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昆明三中2014—2015学年度下学期高一年级期末考试(数学)


绝密 ★ 启用前

昆明三中 2014—2015 学年度下学期高一年级期末考试

数 学 试 题
命题人 注意事项
1.答题前,考生务必将自己的班级、姓名、学号、考场号、座位号等信息填写清楚。 2.第 I 卷答题区域使用 2B 铅笔填涂,第 II 卷答题区域用黑色碳素笔书写,字体工整,笔迹 清楚,按照题号顺序在各题目的答

题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试卷 上答题无效。 3.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄皱,第 I 卷答题区域修改时用橡皮擦擦干净,第 II 卷答题 区域修改禁用涂改液及涂改胶条。 4.考试结束,监考人员将答题卡收回,试卷由考生妥善保管。

昆明第三中学

谭顺昆

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。总分 100 分,考试时间 120 分钟。

第 I 卷(选择题共 36 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题, 每小题 3 分,共 36 分。在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.等差数列 ?an ? 中, a5 ? 15 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 的值为 A. 30 B. 45 C. 60 D. 120

2.若直线 a ∥直线 b,且 a ∥平面 ? ,则 b 与 ? 的位置关系是 A.一定平行 B.不平行 C.平行或相交 D.平行或在平面内 3.已知 x ? ( ? A.
7 24

?
2

, 0) , cos x ?
B. ?

4 ,则 tan 2 x ? ( 5
C.
24 7

) D. ?
24 7

7 24

4.一个球的体积等于其表面积,那么这个球的半径为 A.

1 2
0

B.1

C.2

D.3

5.设 a ? sin14 ? cos14 , b ? sin16 ? cos16 , c ?
0 0 0

6 ,则 a, b, c 大小关系是 2
D. a ? c ? b

A. a ? b ? c

B. b ? a ? c

C. c ? b ? a

6.在△ABC 中,若 a ? 7, b ? 3, c ? 8 ,则其面积等于 A. 12 B.

21 2

C. 28

D. 6 3

高一数学试卷第 1 页

7.在等比数列 an 中, a4 ? a7 ? 2 , a5 a6 ? 2 ,则 a1 ? a10 ? A.7 B.5 C. ?5 D. ?7

? ?

8.已知圆锥高为 h,底面圆半径、锥高、母线长构成等比数列,则圆锥的侧面积是 A. ? h

1 3

2

B. ?h

1 2

2

C. ?h

2

D. 2?h

2

9.函数 y ? sin x cos x ? 3 cos 2 x ? 3 的图象的一个对称中心是 A. (

2? 3 ,? ) 3 2

B. (

5? 3 ,? ) 6 2

C. ( ?

2? 3 , ) 3 2

D. (

?
3

, ? 3)

10.设等比数列 an 的公比 q ? 1 ,其前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? qn ? k ,则 k ? A.2 B.1 C.0 D. ?1

? ?

11.已知两条直线 m , n 和两个平面 ? , ? ,下面给出四个命题: ① ? ? ? ? m , n ? ? ? m ∥ n 或 m 与 n 相交; ②? ∥ ? , m ?? , n ? ? ? m ∥ n ; ③ m ∥ n , m ∥? ? n ∥? ; ④ ? ? ? ? m , m ∥ n ? n ∥ ? 且 n ∥ ? .其中正确命题的序号是 A.① B.①④ C.④ D.③④

sin 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? tan( ? ? ) ? ? ? ? ? ? ? 12.已知 ,且 ,则 ? 4 2 2 sin(? ? ) 4
A.

2 5 5

B. ?

3 5 10

C. ?

2 5 5

D. ?

3 10 10

高一数学试卷第 2 页

昆明三中 2014—2015 学年度下学期高一年级期末考试

数 学 试 题
第 II 卷(非选择题共 64 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分,把答案填在题中横线上。
13. cos2 660? 的值等于 .

14.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此 几何体的体积是

cm .


3

15.等差数列 ?an ? 中,若 a15 ? 8 , a60 ? 20 ,则 a75 ? 16.已知等腰三角形的底边长为 6,一腰长为 12,则它的 外接圆半径为 .

17.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,如果 Sm?1 ? ?2 ,

Sm ? 0 , Sm?1 ? 3 ,则 m ?



三、解答题:本大题共 5 小题;共 49 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。
18. (本小题满分 8 分) (Ⅰ)给定线段 AB ? 4 ,用斜二测画法作正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1; (Ⅱ)设 P 是棱 A1B1 上一点, PB1 ?

1 A1 B1 ,求多面体 P ? BCC1B1 的体积. 4

19. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? 3sin(? x ? ? ) (? ? 0 , ? 对称,且图象上相邻两个最高点的距离为 ? . (Ⅰ)求 ? 和 ? 的值; (Ⅱ)当 x ? [0,

?
2

?? ?

?
2

) 的图象关于直线 x ?

?
3

?
2

] 时,求函数 y ? f ( x) 的最大值和最小值.

高一数学试卷第 3 页

20. (本小题满分 10 分)

M , E , F , N 分别是棱 A1B1 , B1C1 , 如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,

C1D1 , A1D1 的中点.
求证: (Ⅰ) E , F , B , D 四点共面; (Ⅱ)平面 AMN ∥平面 EFDB .

21. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,且 a ? b ? 2ab ? c .
2 2 2

(Ⅰ)求 C ; (Ⅱ)设 cos A cos B ?

3 2 cos(? ? A) cos(? ? B) 2 , ,求 tan ? 的值. ? 2 5 cos ? 5

22. (本小题满分 11 分) 正项数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足: Sn2 ? (n2 ? n ?1)Sn ? (n2 ? n) ? 0 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 an ; (Ⅱ)令 bn ?

n ?1 * ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,证明:对于任意的 n ? N , 2 2 (n ? 2) an
5 . 64

都有 Tn ?

高一数学试卷第 4 页

昆明三中 2014—2015 学年度上学期高一年级期末考试

数学参考解答及评分标准
说明: 一、 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果 考生的解法与本题解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如 果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分。 三、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分。 一、选择题:本题考查基础知识和基础运算。每小题 3 分,满分 36 分. 1.A 2.D 3.D 4.A 5.D 6.B 7.B 8.D 9.B 10.B 11.D 12.D

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 3 分,满分 12 分. 13. ?

4 3

14. [?1, 3]

15.①②

16.

6 ?a?6 5

三、解答题:本题考查推理证明能力和综合应用知识解决问题的能力。满分共 52 分.

17. (本小题满分 10 分)
2 2 已知 tan x ? 2 ,求 sin x ? 2sin x cos x ? 2cos x 的值.

解:∵ tan x ? 2 ∴ sin 2 x ? 2sin x cos x ? 2cos 2 x ?
2 tan x? 2 ta xn ? 2 1 ? t a nx

sin 2 x ? 2sin x cos x ? 2cos 2 x cos 2 x ? sin 2 x

?

?

2 22 ? 2? 2 ? 2 ?2 2 1? 2

高一数学答案第 1 页

18. (本小题满分 10 分)

画出函数 y ? x (1 ? x) 的图象,并指出其定义域、值域、奇偶性和单调性. 解: y ? x (1 ? x) ? ?

? x(1 ? x) ( x ? 0) ? x( x ? 1) ( x ? 0)

由函数图像可知,函数的 定义域: R ;值域: R ;是非奇非偶函数; 递增区间有: [0,

1 1 ] ;递减区间有: (??, 0] 和 [ , ? ?) 2 2

19. (本小题满分 10 分) 已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, ? ? 为 (2,

?
2

) 图像上的最高点

2) ,该点到相邻的最低点间的图像与 x 轴交于点 (6, 0) .

(Ⅰ)求函数的解析式; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [?6, 0] 上的值域.

? ? ? ?? ? ? ? ?2? ? ? ? 8 解: (Ⅰ) A ? 2 ,由题意, ? 2?? ?? ? ? ? ?6? ? ? ? ? ? ? 4
∴所求函数的解析式为 y ? (Ⅱ)令 t ?

?
8

x?

?
4

2 sin( x ? ) . 8 4

?

?

,则 y ? 2 sin t

?6 ? x ? 0 ? ?

?

? ? ? ? ? 2 ? x ? ? ? ? ? t ? ? ?1 ? s i t n ? 2 8 4 4 2 4 2

? ? 2 ? 2 sin t ? 1 ? ? 2 ? y ? 1
∴ f ( x ) 在区间 [?6, 0] 上的值域是 [? 2, 1] .

高一数学答案第 2 页

20. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ? x ? ?

ax ?1 ,其中 a ? 1 . ax ?1

(Ⅰ)判断函数 f ? x ? 的奇偶性; (Ⅱ)根据函数单调性定义证明 f ? x ? 在区间 (??, ??) 上是增函数. 解: (Ⅰ) f ? x ? 的定义域是 (??, ? ?) ,关于坐标原点对称,且

f ??x? ?

a? x ?1 1 ? a x a x ?1 ? ? ? ? ? f ( x) a? x ? 1 1 ? a x ax ?1

∴ f ? x ? 是奇函数. (Ⅱ)设 ?? ? x1 ? x2 ? ?? ,则

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?

a x1 ? 1 a x2 ? 1 (a x1 ? 1)(a x2 ? 1) ? (a x2 ? 1)(a x1 ? 1) ? ? a x1 ? 1 a x2 ? 1 (a x1 ? 1)(a x2 ? 1)

2(a x1 ? a x2 ) ? x1 (a ? 1)(a x2 ? 1)
∵ x1 ? x2 ,且 a ? 1
x x

∴a 1 ? a
x

x2

∴a 1 ?a
x

x2

?0
∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ?

又∵ a 1 ? 1 ? 0 , a 2 ? 1 ? 0

∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0

∴ f ? x ? 在区间 (??, ??) 上是增函数.

高一数学答案第 3 页

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 其图像过点 (

?
6

1 1 ? sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? ? sin( ? ? ) (0 ? ? ? ? ) , 2 2 2

,

(Ⅰ)求 ? 的值;

1 ). 2 1 ,纵坐标不变, 2

(Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图像上各点的横坐标缩短到原来的 得到函数 y ? g ( x) 的图像,求函数 y ? g ( x) 在 [0, 解: (Ⅰ) f ( x) ?

?
4

] 上的最大值和最小值.

1 1 ? cos 2 x 1 sin 2 x sin ? ? cos ? ? cos ? 2 2 2 1 1 ? (sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? ) ? cos(2 x ? ? ) 2 2 ? 1 1 ? 1 ? ? ∵ f( )? ∴ cos( ? ? ) ? ? cos( ? ? ) ? 1 ? cos(? ? ) ? 1 6 2 2 3 2 3 3
∴? ?

?

3

? 2 k ? ? ? ? 2 k? ? 1 ? cos(2 x ? ) 2 3

?

3

∵0 ?? ??

∴ k ? 1 ,? ?

?

3



(Ⅱ) f ( x) ?

1 ? 1 ? cos(2 x ? ) ? y ? cos(4 x ? ) 2 3 2 3 1 ? ? 1 ∴ g ( x) ? cos(4 x ? ) 令 t ? 4 x ? ,则 y ? cos t 2 3 3 2 ? ? ? 2? ? 2? 0 ? x ? ? ? ? 4x ? ? ?? ?t? 4 3 3 3 3 3 1 1 1 ? 1 1 1 ∴ ? ? cos t ? 1 ∴ ? ? cos(4 x ? ) ? ? ? ? y ? 2 4 2 3 2 4 2 1 1 ∴ ymax ? , ymin ? ? 2 4 y?

高一数学答案第 4 页


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