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试论过圆、椭圆、双曲线上一点的切线方程的统一性


中学数 学研 究
二 _


0 07
a _

年第
+
2

1



_

_

卜丁

万`
,



硬<

br />内

`

由此 知
,


Z _

的方 程 为

=

y

=

y

五生 4 占 一 户
_
+
0
.






k尸

,

l 从而 y
·

’ 2 2
2

2







_
.


:

X Z一

P k


y Z一

P k


2
_ 一
4

2

_

世 2

,



_ 一

_

_

国 y

人: 石

这子七 丈 二 扩 2 2
`


,
.

将其“ 入 “ , 即得
=

`、



`

,







,

1

联立 得
0

匕 尸F Q

0 9

a



口一
`

2 人2

`

事 实 上 由于 平 面 上 的 任 意 椭 圆 与抛 物 线
一 a Zb Z =

,

(““

,

十 a `

)x

, 一

“ ,`’



4

+


+


a Z

经 过 平 移 变换 与旋 转 变 换 均 可 化 为 性质 中的

,


a Z

△= o
,

P Z石4 走6

2 2 (占 乏

)(
o

互 恤生兰
4

标 准 型 而 在这 两 种 变换 下 性 质 中 的直 角 为 不
变 量 因 此 该性质 具有 一 般性 即 可 以作 如 下推
广
:
, ,

,

占2

)



=

即 户2 走4 一 4 占2 龙2 一 4 a

a

2 =

(2 )
与抛 物 线
= 二 1 y 声

不 ` 二丈二 一 护 产
J

, r目

Z





1

(a >

b > O)
,

若椭 圆 的一 个 焦 点 与抛 物 线 的焦 点 重 合
,

,

x Z=


Zy P
,

(p >


0 有 共 同 的焦 点 所 以 4 扩 )
2

且 椭 圆 的 中心 为 抛 物 线 的 顶 点 则 它 们 的公 切 线 的切 点对 该 焦 点 的张 角 为 直 角
.

4 占2

代入 (2 )得 户

h

4 一

4占
2

2

走2 一
_

(P


Z +

4


占2

)

0 即 kZ =

,

全少
P2

,



,








盛 矿

2 P

试 论 过 圆 椭 圆 双 曲线 上 一 点 的 切 线 方 程 的统 一 性
贵 州 省 铜仁 一 中
唯 物辨 证 法 告 诉 我 们
,



(55 4 3 0 0 )

刘 志修

:



任 何 事 物 的存 在 都


不 是孤 立 的 它必 与 其 它 事 物有 着 内在 的 必 然

= y

!二 =

x

.

=



二 二 丁 一万 蕊 二 “

b

x o =

b

Z

x o

a Z

少。

联系
程是

.



丫 奋

,



新教材 第二 册 ( 上 ) 尸 7 5 有 一 题 已 知 圆 的 方
x “ +

,

由点 斜 式得
L

少二
.

二2

,

求经 过 圆 上 一 点 M ( x



,

0 ) y

的切 线 方 程

_ y 一 y o一 一

口 “

Z _

汤0
少0

/

乏… 二



、 x

一 x OZ

教材 上推 得该 切 线 方 程 为
x o x 十 y oy =

bZ x

。x

+

。 Zy o

y 二 。Z x



+

a Zy

= 后

a Z` 2

,



.


.

联 系到椭 圆 与双 曲线 可 以 得到 类似 结论

器 粉

+



1


(x 0
,

,

过椭 圆

_




山 里
,

2
_
`

=

1

b

上一 点 M
1

定理 2

过双 曲 线

荞丈

a

-





1 上一
·

点 M

0 ) 的切 线方 程 为 y
:

不咚
_



少 勺卫 =
b
2

(X



,

, 。

) 的切 线 方 程 ”

Z

器 署
, 一 ,

一`




: 证 明 由 对称 性知 只 要 证 =
_

证 明 由对 称 性 知 只 要 证 明

;





b2

_

书共
口一


一 ;









x

轴 上 方部 分 即 可
y 二

.

轴 上 方部 分 即可
b
a

.



二玄 一



b
a



“ 三







,

一鱼
U
`

:
/

V



拳只
~


`

_

~

`

召 名

0

0

7 年第
`

期1
. :

2
五 一 兰立
a
^
-

中学数 学研 究
_ _

_

:

= 塑 少
a Zy o


_ 立
a

.

x 一


, 一
n

`

一 ,

, , 一 x。 一

z


万爪
~
~

厂夕

` 竺

.

}




`

口 Z

J O


b
2


a

,



一a
[



~

Z 一

二乏

(— 办

— ) ]
,

L

由点斜 式得
a Zy o

y 一 y。=
a Zy

Z _

( 罕 毕 尸
a



x 一 x。

)

,

=




!
二 -

X 一 刀忍

y 一

.

n

y o

y 一

= 急

62
,

x 。x 一

62

x

( 若

,

)

,

k = y
a Z



b2




M 在双 曲线上
·




护x




一 a “

端二



,

扩 一 护
X

a 2

孕二 粤 切 线 方程 为 y
o


,

tT

O一

代入 (

) 式得

器 谓
,

`


y 一 y o

y o


m 一、X 一 n

/



一 XO)
a Z

,

占2
夕。


(x。
,

m

)(x
.

一 x 。

)

+

(夕。

一 n

) (夕
n U
.

-

由定理 1


与定理 2 知
.

过 中心 在 原 点的 圆

椭 圆 双 曲线 上 的 一 点 的切 线 方 程 具 有统一 的
,

)“
o 一

0 即

优美 的 表达 式 如 果 中心 不 在 原 点 其 切 线 方 程 的表 达 式
又 呈 何 规 律 呢?

(x

m

)(
a 2

x

-


- -

0 ) x
一 卞
,

(y。一 n ) (y




证 (2 ) 由称 性 仍就
一 丫 又X 一 刀 王 )
a

例 点 M (x

1

,

求过 (
y

x



m

)

2

+
.

n (y 一

)

2

=

。 2

上一

b

厂奋 一 一一 一一 又厄
-


y >




`

b
n

卫边 一
,

_

情形 讨论 即可

飞 一 一 a

.

丁 孔

) 的切 线 方 程 o


b
n

X 一

2刀

解 则
l

如图是 蒯
k:
=

y o 一
XO 一


k = y
b2 一不
=
二 二

万万 扁 ) 2
b
a

一 a Z XO 一

m

m
+
a Z
·

X O 一 刀王

0 x

0 丫(x
)



m )2

y o 一 n
:

的方 程 为 0 y



- 粤里鉴一二
(,
一 。
2一 。 2




·


XO 一

m
n

, 一
x。 一


x

(

)(y 一 0 y )= 0 ① 这是 一 个 优 美 的 对 称 表 达 式 对 于 椭 圆和
m )(

一 x 。


)


(



0 , 即 x
,
,

一彭 丫
b2
.
~

y o 一

(y

。 一 n

切线 方 程 为
x o 一

双 曲 线 我 们 类 比 猜想
`
,



(1 ) 过 椭圆 一

,



, 二 鱼二 巡 卫 、
.





点 M (x
-



(

x 。一

m

) 的切 线方 程 为 o )( ) (y 。 一 n ) (y
y
x 一 x 。
.

,

~

号竺 乙 a
`

+



卫 _ < 2里 = 上万竺 〕

,

今 b

`

卜 _ 1 上一


a h

一一 护 — yo 一 n 一 一 。 里 二 二三 困 (生 边 恤〔 业二 卫边
_

y 一 y“ 二

m

/

气X 一 工 O /
~

a 2

b`

这 就 证 明 了猜 想 ( 1 ) 与 (2 ) 得 到 了 中心 不 在原 点的圆 椭 圆 双 曲 线 上 一 点的切 线 方 程 的
、 、

,

一y 。



+

)

_

n


(岁


一点

(

x o 一


`。 、


、 二

-

-

·

-

-

“一
-

( 互边少

M(
m

x 。

,

y。

矿 ) 的切 线 方 程 为

一一
_

= 0

红 二 卫卫 _


:

统 一 表达 式 在① 中令 m 二 n 二 0 得 x 。 x 一 x o + 夕。 少 一 y 。 = 0 ( ) ( )
x o x 十 y oy = x

.

.




若 y若
.



,

)(
_

x 一 x o

)

(

y。一

n

)
L

(y 一 y 。
Z

)



协`




x o x + y oy 二 r 2

2
,

u

在② 中令
工 Q 子二 兰




二 n 二

0




: 证 (1 ) 由 对称 性 知 只 就

y

>

n

情形 讨论

(

业 渔
.

_



即可

.



瞬翅
x ` .



.



x 。x


一 x
a 2

2

(少一

n

)

z

=

气[
e

a Z 一

(

x 一

m
n
,

) 〕
2

吕 卞
b
2

y



(y 一 y

`

o

)

_

n




b
a

厄 二

(

x



m

)
-

2 +

X OX
a 2

y o y

— 吕
b
.

一 U

x

_

_

y o

2



a Z 宁 一下 `

b

厂 2 .

,

X 一 刀1
丫 “

工 OX
~

/几 厄 一 7 丁一 只
一 、 工 一
7刀

~

丝夕_
b2

2

a 2

/

中学数 学研 究
在③ 中令
X OX
a 2

2007

n,

年第 1 期
,

m



O 它 到=直 线s

x 一 y +

1= 0

的 距 离 最 短 并 求此 最

y oy

一 护 瑞


b2
o

一 元 ’ z b

短距 离

.

: 解 设 所 求点为

尸(

0 x
1

,

y 0 ) 则过 该 点的 双

,

即 兰归 { + y
. _



Z

b2

y =

1
、 、

曲线 的 切 线


o x

x 一


这 就 证 明 了过 中 心 在原 点 的 圆 椭 圆 双 曲
线 上 一 点 的切 线 方 程 即 为 中心 不 在 原 点 的 圆


5
,

y oy =

应平 行 于 直 线 s x
ù 了 ` O J



y 十 1 = 0
_

.

由场
=

得 y 0

=

0 代入 双 曲线 x

椭 圆 双 曲线上 一 点的切 线 方 程 的特 殊 情 况
、 、 ,



.

方程
尸1

x

过 圆 椭 圆 双 曲 线 上 一 点 的切 线 方 程 在 中 学数 学 中有 着广 泛 的 应 用 由于 其表 达 式 既 统
一 又 对称 使 用 十 分方 便
,
.

若述 9
,

1 尸2

,

解 之 得 关 于 原 点对 称 的 两 点
-

(

号 备

)“

(

5 4
,



9 4 一

、,

/

由于

sx
尸2

一 y 十

1

例 2
Zy
z
+

已知 椭 圆 护
,

一 9

+

丈一 1 及直线
4
1
,

=

O 不

关于 原 点 对 称 因 而 仅 有
.

(



5
4


l

:

工 十


18 “ 0

在椭 圆 上 求 一 点 尸 使
;

尸1

到直 线
:

) 适合 题 意 早

.

的距 离 最 小 在椭 圆上 求 一 点 线 l 的距 离最 大
.



2

,

使



到直

.

25

: 解 设 所求 点为

尸( x





,

y 。

) 则 过 此 点 的椭
x
+

,

成一
.


`

! 一 几

-

`



段不里
丫5
,


2



9


l j 十 ~



=

3 丫厄 6
,

+

1
,

圆 的切 线 兰 工




十 y oy

4 一

1
,

应平 行 于 直 线

Zy

用 联 系 的观 点 学 习 中学 数 学 可 使 分 散 的 知 识 得到 集 中 孤 立 的知 识 得 到 统 一 这 对 于 我



18 一 。





1

护护 (一 , ( 营 号 誉 号
7

,



,。一


,

代入




-

们 构 建 知 识 网络 有 着 重 要 意 义
l, 解 之

,

.

7

.



尸2

,

参考 文 献
,

例 3

在双 曲 线

二2 一


,



:

上 求一 点 使

王 芝平 等 直 线 方 程 〔1 」

.




乏q 少 _ 1 bZ 一

的几 何 意 义 数
,

学通 报

,

2 (犯 2

.

.

1

三 角 形 一 个 性 质 的 发 展 及 完 善
安 徽省 宁 国 中 学 (2 4 2 3 0 )



文 〔1 〕给 出 三 角形 的 一 个 性质

:
,

命题

,

1
:

已 知 △ A B C 及 其 内部 一 点 尸



么 S △ J理汉 尹A
,
.



S △助 J 侣
,

+

S △ 助砂℃ = 0

.

事 实上 容易 发现 两 个命 题 的意 思 是 一 样
的 文 〔3 〕在 文 〔1 〕的墓 础提 出 了推广
定理 1
:

A P



*

P B
.





3

c P




存;

,

1

,



2

,



3

都是大

于 0 的 实数 则 △ 尸召 C △ 尸 A C △ 了 明召 的 面 积

·

之 比 为 几1 : 从 : 肠

已 知 点 尸 为 △ 八丑 C 所 在 平 面 上
, ,

文fZ 」 由物 理 学 上 的 力 矩 定 理 如 果 点
:

O


任 意 一 点 入1 从
几3

,

又3

任R
:

,



久I
:

A P
S


+

久Z


P B
;

+

是线段 月 刀 内 的 任 意 一 点 那 么 } O 召 】 Q

,

·

A







石则

,

s





s △P A 〔:

B A P

}久 卜

}Q

A卜

B O
2

=

百 仿此 亦得 到

,

,

:

2 ; 3 ! 又 } }久 }
,

命题

弓 C 及 其 内部 一 点 尸 那 已 知 △八Z

定理 2

已知 点 尸

为四 面体 A

1 3〔刀


内任 意
23
.


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