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数学必修2:直线与圆的位置关系教案(1)


数学必修 2

直线与圆的位置关系 教学目标 1、知识与能力目标 A.知道直线和圆相交,相切,相离的定义并会根据定义来判断直线和圆的 位置关系; B.能根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系来揭示直线和圆的 位置关系;也能根据联立方程组的解的个数来判断直线与圆的位置关系。 C.掌握直线和圆的位置关系的应用,能解决弦长、切线以及最值问题。 2、过程与方法目标 让学生通过观察,看图,分析,能找出圆心到直线的距离和圆的半径之间 的数量关系,揭示直线和圆的位置关系。此外,通过直线和圆的相对运动,培 养学生运动变化的辨证唯物主义观点,通过对研究过程的反思,进一步强化对 分类和把几何形成的结论转化为代数方程的形式的思想。培养学生借助直观解 决抽象问题的能力,也就是由数到形,有形到数;有直观到抽象、由抽象到直 观的转化能力(数形结合的思想)。 3、情感态度与价值观目标 通过师生互动,生生互动的教学活动过程,形成学生的体验性认识,体会 成功的愉悦,提高数学学习的兴趣,树立学好数学的信心,培养锲而不舍的钻 研精神和合作交流的科学态度。 教学重点与难点 教学重点:直线和圆位置关系的判断和应用 教学难点:通过解方程组来研究直线和圆的位置关系。 教学准备

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制作多媒体课件,学生准备计算器,直尺,量角器。 教学过程: 一、复习 1.直线方程的形式 2.圆的方程形式 3.点与圆的位置关系 4 直线与圆的位置关系: (1)直线与圆相交,有两个公共点; (2)直线与圆相切,只有一个公共点; (3)直线与圆相离,没有公共点; 二、新课讲解 1.问题情境 问题 1.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风 中心位于轮船正西 70km 处,受影响的范围是半径长为 50km 的圆形区域.已知 港口位于台风中心正北 70km 处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到 台风的影响? 师生活动:让学生进行讨论、交流,启发学生由图形获取判断直线与圆的 位置关系的直观认知,引入新课. 师:你怎么判断轮船受不受影响? 生:台风所在的圆与轮船航线所在直线是否相交. 师:(板书标题)这个问题,其实可以归结为直线与圆 置关系. 学生解决方法一: 设 O 为台风中心, A 为轮船开始位置, B 为 的位

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港口位置, 在 OAB 中,O 到 AB 的距离 = ,因此受影响.

2.揭示课题——直线与圆的位置关系 问题 2. 在初中,我们学习过直线与圆的位置关系,即直线与圆相交,有

两个公共点,直线于圆相切,有一个公共点;直线与圆相离,没有公共点,前 面我们又学习了直线的方程和圆的方程,懂得了直线和圆可以用方程来表示, 于是,我们就思考一个问题,能否用方程来刻画直线与圆的位置关系呢?如果 有这样的可能,又该怎样来描述呢? 师生活动:引导学生回忆义务教育阶段判断直线与圆的位置关系的思想过 程.可以展示下面的表格,使问题直观形象. 直 线 与圆的位 置关系 相交 相切 相离 公 共 点个数 关系 与 的

图形

两个 一个 没有

3.直线与圆位置关系的判断 问题 3:方法一是用平面几何知识判断直线与圆的位置关系,你能根据直线 与圆的方程判断它们之间的位置关系吗? 问题 4:这是利用圆心到直线的距离 与半径 的大小关系判别直线与圆的 位置关系.请问用这种方法的一般步骤如何? 师生活动:教师引导学生分析归纳:

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(1)建立平面直角坐标系; (2)求出直线方程,圆心坐标与圆的半径 ; (3)求出圆心到直线的距离 (4)比较 与 的大小,确定直线与圆的位置关系. ①当 ②当 ③当 时,直线 与圆 相离; 时,直线 与圆 相切; 时,直线 与圆 相交.

4.例题示范 例 1 如图,已知直线 l: 3x ? y ? 6 ? 0 和圆心为 C 的圆 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0 , 判断直线 l 与圆的位置关系;如果相交,求它们交点的坐标。 问题 5:对于平面直角坐标系中的直线 和 联立方程组 ① 与 相交, ② 与 平行, ③ 与 平行, , ,我们有如下一些结论: 方程组有唯一解; 方程组无; 方程组有无穷组解.

你能用类比的思想,研究直线与圆的位置关系吗? 师生活动:教师提出问题,引导学生得出: 联立方程组 ①圆与直线相切, ②圆与直线相交, ③圆与直线相离, ,我们有如下一些结论: 方程组有唯一解; 方程组有两组解; 方程组有无解.

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问题 6:根据方程组是否有解来判断直线与圆的位置关系的步骤如何? 师生活动:教师引导学生分析、归纳: (1)将直线方程与圆方程联立成方程组; (2)通过消元,得到一个一元二次方程; (3)求出其判别式△的值; (4)判断△的符号: 若△>0,则直线与圆相交; 若△=0,则直线与圆相切; 若△<0,则直线与圆相离. 问题 7:我们找到了解决直线与圆的位置关系的代数方法,你能用代数方 法来解决例 1 吗? 问题 8:你能用我们学过的方法来解决以下变式吗? 变式 1:判断直线 kx ? y ? 2 ? 0 与例 1 中圆的位置关系 变式 2:若直线所过定点为(2,0) ,判断直线与例 1 中圆的位置关系 变式 3:若直线所过定点为 ? 5,2?,判断直线与例 1 中圆的位置关系 练习. 已知圆的方程是 ?x ?1?2 ? y 2 ? 9 ,求过点 (-2,4)的圆的切线方程. 设计意图:进一步强调解题格式,规范解题步骤。 5.弦长问题 例 2、已知过点 M(-3,-3)的直线 l 被圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0 所截得的弦长为
2 3 ,求直线 l 的方程。

变式

过点 ?? 3,?3? 的弦中最长弦和最短弦所在直线方程是什么

6.课堂小结 问题 9: 判断直线与圆的位置关系有哪些方法?

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问题 10:当直线与圆相交时,如何求弦长? 师生活动:学生思考,教师引导时应涉及到“如何求弦长”以及判断直线 与圆的位置关系有几种方法?它们的步骤是什么? 七、教学目标检测 1.设 m ? 0 ,则圆 x 2 ? ? y ? 2m?2 ? 3m2 与直线 x ? 3 y ? 0 的位置关系________ 2.过点 P?2,0? 且与圆 x 2 ? y 2 ? 6 y ? 5 ? 0 相切的直线方程是___________ 3.求直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 被圆 C : x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 截得的弦 AB 的长。 4.求以 N ?1,3? 为圆心,并且与直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 相切的圆的方程。 5.求圆心在直线 3x ? y ? 0 上, 与 x 轴相切, 且被直线 x ? y ? 0 截得的弦长为 2 7 的圆的方程。


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