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陕西省宝鸡市2015届高考数学二模试卷(理科)


陕西省宝鸡市 2015 届高考数学二模试卷(理科)
一、选择题(每小题 5 分) 1.已知,如图所示,全集 U,集合 M=Z(整数集)和 N={x∈N|lg(1﹣x)<1},则图中阴影 部分所示的集合的元素共有( )

A.9 个 2.若 A.﹣

B.8 个

C.1 个 )

D.无穷个



,则实数 m 的值为( B.﹣2 C.﹣1

D.﹣

3.扇形 AOB 的半径为 1,圆心角为 90°,点 C、D、E 将弧 AB 分成四等分,连结 OC、OD、 OE,从图中所有的扇形中随机取出一个,面积恰好为 的概率是( )

A.

B.

C.

D.

4.若(x + ) 展开式中的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为( A.1215 B.9 C.27 D.1

2

n

)

5.同时具有性质:①最小正周期是 π;②图象关于直线 x= A.y=cos( ) B.y=sin(2x﹣ ) C.y=cos(2x﹣

对称的一个函数是( ) D.y=sin(2x+

) )

6.下列说法中,正确的是( ) 2 2 A.命题“若 am <bm ,则 a<b”的逆命题是真命题 x x B.命题“存在 x∈R,2 >0,”的否定是:“任意 x∈R,2 ≤0” C.命题 p 或 q 为真命题,则命题 p 和命题 q 均为真命题 D.命题 p 且 q 为真命题,则命题 p 和 q 命题至少有一个是真命题

7.正方体的内切球和外接球的表面积之比为( ) A.3:1 B.3:4 C.4:3 8.设 Sn 为等差数列{an}前项和,S6=3a3,a6=﹣2,则 a8=( A.﹣6 B.﹣2 C.﹣4 )

D.1:3

D.2

9.在平面直角坐标系 xoy 中,不等式组 A.8π B.π |=3,|

,所表示平面区域的外接圆面积等于( C.4π D.2π ?( ﹣

)

10.如图,△ ABC 中,| 值是( )

|=1,D 是 BC 边中垂线上任意一点,则

)的

A.1

B.
3 2

C.2

D.4

11.设 a 为实数,函数 f(x)=x +ax +(a﹣2)x 的导函数是 f′(x) ,且 f′(x)是偶函数,则 曲线 y=f(x)在原点处的切线方程为( ) A.y=4x B.y=3x C.y=﹣3x D.y=﹣2x 12.已知函数 f(x)=],其中表示不超过实数 x 的最大整数,如=﹣2,=1,若 则 f(x)的值域为( A.{0,1,2} ) B.{0,1,2,3} ,

C.{﹣2,﹣1,0}

D.{﹣1,0,1,2}

二、填空题(每小题 5 分) 13.执行如图所示的程序框图,输出结果 S 的值是__________.

14.已知数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n∈N) ,且 a2+a4+a6=9,则 logb(a5+a7+a9)的值等 于__________. 15.若 z=sinθ﹣ +i(cosθ﹣ ) ,z 是纯虚数,则 tan(θ﹣ )=__________.

16.“无字证明”(proofswithoutwords)就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图 形来呈现,请利用下面两个三角形(△ ACD 和△ ECD)的面积关系,写出高中数学中的一个 重要关系式:__________.

三、解答题 17.△ ABC 中,角 A、B、C 对边分别是 a、b、c,满足 2 (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求 2 cos
2

=a ﹣(b+c) .

2

2

﹣sin(

﹣B)的最大值,并求取得最大值时角 B、C 的大小.

18.如图,已知三棱柱 P﹣A1B1C1 中,侧棱与底面垂直,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,M 是 BC 的中点. (1)求证;A1B∥平面 AMC1; (2)求直线 CC1 与平面 AMC1 所成角的正弦值.

19.下表是我市 2014 年 12 月 18 日至 31 日的空气质量指数统计表,空气质量指数小于 100 表示空气质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染,假设此期间恰逢本市创建“全 国文明城市”验收评估, 专家组随机选择 12 月 18 日至 29 日的某一天到达本市, 并住留 3 天 (包 括到达的当天) . 日期 18 19 20 21 22 空气质量指数 79 45 60 155 210 日期 25 26 27 28 29 空气质量指数 90 78 150 123 96 (1)请作出 18 日至 31 日的空气质量指数变化趋势的拆线图,并由图判断从哪天开始连续三 天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明) .

23 209 30 90

24 16 31 18

(2)设 x 表示专家组停留期间空气质量优良的天数,求 x 的分布列和数学期望. 20.设椭圆 C1 与抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上,C1 的中心及 C2 的顶点均为原点,从每条曲线 上各取两点,将其坐标记录于下表: x 3 ﹣2 4 y ﹣2 0 ﹣4

(1)求曲线 C1、C2 的标准方程; (2)设直线 l 过抛物线 C2 的焦点 F,l 与椭圆交于不同的两点 M,N,当 线 l 的方程. 21.已知函数 f(x)=lnx﹣ax ﹣bx. (I)当 a=﹣1 时,若函数 f(x)在其定义域内是增函数,求 b 的取值范围; (Ⅱ)若 f(x)的图象与 x 轴交于 A(x1,0) ,B(x2,0) (x1<x2)两点,且 AB 的中点为 C (x0,0) ,求证:f′(x0)<0.
2

=0 时,求直

四、选修题选修 4-1:几何证明选讲 22.如图所示,已知圆 O1 与圆 O2 相交于 A、B 两点,过 A 点作圆 O1 的切线交圆 O2 于点 C, 过点 B 作两圆的割线,分别交圆 O1、圆 O2 于点 D、E,DE 与 AC 相交于点 P. (1)求证:AD∥EC; (2)若 PA=6,PC=2,BD=9,求 PE 的长.

23. 【选修 4﹣4:坐标系与参数方程】 (1)求点 M(2, )到直线 ρ= 上点 A 的距离的最小值.

(2)求曲线

关于直线 y=1 对称的曲线的参数方程.

24.已知 a,b 均为正数,且 a+b=1,证明: 2 2 2 (1) (ax+by) ≤ax +by (2) (a+ ) +(b+ ) ≥
2 2



陕西省宝鸡市 2015 届高考数学二模试卷(理科)

一、选择题(每小题 5 分) 1.已知,如图所示,全集 U,集合 M=Z(整数集)和 N={x∈N|lg(1﹣x)<1},则图中阴影 部分所示的集合的元素共有( )

A.9 个

B.8 个

C.1 个

D.无穷个

考点:Venn 图表达集合的关系及运算. 专题:集合. 分析:由韦恩图中阴影部分表示的集合为 M∩N,然后利用集合的基本运算进行求解即可. 解答: 解:N={x∈N|lg(1﹣x)<1}={x∈N|0<1﹣x)<10}={x∈N|﹣9<x<1}={0}, 由韦恩图中阴影部分表示的集合为 M∩N, ∴M∩N={0},有一个元素, 故选:C 点评:本题主要考查集合的基本运算,利用韦恩图确定集合关系,然后利用集合的运算确定交 集元素即可. 2.若 A.﹣ ,则实数 m 的值为( B.﹣2 C.﹣1 ) D.﹣

考点:定积分. 专题:导数的概念及应用. 分析:求出被积函数的原函数,然后分别代入积分上限和积分下限作差,由积分值为 0 求得 m 的值. 解答: 解:∵ ∴m=﹣ . 故选:D. 点评:本题考查了定积分,关键是求出被积函数的原函数,是基础题. 3.扇形 AOB 的半径为 1,圆心角为 90°,点 C、D、E 将弧 AB 分成四等分,连结 OC、OD、 OE,从图中所有的扇形中随机取出一个,面积恰好为 的概率是( ) = ,

A.

B.

C.

D.

考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题:概率与统计. 分析:图中共有 10 个不同的扇形,其中面积为 的扇形(即相应圆心角恰为 的扇形)共

有 3 个,故选 A. 解答: 解: 依题意得知,图中共有 10 个不同的扇形, 分别为扇形 AOB, AOC, AOD, AOE, EOB,EOC,EOD,DOC,DOB,COB, ∵ ∴ ∴其中面积为 的扇形(即相应圆心角恰为 , 的扇形)共有 3 个:AOD,EOC,BOD, ,R=1

即扇形因此所求的概率等于

故选:A. 点评:本题考查了几何概型,确定基本事件个数和事件发生个数是关键.
2 n

4.若(x + ) 展开式中的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为( A.1215 B.9 C.27 D.1

)

考点:二项式系数的性质. 专题:计算题;二项式定理. 分析:利用二项式的系数和列出方程求出 n,再利用二项展开式的通项公式求出 x 的指数为 0 的项,即得展开式的常数项. 解答: 解:∵(x + ) 展开式中的二项式系数之和为 64, ∴2 =64, 解得 n=6; ∴ Tr+1=
2 n 2 n

展开式的通项公式为 ?(x )
6﹣r

?

=3 ?

r

?x

12﹣3r



令 12﹣3r=0,解得 r=4; ∴常数项为 T4+1=3 ?
4

=81×15=1215.

故选:A. 点评: 本题考查了利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特定项问题, 也考查了二项式系 数的应用问题,是基础题目.

5.同时具有性质:①最小正周期是 π;②图象关于直线 x= A.y=cos( (2x+ ) ) B.y=sin(2x﹣ )

对称的一个函数是( C.y=cos(2x﹣

)

) D.y=sin

考点:正弦函数的对称性;三角函数的周期性及其求法. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的周期性和图象的对称性,逐一判断各个函数的周期 性和图象的对称轴方程,从而得出结论. 解答: 解:由于 y=cos( )的周期为 =4π,不满足条件,故排除 A.

对于函数 y=sin(2x﹣ 于直线 x=

) ,它的周期为

=π,当 x=

时,函数取得最大值为 1,故图象关

对称,故满足条件. ) ,它的周期为 =π,当 x= 时,函数值为 0,不是最值,故图象

对于函数 y=cos(2x﹣ 不关于直线 x=

对称,故不满足条件. ) ,它的周期为 =π,当 x= 时,函数值为 ,不是最值,故图象

对于函数 y=sin(2x+ 不关于直线 x=

对称,故不满足条件.

故选:B. 点评:本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的周期性和图象的对称性,属于基础题. 6.下列说法中,正确的是( ) 2 2 A.命题“若 am <bm ,则 a<b”的逆命题是真命题 x x B.命题“存在 x∈R,2 >0,”的否定是:“任意 x∈R,2 ≤0” C.命题 p 或 q 为真命题,则命题 p 和命题 q 均为真命题 D.命题 p 且 q 为真命题,则命题 p 和 q 命题至少有一个是真命题 考点:命题的真假判断与应用. 专题:综合题;推理和证明. 分析:对四个命题分别进行判断,即可得出结论. 2 2 解答: 解:对于 A,逆命题是:若 a<b,则 am <bm ,当 m=0 时,结论不成立,故 A 错; x x 对于 B,命题“存在 x∈R,2 >0,”的否定是:“任意 x∈R,2 ≤0”,正确;

对于 C,命题 p 或 q 为真命题,则命题 p 和命题 q,一真一假,故错误; 对于 D,命题 p 且 q 为真命题,则命题 p 和 q 命题都是真命题,故错误. 故选:B. 点评:本题考查四种命题、全称命题及特称命题的真假判断,要弄清条件和结论再解决问题. 7.正方体的内切球和外接球的表面积之比为( ) A.3:1 B.3:4 C.4:3

D.1:3

考点:球的体积和表面积. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:设出正方体的棱长,利用正方体的棱长是内切球的直径,正方体的对角线是外接球的直 径,分别求出半径,即可得到结论. 解答: 解:正方体的棱长是内切球的直径,正方体的对角线是外接球的直径,设棱长是 a. a=2r 内切球,r 内切球= , a=2r 外接球,r 外接球= ,

∴r 内切球:r 外接球=1: . ∴正方体的内切球和外接球的表面积之比为 1:3. 故选:D. 点评:本题是基础题,本题的关键是正方体的对角线就是外接球的直径,正方体的棱长是内切 球的直径,考查计算能力. 8.设 Sn 为等差数列{an}前项和,S6=3a3,a6=﹣2,则 a8=( ) A.﹣6 B.﹣2 C.﹣4 D.2 考点:等差数列的前 n 项和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出. 解答: 解:设等差数列{an}的公差为 d,∵S6=3a3,a6=﹣2, ∴ =3(a1+2d) ,a1+5d=﹣2,

解得 a1=3,d=﹣1. 则 a8=3﹣7=﹣4, 故选:C. 点评:本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式,属于基础题.

9.在平面直角坐标系 xoy 中,不等式组 A.8π B.π C.4π

,所表示平面区域的外接圆面积等于( D.2π

)

考点:二元一次不等式(组)与平面区域. 专题:不等式的解法及应用. 分析:根据已知和图形可知,不等式组围成的平面区域是一个直角三角形,分别求出外接圆的 圆心和半径即可得到圆的方程

解答: 解:根据题意可知不等式组表示的平面区域为直角△ OAB, 其中 OA 为直径, A(0,4) , 则直径 2r=4, 则圆的半径为 r=2, 2 则外接圆面积 S=π×2 =4π. 故选:C

点评:本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域,利用数形结合是解决本题的关键. 10.如图,△ ABC 中,| 值是( ) |=3,| |=1,D 是 BC 边中垂线上任意一点,则 ?( ﹣ )的

A.1

B.

C.2

D.4

考点:平面向量数量积的运算. 专题:计算题. 分析:由 D 是 BC 边中垂线上任意一点,不妨取 BC 的中点,则 = = ,代入可求 ?( ﹣ )

解答: 解:∵D 是 BC 边中垂线上任意一点,不妨取 BC 的中点即可 又∵| ∴ = |=3,| ?( ﹣ |=1, )= =

故选 D 点评:本题主要考查了向量的数量积的表示,注意解答本题的方法:一般问题特殊化的应用

11.设 a 为实数,函数 f(x)=x +ax +(a﹣2)x 的导函数是 f′(x) ,且 f′(x)是偶函数,则 曲线 y=f(x)在原点处的切线方程为( ) A.y=4x B.y=3x C.y=﹣3x D.y=﹣2x 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;导数的运算. 专题:导数的概念及应用;直线与圆. 分析:求出函数的导数,由函数的奇偶性定义,可得 a=0,求得切线的斜率,由点斜式方程即 可得到切线方程. 3 2 解答: 解:函数 f(x)=x +ax +(a﹣2)x 的导函数是 2 f′(x)=3x +2ax+a﹣2, 由 f′(x)是偶函数, 即有 f′(﹣x)=f′(x) , 即为 3x ﹣2ax+a﹣2=3x +2ax+a﹣2, 可得 a=0, 3 2 即有 f(x)=x ﹣2x,f′(x)=3x ﹣2, 即有曲线 y=f(x)在原点处的切线斜率为﹣2, 则曲线 y=f(x)在原点处的切线方程为 y=﹣2x, 故选 D. 点评: 本题考查导数的运用: 求切线方程, 主要考查导数的几何意义, 同时考查函数的奇偶性, 正确求导是解题的关键. 12.已知函数 f(x)=],其中表示不超过实数 x 的最大整数,如=﹣2,=1,若 则 f(x)的值域为( A.{0,1,2} ) B.{0,1,2,3} C.{﹣2,﹣1,0} D.{﹣1,0,1,2}
2 2

3

2



考点:函数的值域. 专题:函数的性质及应用. 分析: 先对 x 的取值进行分类讨论, 从而求出: , ﹣1≤x<0, 0≤x<1, ,

然后求出对应的 x 的范围,从而求出 x 的范围,进而求出 f(x)的取值,从而求得 f(x)的 值域. 解答: 解: 时,=﹣2,2<x≤3,∴f(x)=2;

﹣1≤x<0 时,=﹣1,0<x≤1,∴f(x)=0; 0≤x<1 时,=0,x=0,∴f(x)=0; 1≤x< 时,=1,1 ,∴f(x)=1;

∴f(x)的值域为{0,1, 2}. 故选 A. 点评:考查对定义的理解,为求 x 的范围,从而需对 x 的取值进行分类讨论的方法,以及函数 值域的概念. 二、填空题(每小题 5 分)

13.执行如图所示的程序框图,输出结果 S 的值是

. .

考点:程序框图. 专题:图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图, 依次写出每次循环得到的 s 的值, 当 i=100 时,不满足条件 i<100, 退出循环,输出 s 为 .

解答: 解:模拟执行程序框图,可得 i=1,s=0 a1= ,s= 满足条件 i<100,i=2,a2= 满足条件 i<100,i=3,a3= … 满足条件 i<100,i=100,a100= ,s= + + . + +…+ +…+ = + ( ﹣ + ﹣…﹣ ,s= + ,s= + +

不满足条件 i<100,退出循环,输出 s= + + ﹣ )= + . ( )=

故答案为:

点评:本题主要考查了循环结构的程序框图,其中用裂项法求 s 的值是解题的关键,属于基本 知识的考查. 14.已知数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n∈N) ,且 a2+a4+a6=9,则 logb(a5+a7+a9)的值等 于 5. 考点:数列递推式. 专题:等差数列与等比数列.

分析:由数列递推式可得数列{log3an}为以 log3a1 为首项,以 1 为公差的等差数列,求出其通 项公式后进一步得到数列{an}是以 a1 为首项,以 3 为公比的等比数列,再由已知结合等比数 列的性质求得 log3(a5+a7+a9)的值. 解答: 解:∵log3an+1=log3an+1(n∈N) , ∴log3an+1﹣log3an=1,则数列{log3an}为以 log3a1 为首项,以 1 为公差的等差数列, ∴log3an=log3a1+(n﹣1)= 则 ,

,即数列{an}是以 a1 为首项,以 3 为公比的等比数列,
3 5

又 a2+a4+a6=9,∴a5+a7+a9=9×3 =3 , ∴log3(a5+a7+a9)= .

故答案为:5. 点评:本题考查了数列递推式,考查了对数的运算性质,考查了等比数列的通项公式,是中档 题.

15.若 z=sinθ﹣ +i(cosθ﹣ ) ,z 是纯虚数,则 tan(θ﹣

)=﹣7.

考点:复数的基本概念. 专题:数系的扩充和复数. 分析:根据复数的概念即可得到结论. 解答: 解:∵z 是纯虚数, ∴cosθ﹣ ≠0 且 sinθ﹣ =0, 即 cosθ≠ 且 sinθ= , 则 cosθ=﹣ , 故 tan=﹣ ,

则 tan(θ﹣

)=



故答案为:﹣7 点评:本题主要考查复数的有关概念以及两角和的正切公式的计算,比较基础. 16.“无字证明”(proofswithoutwords)就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图 形来呈现,请利用下面两个三角形(△ ACD 和△ ECD)的面积关系,写出高中数学中的一个 重要关系式: .

考点:进行简单的合情推理. 专题:推理和证明. 分析:由三角形相似把 AB 的长度用 a,b 表示,然后利用三角形 ACD 的面积小于等于三角形 ECD 的面积得到不等式 解答: 解:由图可知:AB =ab,则 而 , , 由 S△ ACD≤S△ ECD,得 故答案为: . , (当且仅当 a=b 时等号成立) ,
2

. ,

点评:本题考查了数形结合证明基本不等式,考查了学生的推理能力,是中档题. 三、解答题 17.△ ABC 中,角 A、B、C 对边分别是 a、b、c,满足 2 (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求 2 cos
2

=a ﹣(b+c) .

2

2

﹣sin(

﹣B)的最大值,并求取得最大值时角 B、C 的大小.

考点:余弦定理;平面向量数量积的运算;正弦函数的定义域和值域. 专题:计算题. 分析: (Ⅰ)通过化简向量的表达式,利用余弦定理求出 A 的余弦值,然后求角 A 的大小; (Ⅱ)通过 A 利用 2012 年 6 月 7 日 17:54:00 想的内角和,化简 为 C 的三角函数,通过 C 的范围求出表达式的最大值,即可 求出最大值时角 B、C 的大小. 解答: 解 (Ⅰ)由已知 化为 2bccosA=a ﹣b ﹣c ﹣2bc, 2 2 2 由余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA 得 4bccosA=﹣2bc, ∴ , .
2 2 2



∵0<A<π,∴

(Ⅱ)∵

,∴





= ∵ ∴当 C+ 解得 B=C= = ,∴ , .

. , 取最大值 ,

点评:本题借助向量的数量积考查余弦定理以及三角函数的最值,考查计算能力. 18.如图,已知三棱柱 P﹣A1B1C1 中,侧棱与底面垂直,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,M 是 BC 的中点. (1)求证;A1B∥平面 AMC1; (2)求直线 CC1 与平面 AMC1 所成角的正弦值.

考点:直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定. 专题:综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)证明线面平行,可以利用线面平行的判定定理,只要证明 A1B∥OM 可; (2)可判断 BA,BC,BB1 两两垂直,建立空间直角坐标系,用坐标表示点与向量,求得平 面 AMC1 的法向量、 直线 CC1 的阐释, 向量, 代入向量夹角公式, 可求直线 CC1 与平面 AMC1 所成角的正弦值. 解答: (1)证明:连接 A1C,交 AC1 于点 O,连接 OM. ∵ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱, ∴四边形 ACC1A1 为矩形,O 为 A1C 的中点. 又∵M 为 BC 中点, ∴OM 为△ A1BC 中位线, ∴A1B∥OM, ∵OM?平面 AMC1,A1B?平面 AMC1, ∴A1B∥平面 AMC1. (2)解:由 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱,且∠ABC=90°, 故 BA,BC,BB1 两两垂直.可建立如图空间直角坐标系 B﹣xyz. 设 BA=2,则 B(0,0,0) ,C(2,0,0) ,A(0,2,0) ,C1(2,0,1) ,M(1,0,0) . 则 =(1,﹣2,0) , =(2,﹣2,1) ,

设平面 AMC1 的法向量为 =(x,y,z) ,则有

所以取 y=1,得 =(2,1,﹣2) . 又∵ =(0,0,1)

∴直线 CC1 与平面 AMC1 所成角 θ 满足 sinθ= 故直线 CC1 与平面 AMC1 所成角的正弦值为 .

=

点评:本题考查线面平行,考查线面夹角,解题的关键是掌握线面平行的判定定理,正确运用 向量的方法解决线面角、线线角. 19.下表是我市 2014 年 12 月 18 日至 31 日的空气质量指数统计表,空气质量指数小于 100 表示空气质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染,假设此期间恰逢本市创建“全 国文明城市”验收评估, 专家组随机选择 12 月 18 日至 29 日的某一天到达本市, 并住留 3 天 (包 括到达的当天) . 日期 18 19 20 21 22 空气质量指数 79 45 60 155 210 日期 25 26 27 28 29 空气质量指数 90 78 150 123 96 (1)请作出 18 日至 31 日的空气质量指数变化趋势的拆线图,并由图判断从哪天开始连续三 天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明) . (2)设 x 表示专家组停留期间空气质量优良的天数,求 x 的分布列和数学期望. 考点:离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题:概率与统计. 分析: (I)仔细阅读表格判断即可. (II)确定 X 的所有取值有:0,1,2,3.求解 P(X=0)= P(X=1)= = ,P(X=2)= .P(X=3)= = .

23 209 30 90

24 16 31 18

,列出分布列,运用数学期望求解即可.

解答: 解: (I)如下图:12 月 20 日开始连续 3 天的空气质量指数方差最大.

(II)X 的所有取值有:0,1,2,3. P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= = . = , . ,

, X P E(X)=0× = 0 1 2 3

点评:本题综合考查了概率在解决实际问题中的应用,仔细阅读题意,准确计算概率,列出分 布列,难度不大,属于中档题. 20.设椭圆 C1 与抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上,C1 的中心及 C2 的顶点均为原点,从每条曲线 上各取两点,将其坐标记录于下表: x 3 ﹣2 4 y ﹣2 0 ﹣4

(1)求曲线 C1、C2 的标准方程; (2)设直线 l 过抛物线 C2 的焦点 F,l 与椭圆交于不同的两点 M,N,当 线 l 的方程. 考点:抛物线的标准方程;椭圆的标准方程. 专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由题意(﹣2,0) ,一定在椭圆 C1 上,设 C1 方程为 (a>b>0) ,可得 =0 时,求直

a=2.于是椭圆 C1 上任何点的横坐标|x|≤2.可判断点(



)也在 C1 上,代入椭圆方程

即可解得 b ,因此得到椭圆的方程.从而(3,﹣2 ) , (4,﹣4)一定在抛物线 C2 上,设 2 C2 的方程为 y =2px(p>0) ,把其中一个点的坐标代入即可得出. (2)假设直线 l 过 C2 的焦点 F(1,0) .分类讨论:当 l 的斜率不存在时,得出 M,N 的坐标, 然后验证是否满足 =0,即可,当 l 的斜率存在时设为 k,则 l 的方程为 y=k(x﹣1)代 =0,可得 k 的值即可.

2

入 C1 方程并整理可得根与系数的关系,利用

解答: 解: (1)由题意(﹣2,0) ,一定在椭圆 C1 上, 设 C1 方程为 (a>b>0) ,则 a=2,

∴椭圆 C1 上任何点的横坐标|x|≤2. ∴(
2



)也在 C1 上,代入椭圆方程



解得 b =1, ∴C1 的方程为 +y =1.
2

从而(3,﹣2 ) , (4,﹣4)一定在抛物线 C2 上, 2 2 设 C2 的方程为 y =2px(p>0) ,可得(﹣4) =2p×4. 2 ∴p=2,即 C2 的方程为 y =4x. (2)假设直线 l 过 C2 的焦点 F(1,0) . 当 l 的斜率不存在时,则 M(1, 此时 ) ,N(1,﹣ ) .

=1﹣ = ≠0,与已知矛盾.
2 2 2 2

当 l 的斜率存在时设为 k, 则 l 的方程为 y=k (x﹣1) 代入 C1 方程并整理得, (1+4k ) x ﹣8k x+4k ﹣4=0. ∵直线 l 过椭圆内部(1,0)点,故必有两交点. 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则 x1+x2= ,x1x2= .

y1y2=k(x1﹣1)k(x2﹣1)=k (x1x2﹣x1﹣x2+1)=

2




2

=0,∴x1x2+y1y2=0,

∴k ﹣4=0,k=±2, ∴存在符合条件的直线 l 且方程为 y=±2(x﹣1) . 点评: 本题综合考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、 直线与椭圆相交问题转化为方程联 立得到根与系数的关系、 数量积与向量垂直的关系等基础知识与基本技能方法, 考查了推理能 力与计算能力,属于中档题.

21.已知函数 f(x)=lnx﹣ax ﹣bx. (I)当 a=﹣1 时,若函数 f(x)在其定义域内是增函数,求 b 的取值范围; (Ⅱ)若 f(x)的图象与 x 轴交于 A(x1,0) ,B(x2,0) (x1<x2)两点,且 AB 的中点为 C (x0,0) ,求证:f′(x0)<0. 考点:函数的单调性与导数的关系;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题:计算题;综合题;转化思想. 分析: (I)将 f(x)在(0,+∞)上递增,转化成 f′(x)≥0 对 x∈(0,+∞)恒成立,即 b≤ +2x 对 x∈ (0, +∞) 恒成立, 只需 b≤ 即可, 根据基本不等式可求出 ;

2

(II)根据 f(x)的图象与 x 轴交于 A(x1,0) ,B(x2,0) (x1<x2)两点,得到 ,两式相减,可得

,利用中点坐标公式和导数,即可证明结论. 解答: 解: (Ⅰ)依题意:f(x)=lnx+x ﹣bx ∵f(x)在(0,+∞)上递增,∴f′(x)= +2x﹣b≥0 对 x∈(0,+∞)恒成立 即 b≤ +2x 对 x∈(0,+∞)恒成立,∴只需 b≤ ∵x>0,∴ +2x≥2 当且仅当 x= ]; , 时取“=”,∴b≤2 ,
2

∴b 的取值范围为(﹣∞,2 (II)证明:由已知得



,两式相减,得:

?



由 f′(x)= ﹣2ax﹣b 及 2x0=x1+x2,得 f′(x0)=

﹣2ax0﹣b=

=

=



令 t=

∈(0,1) ,且 φ(t)=



∵φ′(t)=



∴φ(t)是(0,1)上的减函数, ∴φ(t)>φ(1)=0, 又 x1<x2, ∴f'(x0)<0. 点评: 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系, 即当导函数大于 0 时原函数 单调递增,当导函数小于 0 时原函数单调递减,同时考查了转化与划归的思想,分析问题解决 问题的能力,属于中档题. 四、选修题选修 4-1:几何证明选讲 22.如图所示,已知圆 O1 与圆 O2 相交于 A、B 两点,过 A 点作圆 O1 的切线交圆 O2 于点 C, 过点 B 作两圆的割线,分别交圆 O1、圆 O2 于点 D、E,DE 与 AC 相交于点 P. (1)求证:AD∥EC; (2)若 PA=6,PC=2,BD=9,求 PE 的长.

考点:与圆有关的比例线段. 专题:选作题;推理和证明. 分析: (1)连接 AB,根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D,又根据同弧所对 的圆周角相等得到∠BAC=∠E,等量代换得到∠D=∠E,根据内错角相等得到两直线平行即 可; (2) 设 BP=x, PE=y, 根据相交弦定理得 PA?PC=BP?PE, 求出 xy=12, 再根据 AD∥EC 得 求出 x,y,即可求出 PE 的长. 解答: (1)证明:连接 AB, ∵AC 是⊙O1 的切线, ∴∠BAC=∠D, 又∵∠BAC=∠E, ∴∠D=∠E, ∴AD∥EC. = ,

(2)解:设 BP=x,PE=y, ∵PA=6,PC=2, ∴xy=12①, ∵AD∥EC, ∴ ∴ , = ②,

由①②可得 x=3,y=4(负数舍去) .

点评:此题是一道综合题,要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题.本 题的突破点是辅助线的连接. 23. 【选修 4﹣4:坐标系与参数方程】 (1)求点 M(2, )到直线 ρ= 上点 A 的距离的最小值.

(2)求曲线

关于直线 y=1 对称的曲线的参数方程.

考点:简单曲线的极坐标方程;点的极坐标和直角坐标的互化. 专题:直线与圆. 分析: (1)点 M(2, ρ= M (2) 设曲线 即 )化为直角坐标 M ,化为直角坐标方程 即M =0.则点 .直线

到直线上的点 A 的距离的最小值为点 M 到直线的距离. 关于直线 y=1 对称的曲线上的点为 P (x, y) ,

则点 P 关于直线 y=1 的对称点 P′(x,2﹣y) ,此点在曲线 C 上,可得

,即可.

解答: 解: (1)点 M(2, 直线 ρ= 则点 M 即

)化为直角坐标 M ,化为直角坐标方程

即M =0. = .



到直线上的点 A 的距离的最小值为 d=

∴点 M(2,

)到直线 ρ=

上点 A 的距离的最小值是



(2) 设曲线

关于直线 y=1 对称的曲线上的点为 P (x, y) ,

则点 P 关于直线 y=1 的对称点 P′(x,2﹣y) ,此点在曲线 C 上, ∴ ,化为 即为所求曲线 C 关于直线 y=1 对称的曲线的参数方

程. 点评:本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、曲线关于直线的对 称曲线、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法,属于中档题. 24.已知 a,b 均为正数,且 a+b=1,证明: 2 2 2 (1) (ax+by) ≤ax +by (2) (a+ ) +(b+ ) ≥
2 2



考点:不等式的证明. 专题:证明题. 分析: (1)将所证的关系式作差(ax+by) ﹣(ax +by )=a(a﹣1)x +b(b﹣1)y +2abxy 2 2 2 利用 a+b=1,整理,可得 a(a﹣1)x +b(b﹣1)y +2abxy=﹣ab(x﹣y) ≤0,当且仅当 x=y 时等号成立; (2) 将所证的不等式左端展开, 转化为 ,
2 2 2 2 2

进一步整理后,利用基本不等式即可证得结论成立. 2 2 2 2 2 解答: 证明: (1) ) (ax+by) ﹣(ax +by )=a(a﹣1)x +b(b﹣1)y +2abxy, 因为 a+b=1, 所以 a﹣1=﹣b,b﹣1=﹣a,又 a,b 均为正数, 2 2 2 2 2 所以 a(a﹣1)x +b(b﹣1)y +2abxy=﹣ab(x +y ﹣2xy)=﹣ab(x﹣y) ≤0,当且仅当 x=y 时等号成立; (2)

=

=



当且仅当 a=b 时等号成立. 点评:本题考查不等式的证明,着重考查作差法的应用,突出考查等价转化思想与逻辑推理能 力,属于难题.


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