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安徽省池州一中2014届高三上学期第一次月考数学(文)


池州一中 2014 届高三第一次月考

数学(文)试题
第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. ⒈ 若复数 z 满足 i ? z ? ? ?1 ? i ? ,则 z 的虚部为( A. ? i
1 2 1 2

) C. ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )
1 2

B. i

1 2

D. ?

1 2

⒉ 设 x ? R ,则“ x ? 1 ”是“ x 3 ? x ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件

⒊ 已知 A ? ? x ? N * x ? x ? 3? ? 0? ,函数 y ? ln( x ? 1) 的定义域为集合 B ,则 A I B ? (
A.

?1, 2,3?

B.

?2,3?

C.

?1,3?

D. ?1,3?

⒋ 已知向量 a ? (1, 2) , b ? (1,0) , c ? (3, 4) .若 (b ? ? a ) ? c ,则实数 ? 的值为( A.
1 2


3 11

B.

3 5 1 3

C. ?

11 3

D. ?

⒌ 等差数列 ?an ? 中的 a1 、 a4025 是函数 f ( x) ? x3 ? 4 x 2 ? 6 x ? 1 的极值点,则 log 2 a2013 ? ( A. 2 B. 3
?x ? y ? 3



C. 4

D. 5 )

⒍ 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则目标函数 z ? 2 x ? 3 y 的最小值为( ?
?2 x ? y ? 3 ?

A. 6

B. 7

C. 8

D. 23

⒎ 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( A. )
2?

B. 2 2? D. ? 2 2 ? 2 ? ?
x?0 ?x ? 2 ,则不等式 f ( x) ? x 2 的解集为( ?x ? 2 x ? 0 ?

C. ? 2 2 ? 1? ? ⒏ 已知函数 f ( x) ? ? A. [?11] ,

) D. [?1, 2]

B. [?2, 2]

C. [?2, 1]
·1·

⒐ 袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球, 其中有 1 个红球, 个白球和 3 个黑球.从袋中任取两球, 2 两球颜色不同的概率为( .. A.
4 15


1 3

B.

C.

2 5

D.

11 15

⒑ 定义在 R 上的偶函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 3) ? f ( x) , f (2) ? 0 ,则函数 y ? f ( x) 在区间 ? 0, 6 ? 内零点的个 数为( A. 2 个 ) B. 4 个 C. 6 个 D.至少 4 个

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 把答案填在答题卡的相应位置. 11. 求值: log 3 27 ? lg 25 ? lg 4 ? 7 log 2 ? ? ?2013? ?
7

0

. .

12. 阅读程序框图(如图所示),若输入 a ? 60.7 , b ? 0.76 , c ? log 0.7 6 ,则输出的数是 13. 已知 x ? 0 ,由不等式 x ? ? 2 x ? ? 2 ,
1 x 1 x

开始

4 x x 4 x x 4 x ? 2 ? ? ? 2 ? 33 ? ? 2 ? 3 , x 2 2 x 2 2 x 27 x x x 27 x x x 27 x ? 3 ? ? ? ? 2 ? 4 4 ? ? ? 2 ? 4 ,?.在 x x 3 3 3 x 3 3 3 x

输入 a,b,c

?0条
a>b 且 a>c?
否 ib>c? 否 i 输出 c 结束 是 i 输出 b 是 i 输出 a

件下,请根据上述不等式归纳出一个一般性的不等 式 .

14. 已知圆 C 的圆心是直线 x ? y ? 1 ? 0 与 x 轴的交 点,且圆 C 与直线 x ? y ? 3 ? 0 相切.则圆 C 的方程 为 .

15.已知函数 f ( x) ? cos x ? sin x ,给出下列五个说法:
? 12 ? 4

1921? ? 1 ? ? ①f? ②若 f ( x1 ) ? ? f ( x2 ) , x1 ? ? x2 ; f ( x) 在区间 ? ? , ? 上单调递增; ④将函数 f ( x) 则 ③ ? ?? ; ? ?

? 6 3? ? 3? 1 的图象向右平移 个单位可得到 y ? cos 2 x 的图象; f ( x) 的图象关于点 ? ? ,0 ? 成中心对称. ⑤ 其 ? ? 4 2 ? 4 ?

中正确说法的序号是

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 解答写在答题 卡上的指定区域内. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?
3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? , x ? R . 2 2

·2·

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小值和最小正周期; (Ⅱ)设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,满足 c ?

3 , f (C ) ? 0 且

sin B ? 2sin A ,求 a 、 b 的值.

17.(本小题满分 12 分) 如图, ABCD 是边长为 2 的正方形, ED ⊥平面 ABCD , ED ? 1 , EF // BD 且 2EF ? BD . (Ⅰ)求证:平面 EAC ⊥平面 BDEF ; (Ⅱ)求几何体 ABCDEF 的体积.

18.(本小题满分 13 分) 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,Sn ? an ? ? n2 ? n ? 1(n ? N*) . (Ⅰ)设 bn ? an ? n ,证明:数列 ?bn ? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?nbn ? 的前 n 项和 Tn .
1 2 3 2

19.(本小题满分 12 分) 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取 60 名 学 生 , 将 其 数 学 成 绩 (均 为 整 数 )分 成 六 组 [90,100),[100,110),…,[140,150)后得到如下部 分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列 问题. (Ⅰ)求分数在[120,130)内的频率; (Ⅱ) 若在同一组数据中, 将该组区间的中点值(如: 组区间[100,110)的中点值为 作为这组数据的平均分,据此估计本次考试的平均分; (Ⅲ)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的样本,将该样本看 成一个总体,从中任取 2 人,求至多有 1 人在分数段[120,130)内的概率. 100+110 =105) 2

·3·

20.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ,左焦点为 F (?2,0) . ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
2 2 (Ⅱ)若直线 y ? x ? m 与曲线 C 交于不同的 A 、B 两点,且线段 AB 的中点 M 在圆 x ? y ? 1

上,求 m 的值.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? x ? 2 ( a ? R ).
3 2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f (x) 的极值; (Ⅱ)若对任意 x ? R ,不等式 f '( x) ?| x | ?

4 恒成立,求实数 a 的取值范围. 3

·4·

池州一中 2014 届高三年级第一次月考 数学(文)试题答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 答案 ⒈ C ⒉ A ⒊ B ⒋ D ⒌ A ⒍ B ⒎ B ⒏ A ⒐ D ⒑ D

⒈【解析】由 i ? z ? ?

1 1? i 1 1 1 ? ? ? i ,从而虚部 ,选 C. ?1 ? i ? ,得 z ? ? 2 2i 2 2 2

⒉【解析】 因为 x 3 ? x ,解得 x ? 0,1, ?1 ,显然条件表示的集合小,结论表示的集合大,由集合的 包含关系,选 A. ⒊ 【 解 析 】 化 简 集 合 A ? ? x ? N * x ? x ? 3? ? 0?? x ? N * 0 ? x ? 3? ? ?1, 2,3? , B ? ? x x ? 1 ? 0? ? ? x x ? 1? , 则
A I B ? ?2,3? ,选 B.

⒋【解析】∵ (b ? ? a ) ? c ,∴ (b ? ? a ) ? c ? 0 ,即 b ? c ? ? a ? c ? 0 ,∴ 3 ? ? 3 ? 8 ? ? ? 0 ,解得

???

3 ,选 D. 11
1 3

⒌【解析】 f ?( x) ? x 2 ? 8 x ? 6 .因为 a1 、 a4025 是函数 f ( x) ? x3 ? 4 x 2 ? 6 x ? 1 的极值点,所以 a1 、 a4025 是方程
x 2 ? 8 x ? 6 ? 0 的两实数根,则 a1 ? a4025 ? 8 .而 ?an ? 为等差数列,所以 a1 ? a4025 ? 8 ? 2a2013 ? 8 ,即 a2013 ? 4 ,从

而 log 2 a2013 ? 2 ,选 A. ⒍ 【解析】 由已知作出可行域为一个三角形区域, 得到三个交点 (2, (1 2), (4, , 1), , 5) 当直线 2 x ? 3 y ? 0 平移通过点 (2, 时,目标函数值最小,此时 z ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? 7 . 1) 【考点定位】本试题考查了线性规划的最优解的运用以及作图能力. ⒎【解析】由图知,原几何体是两个相同圆锥底面重合的一个组合体, R ? 1 , h ? 1 , l ? 表面积为 S ? 2 ? ? ? 1? 2 ? 2 2? ,选 B. ⒏【答案】A. ⒐【解析】令红球、白球、黑球分别为 A, B1 , B2 , C1 , C2 , C3 ,则从袋中任取两球有 ? A, B1 ? , ? A, B2 ? ,

2 ,则

? A, C1 ? , ? A, C2 ? , ? A, C3 ? , ? B1 , C1 ? , ? B1 , C2 ? , ? B1 , C3 ? , ? B1 , B2 ? ,
其中两球颜色相同有 ? B1 , B2 ? , ? B2 , C1 ? , ? B2 , C2 ? , ? B2 , C3 ? , C1, C2 ? , ? C1, C3 ? , ? C2 , C3 ? 共 15 种取法, ?

·5·

? C1, C2 ? , ? C1, C3 ? , ? C2 , C3 ? 共 4 种取法,由古典概型及对立事件的概率公式可得 p ? 1 ?

4 11 ? . 15 15

⒑【解析】∵ f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且周期是 3, f (2) ? 0 ,∴ f (?1) ? 0 ,即 f (1) ? 0 . ∴ f 5 ? f 2 ? 0 , f 4 ? f 1 ? 0 ,所以方程 f ( x) ? 0 在 ? 0, 6 ? 内,至少有 4 个解,选 D. () () () () 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 题号 答案 ⒒ ⒓ ⒔ ⒕ ⒖ ①④

13 2

6

0.7

x?

nn ? n ? 1? n ? N * ? n x
0

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2

⒒【解析】 log 3

27 ? lg 25 ? lg 4 ? 7 log7 2 ? ? ?2013? ?

3 13 ? 2 lg 5 ? 2 lg 2 ? 2 ? 1 ? . 2 2

⒓【解析】程序框图的功能是:输出 a,b,c 中最大的数, ∵ a> 1 , 0< b< 1 , c< 0 ,所以输出的数为 60.7 . ⒔【解析】根据题意,分析所给等式的变形过程可得,先对左式变形,再利用基本不等式化简.消 去根号,得到右式,则 x ?

nn x x x nn x x x nn ? ? ? L ? ? n ? ? n ? 1? ? n ?1? ? ? L ? ? n ? n ? 1 . xn n n n x n n n x

( ) ⒕【解析】令 y=0 得 x=-1,所以直线 x-y+1=0,与 x 轴的交点为 C ? 1, 0 . ( ) 因 为 直 线 x ? y ? 3 ? 0 与 圆 C 相 切 , 所 以 圆 心 C ? 1, 0 到 直 线 的 距 离 等 于 半 径 , 即
r? | ?1 ? 0 ? 3 | ? 2 ,所以圆 C 的方程为 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 . 2

1921? ? 1 ?? ? 1 ? 1 ⒖ 【 解 析 】 f ( x) ? cos x ? sin x ? sin 2x . ① 正 确 , f ? ;②错误:由 ? ? ? f ? ? ? sin ? 2 6 4 ? 12 ? ? 12 ? 2

f ( x1 ) = - f ( x2 ) = f (- x2 ) , 知 x1 = - x2 + 2kp 或 x1 = p + x2 + 2k p (k
?

Z) ; ③ 错 误 : 令

?
2

? 2 k? ? 2 x ? ?

?
2

? 2k? ,得 ?

?
4

? k? ? x ?

?
4

? k? ? k ? Z ? ,由复合函数性质知 f ( x) 在每一

个闭区间 ? ?

? ? ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 上单调递增,但 ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? k? , ? ? k? ? ? k ? Z ? ,故函数 f ( x) ? 6 3? ? 4 ? 4 ? ? ? ? 4 ? 4 ?
4

? ? 3? 在 ? ? , ? 上 不 是 单 调 函 数 ; ④ 错 误 : 将 函 数 f ( x) 的 图 象 向 右 平 移 个单位可得到 ? ?
? 6 3?

·6·

1 3? ? y ? sin 2 ? x ? 2 4 ?

3? ? 1 ? ? ? sin ? 2 x ? 2 ? 2 ?

? 1 ? ? cos 2 x ; ⑤ 错 误 : 函 数 的 对 称 中 心 的 横 坐 标 满 足 ? 2

2x0 ? k? ,解得 x0 ?

k? ? k? ? ,即对称中心坐标为 ? , 0 ? ? k ? Z ? ,则点 ? ? ? ,0 ? 不是其对称中心. ? ? ? 4 ? 2 ? 2 ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 解答写在答题 卡上的指定区域内. ⒗ (本小题满分 12 分) 【解析】(Ⅰ) f ( x ) ?

3 1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ,????3 分 2 2 2 6 2? ? ? ;????6 分 则 f ( x ) 的最小值是 ?2 , 最小正周期是 T ? 2

(Ⅱ) f (C ) ? sin(2C ?

?

6

) ? 1 ? 0 ,则 sin(2C ?

?

0 ? C ? ? , 0 ? 2C ? 2? ,所以 ?
所以 2C ?

?
6

? 2C ?

?
6

6 ?

) ? 1 ? 0 ,????7 分 11? , 6

? , C ? ,????9 分 6 2 3 因为 sin B ? 2sin A ,所以由正弦定理得 b ? 2a ,??①????10 分
由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos
2 2 2

?

?

?

?

由①②解得: a ? 1 , b ? 2 .????12 分

3

,即 c 2 ? a 2 ? b 2 ? ab ? 3 ??②????11 分

⒘ (本小题满分 12 分) 【解析】 (Ⅰ)∵ ED⊥平面 ABCD ,AC ∵ ABCD 是正方形,∴ BD⊥AC,

平面 ABCD ,∴ ED⊥AC.????2 分 ????4

分 ∴ AC⊥平面 BDEF. ????6 分 又 AC?平面 EAC,故平面 EAC⊥平面 BDEF. DO,∴ 四边形 EFOD 是平行四边形. (Ⅱ)连结 FO,∵ EF 由 ED⊥平面 ABCD 可得 ED⊥DO, ∴ 四边形 EFOD 是矩形.????8 分 方法一:∴ FO ∥ ED , 而 ED⊥平面 ABCD ,∴ FO ⊥平面 ABCD . ∵ ABCD 是边长为 2 的正方形,∴ OA ? OC ?

2。

由(Ⅰ)知,点 A 、 C 到平面 BDEF 的距离分别是 OA 、 OC ,
·7·

2 从而 V ? VA? EFOD ? VC ? EFOD ? VF ? ABC ? 2VA? EFOD ? VF ? ABC ? 2 ? ? 1? 2 ? ? 1? ? 2 ? 2 ;

1 3

1 3

1 2

方法二:∵ 平面 EAC⊥平面 BDEF. ∴ 点 F 到平面 ACE 的距离等于就是 Rt△EFO 斜边 EO 上的高, 且高 h ?

EF ? FO 1? 2 6 .????10 分 ? ? OE 3 3

∴几何体 ABCDEF 的体积 = =2. ????12 分 ⒙(本小题满分 12 分)

1 3 【解析】 (Ⅰ)因为 an ? S n ? ? n 2 ? n ? 1 , 2 2
所以

1 ① 当 n ? 1 时, 2a1 ? ?1 ,则 a1 ? ? ,????????????1 分 2 1 3 ② 当 n ≥ 2 时, an ?1 ? S n ?1 ? ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 1 ,????????2 分 2 2 所以 2an ? an ?1 ? ? n ? 1 ,即 2(an ? n) ? an ?1 ? n ? 1 ,????????4 分
所以 bn ?

1 1 bn ?1 (n ≥ 2) ,而 b1 ? a1 ? 1 ? ,????????5 分 2 2
n

1 2 3 4 n ?1 n ? 2 ? 3 ? 4 ? .......... ? n ?1 ? n , 2 2 2 2 2 2 2 3 4 n ?1 n ② 2Tn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? .......... ? n ? 2 ? n ?1 ,?????8 分 2 2 2 2 2 1 1 1 n ②-①得: Tn ? 1 ? ? 2 ? ...... ? n ?1 ? n ,?????10 分 2 2 2 2 n ?1? 1? ? ? ? 2 ? ? n ? 2 ? n ? 2 .??????12 分 Tn ? 1 2n 2n 1? 2
所以 ① Tn ? ⒚(本小题满分 12 分)

1 1 ?1? 所以数列 ?bn ? 是首项为 ,公比为 的等比数列,所以 bn ? ? ? .?????6 分 2 2 ?2? n (Ⅱ)由 (Ⅰ)得 nbn ? n . 2

【解析】 (Ⅰ)分数在[120,130)内的频率为 1 ? (0.1 ? 0.15 ? 0.15 ? 0.25 ? 0.05) ? 1 ? 0.7 ? 0.3 ;
·8·

????????2 分 (Ⅱ)估计平均分为

x ? 95 ? 0.1 ? 105 ? 0.15 ? 115 ? 0.15+125 ? 0.3+135 ? 0.25 ? 145 ? 0.05 ? 121 .???5 分
(Ⅲ)由题意,[110,120)分数段的人数为 60×0.15=9(人).[120,130)分数段的人数为 60×0.3= 18(人). ????????7 分

∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的样本, ∴需在[110,120)分数段内抽取 2 人,并分别记为 m 、 n ; 在[120,130)分数段内抽取 4 人,并分别记为 a 、 b 、 c 、 d ; ????????8 分 ????????9 分

设“从样本中任取 2 人,至多有 1 人在分数段[120,130)内”为事件 A,则基本事件共有 (m,n) ,

(m,a ), , ,d ),,a ), ,,d ),,b), ,,d ) 共 15 种. ??????10 分 ? (m (n ? (n (a ? (c
则事件 A 包含的基本事件有 (m,n), ,a ), ,b), ,c), ,d ),,a ),,b),,c) , (n,d ) (m (m (m (m (n (n (n 共 9 种. ∴ P ? A? ? ????????11 分

9 3 ? . 15 5

????????12 分

⒛(本小题满分 13 分) 【解析】 (Ⅰ)由题意得

c 2 ,c ? 2 ? a 2

???2 分

解得 ?

?a ? 2 2 ?b ? 2

???4 分

所以椭圆 C 的方程为:

x2 y2 ? ?1 8 4

???6 分

(Ⅱ)设点 A 、 B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x 2 , y 2 ) ,线段 AB 的中点为 M ? x0 , y0 ? ,

? x2 y2 ?1 ? ? 由? 8 ,消去 y 得 3 x 2 ? 4mx ? 2m 2 ? 8 ? 0 4 ?y ? x ? m ?
∵ ? ? 96 ? 8m 2 ? 0 ,∴ ?2 3 ? m ? 2 3 ∴ x0 ?

???8 分

???9 分

x1 ? x2 2m m ?? , y0 ? x0 ? m ? 2 3 3

???10 分

·9·

3 5 ? 2m ? ? m ? ∵点 M ? x0 , y0 ? 在圆 x ? y ? 1 上,∴ ? ? ??13 分 ? ? ? ? ? 1 ,即 m ? ? 5 ? 3 ? ?3?
2 2

2

2

21.(本小题满分 14 分) 【解析】 (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? x ? x ? 2
3 2

1? ? f '( x) ? 3 x 2 ? 2 x ? 1 ? 3( x ? 1) ? x ? ? ,????????????????2 分 3? ? 1 令 f '( x) ? 0 ,解得 x1 ? ? , x2 ? 1 . 3 1 1 当 f '( x) ? 0 时,得 x ? 1 或 x ? ? ;当 f '( x) ? 0 时,得 ? ? x ? 1 .????????4 分 3 3 当 x 变化时, f '( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f '( x) f ( x)

1 (??, ? ) 3
+

?

1 3

0 极大

Z

1 (? ,1) 3 ? ]

1 0 极小

(1, ??)
+

Z

∴当 x ? ? 时,函数 f ( x) 有极大值, f ( x) 极大 =f ? ? ? ?

? 1 ? 59 ; ??????????5 分 ? 3 ? 27 当 x ? 1 时,函数 f ( x) 有极大值, f ( x) 极小 =f ?1? ? 1 , ?????????????6 分
1 3
2

(Ⅱ)∵ f '( x) ? 3 x ? 2ax ? 1 ,∴对 ?x ? R , f ?( x) ? x ?

?x ? R 恒成立, ????????????????????7 分 1 1 ①当 x ? 0 时,有 ? 2a ? 1? x ? 3 x 2 ? ,即 2a ? 1 ? 3 x ? 对 ?x ? 0 恒成立,????9 分 3 3x 1 1 1 ? 2 3x ? ? 2 ,当且仅当 x ? 时等号成立, ∵ 3x ? 3x 3x 3 1 ∴ 2a ? 1 ? 2 ,解得 a ? ????????????????????????11 分 2 1 1 ②当 x ? 0 时,有 ?1 ? 2a ? x ? 3 x 2 ? ,即 1 ? 2a ? 3 x ? 对 ?x ? 0 恒成立,??12 分 3x 3
∵3 x ?

4 4 恒成立,即 3 x 2 ? 2ax ? 1 ? x ? 对 3 3

1 1 1 ?2 3x? ? 2 ,当且仅当 x ? ? 时等号成立, 3 3x 3x
1 2
????????????????????????13 分

∴ 1 ? 2a ? 2 ,解得 a ? ? ③当 x ? 0 时, a ? R .

综上得实数 a 的取值范围为 ? ?

? 1 1? , . ????????????????????14 分 ? 2 2? ?
·10·


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