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2017届高三数学(人教版理)二轮复习课件:专题七概率统计1.7.1


第一讲
计数原理、二项式定理

【知识回顾】

1.排列
(1)定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照 一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个

元素的一个排列.

(2)排列数公式:A m n

n! ? n ? m ?! =n(n-

1)…(n-m+1)=_________.

2.组合 合成 (1)定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素_____

一组 ,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. _____
m A (2)组合数公式: Cm = n n Am m

m ? m ? 1??1 =___________________

n ? n ? 1??? n ? m ? 1?

n! m!? n ? m ?! =___________. 由于0!=1,所以 C 0 n

=1.

(3)组合数的性质
①C =C
m n

②Cm =C +C n ?1

n?m ________ n m m ?1 __ ________ n n





3.二项式定理 (1)定义:

?a ? b?

n

k n ?k k C b ??? C n b n (n ? N*). na ? C a ? C a b ??? ________ n
0 n n 1 n n ?1 1

这个公式所表示的定理叫做二项式定理. 第k+1项为Tk+1
k n ?k k C b =________. na

(2)二项式系数的有关性质: ①二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数
3 5 0 2 4 项的二项式系数的和,即 C1 ? C ? C ? ??? ? C ? C ? C n n n n n n ? ???

n-1 2 =____;

②若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn, 则f(x)展开式中的各项系数和为f(1),

奇数项系数和为a0+a2+a4+…= f (1) ? f (?1) ,

2 f (1) ? f ( ?1) 偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=__________. 2

【易错提醒】 1.忽视顺序:解决排列组合问题时,易忽视问题与顺

序是否有关这一条件.
2.混淆两个系数:二项展开式中某一项的系数与某一 项的二项式系数易混.

n ?k k 3.忽视k的取值范围:在利用Tk+1= Ck a b 求特定项 n

时,k∈{0,1,…,n}易漏k=0的情况.

【考题回访】
1.(2016·全国卷Ⅱ)如图, 小明从街道的E处出发,先

到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加
志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径 条数为( A.24 ) B.18 C.12 D.9

【解析】选B.E→F有6种走法,F→G有3种走法,由分 步乘法计数原理知,共6×3=18种走法.

2.(2016·全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{an}如下: {an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,

a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不
同的“规范01数列”共有( A.18个 B.16个 C.14个 ) D.12个

【解析】选C.由题意得必有a1=0,a2m=1具体情况如下: 00001111,00010111,00011011,00011101,

00100111,00101011,00101101,00110011,
00110101,01000111,01001011,01001101, 01010011,01010101;共14个.

3.(2015·全国卷Ⅰ)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系 数为( )

A.10

B.20

C.30

D.60

【解析】选C.在(x2+x+y)5的5个因式中,2个取因式中 x2,剩余的3个因式中1个取x,其余因式取y,故x5y2
2 1 2 =30. 的系数为 C5 C3 C 2

4.(2016·全国卷Ⅰ)(2x+

5的展开式中,x3的 ) x

系数是________.(用数字填写答案)

【解析】设展开式的第k+1项为Tk+1,k∈{0,1,2,3, 4,5},
k 所以 Tk ?1 ? C5 ? 2x ? 5? k

? ?
x

k

k 5? k ? C5 2 x

5?

k 2

.

4 5? k 4 5? 4 当5- =3时,k=4,即 T5 ? C5 2 x 2 ? 10x 3 . 2

答案:10

热点考向一

排列、组合的应用

命题解读:主要考查两个计数原理、排列、组合的简 单综合运用,有时与概率相结合,以选择题、填空题

为主.

【典例1】(1)(2016·四川高考)用数字1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为 ( )

A.24

B.48

C.60

D.72

(2)(2016·安庆一模)从正方体六个面的对角线中任取 两条作为一对,其中所成的角为60°的共有( )

A.24对

B.30对

C.48对

D.60对

(3)(2016·洛阳一模)要从3名骨科和5名内科医生中选 派3人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科和内科医生

都至少有1人的选派方法种数是__________(用数字作
答).

【解题导引】(1)根据排列组合公式及分步乘法计数原 理求解.

(2)找出与一个面上的两条对角线成60°的角的直线对
数,再乘以6进行分析即可求解,或用间接法求解. (3)可考虑用间接法求解,即从总体中减去“全是骨科”

和“全是内科医生”的情况,即可得出答案.

【规范解答】(1)选D.由题意,要组成没有重复数字 的五位奇数,则个位数应该为1,3,5,其他位置共
4 有 A4 种,所以其中奇数的个数为 3 =72. A 4 4

(2)选C.方法一:直接法:如图,在上底面中选B1D1, 四个侧面中的对角线都与它成60°,共8对,同样A1C1

对应的也有8对,因此一个面上的2条面对角线与其相
邻的4个面上的8条对角线共组成16对,又正方体共有6 个面,所以共有16×6=96(对),又因为每对被计算了2

次,因此成60°的面对角线有 1 ×96=48(对).
2

方法二:间接法:正方体的12条面对角线中,任意两 条垂直、平行或成角为60°,所以成角为60°的共有
2 -12-6=48(对). C12

(3)共8名医生,2个科类,要求每个科类至少1名医 生,“骨科和内科医生都至少有1人”的对立事件是

“全是骨科或全是内科医生”.
3 若从这8名医生中任选3名,不同的选法有 C8 种;

其中全为骨科医生的选法只有1种,全为内科医生的 选法有 C3 种. 5
3 3 =56-1-10=45(种). 所以所求选派方法有 C8 - 1-C5

答案:45

【易错警示】解题(3)时易出现从骨科和内科医生中各 选一人,再从剩余的人中选出一人,共有90种选法的

错误,此种错误的原因是出现了重复的情况.

【母题变式】若题(2)变为:若两条异面直线所成的角 为60°,则称这对异面直线为“黄金异面直线对”,

在连接正方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线
对”共有__________对.

【解析】依题意,注意到在正方体ABCD -A1B1C1D1中, 与直线AC构成异面直线且所成的角为60°的直线有

BC1,BA1,A1D,DC1,注意到正方体ABCD-A1B1C1D1中共
有12条面对角线,可知所求的“黄金异面直线对”共 有 4 ?12 =24对.
2

答案:24

【规律方法】 1.求解排列、组合问题的关注点

排组分清,加乘明确;有序排列,无序组合;分类相
加,分步相乘.

2.排列、组合应用问题的常见解法 (1)特殊元素(特殊位置)优先安排法.

(2)合理分类与准确分步法.
(3)排列与组合混合问题先选后排法. (4)相邻问题捆绑法.

(5)不相邻问题插空法.

(6)定序问题缩倍法. (7)多排问题一排法.

(8)“小集团”问题先整体后局部法.
(9)构造模型法. (10)正难则反,等价转化法.

【题组过关】 1.(2016·九江一模)8名学生和2位老师站成一排合

影,2位老师不相邻的排法种数为(
2 A.A8 A 8 9 8 2 B.A8 C9 8 2 C.A8 A7

)
8 2 D.A8 C7

【解析】选A.不相邻问题用插空法,8名学生先排有
2 种排法,产生 9 个空, 2 位老师插空有 种排法, A8 A 8 9 2 种排法. 所以共有 A8 ? A 8 9

2.(2016·太原一模)有5名优秀毕业生到母校的3个班去 做学习经验交流,则每个班至少去一名的不同分派方

法种数为(
A.150

)
B.180 C.200 D.280

【解析】选A.分两类:一类,3个班分派的毕业生人数
2 2 C5 3 3 分别为2,2,1,则有 C =90种分派方法;另一 ? A 3 2 A2

类,3个班分派的毕业生人数分别为1,1,3,则有
3 =60种分派方法.所以不同分派方法种数为90+60 C3 ? A 5 3

=150.

【加固训练】1.有6名男医生、5名女医生,从中选出2 名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选

法共有(
A.60种

)
B.70种 C.75种 D.150种

2 【解析】选C.从中选出2名男医生的选法有C 6 =15种,

从中选出1名女医生的选法有 C1 =5种,所以不同的选 5

法共有15×5=75种.

2.(2016·温州二模)将9个相同的小球放入3个不同的盒
子,要求每个盒子中至少有1个小球,且每个盒子中的 小球个数都不同,则不同的放法数为( )

A.15

B.18

C.19

D.21

【解析】选B.依题意,对这3个盒子中所放的小球的个 数情况进行分类计数:第一类,这3个盒子中所放的小 球的个数是1,2,6,此类放法有 A 3 =6种;第二类, 3

这3个盒子中所放的小球的个数是1,3,5,此类放法

有 A3 =6种;第三类,这3个盒子中所放的小球的个数是2, 3 3,4,此类放法有 共有6+6+6=18种. =6 种.因此满足题意的放法 A3 3

3.(2016·深圳一模)某班准备从含甲、乙的7名男生中
选取4人参加4×100米接力赛,要求甲、乙两人至少有 一人参加,且若甲、乙同时参加,则他们在赛道上的

顺序不能相邻,那么不同的排法种数为(
A.720 B.520 C.600 D.360

)

【解析】选C.根据题意,分2种情况讨论.①只有甲、
3 4 乙其中一人参加,有 C12C5 A 4 =480种情况;②若甲、乙 2 4 两人都参加,有 C2 =240种情况,其中甲、乙相邻 C 2 5 A4 2 3 2 =120种情况,不同的排法种数为 480+ 的有 C2 C 2 5 A3A 2

240-120=600种.

4.(2016·长沙一模)5名乒乓球队员中,有2名老队员和
3名新队员,现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团 体比赛,则入选的3名队员中至少有1名老队员,且1,

2号中至少有1名新队员的排法有__________种.

【解析】分两类:第一类仅有1名老队员,此时有2名 新队员,一定可以保证1,2号中至少有1名新队员,此
2 3 时有 C12C3 A3 =36种排法;

第二类有2名老队员,此时,要注意将新队员安排在
1 2 =12种排法. 1,2号中,有 C1 C A 3 2 2

于是,不同的排法数为36+12=48. 答案:48

热点考向二

二项式定理的应用

命题解读:主要考查二项式定理的通项公式、二项式 系数、二项式特定项(指定项),以选择题、填空题为

主.

命题角度一

与特定项有关的问题
x

3 【典例2】(2016·邯郸一模) (x 2+ 12 -2)展开式中的

常数项为(

)

A.-8

B.-12

C.-20
x

D.20

【解题导引】先将式子x2+ 12 -2变形为完全平方式, 再利用通项公式求特定项.

【规范解答】选C.因为 (x 2+ 12 -2)3=(x- 1 )6,所以Tk+1=
x x 1 k 6-k k C6 x ? -( ) k=C6 (- 1) k x 6-2k, 令6-2k=0得k=3,所以常数 x
3=-20. 项为 C3 (-1) 6

命题角度二

求展开式中系数的和

【典例3】(2015·全国卷Ⅱ)(a+x)(1+x)4的展开式中x

的奇数次幂的项的系数之和为32,则a=__________.
【解题导引】先设出展开式,再用赋值法,分别令x=1, x=-1,将两式相减,再利用奇数次幂项的系数之和求 a.

【规范解答】设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+
a4x4+a5x5, 令x=1,得16(a+1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5,①

令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.②

①-②,得16(a+1)=2(a1+a3+a5),即展开式中x的奇数
次幂的项的系数之和为a1+a3+a5=8(a+1), 所以8(a+1)=32,解得a=3.

答案:3

命题角度三

求展开式中某项的系数

【典例4】(2014·全国卷Ⅰ)(x-y)(x+y)8的展开式中 x2y7的系数为________.(用数字填写答案)

【解题导引】利用通项公式求解.

k x8-kyk 【规范解答】因为(x+y)8的展开式的通项为Tk+1= C8

(0≤k≤8,k∈N),
6 x 2y 6 7 xy7=8xy7,当k=6时,T = 当k=7时,T8= C8 C 7 8

=28x2y6,

所以(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的项为x·8xy7+
(-y)·28x2y6=-20x2y7,故系数为-20. 答案:-20

【规律方法】与二项式定理有关的题型及解法 类型 解法

求特定项或其系数 系数的和或差 近似值问题
整除(或余数)问题

常采用通项公式分析求解 常用赋值法 利用展开式截取部分项求解
利用展开式求解

【题组过关】
1.(2016·四川高考)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开 式中含x4的项为( )

A.-15x4
C.-20ix4

B.15x4
D.20ix4

r x6-rir, 【解析】选A.二项式(x+i)6展开的通项Tr+1= C 6

则其展开式中含x4的项是当6-r=4,即r=2,则展开式中
2 x4i2=-15x4. 含x4的项为 C 6

2.(2016·山东高考)若

1 5 (ax ? ) 的展开式中x5的 x
2
5 10? k 1 k k 5? k ( ) ? C5 a x 2 x

系数是-80,则实数a=________.
k 【解析】因为 Tk ?1 ? C5 ? ax 2 5? k

?

2 3 =-80, 令10- 5 k =5得k=2,所以 C5 a

2

解得a=-2.

答案:-2

3.(2016·大同二模)二项式

2 n 的展开式中只 ( x? 2) x

有第六项的二项式系数最大,则展开式中常数项为 __________.

【解析】因为 ( x ? 22 ) n 的展开式中只有第六项的二
x

项式系数最大,所以n=10,
k Tk+1=C10 ? x

? ?

10-k

k 2 k k k 5? 5 2 ?( 2 ) =2 C10 ?x , x

2 =180. 令5- 5 k =0,则k=2,T3= 4C10

2

答案:180

【加固训练】(2014·浙江高考)在(1+x)6(1+y)4的展开
式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+ f(2, 1)+f(1,2)+f(0,3)=( )

A.45

B.60

C.120

D.210

【解析】选C.由二项展开式的通项性质可知xmyn项
m n C 4, 的系数为f(m,n)= C6

所以f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=
2 1 1 2 3 C3 ? C C ? C C ? C 6 6 4 6 4 4 ? 120.


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