) ? 2 n ,? Tn ? ?21 ? 3 ? 2 2 ? ? ? (4n ? 5) ? 2 n ,    ① 2Tn ? ?2 2 ? ? ? (4n ? 9) ? 2 n ? (4n ? 5) ? 2 n ?1 , ① ? ②得 ? Tn ? ?2 ? 4 ? 2 ? ? ? (4n ? 5) ? 2
1 2 n ?1

 ②

4(1 ? 2 n ?1 ) ? ( 4n ? 5) ? 2 n ?1 1? 2 ? ?18 ? (4n ? 9) ? 2 n ?1 ? ?2 ? 4 ? ? Tn ? 18 ? (4n ? 9) ? 2 n ?1.

1.(2008.宁夏)设等比数列 ?an ? 的公比 q ? 2, 前 n 项的和为 sn ,则

s4 ? ?C ? . a2

? A?

2

?B ?

4

?C ?

15 2

?D ? 17
2



2. (2008.全国)在数列{an}中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 2 n.

(1)设bn ?

, 证明: 数列{bn }是等差数列; 2 n ?1 (2)求数列 {a n }的前n项和S n .
解:

an

(1)由已知数a n ?1 ? 2a n ? 2 n 得 a n ?1 2a n ? 2 n a ? ? nn ? 1 ? b n ? 1. n n 2 2 2 ?1 又b1 ? a 1 ? 1,因此{b n }是首项 首 1,公差为 1 的等差数列 . b n ?1 ? an ? n,即a n ? n ? 2 n ?1 2 n ?1 S n ? 1 ? 2 ? 21 ? 3 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n ?1 ,

?2? 由?1? 知

两边 乘以 2得: 2Sn ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n , 两边 相 减 得 S n ? ?1 ? 21 ? 2 2 ? ? ? 2 n ?1 ? n ? 2 n ? ?(2n ? 1) ? n ? 2 n ? (n ? 1)2n ? 1.

9

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