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天津一中2015届高三上学期月考数学试卷(理科)


天津一中 2015 届高三上学期月考数学试卷(理科)
一、选择题: 1. (3 分)i 是虚数单位, A.﹣1 B. 1
6 3

的值是() C . ﹣i D.i

2. (3 分)在 x(1+x) 的展开式中,含 x 项的系数为() A.30 B.20 C.15 3. (3 分)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出

结果是()

D.10

A.

B.

C.

D.

4. (3 分) 若曲线 则 a 的值为() A.﹣2 B. 2 C.

处的切线分别为 l1, l2, 且 l1⊥l2,

D.﹣

5. (3 分)设{an}是公比为 q 的等比数列,则“q>1”是“{an}”为递增数列的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6. (3 分)甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军,乙队需要再 赢两局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为() A. B. C. D.

7. (3 分) 设△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 bcosC+ccosB=asinA, 则△ ABC 的形状为() A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定

8. (3 分)函数 f(x)的定义域是 R,f(0)=2,对任意 x∈R,f(x)+f′(x)>1,则不等式 e ?f(x)>e +1 的解集为() A.{x|x>0} C. {x|x<﹣1,或 x>1}
x x

B. {x|x<0} D.{x|x<﹣1,或 0<x<1}

二、填空题: 9. (5 分)以 Rt△ ABC 的直角边 AB 为直径作圆 O,圆 O 与斜边 AC 交于 D,过 D 作圆 O 的 切线与 BC 交于 E,若 BC=3,AB=4,则 OE=. 10. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.

11. (5 分) 在直角坐标系 xoy 中, 已知曲线 C1:

(t 为参数) 与曲线 C2:

(θ 为参数,a>0 )有一个公共点在 X 轴上,则 a 等于. 12. (5 分)某学校 2014-2015 学年高一、2014-2015 学年高二、2015 届高三年级的学生人数之 比为 3:3:4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则 应从 2014-2015 学年高二年级抽取名学生.

13. (5 分)若点 O 和点 F 分别为椭圆

+

=1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上点的任意一

点,则

?

的最大值为.

14. (5 分)设函数 f(x)= 则 m 的取值范围是.

sin

,若存在 f(x)的极值点 x0 满足 x0 +[f(x0)] <m ,

2

2

2

三、解答题: 15. (15 分) 已知锐角三角形△ ABC 内角 A、 B、 C 对应边分别为 a, b, c. .

(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 cosB+cosC 的取值范围. 16. (15 分)盒中共有 9 个球,其中有 4 个红球,3 个黄球和 2 个绿球,这些球除颜色外完全 相同. (1)从盒中一次随机取出 2 个球,求取出的 2 个球颜色相同的概率 P; (2)从盒中一次随机取出 4 个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 x1,x2,x3,随机 变量 X 表示 x1,x2,x3 中的最大数,求 X 的概率分布和数学期望 E(X) . 17. (15 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,BC=CD=2,AC=4, ∠ACB=∠ACD= ,F 为 PC 的中点,AF⊥PB.

(1)求 PA 的长; (2)求二面角 B﹣AF﹣D 的正弦值.

18. (15 分)数列{an}的各项均为正数,Sn 为其前 n 项和,对于任意的 n∈N ,总有 an,Sn, 2 an 成等差数列. (1)求 a1; (2)求数列{an}的通项公式; (3)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且 bn= ,求证:对任意正整 n,总有 Tn<2.

*

19. (16 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率为

,且过点(2,

) .

(1)求椭圆的标准方程; (2)四边形 ABCD 的顶点在椭圆上,且对角线 AC、BD 过原点 O,若 kAC?kBD=﹣ ,

(i) 求

?

的最值.

(ii) 求证:四边形 ABCD 的面积为定值.

20.设函数 f(x)=x +aln(x+1) (a 为常数) (Ⅰ)若函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是单凋递增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若函数 y=f(x)有两个极值点 x1,x2,且 x1<x2,求证: .

2

天津一中 2015 届高三上学期月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题: 1. (3 分)i 是虚数单位, A.﹣1 B. 1 的值是() C . ﹣i D.i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值. 解答: 解: = .

故选:A. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 2. (3 分)在 x(1+x) 的展开式中,含 x 项的系数为() A.30 B.20 C.15
6 3

D.10

考点: 二项式系数的性质. 专题: 二项式定理. 6 分析: 利用二项展开式的通项公式求出(1+x) 的第 r+1 项,令 x 的指数为 2 求出展开式 2 中 x 的系数.然后求解即可. 6 r r 解答: 解: (1+x) 展开式中通项 Tr+1=C6 x ,

令 r=2 可得,T3=C6 x =15x , 6 2 ∴(1+x) 展开式中 x 项的系数为 15, 6 3 在 x(1+x) 的展开式中,含 x 项的系数为:15. 故选:C. 点评: 本题考查二项展开式的通项的简单直接应用.牢记公式是基础,计算准确是关键. 3. (3 分)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是()

2 2

2

A.

B.

C.

D.

考点: 程序框图. 专题: 图表型. 分析: 分析程序中各变量、 各语句的作用, 分析可知: 该程序的作用是计算并输出 S= + + 的值,并输出. 解答: 解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是计算并输出 S= + + 的值 ∵S= + + = .

故选 D. 点评: 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处 理方法是: :①分析流程图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型, 又要分析出参与计算的数据 (如果参与运算的数据比较多, 也可使用表格对数据进行分析管理) ?②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模. 4. (3 分) 若曲线 则 a 的值为() A.﹣2 B. 2 C. D.﹣ 处的切线分别为 l1, l2, 且 l1⊥l2,

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程.

专题: 导数的概念及应用. 分析: 两函数 f(x) 、g(x)在 x=1 处的导数即为它们在点 P 处切线的斜率,再根据切线垂 直即可列一方程,从而可求 a 值. 解答: 解:f′(x)= 又曲线 ,g′(x)=ax
a﹣1

,则 f′(1)= ,g′(1)=a, 处的切线相互垂直,

所以 f′(1)?g′(1)=﹣1,即 a=﹣1,所以 a=﹣2. 故选 A. 点评: 本题考查了导数的几何意义及简单应用,难度不大.该类问题中要注意区分某点处 的切线与过某点的切线的区别,某点处意为改点为切点,过某点则未必然. 5. (3 分)设{an}是公比为 q 的等比数列,则“q>1”是“{an}”为递增数列的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;等比数列. 专题: 等差数列与等比数列;简易逻辑. 分析: 根据等比数列的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 解答: 解:等比数列﹣1,﹣2,﹣4,…,满足公比 q=2>1,但“{an}”不是递增数列,充分 性不成立. 若 an=﹣1 为递增数列,但 q= >1 不成立,即必要性不成立,

故“q>1”是“{an}”为递增数列的既不充分也不必要条件, 故选:D. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用等比数列的性质,利用特殊值法是 解决本题的关键. 6. (3 分)甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军,乙队需要再 赢两局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为() A. B. C. D.

考点: 相互独立事件的概率乘法公式. 专题: 概率与统计. 分析: 根据已知中的比赛规则,我们可得甲要获得冠军可分为甲第一场就取胜,或甲第一 场失败,第二场取胜,由分类事件加法公式,我们分别求出两种情况的概率,进而即可得到结 论. 解答: 解:甲要获得冠军共分为两个情况 一是第一场就取胜,这种情况的概率为 一是第一场失败,第二场取胜,这种情况的概率为 × =

则甲获得冠军的概率为 故选 D 点评: 本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式,要想计算一个事件的概率,首 先我们要分析这个事件是分类的(分几类)还是分步的(分几步) ,然后再利用加法原理和乘 法原理进行求解. 7. (3 分) 设△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 bcosC+ccosB=asinA, 则△ ABC 的形状为() A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 考点: 正弦定理;三角形的形状判断. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 直接利用正弦定理以及两角和的正弦函数,化简已知表达式,即可求出 A 的正弦函 数值,然后求出角 A,即可判断三角形的形状. 解答: 解:因为 bcosC+ccosB=asinA,由正弦定理可得:sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA, 所以 sin(B+C)=sin A,即 sinA=sin A,A 为三角形内角,所以 sinA=1,A=
2 2



三角形是直角三角形. 故选 A. 点评: 本题考查正弦定理以及两角和的正弦函数的应用,三角形形状的判断方法,考查计 算能力. 8. (3 分)函数 f(x)的定义域是 R,f(0)=2,对任意 x∈R,f(x)+f′(x)>1,则不等式 e ?f(x)>e +1 的解集为() A.{x|x>0} C. {x|x<﹣1,或 x>1} 考点: 函数单调性的性质;导数的运算. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 构造函数 g(x)=e ?f(x)﹣e ,结合已知可分析出函数 g(x)的单调性,结合 g x x (0)=1,可得不等式 e ?f(x)>e +1 的解集. x x 解答: 解:令 g(x)=e ?f(x)﹣e , x 则 g′(x)=e ?[f(x)+f′(x)﹣1] ∵对任意 x∈R,f(x)+f′(x)>1, ∴g′(x)>0 恒成立 x x 即 g(x)=e ?f(x)﹣e 在 R 上为增函数 又∵f(0)=2,∴g(0)=1 x x 故 g(x)=e ?f(x)﹣e >1 的解集为{x|x>0} x x 即不等式 e ?f(x)>e +1 的解集为{x|x>0} 故选 A x 点评: 本题考查的知识点是函数单调性的性质,导数的运算,其中构造出函数 g(x)=e ?f x (x)﹣e ,是解答的关键.
x x x x

B. {x|x<0} D.{x|x<﹣1,或 0<x<1}

二、填空题: 9. (5 分)以 Rt△ ABC 的直角边 AB 为直径作圆 O,圆 O 与斜边 AC 交于 D,过 D 作圆 O 的 切线与 BC 交于 E,若 BC=3,AB=4,则 OE= .

考点: 平行线分线段成比例定理. 专题: 计算题. 分析: 利用条件,可以证明 EB=ED=EC,再利用三角形的中位线,即可求得 OE 的长. 解答: 解:由题意,连接 OD,BD,则 OD⊥ED,BD⊥AD ∵OB=OD,OE=OE ∴Rt△ EBO≌Rt△ EDO ∴EB=ED,∴∠EBD=∠EDB 又∠EBD+∠C=90°,∠EDB+∠EDC=90° ∴∠C=∠EDC,∴ED=EC ∴EB=EC ∵O 是 AB 的中点,∴ ∵直角边 BC=3,AB=4, ∴AC=5 ∴OE= 故答案为:

点评: 本题考查圆的切线的性质,考查圆的性质,考查三角形中位线的性质,属于基础题. 10. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 200.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 规律型. 分析: 由三视图可知该几何体为四棱柱,然后根据棱柱体积公式计算体积即可.

解答: 解:由三视图可知该几何体为平放的四棱柱,其中以侧视图为底. 底面为等腰梯形, 梯形的上底长为 2,下底长为 8, 梯形的高为 4, 棱柱的高为 10. ∴梯形的面积为 ,

∴棱柱的体积为 20×10=200. 故答案为:200. 点评: 本题主要考查三视图的识别和判断,以及棱柱的体积公式,利用三视图确定几何体 的直观图是解决此类问题的关键.

11. (5 分) 在直角坐标系 xoy 中, 已知曲线 C1:

(t 为参数) 与曲线 C2:

(θ 为参数,a>0 )有一个公共点在 X 轴上,则 a 等于 .

考点: 椭圆的参数方程;直线的参数方程. 专题: 计算题. 分析: 化参数方程为普通方程,利用两曲线有一个公共点在 x 轴上,可得方程,即可求得 结论. 解答: 解:曲线 C1: (t 为参数)化为普通方程:2x+y﹣3=0,令 y=0,可得 x=

曲线 C2:

(θ 为参数,a>0 )化为普通方程:

∵两曲线有一个公共点在 x 轴上, ∴ ∴a= 故答案为: 点评: 本题考查参数方程化为普通方程,考查曲线的交点,属于基础题. 12. (5 分)某学校 2014-2015 学年高一、2014-2015 学年高二、2015 届高三年级的学生人数之 比为 3:3:4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则 应从 2014-2015 学年高二年级抽取 15 名学生. 考点: 分层抽样方法. 专题: 概率与统计.

分析: 根据三个年级的人数比,做出 2014-2015 学年高二所占的比例,用要抽取得样本容量 乘以 2014-2015 学年高二所占的比例,得到要抽取的 2014-2015 学年高二的人数. 解答: 解:∵2014-2015 学年高一、2014-2015 学年高二、2015 届高三年级的学生人数之比 为 3:3:4, ∴2014-2015 学年高二在总体中所占的比例是 = ,

∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本, ∴要从 2014-2015 学年高二抽取 ,

故答案为:15 点评: 本题考查分层抽样方法,本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例, 这就是在抽样过程中被抽到的概率,本题是一个基础题.

13. (5 分)若点 O 和点 F 分别为椭圆

+

=1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上点的任意一

点,则

?

的最大值为 6.

考点: 平面向量数量积的运算;椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设 P(x,y) ,由数量积运算及点 P 在椭圆上可把 二次函数性质可求其最大值. 解答: 解:设 P(x,y) , 则 ? =(x,y)?(x+1,y)=x +x+y ,
2 2

?

表示为 x 的二次函数,根据

又点 P 在椭圆上,故 所以 x +x+(3﹣ 又﹣2≤x≤2, 所以当 x=2 时,
2

+ )=

=1, +x+3= +2,

+2 取得最大值为 6,即

?

的最大值为 6,

故答案为:6. 点评: 本题考查平面向量的数量积运算、椭圆的简单性质,属中档题. ,若存在 f(x)的极值点 x0 满足 x0 +[f(x0)] <m ,
2 2 2

14. (5 分)设函数 f(x)=

sin

则 m 的取值范围是(﹣∞﹣2)∪(2,+∞) . 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 三角函数的图像与性质.

分析: 由题意可得,f(x0)=±
2

,且

=kπ+

,k∈z,再由题意 x0 + [f(x0)] <m ,

2

2

2

可得当 m 最小时,|x0|最小,而|x0|最小为 |m|,继而可得关于 m 的不等式,解得即可. 解答: 解:由题意可得,f(x0)=±
2 2 2 2

,且

=kπ+

,k∈z,即 x0=

m.

再由 x0 +[f(x0)] <m ,可得当 m 最小时,|x0|最小,而|x0|最小为 |m|, ∴m > m +3, ∴m >4. 解得 m>2,或 m<﹣2, 故 m 的取值范围是(﹣∞﹣2)∪(2,+∞) 故答案为: (﹣∞﹣2)∪(2,+∞) 点评: 本题主要正弦函数的图象和性质,函数的零点的定义,体现了转化的数学思想,属 于中档题 三、解答题: 15. (15 分) 已知锐角三角形△ ABC 内角 A、 B、 C 对应边分别为 a, b, c. (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 cosB+cosC 的取值范围. 考点: 余弦定理;同角三角函数基本关系的运用;正弦函数的定义域和值域. 分析: (Ⅰ) 由余弦定理表示出 b +c ﹣a =2bccosA, 代入
2 2 2 2 2 2



即可得到 sinA

的值,然后根据 A 的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的大小; (Ⅱ)由三角形为锐角三角形且由(Ⅰ)得到 A 的度数可知 B+C 的度数,利用 C 表示出 B 并 求出 B 的范围,代入所求的式子中,利用两角差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简 后,再利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数为 sin (B+ ) ,然后根据求出的 B 的范围求出 B+ 的范围,根据角的范围,利用正弦函数的图象

即可求出 sin(B+

)的范围即为 cosB+cosC 的取值范围.
2 2 2

解答: 解: (Ⅰ)由余弦定理知,b +c ﹣a =2bccosA, ∴ ∵ ∴ ; , ,

(Ⅱ)∵△ABC 为锐角三角形,且 ∴ ∴ = = ∵ ∴ = , , . , ,



即 cosB+cosC 的取值范围是

点评: 此题考查了余弦定理,同角三角函数间的基本关系,两角和与差的正弦、余弦函数 公式及特殊角的三角函数值,是一道综合题. 16. (15 分)盒中共有 9 个球,其中有 4 个红球,3 个黄球和 2 个绿球,这些球除颜色外完全 相同. (1)从盒中一次随机取出 2 个球,求取出的 2 个球颜色相同的概率 P; (2)从盒中一次随机取出 4 个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 x1,x2,x3,随机 变量 X 表示 x1,x2,x3 中的最大数,求 X 的概率分布和数学期望 E(X) . 考点: 离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: (1)先求出取 2 个球的所有可能,再求出颜色相同的所有可能,最后利用概率公式 计算即可; (2)先判断 X 的所有可能值,在分别求出所有可能值的概率,列出分布列,根据数学期望公 式计算即可. 解答: 解(1)一次取 2 个球共有 能情况 ∴取出的 2 个球颜色相同的概率 P= . =36 种可能,2 个球颜色相同共有 =10 种可

(2)X 的所有可能值为 4,3,2,则 P(X=4)=

,P(X=3)=

于是 P(X=2)=1﹣P(X=3)﹣P(X=4)= X 的概率分布列为 X 2 3 4



P 故 X 数学期望 E(X)= .

点评: 本题考查了排列组合,概率公式以概率的分布列和数学期望,知识点比较多,属基 础题. 17. (15 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,BC=CD=2,AC=4, ∠ACB=∠ACD= ,F 为 PC 的中点,AF⊥PB.

(1)求 PA 的长; (2)求二面角 B﹣AF﹣D 的正弦值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;点、线、面间的距离计算;二面角的平面角及求法. 专题: 计算题;证明题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (I)连接 BD 交 AC 于点 O,等腰三角形 BCD 中利用“三线合一”证出 AC⊥BD,因 此分别以 OB、OC 分别为 x 轴、y 轴建立空间直角坐标系如图所示.结合题意算出 A、B、C、 D 各点的坐标,设 P(0,﹣3,z) ,根据 F 为 PC 边的中点且 AF⊥PB,算出 z=2 ,从而得 到 =(0,0,﹣2 ) ,可得 PA 的长为 2 =(﹣ ; =( ,3,0) , =(0,2, ) .利用 ,2)分别

(II)由(I)的计算,得

,3,0) ,

垂直向量数量积为零的方法建立方程组,解出 =(3,

,﹣2)和 =(3,﹣

为平面 FAD、平面 FAB 的法向量,利用空间向量的夹角公式算出 、 夹角的余弦,结合同角 三角函数的平方关系即可算出二面角 B﹣AF﹣D 的正弦值. . 解答: 解: (I)如图,连接 BD 交 AC 于点 O ∵BC=CD,AC 平分角 BCD,∴AC⊥BD 以 O 为坐标原点,OB、OC 所在直线分别为 x 轴、y 轴, 建立空间直角坐标系 O﹣xyz, 则 OC=CDcos 又∵OD=CDsin =1,而 AC=4,可得 AO=AC﹣OC=3. = ,

∴可得 A(0,﹣3,0) ,B( ,0,0) ,C(0,1,0) ,D(﹣ 由于 PA⊥底面 ABCD,可设 P(0,﹣3,z) ∵F 为 PC 边的中点,∴F(0,﹣1, ) ,由此可得 ∵ ∴ =( ? ,3,﹣z) ,且 AF⊥PB, =6﹣ =0,解之得 z=2 (舍负) ; ,3,0) ,

,0,0)

=(0,2, ) ,

因此,

=(0,0,﹣2 =(﹣

) ,可得 PA 的长为 2 ,3,0) , =(

(II)由(I)知

=(0,2,

) ,

设平面 FAD 的法向量为 =(x1,y1,z1) ,平面 FAB 的法向量为 =(x2,y2,z2) , ∵ ? =0 且 ? =0,∴ ,取 y1= 得 =(3, ,﹣2) ,

同理,由 ?

=0 且 ?

=0,解出 =(3,﹣

,2) ,

∴向量 、 的夹角余弦值为 cos< , > = = =

因此,二面角 B﹣AF﹣D 的正弦值等于

=

点评: 本题在三棱锥中求线段 PA 的长度,并求平面与平面所成角的正弦值.着重考查了空 间线面垂直的判定与性质,考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识,属于中档题. 18. (15 分)数列{an}的各项均为正数,Sn 为其前 n 项和,对于任意的 n∈N ,总有 an,Sn, 2 an 成等差数列. (1)求 a1; (2)求数列{an}的通项公式; (3)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且 bn= ,求证:对任意正整 n,总有 Tn<2.
*

考点: 数列与不等式的综合;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1) (2)由题意可得 通项公式即可得出. (3)由(2)可得 .当 n≥2 时, ,利用裂项求和即可证 ,利用 和等差数列的

明. * 2 解答: 解: (1)∵对于任意的 n∈N ,总有 an,Sn,an 成等差数列. ∴ 令 n=1,得 (2)当 n≥2 时,由 得 , ,解得 a1=1. , , ,

∴(an+an﹣1) (an﹣an﹣1﹣1)=0, * ∵?n∈N ,an>0,∴an﹣an﹣1=1, ∴数列{an}是公差为 1 的等差数列, ∴an=1+(n﹣1)×1=n. (3)由(2)可得 当 n≥2 时, ∴ 当 n=1 时,T1=bn=1<2. ∴对任意正整 n,总有 Tn<2. 点评: 熟练掌握利用 求和等是解题的关键. 求 an 和等差数列的通项公式、 放缩法、 裂项 . , =2﹣ .

19. (16 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率为

,且过点(2,

) .

(1)求椭圆的标准方程; (2)四边形 ABCD 的顶点在椭圆上,且对角线 AC、BD 过原点 O,若 kAC?kBD=﹣ ,

(i) 求

?

的最值.

(ii) 求证:四边形 ABCD 的面积为定值.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;三角形的面积公式;平面向量数量积的运算;椭圆的标准 方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)把点 由 a =b +c , 2 2 2 联立即可得到 a 、b 、c ; (2) (i)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,设 kAC=k,由 kAC?kBD=﹣ =﹣ ,可得 .
2 2 2

代入椭圆的方程,得到

,由离心率

,再

把直线 AC、BD 的方程分别与椭圆的方程联立解得点 A,B,的坐标,再利用数量积即可得到 关于 k 的表达式,利用基本不等式的性质即可得出最值; (ii)由椭圆的对称性可知 S 四边形 ABCD=4×S△ AOB=2|OA||OB|sin∠AOB,得到 =4 ,代入计算即可证明.

解答: 解: (1)由题意可得

,解得



∴椭圆的标准方程为



(2) (i)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,不妨设 x1>0,x2>0. 设 kAC=k,∵kAC?kBD=﹣ =﹣ ,∴ .

可得直线 AC、BD 的方程分别为 y=kx,



联立





解得







=x1x2+y1y2=

=

=2,当且仅当

时取等号.

可知:当 x1>0,x2>0 时,有最大值 2. 当 x1<0,x2<0.有最小值﹣2. ii)由椭圆的对称性可知 S 四边形 ABCD=4×S△ AOB=2|OA||OB|sin∠AOB. ∴ =4 =4 =4

=4

=

=128,

∴四边形 ABCD 的面积= 为定值. 点评: 熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为联立方程得 到一元二次方程的根与系数的关系、数量积、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式等是 解题的关键. 20.设函数 f(x)=x +aln(x+1) (a 为常数) (Ⅰ)若函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是单凋递增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若函数 y=f(x)有两个极值点 x1,x2,且 x1<x2,求证: .
2

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 转化思想. 分析: (Ⅰ)已知原函数的值为正,得到导函数的值非负,从而求出参量的范围; (Ⅱ)利用韦达定理,对所求对象进行消元,得到一个新的函数,对该函数求导后,再对导函 数求导,通过对导函数的导导函数的研究,得到导函数的最值,从而得到原函数的最值,即得 到本题结论. 解答: 解: (Ⅰ)根据题意知:f′(x)= 即 a≥﹣2x ﹣2x 在区间[1,+∞)上恒成立. 2 ∵﹣2x ﹣2x 在区间[1,+∞)上的最大值为﹣4, ∴a≥﹣4; 经检验:当 a=﹣4 时, ,x∈[1,+∞) .
2

在[1,+∞)上恒成立.

∴a 的取值范围是[﹣4,+∞) . (Ⅱ)
2

在区间(﹣1,+∞)上有两个不相等的实数根,

即方程 2x +2x+a=0 在区间(﹣1,+∞)上有两个不相等的实数根.

记 g(x)=2x +2x+a,则有

2

,解得

























. 在 当 而 k′(x)在 ∵ ∴当 ∴k(x)在 单调递减, , 使得 p′(x0)=0. ,p′(x)<0;当 x∈(x0,0)时,p′(x)>0. 单调递减,在(x0,0)单调递增, ,





点评: 本题考查的是导数知识,重点是利用导数法研究函数的单调性、究极值和最值,难 点是多次连续求导,即二次求导,本题还用到消元的方法,难度较大.


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